一般有界渐近成熟

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英文标题：
《General smile asymptotics with bounded maturity》
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作者：
Francesco Caravenna, Jacopo Corbetta
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We provide explicit conditions on the distribution of risk-neutral log-returns which yield sharp asymptotic estimates on the implied volatility smile. We allow for a variety of asymptotic regimes, including both small maturity (with arbitrary strike) and extreme strike (with arbitrary bounded maturity), extending previous work of Benaim and Friz [Math. Finance 19 (2009), 1-12]. We present applications to popular models, including Carr-Wu finite moment logstable model, Merton\'s jump diffusion model and Heston\'s model.
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中文摘要：
我们给出了风险中性对数收益分布的显式条件，从而得出隐含波动率的精确渐近估计。我们考虑了各种渐近机制，包括小成熟度（任意走向）和极端成熟度（任意有界走向），扩展了Benaim和Friz之前的工作[Math.Finance 19（2009），1-12]。我们介绍了常用模型的应用，包括Carr-Wu有限矩对数稳定模型、Merton跳扩散模型和Heston模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：Applications distribution Quantitative Differential Application

具有有界成熟度的一般微笑渐近性Francesco CARAVENNA和JACOPO CORBETTAAbstract。我们给出了风险中性对数收益分布的显式条件，从而得出隐含波动率的精确渐近估计。我们考虑了各种渐近机制，包括小成熟度（任意走向）和极端成熟度（任意有界走向），扩展了Benaimand Friz[BF09]以前的工作。我们介绍了流行模型的应用，包括Carr Wu Fi Fi-emment对数稳定模型、Merton跳跃扩散模型和Heston模型。1.简介欧式期权的价格通常用Black&Scholes隐含波动率σimp（κ，t）表示（其中κ表示对数履约，t表示到期日），参见[G11]。由于给定模型的精确公式通常遥不可及，因此有一条或多条活跃的线或研究致力于寻找σimp（κ，t）的渐近展开式，这在许多方面都很有用，例如用于快速校准模型的一些参数。σimp（κ，t）的显式渐近公式还允许理解参数如何影响波动率表面的关键特征，例如其斜率，以及对于给定模型实际可以获得的可能形状。让我们提到著名的Lee矩公式[L04]和最近的结果[BF08、BF09、T09、G10、FF12、MT12、GL14、FJ09、RR09、GMZ14]。一个关键问题是将隐含波动率明确地与风险中性对数收益率Xt的分布联系起来，因为后者可以对许多模型进行计算或估计。Benaim和Friz[BF09]的结果特别有吸引力，因为它们直接将σimp（κ，t）的渐近行为与尾部概率Ft（κ）：=P（Xt>κ），Ft联系起来(-κ） ：=P（Xt）≤ -κ) .

（1.1）其结果，仅限于极端打击κ的特殊机制→ ±∞ 当执行自然度t>0时，基于规则变化的关键概念，这在没有人考虑单个随机变量Xt时是合适的（因为t是固定的）。这就排除了许多有趣的机制，尤其是大量研究的小成熟度t→ 0，具有固定的走向κ。在本文中，我们提供了[BF09]的一个实质性扩展：我们对Ft（κ），Ft（κ）上的规则变化假设进行了适当的推广，结合适当的矩条件，得出了σimp（κ，t）在基本上任何小成熟度和/或极端走向（有界成熟度）情况下的渐近行为。因此，我们提供了一种统一的方法，其中包括极端打击κ政权作为特例→ ±∞ 固定到期日t>0，小到期日t→ 0，具有固定的走向κ。κ和t同时变化的混合状态也是允许的。这种灵活性产生了平面开放区域内波动表面σimp（κ，t）的渐近公式。日期：2022.2010年4月18日数学科目分类。小学：91G20；中学：91B25，60G44。关键词和短语。隐含波动率，渐近性，波动率微笑，尾部概率。2 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAIn第3节我们通过对流行模型的应用来说明我们的结果，如Carr-Wu有限矩对数稳定模型和Merton跳跃扩散模型。我们还讨论了赫斯顿的模型，参见§3.3。在另一篇论文[CC15]中，我们考虑了[ACDP12]中介绍的随机波动率模型，该模型展示了多尺度矩。我们分析的关键点是明确地将尾部概率Ft（κ）、Ft（κ）的渐近行为与看涨期权和看跌期权价格c（κ，t）、p（κ，t）联系起来（参见定理2.3、2.4和2.7）。

事实上，一旦c（κ，t），p（κ，t）的渐近性已知，隐含的波动率σimp（κ，t）的行为就可以用一种独立于模型的方式来推导，正如最近所展示的那样[GL14]。我们在§2.4（见定理2.9）中总结了他们的结果，其中我们还对一个特殊制度进行了扩展，该制度在他们的分析中被忽略了（参见[MT12]）。论文结构如下：在第2节中，我们设置了一些符号，并陈述了我们的主要结果在第3节中，我们将我们的结果应用于一些流行的模型在第4节中，我们证明了定理2.9，将期权价格与隐含波动率联系起来在第5节中，我们证明了我们的主要结果（定理2.3、定理2.4和定理2.7）最后，附录a.2给出了一些技术要点。主要结果2。1.环境。我们考虑一般随机过程（Xt）t≥0表示资产的对数价格，标准化为X:=0。我们在风险中性度量下工作，即（假设零利率）价格过程（St:=eXt）t≥0是一个鞅。欧式看涨期权和看跌期权，到期日t>0，对数走向κ∈ R、 价格分别为C（κ，t）=E[（eXt- eκ）+]，p（κ，t）=e[（eκ）- eXt）+]，（2.1）和通过调用-输出奇偶关系连接：c（κ，t）- p（κ，t）=1-eκ。（2.2）如[GL14]中所述，在我们的结果中，我们沿着（κ，t）值的任意族（或“路径”）取极限。这包括两个序列（（κn，tn））n∈Nand曲线（（κs，ts））s∈[0,∞), 因此我们省略了下标。在不丧失普遍性的情况下，我们假设所有的κ都有相同的符号（只需分别考虑具有正κ和负κ的亚家族）。为了简化符号，我们只考虑正族κ≥ 0，并给出κ和-κ.我们主要关注的是（κ，t）的值族，即→ ∞ 有界的，有界的→ 0与任意κ≥ 0 . （2.3）只要这一点成立，就有（见§A.1）c（κ，t）→ 0，p(-κ、 （t）→ 0 .

（2.4）我们强调，（2.3）收集了许多有趣的机制，即：（a）κ→ ∞ 和t→\'t∈ (0, ∞) （特别是固定t=`t>0的情况）；（b） κ→ ∞ 和t→ 0;（c） t→ 0和κ→ κ ∈ (0, ∞) （尤其是固定κ=’κ>0的情况）；（d） t→ 0和κ→ 值得注意的是，虽然制度（d）需要单独处理，但制度（a）-（b）-（c）将立即进行分析，作为“κ有界远离零”的特殊情况。有界成熟度的一般微笑渐近3备注2.1。我们在（2.3）中强调了有界成熟度t的要求。我们的一些论据可以被改编来处理→ ∞, 但还需要额外的工作（例如，我们假设一些指数矩E[E（1+η）Xt]的有界性，参见下面的（2.9）-（2.10），如果t有界，大多数模型都能满足这一点，但如果t有界，则不能满足这一点→ ∞). 我们参考[T09，JKM13]了解t区的结果→ ∞.给定一个模型（Xt）t∈[0,∞), 隐含波动率σimp（κ，t）定义为波动率参数σ的值∈ [0, ∞) Black&Scholes公式中插入的参数使给定的看涨期权有效，并将价格c（κ，t）和p（κ，t）放入（2.1）中（见下文§4.2-§4.3）。为了避免琐事，我们关注（κ，t）的族，使得c（κ，t）>0和p(-κ、 t）>0（事实上，如果c（κ，t）=0，注意σimp（κ，t）=0，同样，σimp(-κ、 p=0如果t=0(-κ、 t=0）。符号在整篇论文中，我们写f（κ，t）~ g（κ，t）表示f（κ，t）/g（κ，t）→ 1.让我们回顾一个有用的标准装置（子序列参数）：证明一个渐近关系，例如f（κ，t）~ g（κ，t），它必须表明，从每个子序列中，一个人可以提取一个子序列，沿着该子序列，给定的关系成立。因此，在屋顶中，我们可能总是假设所有感兴趣的量都有一个（可能是有限的）极限，例如κ→ κ ∈ [0, ∞] 和t→\'t∈ [0, ∞), 因为这在合适的子序列上是正确的。2.2. 主要结果：非典型偏差。

我们首先关注的是（κ，t）家族，比如FT（κ）→ 分别为0。英尺(-κ) → 0，（2.5）我们称之为非典型偏差的制度。这是文献中研究最多的最有趣的案例，因为它包括第2页描述的（a）、（b）和（c）机制，以及κ提供的（d）机制→ 0非常慢。当κ→ ∞ 在固定t>0的情况下，Benaim和Friz[BF09]需要尾部概率的规则变化，即存在α>0和缓慢变化的函数+Lt（·），如对数Ft（κ）~ -Lt（κ）κα，分别为。对数英尺(-κ) ~ -Lt（κ）κα。（2.6）当t允许变化时，如何推广（2.6）是不明显的，即在Lt（κ）上引入哪些条件。然而，只要limκ的存在，就可以重新表述（2.6）中的第一个关系→∞根据[BGT89，定理1.4.1]，对于任何固定%>0的情况，以及（2.6）中的第二个关系，log Ft（%k）/log Ft（k）。这一重新表述（其中未提及Lt（κ）！）事实证明，在我们考虑的一般情况下，当t允许变化时，这是一个正确的条件。因此，我们得出以下结论：假设2.2（尾部概率的规则衰减）。κ>0，t>0满足度（2.5）的（κ，t）值族，以及每%∈ [1, ∞) [0]中存在以下限制：+∞]:I+（%）：=limlog-Ft（%κ）log-Ft（κ），分别为。我-（%）：=limlog Ft(-%κ） 对数英尺(-κ） ，（2.7），其中限值沿（κ，t）的给定值族取值。Moreollim%↓1I+（%）分别为1。林%↓1I-(%) = 1 . （2.8）根据κ的状态，我们还需要下列力矩条件之一给定η∈ (0, ∞), 第一时刻的条件为：im sup E[E（1+η）Xt]<∞, （2.9）+如果limx→∞L（%x）/L（x）=1表示所有%>0.4的FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAalong（κ，t）的给定值族。

当t≤ T，要求e[e（1+η）XT]<∞, （2.10）因为（e（1+η）Xt）t≥0是一个子鞅，因此E[E（1+η）Xt]≤ E[E（1+η）XT]。o给定η∈ (0, ∞), 第二个时刻的条件是提取- 1κ1+η< ∞, （2.11）沿着给定的（κ，t）值族。注意，对于η=1，这将简化为C∈ (0, ∞) : E[e2Xt]≤ 1+Cκ。（2.12）我们已经准备好陈述我们的主要结果，这些结果用尾部概率明确地表达了期权价格和隐含波动率的渐近行为。由于不同的假设，我们首先考虑右尾渐近性。定理2.3（右尾非典型偏差）。考虑κt>0的概率（κt>0，κt>0）。（i） [κ远离零，t远离单位（lim-infκ>0，lim-sup t<∞)]让力矩条件（2.9）在每η>0时保持不变，或者仅在某些η>0时保持不变，但另外假设i+（）≥ % , % ≥ 1.（2.13）然后记录c（κ，t）~ 对数Ft（κ）+κ，（2.14）σimp（κ，t）~s-对数Ft（κ）κ-s-对数Ft（κ）κ- 1.r2κt.（2.15）特例：如果-对数Ft（κ）/κ→ ∞, 假设（2.13）可放宽至100%→∞I+（%）=∞, （2.16）和关系（2.14）-（2.15）简化tolog c（κ，t）~ 对数Ft（κ），（2.17）σimp（κ，t）~κq2t(-log-Ft（κ））。（2.18）（ii）[κ和t消失（κ→ 0，t→ （0）]让力矩条件（2.11）在每η>0时保持不变，或者只在某些η>0时保持不变，但另外假设（2.16）。然后记录c（κ，t）/κ~ 对数Ft（κ），（2.19）σimp（κ，t）~κq2t(-log-Ft（κ））。（2.20）接下来我们转向左尾渐近。这种情况下的假设比右尾假设更敏感。

例如，左尾条件E[E-ηXT]<∞ requiredin[BF09，定理1.2]是不需要的，它允许处理多项式解左尾的情况，如第3节中描述的Carr-Wu模型。有界成熟度的一般微笑渐近定理5定理2.4（左尾非典型偏差）。考虑一组κ>0，t>0的（κ，t）值，假设2.2满足左尾概率Ft(-κ).o [κ远离零，t远离单位（lim-infκ>0，lim-sup t<∞)]没有力矩条件，也没有额外的假设-（·），一个搭扣(-κ、 （t）~ 对数英尺(-κ) - κ，（2.21）σimp(-κ、 （t）~R-对数英尺(-κ)κ+ 1 -R-对数英尺(-κ)κ!r2κt.（2.22）特例：如果-对数英尺(-κ)/κ → ∞, 关系式（2.21）-（2.22）简化了tolog p(-κ、 （t）~ 对数英尺(-κ） ，（2.23）σimp(-κ、 （t）~κp2t(-对数英尺(-κ)). （2.24）o[κ和t消失（κ→ 0，t→ 0）]让力矩条件（2.11）在每η>0时保持不变，或者只在某些η>0时保持不变，但另外假设lim%↑∞我-(%) = ∞. （2.25）然后记录p(-κ、 t）/κ~ 对数英尺(-κ） ，（2.26）σimp(-κ、 （t）~κp2t(-对数英尺(-κ)). （2.27）我们证明了下面§5.1中的定理2.3和2.4。关键的一步是将期权价格sc（κ，t），p（κ，t）与尾部概率Ft（κ，t）联系起来(-κ） ，利用假设2.2。一旦完成，隐含波动率σimp（κ，t）的渐近行为可以使用[GL14]的独立于模型的结果来推导，我们在§2.4中进行了总结。备注2.5。“特殊情况”条件-对数Ft（κ）κ→ ∞, 响应。-对数英尺(-κ)κ→ ∞, （2.28）在小到期制度下自动填充→ 0，固定走向κ=°κ>0。在这种情况下，可以使用简化公式（2.17）-（2.18）和（2.23）-（2.24）。主要结果：典型偏差。接下来我们关注的是当t→ 0和κ→ 0足够快，因此尾部概率Ft（κ），分别为。

英尺(-κ） 具有严格的正极限，并且违反了条件（2.5）。我们称这种制度为典型的偏差。这包括固定κ=0和t的基本机制↓ 0.当κ→ 0和t→ 同时，0也很有趣，例如，在有钱（κ=0）和没钱（κ6=0）的情况下进行插值，这两种情况可能会有显著的不同，因为→ 0（见[MT12]）。我们做出以下自然假设。假设2.6（小时间尺度）。有一个正函数（γt）t>0，具有limt↓0γt=0，使得Xt/γt在定律中收敛为t↓ 0到某个随机变量Y:Xtγtd--→T↓0Y。（2.29）6 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAWe参考下面的备注2.8，了解验证假设2.6的具体方法。让我们强调（2.29）是尾部概率的一个条件，因为它可以被重新表示为ft（aγt）→ P（Y>a）和Ft(-aγ（t）→ P（Y）≤ -a） （2.30）对于所有a≥ P（|Y |=a）=0时为0。如果Y定律的支持从上到下都是无界的（通常是这样），那么（2.30）中的极限对于每个a都是严格正的≥ 0.在这种情况下，合适的力矩条件是（2.11），κ=γt，即。η>0:lim supt→0E提取- 1γt1+η< ∞. （2.31）最后，我们介绍一些符号。分别用φ（·）和Φ（·）表示标准高斯分布的密度和分布函数（见下文（4.1），并定义函数d（z）：=φ（z）z- Φ(-z） ,，z>0。（2.32）正如我们在下面的§4.1中所示，D是一个平滑且严格递减的双射，∞) 到（0，∞). 它的反比是D-1: (0, ∞) → (0, ∞) 也很平稳，严格来说是下降的，令人满意-1（y）~p2(-log y）as y↓ 0，D-1（y）~√2πyas y↑ ∞. （2.33）我们最终可以陈述以下结果，将期权价格和隐含波动率与典型偏差制度下的所有概率联系起来。定理2.7（典型偏差）。

假设假设假设2.6已满足，且力矩条件（2.31）更为成立。然后（2.29）中的随机变量满足E[Y]=0。修理∈ [0, ∞) P（Y>a）>0时，分别为。P（Y<-a） >0。对于任何（κ，t）家族→ 0和κt→ A.∈ [0, ∞) ,期权价格的渐近行为由C（κ，t）给出~ γtE[（Y- a） +]，分别为。p(-κ、 （t）~ γtE[（Y+a）-] , （2.34）相应地，隐含波动率由σimp（±κ，t）给出~ C±（a）γt√t、 带C±（a）=公元-1.E[（Ya） ±]a如果a>0，√2πE[Y±]如果a=0。（2.35）备注2.8。假设2.6在已知Xt的特征函数时很容易检验，因为根据Lévy连续性定理，分布中的收敛（2.29）等价于点态收敛E[eiuXt/γt]→ E[eiuY]对于每一个u∈ R.我们将在第3.1小节（卡尔-吴模型）和第3.2小节（默顿模型）中看到具体的例子。另一个有趣的例子是差异。假设Xt=log St，其中（St）t≥0根据随机微分方程（dSt）演变=√VtStdWtS=1，（2.36），其中W=（Wt）t≥0是布朗运动，V=（Vt）t≥0是一个正适应过程，代表波动性，可能与W相关。在温和的假设下→0Vt=σa.s.，其中σ∈ (0, ∞) 是一个常数，可以证明假设2.6适用于γt=√t和Y~ N（0，σ），见附录A.2。有界成熟度的一般微笑渐近性~ N（0，σ）转化为（2.35）得到C±（a）≡ σ（见附录A.2）。因此，如果力矩条件（2.31）成立，我们可以应用定理2.7，得到σimp（±κ，t）~ 沿任意抛物线κ的σ~ A.√t、 这一结果与Pagliarani和Pascucci[PP15]的最新研究结果一致，他们超越了一阶渐近性。定理2.7的证明见下文§5.2。