马尔可夫定价算子的正特征函数：

这进一步导致了相应的风险中性概率的识别，在此概率下，所有资产价格都是鞅，当与无风险资产（货币市场账户）在瞬时无风险利率下的收益利息相关时。由于短期利率建模方法在金融工程中的重要性，在第5节中，我们从一个给定的风险中性度量Q开始，该度量Q控制马尔科夫过程X的风险中性动态和一个给定的短期利率函数r（X），并研究由给定的对（X，r）定义的定价算子d的递归特征函数的存在性。特别是，当X在风险中性测度下与给定的短速率函数一起被指定时，我们提供了递归特征函数存在的三个不同的充分条件：对于具有对偶和Hilbert-Schmidt半群的Hunt过程，对于（有限或有限）区间上的一维差分，第一个结果基于Jentzsch定理，它是L空间中积分算子的PerronFrobenius定理的对应物，并遵循了Zhang等人（2014）最近关于拟平稳性和q uasi能性的工作。第二个结果基于奇异Sturm-Liouville理论（尤其是Sturm解的振动）对一维微分的应用（参见Linetsky（2004a），Linetsky（2008））。第三个结果基于Pinsky（1995）的正和声函数和微分理论。在Manigensh-Schente模型中，我们给出了在Manigensh-Schente模型的参数独立性假设下，Manigensh-Schente模型的显式回归系数和回归系数。这些模型包括各种一维扩散模型、多维和定量扩散模型，以及带有跳跃的CIR模型。

我们的例子表明，除了假设的唯一性外，递归假设还排除了不稳定的经济动态，例如无风险利率渐进地趋于完整或零下限陷阱，不可能逃脱。这本书包含证据、附加技术资料和进一步的例子。2马尔可夫定价核：特征证券、Hansen Scheinkman因子分解和Ross Recovery我们模型中所有经济不确定性的随机驱动因素是保守的Borel-right过程（BRP）X=(Ohm, F，（Ft）t≥0，（Xt）t≥0，（Px）x∈E） 。BRP是一个连续时间、时间齐次的马尔可夫过程，取值于s度量空间的Borel子集E（因此E配备了Borel-sigma代数E；读者可以将E视为欧氏间隔的Borel子集），具有正确的连续路径和强马尔可夫性（即扩展到s顶部时间的马尔可夫性）。概率测度px控制进程（Xt）t的行为≥0从x开始∈ E在时间零点。如果过程从概率分布u开始，则相应的度量值表示为Pu。关于ω的一个表述∈ Ohm 如果Px对所有x几乎肯定是真的，那么P几乎肯定是真的吗∈ E.信息过滤（Ft）≥在我们的模型中，0是由X生成的过滤，对于X的所有初始分布u，它是完全连续的，因此满足了随机演算的通常假设。电子伴侣中的附录A给出了精确的定义。假设X是保守的，这意味着Px（Xt∈ E） 对于每个初始x=1∈ E和所有t≥ 0（该过程不会在限定时间内退出状态空间E，即没有死亡或爆炸）。我们选择Borel-right过程作为我们研究的马尔可夫过程，是因为C,inlar等人的工作。

（1980年）（另见Sharpe（1988）第六章），他开发了右过程上定义的半鞅的随机计算。在处理马尔可夫过程时，我们有一系列概率测度（Px）x∈由初始状态x确定∈ lar等人（1980）中的E.C,表明，可以建立定义在正确过程上的半鞅的随机演算，从而使所有关键性质同时适用于所有起点x∈ E，在f法中，对于X的所有初始分布u，尤其是（Ft）t≥0-适应过程S是一个同时适用于所有x的Px半鞅（局部鞅，鞅）∈ 实际上，对于所有Pu，其中u是（X）的初始分布。在这一节中，我们只是简单地写了P，实际上，我们是在处理m测度（Px）x族∈相应地，我们认为一个过程是一个P-半鞅（局部鞅，鞅），这意味着它是一个Px半鞅（局部m artin鞅，m artin鞅）∈ E.在Borel-right过程的这种普遍性中工作的优点是，我们可以用离散状态空间（马尔可夫链）处理过程，在整个欧几里德空间或具有边界和某些边界行为的域中处理差异，以及在整个欧几里德空间或具有边界的域中处理纯跳跃和跳跃差异过程，所有这些都是以统一的方式处理的。我们假设一个无摩擦、无套利的经济体具有正（（Ft）t≥0，P）-半鞅定价核（PK）（St）t≥0（关于PKs的调查，见杜菲（2002）、汉森（2013）、汉森和勒诺·lt（2009）、汉森和舍因克曼（2009）以及罗杰斯（1998）。假设2.1。本文研究了PK（St）t≥假设0是BRP X的严格正半鞅乘法泛函，即。

St+s（ω）=St（ω）Ss（θt（ω）），其中θs：Ohm → Ohm 是移位算子，Xs（θt（ω））=Xt+s（ω），s被归一化，因此s=1，其左极限的过程也被假定为严格正的，s-> 0和EPx[St]<∞ f表示所有t>0和所有x∈ E.轮班操作员的定义和讨论见E-companion中的附录A。定价核的乘法性质保证了时间均匀马尔可夫环境下定价的时间一致性。也就是说，在假设2.1下，在时间t时支付f（Xt）的时间s价格≥ s≥ 0 isEP[（St/Ss）f（Xt）|Fs]=EPXs[St-sf（Xt）-s） ]=Pt-sf（Xs），其中我们使用了X的马尔可夫性质和时间齐性以及S的乘法性质，并引入了一系列定价算子（Pt）t≥0由公式（1.1）给出，其中EPxdenotest是关于Px的期望值。定价算子ptt将时间t的支付函数f映射为其时间零点的价格（现值）函数，作为初始状态X=X的函数，并享有半群性质PtPt=Pt+s。定价算子集合（Pt）t≥0被称为pr半群。在时间t支付一个账户单位的Arrow Debreu证券的时间-0价格≥ 如果状态XT在Borel集合B中，则为0∈ 除此之外，没有什么是Pt（x，B）=（PtB）（x）。我们把这种状态空间上的度量称为Arrow-Debreu（AD）状态价格度量。定价运算符根据AD状态价格度量表示为：Ptf（x）=REf（y）Pt（x，dy）。因此，由时间t索引的AD度量是pricingoperators的内核。在假设2.1下，所有期限的零息债券的价格都是有限的，P（x，t）：=Pt（x，E）=EPx[St]<∞ 对于所有t>0和x∈ E.假设定价算子具有正特征函数π，即。

π（x）是一个严格正的、有限的函数，0<π（x）<∞ 为了所有的x∈ E、 因此，方程式（1.2）适用于所有t≥ 0和x∈ E和一些实λ。Hansen和Scheinkman（2009）的主要观察结果是，PK允许乘法因子分解（1.3）。我们也将PK的eige nfactorization称为（1.3）。Hansen和Scheinkman（2009）使用鞅Mπ定义了一个新的概率测度Qπ| Ft=MπtP | ftp，在每个Ft上局部等价于P。我们称Qπ为特征测度。我们注意到在BRPs的设置中，Mπ是Px鞅f或每个x∈ E、 对于每个x，Qπxis局部等价于px∈ E、 事实上，对于每个初始分布。在πx上，我们在πx（π）依赖于πx（πx）的条件下读取πx。（2.1）现在考虑在固定时间T>0时支付λTπ（XT）/π（X）的证券。由于π是定价算子的本征函数，对于任何t，该证券的时间t价格为eλtπ（Xt）/π（X）≤ T继Davydov and d Linetsky（2003）之后，我们将此类证券称为特征证券。在这里，我们将他们的支付标准化，以便他们在时间零点的价格等于一个账户单位。表示byET，π=（ET，πt）t∈[0，T]与本征函数π相关的本征安全性的价格（值）过程，并在T>0时支付。如果ET，π和ET，π是两个本征证券，它们与相同的本征函数相关，但在不同的时间和T支付，那么它们的价格过程在T上是一致的∧T.因此，我们可以考虑价格过程EπT=EλTπ（Xt）/π（X）的完整生存本征安全性，我们现在在符号中省略了对成熟度的依赖。它可以被理解为在遥远的未来支付的本征安全。

对于每一个固定的T>0，我们也要考虑一种交易策略，即在时间零点投资T-到期特征证券。在时间t，它将收益滚动到时间2T到期的本征证券的新投资中。在时间2T，它将收益滚动到到期日为3T的特征证券中，等等。很容易看出，特征证券中每种交易策略的价值过程与完整存在的特征证券Eπt=Eλtπ（Xt）/π（X）的价值过程一致，且与t无关。本征证券由Davydov和Linetsky（2003）介绍。在那篇论文中，假设一个算子是一个在适当定义的支付空间中的自伴随算子，作者考虑了不一定非负支付的本征证券，并将其作为通过谱理论对其他具有Lpayo fff的证券进行本征函数展开的基础。在本文中，我们关注的是具有严格正收益的本征证券，不假设任何结构，并使用正本征证券定义本征测度。本征因子分解（1.3）可以用St=（1/Eπt）Mπt的形式重新编写，其中第一个因子按持有渐近长到期本征证券的收益率贴现，而第二个因子是编码进一步风险的鞅。在Qπ下，定价运算符为：Ptf（x）：=e-λtπ（x）EQπxf（Xt）π（Xt）= 等式πxf（Xt）Eπt. （2.2）因此，本征证券作为相应本征测度Qπ下的计价资产。我们现在考虑一种特殊的马尔可夫PKs su b类。定义2.1。（与转移无关的定价核）如果存在严格正的有限Borel函数π和实常数λ，则PK称为与转移无关，PK的形式为：St=e-λtπ（X）π（Xt）。

（2.3）根据前面的讨论，π是PricingoOperator Pt的正本征函数，本征值为e-λt.Fu r更进一步，在一个具有独立定价核心的经济体中，本征证券Eπt作为P下的计价资产，即St=1/Eπt、Mπt=1和P=Qπ。然后我们也立即得到以下结果。提议2.1。在一个具有（2.3）形式的过渡独立PK的经济体中，与相同的特征函数π相关的特征安全性Eπ是增长最优的，即它具有较高的预期对数收益。证据考虑资产或自定价投资组合的价值过程Vt，使V=1，使StVt=Vt/Eπ为P-鞅。根据鞅性质，E[Vt/Eπt]=1。根据詹森不等式，E[log（Vt/Eπt）]≤ loge[Vt/Eπt]=0，这立即意味着E[log（Vt）]≤ E[log（Eπt）]对于所有t，即本征安全性具有最高的预期日志返回。将消费过程Ct=C（Xt）视为马尔可夫状态函数的代表性代理，以及代表性代理的冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数U和常数贴现率λ的模型给出了转移独立定价核（2.3）St=e的典型例子-λtU′（C（Xt））/U′（C（X）），π（X）=1/U′（C（X））。Continides的SAINTS模型（1992）显然是文献中第一个通过直接指定独立于过渡形式（2.3）的pricingkernel来构建连续时间马尔可夫资产定价模型的实例。Con Continides（1992）认为X是Rn+1中的马尔科夫过程，其中n个坐标指定为Ornstein-Uhlenbeck微分，一个坐标指定为1D布朗运动。

然后，他明确地计算债券价格，并推导出短期利率rt=r（Xt）的过程，结果表明，该过程在n OU因子中是二次的。Rogers（1997）对这一应用程序进行了一次意义深远的推广，通过直接将定价核指定为某个函数π的正超鞅（实际上是一个势），在一个辅助概率测度下，它可以与特征测度Qπ识别（Flesaker和Hughston（1996）的方法），从而显式构造资产定价模型密切相关；参见Jin和Glasserman（2001），了解与Heath Jarrowmoton方法的联系和支持的平衡模型）。Rogers（1997）的工作是马尔可夫定价核的特征因式分解和恢复工作的重要保证，这是本文的重点。罗杰斯假定PK在某种概率测度下是独立于跃迁的形式，而没有将其与物理测度区分开来。因此，他的假设可以被视为Hansen-Scheinkman特征因式分解的前光标，Ross的恢复是当PK具有过渡依赖性的概率度量与物理度量一致时的特殊情况。Hansen和Scheinkman（2009）从一个一般的正半鞅乘法函数定价核开始，考虑了当定价核具有正半鞅乘法函数时的因式分解（1.3）。一般来说，它们的定价核不是超鞅，也不允许将因子分解为折扣因子e的乘积-Rtr（Xs）DSR具有一些非负的运动速率函数r（x）和一个正鞅，如Rogers（1997）所述。

他们的框架包括允许短期利率为负的模型，以及不存在短期利率的模型（此类模型包括无风险资产（储蓄账户）存在可预测的价格变化过程，但并非绝对连续的情况，以及不存在无风险资产且存在可预测的价格变化过程的模型），而罗杰斯的框架特别关注具有非负短期利率的模型。一般来说，PK可能具有多个正本征函数。假设π和π是两个不同的正本征函数，其各自的本征值为λ和λ。然后，相应的鞅Mπit，i=1，2可用于定义本征测度Qπ和Qπ，局部等价于模型中的这种情况，模型中的主体在原点处的消费具有有限的边际效用；参见Karatzas等人（1991年）和D¨oberlein等人（2000年）。P、 局部等价：Qπx | Ft=e（λ-λ） 每个x的tπ（Xt）π（x）π（Xt）π（x）Qπx | Ft（2.4）∈ E.Hansen和Scheinkman（2009）（命题7.2）的结果是，虽然可能存在多个正本征函数，但至多存在一个正本征函数π，使得X在相应的本征测度π下具有一定的随机稳定性（遍历性）（我们将在下一节详细讨论）。Hans-en（2012）、Hansen和Scheinkman（2012a）、Boroviˇcka和Hansen（2014）以及Hansen和Scheinkman（2014）广泛应用了与该特征函数对应的定价核的因式分解，从而导致X和er Qπ的遍历动力学。现在我们来看罗斯（2015）的恢复定理。与Rogers（1997）和Hansen及Scheinkman（2009）相比，Ross（2015）假设PK在物理概率测度p下具有独立的过渡形式（2.3）。

根据本节前面的讨论，Ross的假设意味着Hansen和Scheinkman的因式分解（1.3）中的Mπt=1，对于定价核的某些正特征函数π，P=Qπ，因此，相应的geigen证券eπ是增长最优的（根据P位置2.1）。在转移独立的结构假设下，当X是离散时间、不可约的马尔可夫链时，Ross证明，如果状态价格已知，则存在一个与这些状态价格兼容的唯一物理概率测度，使得PK的形式为（2.3），并且可以从状态价格的知识中显式恢复。Ross的存在唯一性证明依赖于不可约非负矩阵的Perron-Frobenius定理。更详细地说，罗斯的恢复问题是从给定的状态价格恢复X的物理转移概率。假设给出了AD状态的价格测度Pt（x，B），在Ross的假设下，定价是独立于转移的形式（2.3），因此π是定价算子的正本征函数，只要正本征函数是唯一的（直到一个总的常数乘法因子），Ross的恢复成功，通过将物理测度下的物理跃迁算子Ptof X与（2.1）给出的本征测度Qπ下的跃迁算子Qπtof X等价，恢复了X的物理跃迁算子。在Ross的具有有限状态空间的马尔可夫链设置中，链的ir可约性是一个关键分类，它通过不可约非负矩阵的Perron-Frobenius定理证明了正特征向量的唯一性。虽然存在BRP的ir可约性概念（见e-companion中的附录B），但它不足以确定一般状态空间的唯一性。