保证最低支取的可变年金估值，以及

，N，（3）式中，dtn=tn- tn-1、ZN是独立同分布的标准正态随机变量，α是保险公司收取的年费。如果财富账户余额变为零或负，那么它将保持为零直到到期。对于过程（2），W（t+n）的跃迁密度-1） 到W（t）-n） 是对数正态密度，即ln W（t+n-1） 来自正态分布，平均值为W（t-n） +（rn）- α -σn）dt和方差σndtn.o担保账户。用A（0）=W（0）表示担保账户在t时的价值，用A（t）表示提款前在t时的账户价值-n） 退出后作为A（t+n）。担保账户演变为asA（t+n）=A（t-n）- γn=A（t+n）-1) - γn，n=1，2，N（4），其中A（T+）=0，W（0）=A（0）≥ γ+··+γ与α（t+n）-1) ≥PNk=nγk.担保账户在（tn）内保持不变-1，tn），即A（t+n-1） =A（t）-n） 。一些真正的产品包括“升级”安排，这将增加担保账户余额A（t-n） 致max（A（t）-n） ，W（t）-n） ）在周年纪念日，即在投资业绩良好的情况下。为了简单起见，我们没有明确考虑这一特性，但将其纳入本文提出的算法并不困难处罚投保人在tn，n收到的现金流∈ {1，…，N}如果有效性由cn（γN）=（γN，如果0）给出≤ γ ≤ Gn，Gn+（1）- β） （γn）- Gn），如果γn>Gn，（5）其中GNI为合同提款金额。也就是说，如果提款γ超过合同金额Gn，即β，则适用罚金∈ [0，1]是对高于Gn的提款部分的处罚。为了防止超出Gn的过度提款，一些合同可能包括担保级别A（t+n）=min（A（t）的重置条款-n） ，W（t）-n） )-γnifγn>Gn。我们没有明确考虑这一点，但将这一特点纳入本文提出的定价算法并不是问题死亡过程。

表示投保人死亡时间，一个随机变量，如τ，条件死亡概率qn=Pr[tn-1< τ ≤ tn |τ>tn-1].假设死亡时间τ和资产过程S（t）是独立的。tis的政策制定者年龄需要从生命表中找出这些概率。我们假设这些概率是已知的，为了简化符号，我们在公式中没有明确使用投保人年龄变量。在我们的数字示例中，我们假设男性和女性投保人的年龄为60岁，并使用当前的澳大利亚生活表，见表6。考虑由离散随机变量在t，t。在=1，如果投保人在tn时活着，0，如果投保人在tn期间死亡-1，tn]，-1，如果投保人之前死亡，即τ≤ tn-1，（6）从-1在田纳西州-1不符合概率规定[In=1 | In]-1= 1] = 1 - qn；Pr[In=1 | In-1= 0] = 0; Pr[In=1 | In-1= -1] = 0;Pr[In=0 | In-1=1]=qn；Pr[In=0 | In-1= 0] = 0; Pr[In=0 | In-1= -1] = 0;Pr[In=-1 |英寸-1= 1] = 0; Pr[In=-1 |英寸-1= 0] = 1; Pr[In=-1 |英寸-1= -1] = 1.例如，如果死亡时间介于tand和t之间，那么n=0，1，2。是I={1,1,1,1,0，-1.-1, . . .}. 请注意，该变量不受tn.o死亡福利提取的影响。如果死亡时间τ在合同到期日t之后，则在到期日，投保人在剩余的担保金提取净额和个人账户的剩余余额之间取最大值，即最终支付金额（W（t-), A（T）-)) = 最大值CNA（T）-), W（T）-). （7） 如果死亡时间τ发生在合同到期日T之前或T之时，则死亡时间切片td（第一时间切片大于或等于τ）产生的收益即为死亡收益PD（W（T-d） ，A（t）-d） ）。

我们认为DB0、DB1和DB2三种类型的死亡受益如下：-d） ，A（t）-d） )=最大值A（t）-d） ，W（t）-d）, 死亡福利DB0，W（0），死亡福利DB1，最大W（0），W（t）-d）, 死亡的益处。（8） 在上述情况下，初始溢价W（0）有时会根据通货膨胀进行调整，这是一个微不足道的扩展。在一些政策中，死亡福利可能会在某个年龄段发生变化，例如，在75岁时，DB2 o rDB1可能会变为DB0（有效地使死亡福利担保在特定年龄段到期）。如果死亡福利到期对应于转换为标准G MWB，那么可以通过在死亡福利到期后将死亡概率Q0设置为零，直到合同到期支付。给定退出策略γ=（γ，…，γN），年金合同总支付额的现值是对应于财富账户W=（W（t），…，的状态变量的函数，担保账户A=（A（t），A（tN））和死亡状态I=（I，…，IN）。将退出前的状态向量a ttime tn表示为Xn=（W（t-n） ，A（t）-n） ，In）和X=（X，…，XN）。然后年金支付（X，γ）=B0，NhN（XN）+N-1Xn=1B0，nfn（Xn，γn），（9），其中hn（Xn）=PT（W（T-), A（T）-))1{IN=1}+PD（W（T-), A（T）-))1{IN=0}（10）是合同到期时的现金流，fn（Xn，γn）=Cn（γn）1{IN=1}+PD（W（t-n） ，A（t）-n） 1{In=0}（11）是时间tn的现金流。这里，如果{·}中的条件为真，则1{·}是指标函数等于1，否则为零，Bi，jis是tjto tiBi的贴现因子，j=exp-Ztjtir（t）dt= expjXn=i+1rndtn！，tj>。（12） oGMWDB静态外壳。鉴于上述假设和定义，给定静态策略下的年金价格γ，γ，γnca可按q（W（0），A（0），I=1）=EXt[H（X，γ）]，（13）计算，其中EXt[·]表示在时间t可用信息的条件下对过程X的期望。

在静态策略的情况下，A是确定性的，而我们的期望是关于W和I过程的GMWDB动态案例。在最优动态策略下，最优价格isQ（W（0），a（0），I=1）=supγEXt[H（X，γ）]，（14），其中γn=γn（Xn）是状态变量Xnat时间tn的函数，即对于Xn的不同实现，可以不同。注意，在这种情况下，通过γ中的随机性，过程是随机的GMWB案件。如果死亡概率设置为零，q=·qN=0，即（9）中给出的GMWDB支付H（X，γ）中的hN（XN）和fn（XN，γn）简化为hN（XN）=PT（W（T），则标准GMWB合同对应于GMWDB的上述支付-), A（T）-)) fn（Xn，γn）=Cn（γn）。然后，静态和动态GMWB价格分别由（13）和（14）给出，其中预期是针对W过程计算的。2.2最优随机控制问题的求解鉴于状态变量X=（X，…，XN）是马尔可夫过程，很容易认识到，最优提取策略（14）下的年金估值是马尔可夫过程的最优随机控制问题，可以递归求解tn，n=n的丰度值Qtn（X）- 1.0通过反向感应qtn（x）=sup0≤γn≤A（t）-n）fn（Xn，γn（Xn））+Bn，n+1ZQtn+1（x′）Ktn（dx′|x，γn）（15） 从最终条件QT（x）=hN（x）开始。在这里，Ktn（dx′|x，γn）是表示在时间tn+1达到dx′状态的随机概率，如果在时间tn的状态x中应用了退出（行动）γ。关于金融中的随机控制问题的良好教科书处理，请参见B¨auerle&Rieder（2011）。明确地说，这种反向递归可以重写为qt+n（W，A，In）=Bn，n+1EXn+1tnhQt-n+1W（t）-n+1），A（t-n+1），In+1|W、 A，Ini，Qt-n（W，A；In）=max0≤γn≤A.Cn（γn）1{In=1}+PD（W，A）1{In=0}+Qt+n（（W- γn，0），A- γn，In）对于n=n- 1，N- 2.

，0从tN=TQt的到期条件开始-NW（t）-N） ，A（t）-N） ，在= PT（W（T）-), A（T）-))1{IN=1}+PD（W（T-), A（T）-))1{IN=0}，（16）为了清楚起见，我们表示Qt-n（·）和Qt+n（·）分别是退出前和退出后时间tN的年金值。对死亡变量In+1进行期望，并使用Qt+n（W，A，In=0）=Qt+n（W，A，In=-1） =Qt-n（W，A；In=-1） =0和qt-n（W（t）-n） ，A（t）-n） ，In=0）=PD（W（t-n） ，A（t）-n） 它简化了递归方程sqt+n（W，A，In=1）=（1）- qn）Bn，n+1EXn+1tnhQt-n+1W（t）-n+1），A（t-n+1），In+1=1|W、 A，In=1i+qnBn，n+1EXn+1tnPD（W（t）-n+1），A（t-n+1）| W，A，In=1（17） 有跳跃条件-n（W，A；In=1）=max0≤γn≤A.Cn（γn）+Qt+n（（W）- γn，0），A- γn，In=1）, （18） 和成熟度-NW（t）-N） ，A（t）-N） ，IN=1= PT（W（T）-), A（T）-)). （19） 注意，（17）中的期望值与W（t）有关-n+1）只因为A（t+n）=A（t-n+1）.2.3动态GMWDB上下估计器对于（14）给出的动态GMWDB价格qt（·），可以构造许多下估计器。特别是，任何静态（确定性）策略都会产生公式（13）给出的较低估计量。在第4节中，我们将使用其中一个较低的Imator。动态GMWDB（14）的一个可能的上估值器可以通过计算死亡时间（即死亡时间的完美预测）条件下的GMWDB来找到。为了更容易理解和便于注释，我们不在下面讨论死亡过程，而是考虑相应的死亡时间随机变量τ，并将Td设为第一次退出时间等于或超过τ，andeN=min（d，N）（如果τ>T，则不损失一般性集d=N+1）。为了避免混淆，我们用V（·；td）表示这个以τ为条件的GMWDB。

以τ为条件（即以td为条件），由v（W（0），A（0）给出；td）=最大γ，。。。，γ-eN-1EWtB0，eNeh（十）+Enh-1Xn=1B0，nCn（γn）, （20）eh（十）=PT（W（t）-N） ，A（t）-N） ）1{τ>T}+PD（W（T-d） ，A（t）-d） ）1{τ≤T}，其中EWt[·]是关于财富过程W（tn）的期望，n=0，1，N.可以使用反向递归vt+N（W，A；td）=e来求解-rn（总氮+1）-tn）EW（t）-n+1）tnhVt-n+1W（t）-n+1），A（t-n+1）；td|W、 A；tdi，Vt-n（W，A；td）=max0≤γn≤A.Cn（γn）+Vt+n（（W）- γn，0），A- γn；（运输署）n=eN- 1，嗯- 2.0从成熟状态ateN开始=最小（d，N）Vt-ENW（t）-嗯，A（t）-嗯）；td=呃（十）。（21）那么关于死亡时间的期望给定sq（u）（W（0），A（0），I=1）=Eτt[V（W（0），A（0）；td）]=Pr[τ>t]V（W（0），A（0）；tN+1）+NXn=1Pr[tN-1< τ ≤ tn]V（W（0），A（0）；tn）。（22）注释tV（W（0），A（0）；tN+1）对应于GMWB标准（即合同到期时GMWDB死亡条件）。还要注意的是，死亡概率iespn=Pr[tn-1< τ ≤ tn]不同于条件死亡概率qn=Pr[tn-1<τ ≤ tn |τ>tn-1] 在死亡过程中（6）；pn和qnar都很容易从生命表或死亡过程模型中找到。Q（u）（·）是由（14）给出的dynamicGMWDB Qt（·）的上估计量，因为它基于对每个死亡过程的死亡时间进行完美预测的最优策略。形式上，Q（u）（W（0），A（0），I=1）=EτtsupγEWt[H（X，γ（W，A））|τ]≥ supγEτ，Wt[H（X，γ（X））]=Q（W（0），A（0），I=1）。（23）3数值算法在文献中，只有通过使用Dai等人（2008）和Chen&Forsyth（2008）提出的有限差分法求解一维偏微分方程，才能成功地解决具有离散最优取款的GMWB定价的最优随机控制问题。

由于投保人影响基础财富账户路径的动态行为，基于模拟的方法（如最小二乘蒙特卡罗方法）无法应用于此类问题。最近，罗和舍甫琴科（2 014b）考虑了一种不需要解偏微分方程或模拟路径的替代方法。新方法依赖于通过应用于三次样条插值的高阶Gauss-Hermite积分求积，在取款日期之间的向后时间步中计算预期的期权值。本文采用这种方法计算GMWDB。3.1数值求积为了评估GMWDB可变年金合同的预期价格，即为了计算Q（W（0），A（0），i=1），我们必须评估（17）中的预期。假设W（t）的条件概率密度-n） 给定W（t+n）-1） 被称为pn（w | w（t+n-1） ，在过程（2）的情况下，它只是对数正态密度，（17）可以计算为qt+n-1.W（t+n）-1） ，A，I=1= Bn-1，新西兰+∞~pn（w | w（t+n）-1） 方程n（w）dw，（24），其中方程n（w）=Bn-1，n(1 - qn）Qt-n（w，A，I=1）+qnPD（w，A）.我们使用高斯-埃尔米特求积来评估有限域上的上述积分。所需的连续函数Qt（w，·）将通过w空间中离散网格上的尖点样条插值来近似。财富账户域离散化为Wmin=W<W，WM=Wmax，其中Wmin和Wmax分别是下边界和上边界。对于pricingGMWDB，由于在每个提取日期W的最终减少，我们必须考虑W变为零的可能性，因此下限Wmin=0。设定的上限与时间零点W（0）时的现货资产值相差很远。这种边界的一个好选择是Wmax=W（0）exp（5σT）。我们的想法是，从成熟度t开始，通过积分（24），在所有这些网格点的每一个时间步tn处找到年金价值-N=T-.

在每个时间步，我们通过高精度数值求积计算每个网格点的积分（24）f。t=t时的年金价值-仅在网格点Wm，m=0，1，M.为了从离散点的值近似连续函数Qt（w，·），我们使用自然三次样条插值，该插值在导数上光滑，在二阶导数上连续；二阶导数为零的外推区域。退出日期之间的W（t）过程是（2）中给出的一个简单过程，即W（t）的条件密度-n） 给定W（t+n）-1） 来自对数正态分布。为了在有限域上应用高斯-厄米特数值积分，我们引入了一个新的变量y（tn）=lnW（t）-n） /W（t+n）-1)- （注册护士）- α -σn）dtnσn√dtn，（2 5）并表示此转换后的函数eqn（w）aseQ（y）n（y）。然后积分变成sqt+n-1.W（t+n）-1） ，A，In=1=√2πZ+∞-∞E-yeQ（y）n（y）dy.（26）对于任意函数f（x），高斯-厄米特求积是z+∞-∞E-xf（x）dx≈qXj=1λ（q）jf（ξ（q）j），（27），其中q是埃尔米特多项式的阶数，ξ（q）i，i=1，2，q是厄米多项式Hq（x）的根，相关权重λ（n）由λ（q）i=q给出-1q！√πq[Hq]-1（ξ（q）i）]。应用变量x=y的变化/√2，利用高斯-厄米特求积（26），我们得到qt+n-1.W（t+n）-1） ，A，In=1≈√πqXi=1λ（q）ieQ（y）n(√2σnpdtnξ（n）j）。（28）如果我们将变量（25）和高斯-厄米特求积（26）的变化应用于每个网格点Wm，m=0，1，M、 即设W（t+n）-1） =Wm，则选项值为t=t+n-1对于所有网格点，可通过（28）进行评估。

如果W（t+n）的传递度函数-1） 到W（t）-n） 不以封闭形式已知，但可以确定时刻，然后也可以通过匹配时刻进行整合，如洛舍甫琴科（2014a，b）所述。3.2跳跃条件应用A（t）的任何变化仅在退出日期发生。在提取金额后，年金账户从W（t）减少-n） 到W（t+n）=最大值（W（t-n）-γn，0），保证平衡从A（t）下降-n） toa（t+n）=A（t-n）- γn.qt（W，A，In=1）在tn上的跳跃条件由qt给出-n（W，A，In=1）=max0≤γn≤A[Qt+n（最大值（W- γn，0），A- γn，In=1）+C（γn）]。（29）对于最优策略，我们选择了限制条件0下的γ值≤ γn≤ A最大化函数值Qt-n（W，A，In=1）In（29）。为了应用跳转条件，引入了一个辅助有限网格0=A<A<···<AJ=W（0）来跟踪剩余的保证余额A，其中J是保证余额坐标中的节点总数。对于每个Aj，我们将（28）中的连续解与三次样条插值关联起来。我们可以通过仅允许担保余额等于其中一个网格点0=A<A<···<AJ=W（0），来限制可能的离散取款金额的数量。这意味着，对于给定的平衡，时间t-n、 提取量γ取j个可能值：γ=Aj-Ak，k=1，2，j和跳跃条件（29）采用以下形式qt-n（Wm，Aj，In=1）=max1≤K≤j[Qt+n（最大值（Wm- Aj+Ak，0），Ak，In=1）+C（Aj- Ak）。（30）对于最优策略，我们选择了1的值≤ K≤ 最大化Qt-n（Wm，Aj，In=1）In（30）。虽然跳跃量γ=Aj-Ak，k=1，2。

，j独立于时间tn和帐户值Wm，值Qt+n（max（Wm-Aj+Ak，0），Ak，In=1）取决于所有变量（Wm，Aj，tn）和泵量。值得指出的是，在理性投保人行为下，GHQC算法hm对GMWB或GMWDB定价的良好效率部分是由于在数值积分（24）和跳跃条件（30）的应用中使用了相同的三次样条插值。与基于偏微分方程的有限差分方法相比，这种数值算法的一个明显优点是，由于已知（24）中有限时间段内的过渡密度，因此所需的时间步数要少得多。有限差分法要求将两个连续提款日期之间的时间段划分为较短的时间步，以获得良好的精度，因为它与偏导数的有限差分近似。3.3死亡概率给定生命表，如表6，估算（6）和（22）中要求的死亡概率qn和pn很简单。生命表列出了每一性别存活到确切年龄的人数，从10万人开始，到0岁，超过100岁。表示在k岁时仍然活着的人数，如列表L（k），k=0，1，K.表示保单持有人在合同开始时（即t=0时）的年龄为K.以估计条件死亡概率qn=pr[tn-1< τ ≤ tn |τ>tn-1] pn=Pr[tn-1< τ ≤ tn |τ>t]，我们只需要知道t=tn时活着的人数-1和t=tn。因为在生命表中，人数L（k）仅以整数k给出，所以我们使用线性插值法估计任意时间t内活着的人数L（k+t），即假设一年内死亡时间的均匀分布。当然，也可以进行更细致的交流。