保证最低支取的可变年金估值，以及

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Valuation of Variable Annuities with Guaranteed Minimum Withdrawal and
  Death Benefits via Stochastic Control Optimization》
---
作者：
Xiaolin Luo and Pavel V. Shevchenko
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  In this paper we present a numerical valuation of variable annuities with combined Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit (GMWB) and Guaranteed Minimum Death Benefit (GMDB) under optimal policyholder behaviour solved as an optimal stochastic control problem. This product simultaneously deals with financial risk, mortality risk and human behaviour. We assume that market is complete in financial risk and mortality risk is completely diversified by selling enough policies and thus the annuity price can be expressed as appropriate expectation. The computing engine employed to solve the optimal stochastic control problem is based on a robust and efficient Gauss-Hermite quadrature method with cubic spline. We present results for three different types of death benefit and show that, under the optimal policyholder behaviour, adding the premium for the death benefit on top of the GMWB can be problematic for contracts with long maturities if the continuous fee structure is kept, which is ordinarily assumed for a GMWB contract. In fact for some long maturities it can be shown that the fee cannot be charged as any proportion of the account value -- there is no solution to match the initial premium with the fair annuity price. On the other hand, the extra fee due to adding the death benefit can be charged upfront or in periodic instalment of fixed amount, and it is cheaper than buying a separate life insurance.
---
中文摘要：
在本文中，我们提出了一个在最优投保人行为下，结合保证最低提取福利（GMWB）和保证最低死亡福利（GMDB）的可变年金的数值估值，并将其作为一个最优随机控制问题来解决。该产品同时处理财务风险、死亡风险和人类行为。我们假设金融风险的市场是完全的，通过卖出足够的保单，死亡风险是完全多样化的，因此年金价格可以表示为适当的预期。用于求解最优随机控制问题的计算引擎基于一种鲁棒有效的三次样条高斯-厄米特求积方法。我们给出了三种不同类型的身故保险金的结果，并表明，在最佳投保人行为下，如果保持连续的费用结构，在GMWB合同中通常假设的连续费用结构，则在GMWB的基础上增加身故保险金可能会有问题。事实上，对于一些长期到期的债券，可以证明不能按账户价值的任何比例收取费用——没有办法将初始保费与公平年金价格相匹配。另一方面，由于增加死亡抚恤金而产生的额外费用可以预先收取，也可以定期分期支付，而且比购买单独的人寿保险更便宜。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
--> Valuation_of_Variable_Annuities_with_Guaranteed_Minimum_Withdrawal_and_Death_Ben.pdf (397.29 KB)

2022-5-7 04:05:17 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Optimization Quantitative SIMULTANEOUS Applications Computation

通过随机控制优化，对保证最低提取和死亡福利的可变年金进行估值，*和Pavel V.Shevchenkoraft，2014年11月20日第1版，该版本由澳大利亚联邦科学与工业研究组织于2015年2月10日发布；电子邮件：小林。Luo@csiro.auThe澳大利亚联邦科学和工业研究组织；电子邮件：帕维尔。Shevchenko@csiro.au*相应的作者摘要本文提出了在非最优随机控制问题下，在最优投保人行为下，结合保证最低支取福利（GMWB）和保证最低死亡福利（GMDB）对可变年金进行数值评估。该产品同时处理财务风险、死亡风险和人类行为。我们假设市场的财务风险是完全的，而死亡风险是完全由保单销售分散的，因此年金价格可以根据预期进行适当调整。用于求解最优随机控制问题的计算引擎基于一种鲁棒有效的三次样条高斯-厄米特四次方方法。我们给出了三种不同类型的死亡福利的结果，并表明，在最佳投保人行为下，如果保持连续的费用结构，在GMWB合同中通常使用的是，在GMWB合同的基础上增加死亡福利的溢价，这对于长期合同来说可能是有问题的。事实上，对于一些长期年金来说，费用不能按账户价值的任何比例收取——没有办法将初始保费与公平年金价格相匹配。

另一方面，由于增加死亡抚恤金而产生的额外费用可以预先收取，也可以定期分期支付，而且比购买单独的人寿保险更便宜。关键词：可变年金、最优随机控制、保证最低支取金额、保证最低死亡福利、死亡风险1简介可变年金是一种与基金挂钩的保险合同，包括保单账户价值的各种财务选项；参见史密斯（1982）和沃尔登（1985）。关于可变年金产品的主要特征及其市场发展的最新描述，请参见Ledlie et al.（2008）和？。变量收益的主要特征由各种可能的担保表示，简单地说就是GMxB——担保最低“x”收益，其中“x”代表累计（a）、死亡（D）、收入（I）或提取（W）。所有的GMXB都为投保人的账户提供保护：积累阶段的GMAB和早逝时的GMDB，退休后的GMIB和GMWB，尤其是在长寿的情况下。在这项研究中，我们将重点放在保证最低退出福利（GMWB）与保证最低死亡福利（GMDB）的结合上，总体上称为GMWDB。与GMWB签订的可变年金合同承诺，无论投资组合表现如何，在保单有效期内，通过现金提取以及剩余的账户余额，返还全部初始投资。因此，即使保单持有人的账户在到期前降至零，GMWB功能仍将继续提供担保现金流。GMWB允许投保人在合同利率以下或以合同利率提取资金，无需支付罚金，而在合同利率以上则需支付一定罚金。

如果投保人的行为是被动的，并且在合同开始时预先确定了每个提款日期的提款金额，那么投保人的行为称为静态。在这种情况下，可以模拟账户的路径，并且可以使用标准的蒙特卡罗模拟方法对GMWB进行定价，尽管在低维问题中，偏微分方程（PDE）或积分方法更有效。另一方面，如果投保人在每个退保日期以最佳方式决定退保金额，那么投保人的行为称为动态。GMWB的国家保单持有人将始终选择最佳的提款策略，以最大化持有GMWB产生的现金流的现值。在投保人的最优退出策略下，带有GMWB的可变年金的定价成为一个最优随机控制问题。有大量关于动态规划的文献来处理一般的最优随机控制问题，对于教科书的处理，参见Powell（2011）；B–auerle&Rieder（2011）。这个问题无法通过基于模拟的方法解决，例如Longsta off&Schwartz（2001）中引入的众所周知的最小二乘蒙特卡罗方法，因为基本变量的路径在到期之前的所有支付日期都会被最优提款金额改变，因此无法模拟。Milevsky&Salisbury（20 06）、Bauer et al.（2008）、Dai et al.（2008）、Chen&Forsyth（2008）、Ba cinello et al.（2011）和Luo&Shevchenko（2014b）等都考虑了具有G MWB特征的可变年金。如果是具有最低死亡保障福利的可变年金合同，如果被保险人在延期期间死亡，则该福利将获得死亡保障。当引入可变年金时，一种非常简单的死亡福利形式在市场上占主导地位。

自20世纪90年代中期以来，保险公司开始提供各种死亡福利设计。死亡抚恤金的基本形式是所谓的“保费死亡抚恤金回报”。在这里，死亡时的经常账户价值和单一财产的最大值被支付。一般来说，给定一个致命模型或生命表，GMDB的评估是简单的——标准蒙特卡罗方法可以解决这类问题，通常可以得到封闭形式的解决方案。GMWB的定价更加复杂，在动态（最优）投保人行为下更具挑战性。Milevsky&Salisbury（2006）开发了多种GMWB产品定价方法。在他们的静态方法中，GMWB产品被分解为一个Quanto Asian看跌期权加上一个通用术语“特定年金”。在他们的动态方法中，他们假设保单持有人可以在最佳时间终止（放弃）合同，这导致了一个类似于美式看跌期权定价的最优停止问题。鲍尔等人。（2008）提出了多重担保可变年金的估值框架。在他们的动态方法中，战略在每个付款日都包含许多可能的提款金额。他们开发了一种多维离散化方法，将Black-Scholes PDEis转化为一维热方程，并通过简单的分段求和和和网格上的线性插值获得准解析解。不幸的是，Bauer et al.（2008）中考虑的数值公式有四个维度，在最优保单持有人策略下，即使是GMWB合同的单一价格计算也非常昂贵。

他们在论文中提到，在标准台式电脑上花费15到40个小时才能获得单一价格，动态情况下没有显示结果；此外，他们在死亡福利和动态GMWB情况下的方法似乎与价格的上限估计值相对应（即对应于下一节中的公式（22））。Dai e t al。（2008）开发了一种有效的有限差分算法，使用惩罚近似来解决动态取款策略下连续取款模型的奇异随机控制问题。他们还为更现实的离散提取公式开发了有限差分算法。Chen&Forsyth（2008）提出了在最优投保人行为下用GMWB对可变年金进行定价的脉冲随机控制公式，并开发了一个数值方案，用于求解连续提款模型的Hamilton-Jacobi-Bellman变分不等式以及离散提款合同的定价。在Bacinello e t al.（2011）中，静态估值是通过普通蒙特卡罗方法进行的，而混合估值是通过最小二乘蒙特卡罗方法进行的，其中投保人是“半活跃”的，并且可以在GMWB合同有效期内的任何时间决定放弃合同。最近，我们开发了一个非常有效的新算法，用于在静态和动态投保人行为下用GMWB对可变年金进行定价，解决了一个等价的随机控制问题；见罗和舍甫琴科（2014b）。这里“动态”的定义与Bauer等人使用的定义相似。（2008），戴等人（2008）和陈和福赛斯（2008），即。

保单持有人可以决定在每个付款日提取的最佳金额（基于该日期的可用信息），以最大化持有GMWB可变年金产生的现金流的预期贴现价值。hm算法既不是基于有限差分法求解偏微分方程，也不是基于蒙特卡罗模拟法。它依赖于通过应用于三次样条插值（简称GHQC）的hGauss-Hermite积分求积，在取款日期之间的反向时间步中计算预期期权值。Luo&Shevchenko（2014b）证明，在最优投保人行为下对GMWB进行定价时，GHQC算法可以达到与有限差分法类似的精度，但速度明显更快，因为它所需的时间步数更少。当标的资产在提款日期或其时刻之间的转移密度以封闭形式已知，且所需期望值为一维积分时，可采用该方法。它还被成功地用于定价美国、亚洲、屏障等异国情调的选项；见罗和舍甫琴科（2014a）。到目前为止，在文献中，GMWB和GMD B主要被视为两个独立的合同，并且隐含地假设GMWB合同的投保人将始终生活在到期日之后，或者总有人在合同的整个期限内做出最佳撤回决定。事实上，老年保单持有人可能在到期日之前死亡，尤其是对于长期到期的合同。例如，根据澳大利亚生命表表6，60岁的男性在85岁之前死亡的概率超过57%。因此，对于一名60岁的男性来说，签订了一份25年到期的GMWB合同；产品设计和价格当然应该考虑合同期间的死亡概率。

一些可变年资产品可能在死亡福利担保到期，例如70岁或75岁。在本文中，我们将定价GMWDB（GMWB与GMDB相结合）描述为一个随机控制问题，其中在每个提款日期，投保人根据该日期可用的信息来最优地决定提款金额。需要注意的是，对给定死亡时间（即，有条件知道死亡时间）的动态GMWDB进行定价，然后根据死亡概率对可能的死亡时间进行平均，这将导致比动态GMWDB更高的价格，动态GMWDB的决策基于撤回日期的可用信息（这将在下一节中讨论）。我们首先扩展标准GMWB，以允许因运输风险而终止合同，并在死亡时返还剩余担保提款金额和投资组合账户价值的最大值。此外，还考虑了两种类型的额外死亡福利：支付初始保险费或在死亡时支付初始保险费和港口对开账户价值的最大值。我们最近在Luo&Shevchenko（2014b）开发的DGHQC算法使我们能够对GMWDB的评估进行全面的数值研究。在下一节中，我们将描述在通常的GMWB特性之上具有额外死亡益处的GMWDB产品，并概述潜在的随机模型和相应的最优随机控制问题。第三节介绍了在静态和动态投保人行为下GMWDB定价的数值方法和算法。在第4节中，我们给出了一系列合同条件下GMWDB公平费用的数值结果。对于最优保单持有人策略下的GMWDB，在额外死亡福利的情况下，交易费用结构的不足被揭示出来。

该费用不能按账户价值的任何比例收取——没有办法将初始保费与公平年金价格相匹配。通过一个例子解释了这一不足之处，该例子表明，如果死亡抚恤金支付给理性的投保人（至少支付初始保费），那么对于一些长期到期的保单，为什么没有公平费用的解决方案。另一方面，如果收取固定的预付费或定期分期付款，则向GMWB增加人寿保险的额外费用比持有单独的人寿保险要便宜。结论：第5.2节给出了模型和随机控制公式，该公式适用于具有保证最低提取福利和死亡福利的可变年金合同（GMWDB），承诺在保单有效期内通过现金提取，再加上合同到期时的剩余账户余额，来返还全部初始投资，而不考虑保单执行情况。此外，如果投保人在合同到期前或到期时死亡，则死亡抚恤金将支付给这些抚恤金。Weassume（学术研究文献中关于定价变量的常见假设），即市场是完全的金融风险，并且通过出售足够的保单，可完全转移风险，因此年金价格可以表示为对天空资产的适当（风险中性）概率测度的预期。下面，我们概述了合同设置、模型假设和最优随机控制方法的解决方案。2.1假设和GMWDB合同细节假设年金保单持有人可以在nat timest，T=。预付的溢价投资于风险资产S（t）。将时间t对应的健康账户的值表示为w（t），即upfr ont premiumis w（0）。

GMWB是通过取款返还保费的保证≥ 0允许在时间tn，n=1，2，N.让Nw表示一年的取款次数（例如，每月取款Nw=12），然后取款总数N= Nw×T, 其中N= ·  表示浮点数的上限。取款不能超过担保余额，取款可以不同于合同（担保）取款金额Gn=W（0）（tn）- tn-1） /T，如果γn>Gn，则进行处罚。也可将年度合同费率表示为g=1/T。考虑以下年金合同细节和模型a假设风险资产流程。设S（t）表示在时间t，遵循风险中性过程ds（t）=r（t）S（t）dt+σ（t）S（t）dB（t），（1）其中B（t）是标准的维纳过程，r（t）是无风险利率，σ（t）是波动性时，作为可变年金政策基础的资产（共同基金指数等）的参考组合的价值。此后，我们假设模型参数是时间离散化0=t<t<···<tN=t的分段恒定时间函数，其中t=0是今天，t是年金合同到期日。表示相应的资产价值S（t），S（tN）和风险，即利息率和波动率，r和σ，σ。也就是说，σ是（t，t）的波动率；σ是（t，t）等的波动率，同样是利率的波动率。o财富账户。为清晰起见，将提款前时间tn的财富账户价值表示为W（t）-n） 退出后为W（t+n）。然后，对于riskyasset过程（1），财富账户W（t）的价值演变为W（t）-n） =W（t+n）-1） S（tn）-1） S（tn）e-αdtn=W（t+n）-1） e（注册护士）-α-σn）dtn+σn√dtnzn，（2）W（t+n）=最大值W（t）-n）- γn，0, n=1，2。