保证最低支取的可变年金估值，以及

那么，对于k≤ t+k≤ k+1，L（k+t）按L（k+t）=（k+1）计算- T- k） ×L（k）+（t+k）- k） ×L（k+1）。获得了L（k+tn）-1） 和L（k+tn），使用上述公式（注tn-1和tn不一定在同一年内），有条件死亡概率估计为qn=Pr[tn-1< τ ≤ tn |τ>tn-1] ≈L（k+tn）-1) - L（k+tn）L（k+tn）-1） ，pn=Pr[tn-1< τ ≤ tn |τ>t]≈L（k+tn）-1) - L（k+tn）L（k+t）。（31）代替生命表的是随机模型，例如经常使用的基准Lee-Carter模型（？）使用随机过程（通常考虑系统性死亡风险）预测死亡率也可用于估计死亡概率Qn和pn。3.4总体算法描述从t=t的最终条件开始-（就在最后退出之前），使用（24）的反向时间步进给出时间t=t+N的解-1.将条件（29）应用于t=t+N的溶液-我们得到t=t时的解-N-1从中进一步向后时间步进给出了t=t+N的解-2等，直到t。数值算法采取以下关键步骤算法3.1（GMWDB定价）o步骤1。生成一个辅助有限网格0=A<A<···<AJ=W（0），以跟踪担保账户A.o步骤2。将财富和空间离散化为W，W，WM是一个计算网格（24）。o第三步。在t=tN=t时，在每个节点点（Wm，Aj），j=1，2，…，应用最终条件，J、 m=1，2，我要得到报酬-（W，A，I=1）第四步。评估整合（24）（针对每个Aj）以获得Qt+N-1（W，A，In=1）第五步。应用跳跃条件（29）以获得Qt-N-1（W，A，In=1）对于所有可能的跳跃γ，找到使Qt最大化的跳跃-N-1（W，A，In=1）第六步。对于t=tN，重复步骤4和5-2，田纳西州-3.t、 o第7步。

评估积分（24）从t t到t，从单节点值A=AJ=W（0）到得到解Q（W，AJ，I=1）的反向时间步长，并将值Qt（AJ，AJ，I=1）作为t=t的年金价格。当然，如果合同在开始后的某个时间重新评估，则需要在当时对应于A和W的节点处进行求解。在第4步中，我们使用三次样条高斯-厄米特积分（28）。如果密度在闭合形式下未知，但其矩可用，也可以使用矩匹配进行积分。对于静态情况，不需要步骤1，因为只需要一个解决方案，跳转条件适用于单个解决方案本身。4数值结果在罗和舍甫琴科（2014a）中，GHQC方法在最优提取条件下定价G MWB的准确性和效率得到了很好的证明。从数值角度来看，一旦问题得到正确表述，定价GMWDB（结合GMWB和GMDB功能）使用与定价MWB相同的关键算法组件，例如期望值的数值正交积分和应用跳跃条件的三次样条插值。据我们所知，在最优退出策略下，具有GMWB和GMDB组合特征的可变年金合同的文献中没有可用的数值结果，而在最优退出策略下GMWB的文献中，只有一些非常有限的结果可用，即来自Dai等人的结果。（2008）a and Chen&Forsyth（2008）。为了验证我们对GMWDB的实施，我们做了以下工作：o实施了一种具有相同数学公式和功能的有效有限差分（FD）算法，因此GMWDB的GHQC结果始终可以与FD进行比较对于死亡概率为零的极限情况，即qn=0，n=1。

，N，GMQDB价格应该精确地降低到标准GMWB价格（仍处于最佳退出状态），我们可以将我们的GMWDB结果与文献中的GMWB结果进行比较对于静态撤回情况，GMWDB合同可以通过蒙特卡罗（MC）方法进行评估，因此我们可以使用大量模拟来比较GMWDB和MC的GHQC结果。两种算法的结果非常一致，这两种方法都得到了令人放心的验证。下面我们介绍并讨论GMWDB的数值结果。在我们的数字样本中，我们假设投保人的男性和女性年龄均为60岁，并使用当前澳大利亚寿命表（见表6）来确定相应的死亡概率。4.1动态GMWB的结果在显示GMWDB的数值结果之前，我们首先通过测试零死亡概率的极限情况来验证我们的数值算法。在这种情况下，我们可以将我们的GMWDB结果与GMWB文献中的一些不同结果进行比较。在Chen&Forsyth（2008）中，在仔细进行的收敛性研究中，给出了在σ=0.2和σ=0.3的年度（Nw=1）和半年（Nw=2）退出频率下，g=10%的离散退出模型的公平费用，其他输入参数的值相同（r=5%，β=10%）。表1比较了GHQC（算法3.1）与Chen&Forsyth（2008）的结果。表1中引用的Chen&Forsyth（2008）的值对应于W坐标M=2049个网格点、A坐标J=1601个网格点和时间192 0个步骤处的最新网格和时间步长，而我们的GHQC值是使用M=400获得的，J=100，q=9表示正交点的数量（时间步的数量与退出日期的数量N相同）。

如表1所示，两项数值研究之间公平费率的最大绝对差异仅为0.3个基点，表中四种情况的平均绝对差异小于0.2个基点。由于一个基点为0.01%，平均差异约为每1000美元账户20美分。就相关而言，最大差异小于0.15%，两项研究之间相对差异的平均幅度小于0.08%。Chen&Fo r syth（2008）没有提供CPU数量来计算公平费用。在我们的例子中，表1中的公平费用的每次计算都需要大约5秒的时间，其中包括牛顿迭代求根法。在Luo&Shevchenko（2014b）中，详细的比较表明，在动态GMWBcontract定价方面，G HQC算法明显快于FD，尤其是对于较低的提款频率。我们在这项研究中的所有计算都是使用标准台式电脑（英特尔（R）Core（TM）i5-2400@3.1GHz）进行的。提款频率波动率，σ公平费用，α公平费用，αChen&Forsyth（2008）GHQCyearly 0.2 129.1 129.1半年期0.2 133.5 133.7年期0.3 293.5半年期0.3 302.4 302.7表1:GMWB年金的公平费用α（1bp=0.01%）与最优保单持有人支取（即相当于GMWDB，死亡概率设置为零）。通过GHQC方法获得的结果与Che n&Forsyth（2008）的有限差分结果进行比较。输入参数为g=10%、β=10%和r=5%。4.2 GMWDB的结果不考虑死亡事件的标准GMWB年金假设保单持有人在合同期间仍然活着，或有利于继续提款直至到期。我们将该案例称为无死亡福利的GMWDB；它相当于GMWDB，死亡概率设置为零。

在合同到期前或到期时死亡的情况下，GMWDB联系付款有几个更自然或不自然的考虑因素。我们考虑（8）中总结的死亡福利类型，尽管还有许多其他的修改是可能的。死亡事件的自然合同条件是支付剩余担保账户和财富账户价值（以DB0表示）中的最高金额。另一种选择是在死亡时偿还初始保费（表示为DB1），这类似于定期人寿保险在死亡时支付固定金额的保费（金额可以是通货膨胀等的调整）。另一方面，基本形式的保证最低死亡福利（GMDB）支付的是财富账户价值和保险费的最高金额（以DB2表示）。与DB2签订的GMWDB合同既有GMWB的特性，也有GMDB的特性，但只需要一个额外的功能。所有三种死亡福利都可以添加到静态GMWB或动态GMWB中。GMWDB的以下所有结果均基于根据澳大利亚男性人口生命表计算的死亡概率，表5中使用澳大利亚女性人口生命表的除外；另见表6。我们假设投保人是60岁。4.2.1静态GMWDB表2显示了具有DB0、DB1和DB2死亡益处的GMWDB和标准GMWB（即具有零死亡概率的GMWDB）的静态案例结果。这里我们也展示了DB0情况下的MC和FD结果。MC的模拟次数为2000万次，相应的公平费用计算标准误差在0.2个基点以内。如表2所示，GHQC和MC方法之间公平费用的最大差异为0.2个基点，而在DB0的情况下，GHQ C和FD方法之间的最大差异为0.1个基点。

我们还使用FDM和MC方法计算了DB1和DB2案例，两种方法之间的差异实际上与DB0案例中的差异相同，因此我们不提供这些结果。MCA和GHQ C方法之间的密切一致性是对这两种算法的可靠验证。与结果f或静态G MWB（即死亡概率设置为零的GMWDB）相比，增加DB0死亡福利需要在公平费用中增加不到10个基本点。在DB2死亡福利的情况下，公平费用显著增加。正如预期的那样，DB2在所有到期日的公平费用都高于DB1，差异随着到期日的增加而减小。当g=4%（T=25年）时，DB1的公平费用实际上是负的，这意味着该合同不合适。这一点一开始似乎有些奇怪，但实际上是有道理的：g=4%的提取率低于预期的增长率r=5%，并且在任何死亡时间只退还保费对保单持有人来说都是一种损失，并且只有在保单持有人存活超过到期日时，才可能获得一个可能的ga in，而到期日由于死亡的可能性不足以弥补损失。当g=r=5%时，DB1的公平费用变为正值，但仍低于DB0，甚至低于静态GMWB。Real product design可能会规定死亡福利担保的到期日（例如70岁或75岁），这将降低死亡福利担保本身的成本，并有助于避免表2 f中所示的负费用或长期合同期限t=25年的情况。

如果合同将从DB2或DB1切换到DB0（有效地使死亡福利在特定年龄到期），则可以通过本文中描述的相同算法处理，并调整死亡福利函数（8）。如果死亡抚恤金到期对应于转换为标准GMWB，则可通过将死亡抚恤金到期至合同到期后的死亡概率Q0设置为零来处理。合同利率到期日GHQC GHQC FD MC GHQC GHQCg T=1/g无死亡DB0 DB0 DB0 DB1 DB24%25 17.69 25.53 25.49 25.72-59.89 90.435%20 28.33 35.24 35.21 35.34 23.91 99.256%16.67 40.33 46.70 46.69 46.74 64.48 111.17%14.29 53.31 59.32 59.29 59.25%12.50 66.99 72.73 72.68 72.59.116.3 140.29%11.81.23.86.86.101.15.15%6.67 171.9 176.7 176.6 176.9 249.5 256.1表2:GMWDB的bp（1bp=0.01%）公平费用α（DB0、DB1和DB2死亡福利）在静态情况下，季度退出频率（Nw=4）作为年度合同费率的函数。g“无死亡”对应于GMWB（即死亡概率设置为零的GMWDB）。其他参数为r=5%和σ=20%。4.2.2动态GMWDB表3显示了动态GMWDB的结果，其中DB0、DB1和DB2死亡效益以及使用GHQC方法计算的动态GMWB。这里我们也给出了DB0情况下的FDM方法结果。GHQC和FDQC方法之间的费用差异最大为0.4个基点，发生在最短到期日，其费用最大。相对而言，这不到0.2%。对于其他情况，两种方法之间的差异相似，即非常小，我们仅显示使用GHQC方法计算的结果。与GMWB的结果相比，向动态GMWB中添加DB0死亡福利只需要在公平费用中增加最多10个基本点，与静态情况类似。

从表中很容易看出，添加DB1或DB2死亡收益（至少返回初始溢价）会显著改变这种情况。在g=15%的最短成熟度下，具有DB1或DB2死亡的GMWDB的公平费用比GMWB的价值高出一倍多。此外，随着成熟度的增加，公平费用迅速增加，而在本文中迄今为止的所有其他情况下，公平费用是成熟度的递减函数。公平费用的增长如此之快，以至于g公司不存在公平费用的解决方案≤ 7%（即T=1/g时）≥ 14.29）对于DB1或B2，这意味着即使收取100%的费用也不足以覆盖风险。表中的最后一列是公平费用的上限，对应于使用等式（22）计算的上限估计器Q（u）（W（0），A（0），I=1），即估计器计算给定死亡时间（在已知死亡时间的条件下）的GMWDB，然后用相应的死亡概率平均可能的死亡时间。图1绘制了带有DB2的GMWDB的f air费用作为合同提款率g的函数，显示了随着合同费率降低或成熟度增加，公平费用的快速增加。在DB1和DB2之间，公平费用的差异非常小，这与静态情况不同，在静态情况下，DB1和DB2之间的公平费用差异很小。图1（虚线）中还显示了表3中公平价格的上限。

费用的上限远高于基于截至退出日期的信息的最优退出策略对应的费用，体现了“了解未来”的价值。合同利率到期日GHQC GHQC FD GHQC GHQC GHQCG T=1/g无死亡DB0 DB0 DB1 DB2*7.7.7.7.7 7.7.9.7.7.7.7.7.7.7.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.9 9 9.9 9 9 9.9 9 9.9 9 9 9.9 9 9.9 9.9.9 N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N 3:DB0的GMWDB中bp（1bp=0.01%）的Fai r费用α，动态情况下的DB1和DB2死亡福利，每季度退出一次（Nw=4）。其他参数为r=5%、σ=20%和β=10%。“无死亡”对应于GMWB（死亡概率设置为零的GMWDB）。最后一篇专栏文章是DB2*, 结果是在方程（22）给出的完美死亡时间预测情况下，基于最优策略的年金上限估计量对应的公平费用。现在，让我们通过考虑以下简单的预先定义的策略（非常好的策略，但不一定是最优的，因此对应于较低的价格估值器），来看看不存在更长期限的解的原因。假设拥有DB2的动态GMWDB的保单持有人在第一个提款日期（如果在第一个时间段内存活）提取所有担保金额a（0），并等待死亡福利的可能收集。然后财富账户W（tn）根据（2）的变化，γ=a（0），γn=1，n=2，N

保单持有人使用上述策略收到的预期支付现值（关于死亡时间τ和财富过程W（tn）的预期）为xt[H（X，γ）]=EWt[B0，Nmax（W（T-), 0）Pr[τ>T]+（1）- p） C（A（0））B0,1+PNi=1pnmax（W（0），W（t）-n） ）B0，ni≥ (1 - p） C（A（0））B0,1+W（0）PNi=1piB0，i≡ Q（L），其中pn=Pr[tn-1<τ<tn]是在第n个付款期内发生的死亡概率，条件是投保人在合同开始时还活着，C（A（0））=G+（W（0）-G） （1）-β） 是指如果保单持有人在第一个付款期内继续执行该策略，则全额提款金额减去罚金，Q（L）表示该简单策略的预期收益下限。上述对战略赔付的估计与保险公司收取的费用无关，因为该费用只影响账户价值，而不影响担保金额，也不影响最低死亡福利。使用相同的策略，上述下限也适用于DB1。图2显示了作为合同费率G函数的下限Q（L）。显然，在g≤ 7和β=1 0%该策略产生的现金流总是大于初始保费，而不考虑所收取的费用，因此解释了为什么不存在针对g的fa ir费用解决方案≤ 7.从质量上讲，GMWDB在退还保费后的最低死亡福利允许长期合同的保单持有人收回几乎所有的初始保费，同时也有很高的概率收取死亡福利。对于上述不存在解决方案的问题，一种补救办法是简单地提高罚款率，以阻止超过合同利率的过度提款。