虚拟物品赌博的多重交互动力学建模

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英文标题：
《Multiple-interaction kinetic modelling of a virtual-item gambling
  economy》
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作者：
Giuseppe Toscani, Andrea Tosin, Mattia Zanella
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In recent years, there has been a proliferation of online gambling sites, which made gambling more accessible with a consequent rise in related problems, such as addiction. Hence, the analysis of the gambling behaviour at both the individual and the aggregate levels has become the object of several investigations. In this paper, resorting to classical methods of the kinetic theory, we describe the behaviour of a multi-agent system of gamblers participating in lottery-type games on a virtual-item gambling market. The comparison with previous, often empirical, results highlights the ability of the kinetic approach to explain how the simple microscopic rules of a gambling-type game produce complex collective trends, which might be difficult to interpret precisely by looking only at the available data.
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中文摘要：
近年来，在线赌博网站激增，使得人们更容易接触到赌博，随之而来的相关问题也随之增多，如上瘾。因此，对个人和总体层面的赌博行为进行分析已成为多项调查的对象。本文借助于经典的动力学理论方法，描述了虚拟物品赌博市场上参与彩票型游戏的赌徒多智能体系统的行为。与以往（通常是实证）结果的比较突出了动力学方法的能力，它可以解释赌博类游戏的简单微观规则如何产生复杂的集体趋势，而仅通过查看现有数据可能难以准确解释。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Adaptation and Self-Organizing Systems        自适应和自组织系统
分类描述：Adaptation, self-organizing systems, statistical physics, fluctuating systems, stochastic processes, interacting particle systems, machine learning
自适应，自组织系统，统计物理，波动系统，随机过程，相互作用粒子系统，机器学习
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Multiple-interaction_kinetic_modelling_of_a_virtual-item_gambling_economy.pdf (923.45 KB)

2022-6-14 12:31:56 上传

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关键词：动力学 Quantitative Contribution QUANTITATIV Engineering

虚拟项目赌博经济的多重相互作用动力学建模*Andrea Tosin+Mattia Zanella摘要近年来，在线赌博网站激增，这使得人们更容易访问赌博网站，从而导致相关问题的增加，如上瘾。因此，对个人和总体层面的赌博行为进行分析已成为多项调查的对象。本文借助经典的动力学理论方法，描述了虚拟物品赌博市场上参与彩票型游戏的赌徒多智能体系统的行为。与以往（通常是实证）结果的比较突出了动力学方法解释赌博类游戏的简单透视规则如何产生复杂的集体趋势的能力，仅通过查看可用数据可能难以准确解释。关键词：多重碰撞Boltzmann型方程、线性化动力学模型、Fokkerplank方程、对数正态分布、伽马分布和反伽马分布。数学学科分类：35Q20、35Q84、82B21、91D10.1简介赌博通常被视为一种复杂的多维活动，由几种不同的动机促成[2]。由于技术的快速发展，在过去十年中，在线赌博的可能性大幅增加，导致相关行为问题同时增多。如【11】所述，在线赌博的结构特征，如速度和可用性，导致得出结论，在线赌博具有很高的潜在附加风险。在线赌博网站惊人增长的一个非次要方面与经济利益有关。

事实上，视频游戏行业的扩张导致了一个新的市场的形成，在这个市场中，赌徒是参与者，已经达到了数十亿美元的水平。这一市场的持续扩张取决于许多公认的原因，包括其容易进入、低进入壁垒和立竿见影的效果。如文献[25]所述，这些相对较新现象的数学建模吸引了当前研究的兴趣，目的是了解赌徒系统的总体行为。在文献[25]中，用统计物理学的方法研究了在线赌徒的行为。特别是，分析的重点是一种流行的虚拟项目赌博，即jackpot，即彩票类型的游戏，它占据了网络赌博市场的很大一部分。正如【25】所指出的，能够在个人和总体层面上模拟复杂的在线赌博行为，正迅速成为青少年赌博预防以及最终虚拟赌博监管的迫切需要。*帕维亚大学数学系“F.Casorati”，Via Ferrata 1，27100 Pavia，Italy（朱塞佩。toscani@unipv.it)+数学科学系“G.L.Lagrange”，Politecnico di Torino，Corso Duca degli Abruzzi 2410129 Torino，Italy（andrea。tosin@polito.it)数学科学系“G.L.Lagrange”，Politecnico di Torino，Corso Duca degli Abruzzi 2410129 Torino，Italy（mattia。zanella@polito.it)[25]中使用的赌博数据集摘自赌博网站的公开历史页面。大量的赌博回合，以及考虑到的时间段（超过七个月），允许进行一致的赌博。数据分析基本上分为两个主要部分。第一部分涉及赌徒活动的行为分布。

在这里，主要的结果是关于单个赌徒所玩回合数的累积分布函数，这被发现最符合非正态分布。文献[25]中分析的第二部分与奖金的分布函数和相关相关性的研究有关。正如在涉及多智能体系统的许多社会经济现象中所发生的一样【16】，人们发现，赢家的最佳拟合曲线是一个具有截断效应的幂律型分布。虽然导致赌徒所玩回合数形成对数正态分布的可能原因在很大程度上尚未探索，但在[25]中，通过使用三种不同的随机游走模型解释了收入幂律分布的形成。正如作者明确指出的那样，他们的目的是深入了解从这些模型中获得的结果所需的成分，这些模型的定性特性与从赌博日志中获得的数据相似。庞大的赌徒数量和明确的游戏规则使我们能够将赌徒系统视为一个特殊的多代理经济系统，其中代理将其个人财富的一部分投资（风险）以显著改善其经济状况。

与交易活动的经典模型不同【16】，在这种赌博经济中，需要特别注意促使人们进行赌博的行为原因，即使存在高风险。通过从这个角度来看jackpot游戏，并借助Boltzmann和Fokker-Planck类型的动力学方程对多智能体系统进行经典建模【16】，我们将能够获得【25】中收集的数据集的详细解释。事实证明，这种方法在许多情况下都很有效，从现代社会知识的形成[9，17]，到在线内容的普及[23]，或描述以偏斜为特征的各种人类活动中形成对数正态分布的原因[8]。我们即将进行的分析将分为两部分。在第一部分中，我们将讨论jackpot赌博的运动学建模，并将特别研究赌徒所玩和赢的彩票的时间分布。我们的建模方法在很大程度上受到了jackpot游戏与所谓的赢家通吃游戏的相似性的启发，如【16】所述。尽管如此，参与游戏的赌徒数量之多、该网站运营的奖金减少了百分之一百，以及连续不断的门票充值，都带来了本质的差异。在第二部分中，我们将讨论与在线赌博相关的行为方面。这是一种可以通过采用偏态分布进行有效描述的现象，因此，可以按照最近论文的思路进行建模。赌博的行为方面及其与其他经济相关现象的关系已在许多论文中进行了讨论，参见[15]及其参考文献。

此外，之前也注意到了偏态对数正态分布的出现。本方法的新颖之处在于，我们在合理的动力学描述的基础上启发了主要的行为方面。回到jackpot游戏的动力学描述，有趣的是，之前已经研究过一些相关的问题。现场切割的存在可以被视为一种耗散，这表明赌徒所玩和赢的彩票分布函数的时间演化可以用一种类似于其他著名耗散动力学模型的方式来描述，例如，恩斯特（Ernst）和布里托（Brito）[6]研究的麦克斯韦（Maxwell）型颗粒气体，或在经济衰退的自相似解决方案中的帕累托尾形成（Pareto tail formation）[20]。然而，本质上的差异仍然存在。与【6，20】中所述的情况不同，在这种情况下，能量损失或平均值损失分别通过适当的变量缩放进行了人工恢复，在本案例中，由于赌徒即使在出现损失的情况下也会持续活动，因此，每次下注的减少百分比会导致赢款平均值的指数增加，因此会随机重新填充。第二个不同之处是，有必要考虑jackpot游戏中的大量参与者。在[25]中，人们推测，游戏规则中出现的稳态分布的形状不会随着参与者数量的增加而改变。因此，这里研究的所有模型都局限于描述一个只有极少数赌徒的游戏中赢款的演变。在这里，我们采用了不同的战略，灵感来自于Bobylev和Windfall引入的模型[3]。

在这篇文章中，研究表明，一个经济体的动力学描述可以通过大量交易主体之间的交易进行适当的线性化，从而得到更简单的描述。因此，在[3]之后，我们将通过引入问题的适当线性化，不断简化jackpot游戏描述，这使得各种显式计算成为可能。与[25]中提出的分析不同，通过对在线jackpot游戏的详细动力学描述，我们得出结论，游戏机制实际上不会导致赌徒所玩和赢彩票的幂律型稳定分布。然而，这种肥尾的形成可能是通过对游戏进行不同的线性化来实现的，虽然这种线性化显然接近于实际的非线性版本，但可以通过数字显示，产生相当不同的趋势。更详细地说，本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了N个赌徒的jackpot游戏的微观模型及其具有多重相互作用的非线性Boltzmann型动力学描述（第2.1节）。接下来，在N large的限制下，我们将N-interactiondynamics替换为一种平均场个体相互作用，这产生了一个线性Boltzmann模型（第2.2节）。我们通过阿福克-普朗克渐近分析研究了线性模型的大时间趋势，这表明在平衡点处不会产生胖尾（第2.3节）。最后，通过在保留分布函数前两个统计矩的基础上对多重相互作用模型进行不同的线性化，我们产生了一个替代动力学模型，其平衡分布确实具有幂律型肥尾（第2.4节）。

然而，我们认为，这样一个新的线性模型并不能提供与原始多重互动模型完全等效的赌博动力学描述，因此，它不能准确描述原始的jackpot游戏。在第3节中，我们讨论了赌徒购买彩票的分配模型，这些彩票是为了参加中奖游戏的失败回合。这项研究补充了之前关于gamblingdynamics的研究，因为它为上述门票的重新充值建模提供了基础。在第4节中，我们通过几个数值实验说明了由多重相互作用动力学模型预测的真实博弈的演变以及各种线性化模型的演变，这些实验证实了前面章节的理论结论。最后，在第5节中，我们总结了工作的主要结果。2 jackpot游戏的动力学模型2.1 Maxwell类型模型我们将要研究的jackpot游戏很容易描述。在给定的时间间隔内（可能持续几秒钟到几分钟），该网站将开启新一轮的游戏，赌徒可以参加。赌徒参与游戏的方式是用一定数量的彩票下注，购买彩票时将一张或几张皮存放在赌博现场。每场比赛只有一张中奖票。当在该回合中作为赌注存入的总票数超过某个阈值时，将提取中奖彩票。退票是基于一个均匀分布的随机数，其范围等于该轮购票总数。持有中奖彩票的赌徒赢得所有赌注，即。

减去现场切割（百分比切割）后，该轮中沉积的蒙皮。与通常的动力学描述一样，我们假设赌徒是无法区分的。这意味着，在任何时候≥ 0，赌徒的状态完全以他们的财富为特征，用数字x表示≥ 0张已拥有的票证。因此，赌徒的微观状态完全由密度或分布函数f=f（x，t）来表征。密度f的精确含义如下所示。给定子域D R+，integralZDf（x，t）dx表示拥有数字x的个体数∈ 时间t的车票数量≥ 假设密度函数归一化为1，即ZR+f（x，t）dx=1，因此f可以理解为概率密度。密度f的时间演变是由于轮次按固定时间间隔进行编程，赌徒在每一轮中不断升级他们的门票数量x。与稀有气体的经典动力学理论类似，我们将数量x的一次升级称为相互作用。该游戏与【16，第5章】中详细描述的赢家通吃游戏有明显的相似之处。主要区别在于参与者人数多，现场切割。事实上，虽然赢家通吃游戏中的微观互动在某种程度上是保守的，但任何一轮的在线jackpot游戏都会导致赌徒失去所获得的价值。让我们考虑N个赌徒 1，参与一系列轮次。最初，赌徒（以k=1，…，N为索引）购买一定数量的彩票，目的是玩一段时间。虽然很明显xk∈ N+，为了避免不必要的困难，并且不丧失通用性，我们将考虑xk∈ R+。

此外，我们可以确定门票的统一价格，以便直接确定门票数量和赌徒拥有的金额。比如说，我们假设每个赌徒只使用他们门票的一小部分参与一轮赌博αkxk，其中0<  1而αk\'s可以是常数或随机系数。在最简单的情况下，即αk=1表示所有k，赌徒在一轮中玩的总票数为PNk=1xk。在固定的时间间隔内t>0时，随机选择一张票证。该票的所有者获得了一笔金额，该金额相当于该轮比赛中播放的总票数的价值，减去该网站运营的固定折扣。让我们用xk（t）表示- 1） 第k个赌徒在下一轮之前持有的奖牌数量。如果δ>0表示现场操作的百分比切割，则在新一轮之后，数量xk（t- 1） 更新toxk（t）=（1- )xk（t- 1) + (1 - δ） NXj=1xj（t- 1） I（A（t- 1) - k） ，k=1，2，N、 （1）In（1），A（t- 1) ∈ {1，…，N}是一个离散的随机变量，给出下一轮获胜者的指数。由于优胜者是通过统一抽取一张已播放的门票来选择的，因此随机变量A（t- 1） 可能具有以下规律：P（A（t- 1） =k）=xk（t- 1） NPj=1xj（t- 1） ，k=1，2，N、 （2）此外，在（1）函数I（N）中，对于N∈ Z、 定义为I（0）=1，I（n）=0n 6=0。由于现场运营的固定切割，门票总数。赌徒手中的金钱在每一轮都会减少，因此，从长远来看，赌徒仍然没有入场券。另一方面，正如最近的分析[25]所注意到的，jackpot网站发布的数据证明这种情况从未发生过。人们可以很容易地确定至少两种解释。