一类非处方药市场稳定状态的存在唯一性

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英文标题：
《Existence and Uniqueness of a Steady State for an OTC Market with
  Several Assets》
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作者：
Alain Belanger, Ndoune Ndoune
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We introduce and study a class of over-the-counter market models specified by systems of Ordinary Differential Equations (ODE\'s), in the spirit of Duffie- G^arleanu-Pedersen [6]. The key innovation is allowing for multiple assets. We show the existence and uniqueness of a steady state for these ODE\'s.
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中文摘要：
本着Duffie-G^arleanu Pedersen[6]的精神，我们介绍并研究了一类由常微分方程组（ODE）指定的场外市场模型。关键的创新是允许使用多种资产。我们证明了这些常微分方程稳态的存在性和唯一性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Existence_and_Uniqueness_of_a_Steady_State_for_an_OTC_Market_with_Several_Assets.pdf (321.28 KB)

2022-5-7 04:37:51 上传

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关键词：稳定状态 非处方药 处方药 唯一性 Mathematical

多资产anOTC市场稳定状态的存在唯一性，*, Ndoun’e Ndoun’eaaFacult’e d’administration，Sherbrooke大学，魁北克大学，J1K2R1，CanadaAbstracts我们本着Du^arleanu Pedersen[6]的精神，介绍并研究了一类由普通微分方程系统（ODE）指定的场外市场模型。关键的创新是允许使用多种资产。我们展示了这些常微分方程稳态的存在性和唯一性。关键词：非线性常微分方程，稳态，市场结构Jel:C30，G101。引言本文讨论了具有任意数量交易集的场外交易（OTC）市场的asteady状态的存在性和唯一性问题。我们在这里研究的市场类型受到杜菲、G^arleanu和佩德森（见[6]和[7]）的广泛城市化和开创性工作的启发。达雷尔·杜菲（Darrell Duffee）最近的专著《黑暗市场》（见[5]）记录了一些为了解场外交易市场动态而进行的建模工作。这是一个活跃的研究领域，但杜菲也指出，与关于中央市场机制的大量文献相比，它仍然不发达。我们的目标是阐明OTC市场中有多种资产的资产定价的基本问题。特别是，我们研究了ODE描述的OTC市场模型，这些模型尚未出现在微分方程文献中。众所周知，在OTC市场上，希望出售的投资者必须寻找买家，这会带来机会和其他成本，直到找到买家为止（例如参见[6]）。对于一种资产的情况，投资者状态的演变可以用四个二次微分方程组来描述，另一个概述见[5]第4章。在他们的原始论文[6]中，作者明确计算了系统的稳态，并直接展示了其唯一性。

在这里，我们研究的是更一般的情况，其中有几个资产*通讯作者：阿兰。A.belanger@usherbrooke.ca，电话819-821-8000 x62368，传真。819-821-7934电子邮件地址：Ndune。ndoune@usherbrooke.ca（Ndoun\'e Ndoun\'e）一种扩展模型，仍由二次微分方程组描述。在B’elanger等人的研究中。[？]，考虑了具有多个参数的DGP模型的另一个推广，并利用中值定理证明了稳态的存在唯一性。作者还推导了投资者的价值函数，以获得投资者在稳定状态下相互交易的价格，并且他们还表明稳定状态是（指数）稳定的。DGP模型的这种更简单的扩展可以称为非细分市场，因为它不跟踪投资者进入市场时想要的资产。Weillin[16]首先考虑了这种扩展，作者研究了动态辩论市场中流动性溢价的决定因素。本文考虑的扩展，继Vayanos Wang[15]之后，我们称之为具有多个资产的部分分割市场，它确实跟踪投资者进入市场时所需的资产。Vayanos Wang[15]首先考虑了该模型的一个变体，他研究了具有两种资产的搜索和议价市场中的流动性溢价。OTC市场模式见第2节。在第3节中，我们展示了如何使用Leray-Schauder-Krasnosel’skij[3]的广义非线性替代方法来获得稳态的存在性。最后，我们使用凯洛格唯一性定理[11]在第4节中建立了状态的唯一性。这种稳定状态下的交易价格及其渐近稳定性将在未来的工作中讨论。2.在杜菲等人2005年的开创性论文中对模型进行了描述。

[6] 介绍他们的OTC市场模型，其中一项交易资产是一个由四个线性ODE组成的系统，具有两个约束，可以简化为一个由两个微分方程组成的系统，具有两个约束。在本节中，我们描述了他们模型的一个扩展，涉及交易资产K≥ 1.可用资产集将表示为I={1，…，K}。投资者最多可以持有任何资产的一个单位∈ 我不能卖空。时间被不断地对待，永远地流逝。该市场由一系列投资者组成。每一次，投资者的特征是他是否拥有i-thasset，以及内在类型，即“高”或“低”流动性状态。我们对流动性状态的解释与[6]中的相同。例如，拥有资产的投资者可能需要现金。没有资产的高端投资者如果有足够的现金，可能会想购买资产。随着时间的推移，投资者的所有权将因会议导致交易而随机转换，投资者的固有类型将通过自主运动独立改变。投资者类型变化的动态由有限状态集E上的（非齐次）连续时间马尔可夫链Z（t）建模。投资者的状态由E={（l，n），（hi，o），（hi，n），（li，o）}i的元素给出∈一、 其中第一个字母表示投资者的内在流动性状态，第二个字母表示投资者是否拥有资产I。如引言中所述，与[2]的非细分市场模型相比，该模型中的买家进入市场的目的是购买特定的资产集i。如果投资者最初不拥有任何资产，且为低类型，则变为高类型的切换强度表示为eγUi，现在取决于资产类型。

如果他最初不拥有任何资产，但属于高类型，那么他转变为低类型的转换强度用eγ表示，现在也取决于资产。然而，如果投资者最初拥有特定资产，且为高类型，则变为低类型的转换强度用γdi表示。最后，如果他最初拥有一项特定的资产，但属于低类型，则转变为高类型的转换强度为。我们根据资产进行流动性转换，因为这些资产可能有不同的购买价格和股息流。此外，投资者之间以λi的速率相遇，但只有当（li，o）类型的投资者遇到（hi，n）类型的投资者时，才会发生资产交换。人们应该注意到，如果不改变仓位，系统将在一段时间后停止，市场将变得无效。在任意给定时间t，让ut（z）表示z状态的投资者比例∈ E.所以，每个人≥ 0，u这是E的概率定律。让midenote表示资产i的比例，对于所有i∈ 一、 我们现在可以描述投资者类型比例的动态系统，每个z的度量ut（z）∈ E、 由3K+1方程组成：˙ut（hi，n）=-λiut（hi，n）ut（li，o）+eγuiut（l，n）- eγdiut（hi，n），我∈ I（1）˙ut（l，n）=Xi∈IλIut（hi，n）ut（li，o）-xi∈Ieγuiut（l，n）+Xi∈Ieγdiut（hi，n）（2）˙ut（hi，o）=λiut（hi，n）ut（li，o）+γuiut（li，o）- γdiut（hi，o），我∈ I（3）˙ut（li，o）=-o，μt（i，λ）- γuiut（li，o）+γdiut（hi，o），我∈ I（4）具有K+1约束ut（hi，o）+ut（li，o）=mi，我∈ 伊克西∈Imi+Xi∈Iut（hi，n）+ut（l，n）=1因为所有参数都是正的，所以负号表示从该状态退出，而正号表示进入该状态。

图1显示了双资产市场（K=2）中该模型投资者之间的动态示意图。请注意，可以通过向上一个系统中添加（1）的每个方程来消除上一个系统中的方程（2）。类似地，可以通过将（3）中的每个等式与（4）中的相应等式相加来消除它。然后将系统简化为以下2K方程组：˙ut（hi，n）=-λiut（hi，n）ut（li，o）+eγuiut（l，n）- eγdiut（hi，n），我∈ I˙ut（li，o）=-o，μt（i，λ）- γuiut（li，o）+γdiut（hi，o），我∈ I（5）所有者（h1，o）所有者（h2，o）卖方（l1，o）卖方（l2，o）集合（l，n）买方（h1，n）买方（h2，n）λuγdγuγdγuγdγuγdγ图1具有K+1约束ut（hi，o）+ut（li，o）=mi，我∈ I（6）Xi∈Imi+Xi∈Iut（hi，n）+ut（l，n）=1（7）系统（5）定义了我们市场模型的主方程。正如在费兰·吉鲁[9]中一样，它可以通过一个大数泛函定律，或者通过编写一个带有单个概率核的系统，两个核的凸组合，并应用B’elanger-Giroux[1]的定理1来获得。人们还可以遵循太阳[14]和太阳[8]的大数定律。ODE系统稳定状态的存在当所有投资者的状态比例在时间上保持不变时，即达到稳定状态。

当上述方程式左边出现的所有导数都为零时。从主方程（5）中，我们需要求解以下方程组：0=-λiu（hi，n）u（li，o）+eγuiu（l，n）- eγdiu（hi，n），我∈ I（8）0=-λiu（hi，n）u（li，o）- γuiu（li，o）+γdiu（hi，o），我∈ I（9）具有u（hi，o）+u（li，o）=mi的约束条件，我∈ I（10）Xi∈Imi+Xi∈Iu（hi，n）+u（l，n）=1（11）使用每个约束条件（10）并在（9）的每个等式中用它们替换u（hi，o），我们得到0=-λiu（hi，n）u（li，o）- γuiu（li，o）- γdiu（li，o）+γdimi，我∈ 因此i（li，o）=γdimiλiu（hi，n）+γi，我∈ I（12）式中，γI，γui+γdi。同样地，设eγi，eγui+eγdi。现在，将每个（9）减去每个（8），并使用约束（11）替换u（l，n），我们得到：0=eγui“1”-xi∈伊米-xi∈Iu（嗨，n）#- eγdiu（hi，n）+γuiu（li，o）- γdiu（hi，o），我∈ 伊森γiu（hi，n）=eγui1-xi∈伊米！- eγuiXj6=iu（hj，n）+γuiu（li，o）- γdiu（hi，o），我∈ i使用约束（10）代替u（hi，o）并用（12）代替u（li，o），我们最终得到：u（hi，n）=-eγuieγiXj6=iu（hj，n）+γiγdimieγi（λiu（hi，n）+γi）-γdieγimi+eγuieγi1-xi∈伊米！，我∈ I（13）因此，我们必须求解K个未知量的非线性K方程组u（hi，n）。一旦我们解出u（hi，n），我们就可以通过（12）得到u（li，o），并推导出u（hi，o）=mi- u（li，o），乘以（10），且u（l，n）=1-圆周率∈伊米-圆周率∈Iu（hi，n），by（11）。现在，我们将进行设置，以便我们能够诉诸Leray-Krasnosel的skijSchauder固定点理论。设x=（x，x，…，xK）表示RK中的向量。让我，皮∈伊米。letI=[0，1]Kwith f=（f，f，…，fK）：I-→ RK，定义为：fi（x）=xi+eγuieγiXj6=ixj-γiγdimieγi（λixi+γi）+γdieγimi-eγuieγi（1- m） ,，我∈ I（14）自每个fi起，1≤ 我≤ K、 是连续映射，f是连续映射。现在让我们考虑函数g（x）=x-f（x）。

然后g（x）=（g（x）。。。，gK（x））与gi（x）=-eγuieγiXj6=ixj-λiγdimixieγi（λixi+γi）+eγuieγi（1- m） ,，我∈ I（15）我们将证明连续函数g有一个固定点x*这意味着f（x*) = 0，因此是x*是系统所需的稳定状态。我们现在陈述Leray-Schauder-Krasnosel\'skij定理[3]。该定理在任何Banach空间X中都是有效的。我们只考虑有限维空间，因此弱拓扑和强拓扑之间是等价的，因此它们的定理的条件（A）在我们的情况下对连续函数总是有效的。事实上，条件（A）甚至适用于有界函数，因为有界集在有限维空间中相对紧凑。条件（A）：设F是从X到X的函数，使得无论何时（xn）n∈Nis弱收敛，则序列（F（xn））n∈NHA是一个强收敛子序列。定理3.1。（Djebali-Sahnoun[3]）设C是Banach空间X中的非空闭凸集。设U是C的非空开子集。设F:\'U→ Cbe满足条件（a）的连续映射。如果F（\'U）是相对弱紧的，那么我们有以下二分法：（i）要么方程F（x）=xh是\'U（ii）中的解，要么存在一个元素U∈ U是U的边界，存在p∈ U=λF（U）+（1- λ） p表示一些λ∈ (0, 1).为了应用上述定理，我们现在将定义g的域和余域，并证明F=g的第二种选择不可能发生。设A=max{| gi（x）| 1≤ 我≤ K、 x∈ [0,1]K}和A=max{A，1}。然后我们考虑两个有界凸集C=[-A、 A]kandu={（x，…，xK）：xi>0和pi∈Ixi<1- m} 。U是K-单纯形的内部，单位为1- M

我们也有U=USUwithU={（x，…，ˇxi，…，xK）：带xj≥ 0J∈ I，其中对于某些I，ˇxi=0∈ 我和皮∈Ixi<1- m} U={（x，…，xi，…，xK）：其中xi≥ 0和π∈Ixi=1- m} 。首先假设有一个元素x∈ 存在的UFO p∈ Uandλ∈ （0，1）使得x=λg（x）+（1）- λ） p.在坐标系中，我们有0=λgi（x）+（1）- λ） 圆周率。Butgi（x）=-eγuieγiXj6=ixj- (1 - m）≥ 0.因此pi=-λ1-λgi（x）≤ 0，如果p∈ U假设现在有一个元素x∈ 存在的UFO p∈ Uandλ∈ （0，1）使得x=λg（x）+（1）- λ） p.等式为thenxi=λgi（x）+（1）- λ） piwithgi（x）=-eγuieγiXj6=ixj-λiγdimixieγi（λixi+γi）+eγuieγi（1- m） （16）=-eγuieγi（1- M- 十一）-λiγdimixieγi（λixi+γi）+eγuieγi（1- m） （17）Hencexi=λeγuieγixi-λiγdimixieγi（λixi+γi）+ (1 - λ） pi（18）Sopi=1- λ1.- λeγuieγi+λiγdimieγi（λixi+γi）xi（19）上述等式意味着Pi>1- λ1.- λeγuieγixi（20），我们得到π>xi，这反过来意味着π∈Ipi>Pi∈Ixi=1- m、 这与p∈ U总之，我们证明了：定理3.2。任何带有K资产的部分细分市场都有一个稳定的状态，属于K-simplex¨U={（U，…，uK）：ui≥ 0andPi∈Iui≤ 1.- m} .4。部分细分市场的稳定状态唯一性为了显示稳定状态的唯一性，我们将在函数g的固定点等效地显示，用于获得存在结果的函数g实际上是唯一的。我们将使用凯洛格唯一性定理[11]来证明这一点。与之前一样，我们陈述了Banach空间的一般结果，但在有限维设置中，我们得到了有界集是相对紧的。定理4.1。（Kellogg[11]）设D是Banach空间X中的非空开凸集→“D”是一个紧凑的连续映射，它在D上是连续可微的。

假设（i）对于每个x∈ D、 1不是F（x）的初始值，而（ii）对于每个x∈ D、 D的边界，F（x）6=x。那么F有一个唯一的固定点。凯洛格对该定理的最初陈述要求函数F从“D”到“D”，以确保至少存在一个固定点（根据Schauder定理）。但是，正如Kellogg在第209页所指出的，如果我们至少存在一个固定点，并且F是从D到X的函数，那么唯一性论证是有效的，就像Altman和Rothe的固定点定理一样。我们的情况与杰巴利-萨赫农定理完全相似。注意，条件（ii）表明固定点不能在边界上，因此它不是退化状态。同样，在我们的K维设置中，F r′echet导数ofF（x）=（F（x），F（x）。。。，FK（x））是它的雅可比矩阵J（x）=菲xji、 当jand Fis的所有偏导数都是连续的时，jand Fis是连续可微的。更具体地说，当F=g时gixi=-λiγiγdimieγi（λixi+γi）和gixj=-eγuieγiwhen j 6=i.定理4.2。每个部分细分的市场模型都有一个唯一的稳定状态，即在满足系统（12）-（14）的U中有一个唯一的解。证明我们记得U是一个有界的、开放的凸集。我们知道g是一个连续可微映射，因此它是一个紧连续映射，在U上是连续可微的。如果我们验证g满足凯洛格定理的条件（i）和（ii），我们就会证明它的唯一性。对于条件（i），我们需要证明，对于U中的所有x，1不是g（x）的特征值，也就是线性算子Id- g（x）是可逆的。