基于最优鞅的亚式期权模型独立定价

利用这个二次优化问题，我们精确地得到了定理4.2的建议形式。亚式期权的模型独立定价15请注意，定理4.2中所述的第三个矩是有限的条件对应于引理4.7中关于c和c′的条件。检查0是很简单的≤ |x+y|≤ |x |+| y |以及0≤ |x+y | y≤ |x | y+| y|≤ |x |+2 | y |保持。使用该u还具有有限的第三个时刻，因为u ν、 我们确信所有的成本都是有限的。我们将把部分proo f外包给一个引理和两个easycorolary。引理4.9。Le tπ是一个极小的m-artingale输运规划，它是给定凸阶边际分布u和ν的二次优化问题的最大化者，并设Γ为引理4.7给出的单调集。让我来-< y<y+和一些λ∈ [0,1]这样的y=（1）- λ） y-+ λy+保持不变。考虑函数sf（t）=（1- λ） | t+y-| + λ| t+y+|- |t+y |和g（t）=（1）- λ） | t+y-|（y）-)+ λ| t+y+|（y+）- |t+y | y.（i）没有x，x′，因此（x，y）-), （x，y+，（x′，y）∈ Γ和f（x）>f（x′）。（ii）没有x，x′，因此（x，y-), （x，y+，（x′，y）∈ Γ和f（x）=f（x′），其中g（x）<g（x′。证据显然，从f（x）>f（x′）可以得出（1）-λ） | x+y-|+λ| x+y++| x′+y |>（1）-λ） |x′+y-|+λ|x′+y++x+y |。如果我们考虑有限测度α：=λδ（x，y-)+(1-λ） δ（x，y+）+δ（x′，y），然后α′：=λδ（x′，y）-)+ ( 1 - λ） δ（x′，y+）+δ（x，y）是α的竞争对手，例如Rc dα>Rc dα′。因此我们与引理4.6相矛盾。同样的论点适用于第二部分，使用f和g。推论4.10。考虑边值u的单调集Γ的一些极小（和二次极大）鞅输运π带SUP的ν（u） R+和（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γ以至于-<-x<y+和y-< y′<y+。那就不可能是(i)-x<y′和x<x′或（ii）y′<-x和x′<x证明。

我们从上面的引理中画出函数f的范例图，这表明在这些情况下，它认为f（x）>f（x′，而结果是由上述引理4.9:x得出的-十、-Y-Y--y+y+x′-y\'y\'16 FLORIAN STEBEGGx-十、-Y-Y--y+y+x′-y\'y\'推论4.11。考虑边值u的单调集Γ的一些极小（和二次极大）鞅输运π带SUP的ν（u） R+。设（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γ-x′<-十、≤ Y-< y+。那就不可能是这样了-< y′<y+。证据我们再次从上述引理4.9中为函数f和gf绘制范例图。可以清楚地看到，f（x）=f（x′）和g（x′）>g（x），从中可以得到推论。x′-x′-Y-Y--y+y+x-十、-y\'y\'x\'-x′-Y-Y--y+y+x-十、-y\'y\'定理4.2（极小部分）的证明。设¨π为使二次成本函数最大化的最小鞅输运。设Γ为引理4.7中定义的单调集。我们首先表明，分布在x右边的每个点x的质量集中在递增函数图上。这意味着Γ∩ {（x，y）：x≤ y} 图（图）∪ A×R，可数。考虑元素（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γy在哪里-< x<y+和x<x′≤ y′。假设y-< y′<y+。如果-< -x根据推论4.10第（i）部分，我们处于无法发生的幻觉中。如果我们有-≥ -Coro lla ry 4.11告诉我们，我们所处的情况是不可能的。这表明质量集中的集合必须增加。现在假设质量集中在多个图形上。然后我们可以通过引理4.8x<x′和x<y-< y′<y+和x′<y′（和（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γ）这将与该集合的单调性性质相矛盾，因此得出第一个陈述的证明结论。亚式期权17x的模型独立定价-xy-y+yy′x′x-xy-y+yy′x′x-十、-x′y-y+yy′x′图2。

这三种情况会影响运输计划左侧的拟议结构f。现在我们考虑集合ΓΓ=Γ\\ 具有 = {（x，-x） ：x∈ R} 。引理4.7中所述的Γ的性质当然是由Γ继承的，因此上述推论继续成立。假设我们有不可数的多个点x，这样|Γx |≥ 3.这个集合将有一个n a累积点（引理4.8）x，这样我们就有了y-< （x，y）的y<x<y+-), （x，y），（x，y+）∈~Γ. 我们必须考虑三种情况：oy-< y<-x：在这种情况下，我们可以找到x′<x和y-< y′<-x带（x′，y′）∈Γ引理4.8。根据推论4.10（ii），这是不可能的Y-< -x<y：引理4.8的另一个应用给出了x<x′和-x<y′<y+带（x′，y′）∈~Γ. 这与Corrollary 4.10（i）相矛盾-x<y-< y：同样通过引理4.8，我们用（x′，y′）找到x′<x和y′∈Γ-x′<y-还有y-< y′<y+。这个方案的不可行性可以从Collary 4.11的应用程序中看出。这表明，分布在左侧且未映射到次对角线的质量集中在图形上。有关结构的知识可用于制定不同的方程式，以计算Tuan和Tl。只有当边际测度的密度在分析上可处理时，这才有可能。因此，只有在某些特殊情况下才会有明确的解决方案。如图3所示18 FLORIAN Stebeggxy。对u=1[0,1]#λ和ν的|x+y |极大和极小鞅输运的支持=[-2,0]∪[1,3]#λ在（x，y）-平面上。目的：我们在图3.4.4中给出了用于非常简单的边缘测量的Tuan和Td图。最大化交通布局。最大化运输布局结构的证明与最小化运输布局的证明非常相似。我们需要一个二次优化问题来消除解的不均匀性。

这一次，我们在成本函数c（x，y）的所有最大化器中寻找：=|x+y |最小值为rc（x，y）ydπ（x，y）。我们还有一个引理，我们将在两个推论中使用它来计算一般星座中的bta，这在最优运输计划中是不可能的。我们将省略推论的证明，因为它们的工作方式与最小化情形完全相同。注意，|x+y |的最大值就是-|x+y |所以我们可以继续以自然的方式使用引理4.7，尽管我们现在有一个最大化问题，一个二次最小化问题，而不是相反的方式。引理4.12。Le tπ是一个最大化鞅输运规划，它将gi ven边际分布u和ν的二次优化问题简化为凸序，并将Γ设为引理4.7给出的主要优化集。让我来-< y<y+∈ supp（ν）和someλ∈ [0，1]使得y=（1- λ） y-+ λy+保持不变。考虑函数sf（t）=（1- λ） | t+y-| + λ| t+y+|- |t+y |和g（t）=（1）- λ） | t+y-|（y）-)+ λ| t+y+|（y+）- |t+y | y.（i）不存在x，x′，因此（x，y）-), （x，y+，（x′，y）∈ Γ和f（x）<f（x′）。亚式期权的模型独立定价19（ii）不存在x，x′，因此（x，y-), （x，y+，（x′，y）∈ Γand f（x）=f（x′），其中g（x）>g（x′。证据显然，从f（x）<f（x′）可以得出（1）-λ） | x+y-|+λ| x+y++| x′+y |<（1）-λ） |x′+y-|+λ|x′+y++x+y |。因此，如果我们再次像引理4.9的证明那样构造α和α′，那么在这种情况下，我们有Rc dα<Rc dα′，因此与引理4.7相矛盾，同样的论点适用于第二部分，使用f和G。推论4.13。考虑一些最大鞅传输π，它最小化了边缘u的二次优化问题带SUP的ν（u） R+和单调性seΓ。设（x，y+）（x，y-),（x′，y′）∈ Γ以至于-< -x′<y+和y-< y′<y+。

那么它就不能是（i）y′≤ -x′和x<x′或（ii）-x′≤ y′和x′<x证明。类似于最小化鞅输运的情况。推论4.14。考虑边缘u的一些最大化（和二次最小化）鞅输运π 带SUP的ν（u） R+。设Γ为其单调集。设（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γ带x′<x和-十、≤ Y-. 那就不可能是这样了-< y′<y+。证据同样，这个证明与最小化输运的情况完全相似。定理4.2（极大值部分）的证明。与最小化器类似，我们首先表明，分布到r ig htof x的每个点x的质量集中在递减函数Tu的图上（与最小化部分的证明中给出的相同意义）。考虑元素（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γy在哪里-< 十、≤ y+和x′<x和x′≤ y′。假设y-< y′<y+。如果-< -x根据Coro lla r y 4.13第（ii）部分，我们处于无法发生的情况下。如果我们有-≥ -Coro lla ry 4.14告诉我们，我们所处的情况是不可能的。这表明集合Γ∩ {（x，y）：y>x}是单调递减的。即对于x<x′和y∈ Γx∩ {z:z>x}，y′∈ Γx′∩ {z:z>x\'}我们有y\'\'≤ y、 它集中在一个单图形上，然后以与极小值相同的方式出现。假设现在，我们有无数个点，它们由π分布到两个以上的点（即|Γx |≥ 3). 这个集合将有一个累积点x，这样我们就有了y-< （x，y）的y<x<y+-), （x，y），（x，y+）∈ Γ. 我们必须考虑同样的三种情况，即具有略微不同的参数的最小值，以及一种额外的情况，因为我们不能像对待最小值那样排除第二对角线：20 FLORIAN STEBEGGx-xy-y+yy′x′x-xy-y+yy′x′-x′x-十、-x′y-y+yy′x′x-十、-x′y-y+‘yy’x’图4。

这四种情况与交通计划左半部分的拟议结构相反oy-< y<-x：在这种情况下，我们可以找到x<x′和y-< y′<-x带（x′，y′）∈ 引理4.8。根据推论4.13（i），这是不可能的Y-< -x<y：引理4.8的另一个应用给出了usx′<x和-x<-x′<y′<y+带（x′，y′）∈ Γ. 这是对推论4.13（ii）的反驳-十、≤ Y-< y：同样通过引理4.8，我们用（x′，y′）找到x′<x和y′∈ Γ-十、≤ Y-< y′<y+。对于-x′≤ Y-通过应用循环4.14，我们可以看出这个方案是不可能的；为了你-< -我们通过推论4.13（ii）得到期望的矛盾Y-< y=-x：在这里我们发现（x′，y），（x′，y′）∈ Γ与x′<x，x′<x<y+</y以及y-< y′。现在，如果y′<-x′保持不变，元素（x′，\'y），（x′，y′）和（x，y+）与第4.13（i）条相反。如果，而不是y′≥ -如果x′成立，同样的元素与推论4.14相矛盾。所以我们确实证明了质量集中在两个图上。亚洲期权的模型独立定价备注214.15。很简单的一点是，如果图小于次对角线，那么它就会减小；如果图大于次对角线，那么图就会减小。5.关于连续时间案例的注释5。1.一个边缘案例。现在，我们将讨论n资产具有连续平均的远期价格的anAsian期权的情况。给定一个进程（Xt）0≤T≤T（具有连续路径）在某个时间间隔[0，T]上，我们考虑带Φ（（Xt）0）的选项≤T≤T） ：=φTZTXtdt式中φ：R→ R是凸下半连续f函数。我们再次寻求Φ的可能价格的最优上界和下界。我们通过提供第2节中概述的原始问题和对偶问题的候选人，并检查他们是否同意，来做到这一点。Sowe提供了一致鞅测度给出的价格，以及相同价格的超级对冲。

然而，最大化和最小化模型不会有连续的路径，而是有很多确定的时间点，在这些时间点上，路径要么是左连续的，要么是右连续的。因此，我们将首先证明一个引理，表明我们可以用连续模型的值来近似这种模型得到的值。为了简单起见，我们将假设一个只有单跳的模型。更具体地说，我们将展示以下引理。引理5.1。考虑两个随机变量（X，Y）和一个概率律Q，使得（X，Y）是关于Q的两步鞅。设φ：R→ R是一个低s emi的连续凸函数。然后我们可以找到一个序列（Ynt）t∈[0，T]上具有连续路径的连续时间鞅的[0，T]，使得limn→∞呃φTRTYntdti=EφtTX+T-tTY.如果我们有一个进程（Xt），在tin处有一个跳跃，我们将Xt=X设为0≤ t<tand Xt=Y表示t≤ T≤ 那么它得到的值显然是序列Yn的极限值。我们可以得到一个类似的结果，一个左连续跳远以及许多跳。对于证明，我们需要另一个引理，我们假设它是众所周知的，但由于我们无法在文献中找到它，我们仍将在这里提供一个证明。引理5.2。设ν，u，u，u。应采用适当的测量方法，以确保u，u，u，·· ν和unco弱地接近u。假设ν是可积函数，对于某些凸函数φ：R→ 我们有φdν<∞.然后limn→∞Rφdun=Rφdu保持不变。22弗洛里安·斯蒂夫。首先我们假设φ≥ 0.现在定义辅助函数φm，ψm:R→ R乘以φm:=（φ- m） +和ψm:=φ- φm.观察到φmis对所有m都是明显凸的。此外，我们还发现ψmis被m误导，并且ψmis是一个单调递增序列，它在点方向上收敛到φ。

因此，通过凸阶和monoto neconvergence，我们可以选择足够大的m，使得对于固定ε>0，我们有（0≤)Zφmdu≤Zφmdν=Zφ- ψmdν<ε。类似地，我们有φmdun<ε。现在，因为ψ有界，我们有弱收敛→∞Zψmdun（x）=Zψmdu。这意味着我们可以选择足够大的n，使得| Rψmd（u-un）|<ε综合起来，我们可以得出结论Zφd（u- un）≤Zφmdu+Zφmdun+Zψmd（u）- un）< 3ε.对于一般凸φ，我们可以找到一个函数g（x）：=ax+b，例如ψ：=φ+g≥ 0.Asψ明显凸且满足φdν<∞, 我们有limn→∞Rψdun=Rψdu。此外，对于所有n，我们有Rg du=Rg du，因为通过定义凸序，u和u的平均值与ν相同。由此我们可以得出结论，limn→∞Rφdun=Rφdu保持不变。引理5.1的证明。定义流程（Ynt）∈[0，T]通过为0设置Ynt=xf≤ T≤ T- 对于n/Y=1≤ T≤ T对于t- 1/n<t<t我们可以在X和Y之间对b进行插值，使得过程是连续鞅。有各种各样的结构，例如参见[21]。现在我们可以很容易地计算出这个过程ZTYntdt-tTX-T- tTY=TEZtt-1/nXt- X dt≤TZtt-1/nE[|Xt |]+E[|X |]dt≤新界北→∞→ 所以我们在L中有收敛性，这意味着Tyntdt定律弱收敛于Tx+T定律-tTY。我们还有RTYNTDT，tTX+T-tTY Y和E[φ（Y）]<∞. 通过引理5.2我们得到了期望的结果。在第一步中，我们假设我们可以用来确定该期权价格的信息是带有任意删除和到期日的普通期权。Breeden和Litzenberger[9]指出，这意味着我们对亚洲期权的独立定价模型23了解XT的分布。我们进一步假设x的定律由δE[XT]给出。通过这一观察，我们可以很容易地确定Φ可能价格的上限和下限。

不管怎么说我们都看到了φZTXtdtT≤ EZTφ（Xt）dtT≤中兴通讯[φ（XT）]dtT=E[φ（XT）]，EφZTXtdtT≥ φ中兴[Xt]dtT= φ（X）。这些界限由联合定律f或过程假设，使得xt=xt0表示0<t≤ T和Xt=xf或0≤ 分别为t<t。这意味着我们要么从一开始跳到XT定律，然后保持不变，要么一直保持不变，直到最后，然后跳到终值的分布。这意味着，任何稳健的超边缘的成本都不能低于E[φ（XT）]。然后，通过引理5.1的近似得出，对于具有连续路径的过程，这确实是一个严格的界。在这种情况下，我们还可以设计最佳路径次边和超边策略。由于不投资该资产，次级优势本质上是微不足道的。可通过以下计算得出超边界。为了简单起见，我们假设φ是可微的。不，因为φ的凸性，几乎在任何地方都是这样，在剩余点s上，我们这里使用的导数可以用任意元素f r代替，f r是φ的次微分ZTXtdtT≤ZTφ（Xt）dtT=φ（Xt）-ZT（φ（XT）- φ（Xt））dtT≤ φ（XT）-ZTφ′（Xt）（Xt）- Xt）dtT=φ（Xt）-zttφ′（Xt）dXsdtT=φ（Xt）-ZTTZtφ′（Xs）dsdXt。这种超级对冲的价格显然是E[φ（XT）]（=P（φ（XT）），这使得它是最优的。第一个术语可以用普通调用和put的对开本复制。第二项给出了资产的交易策略，因此这实际上是一种成本最低的辅助对冲。请再次注意，上述计算应理解为一种横向推导。这意味着关于x的积分不是It^o积分，而是关于x的p的正则勒贝格-斯蒂尔杰积分。这些定义是因为被积函数是有界的总变差（φ′（Xt）是常数，24 FLORIAN STEBEGGRtφ′（Xs）ds是绝对连续的）。

积分阶的变化可以通过将积分显式写成一个极限运算来推导。5.2. 这两个边缘案例。我们继续考虑解决这个问题的下一个可能步骤，并假设在某个中间时间0<t<t=t，我们也得到了香草电话的市场价格。这个问题似乎不能简单地回答上述问题。因此，我们将不讨论更复杂的n-边际情况。从一个规定的边际定律的结果来看，我们可以假设最大值是通过在开始时跳到XT，然后在T之后跳到XT来实现的，这是以某种最佳方式进行的，这样过程仍然是一个鞅。最小值将通过在时间间隔[0，t]内保持不变，然后跳到Xt，并在跳到Xt之前保持[t，t]内的恒定值来实现（最后一次跳变对积分的最终值没有任何影响）然而，这在最小化者的情况下被证明是错误的，我们可以找到容易计算的例子，例如，在这些例子中，可以获得较小的值，而不是通过遵循上述限制的策略可以获得的最小值。例5.3。我们用φ=|·|和边缘u=u：=（δ）来考虑这个问题-2+ δ-1+ δ+ δ)/4.然后，该过程必须启动inRx du（x）=0。按照我们希望的最小生产工艺，价格将为beR | x | du（x）=3/2。或者，我们定义一个二维随机变量（Y，Z），其中h具有π：=（δ（1/4，-1)+δ(-1/4,1))+(δ(1/4,2)+δ(-1/4,-2))+(δ(0,2)+δ(0,-2)).现在我们用X:=0，Xt:=Y表示0<t<1，Xt:=Z表示1来定义过程≤ T≤ 2.这个过程d有权m，是一个鞅b，但意味着价格<。