基于最优鞅的亚式期权模型独立定价

因此，上述方案通常不是最优的。我们唯一可以很容易地证明的是，一个最小化模型将具有Xt=Xt的属性≤ t<t而最大化模型ful fills Xt=Xt表示t<t≤ t、 这是在最小化模型的情况下，通过应用Jensen不等式模型对条件期望和Xt:E的鞅性质的亚式期权25进行独立定价φZTXtdtT= EEφZTXtdtT英尺≥ Eφ中兴[Xt | Ft]dtT= EφTZtXtdt+Xt（T- （t）.maximiser的计算稍微复杂一些，但同样是基本的φZTXtdtT= EφZTtTZtXsdsT- t+Xtdt≤中兴通讯φTZtXsds+（T- t） XtdtT- T≤中兴通讯φTZtXsds+（T- t） XT- Eφ′TZtXsds+（T- t） Xt×T- tTE[XT- Xt |英尺]dtT- t=EφTZtXsds+（T- t） XT.现在，对于maximiser，我们无法找到上述猜想的反例。因此，我们将把它作为一种推测。更具体地说，这个猜想是：猜想5.4。假设（Xt）t∈[0，T]是关于某些定律Q的可测过滤空间上的鞅。对于固定的0<T<T se Tu：=law（Xt）和ν：=law（Xt）。选择π∈ M（u，ν）使得zφ（tx+（T- t） y）d（π）- π′（x，y）≥ 0π′∈ M（u，ν）。然后它适用于任何0≤ T≤ tthatEQ[φ（tXt+（T- t） XT）]≤Zφ（tx+（T- t） 如果这是真的，我们可以按照以下方式进行上述计算：EφTZtXsds+（T- t） XT= EφZtT（tXs+（T- t） XT）dst≤中兴通讯φT（tXs+（T- t） XT）dst！≤ EπφT（tXt+（T- t） XT）,我们只对最后一个不等式使用了这个猜想，并选择π作为最大化鞅传输计划。虽然我们无法证明这一点，但到目前为止，我们将证明这个猜想的一个重要特殊情况，我们将在下面的定理5.5中阐述。假设（Xt）t∈[0,2]是关于某个定律Q的可测过滤空间上的鞅。

设置u：=定律（X）和ν：=定律（X）。选择π∈ M（u，ν）使得z（x+y- K） +d（π）- π′（x，y）≥ 0π′∈ M（u，ν）。然后它适用于任何0≤ T≤ 1 thatEQ[（Xt+X- K） +]≤Z（x+y）- K） +dπ（x，y）。我们将通过手动计算特殊形式的有限测度的结果，并将原始测度分解为该形式的部分来证明这一点。我们将这些定义称为（mart ingale）度量定义5.6（二项式转置计划）。让x-≤ 十、≤ x+可以是任意实数。另外，y--≤ 十、-≤ Y-+还有y+-≤ x+≤y++也是任意的。如果x+>x-, Y-+> Y--和y++>y+-, 定义系数λ+：=x-十、-x+-十、-= 1.- λ-, λ-+=十、--Y--Y-+-Y--= 1.- λ--λ+++=x+-y+-y++-y+-= 1.- λ+-. 否则只需设置λ+=1，λ-+= 1或λ+++=1。然后我们称之为三步鞅迁移计划π：=λ-λ--δ（x，x）-,Y--)+ λ-λ-+δ（x，x）-,Y-+)+ λ+λ+-δ（x，x+，y）+-)+ λ+λ++δ（x，x+，y++）是一个二项式转置rt计划，并用BTP缩写IT。我们称π的右部分为两步鞅输运计划πr:=λ-λ--δ（x）-,Y--)+ λ-λ-+δ（x）-,Y-+)+ λ+λ+-δ（x+，y）+-)+ λ+λ++δ（x+，y++）。亚式期权的模型独立定价27π的左部分将是两步鞅转移planπl:=λ-λ--δ（x，y）--)+ λ-λ-+δ（x，y）-+)+ λ+λ+-δ（x，y）+-)+ λ+λ++δ（x，y++）。现在我们将重新表述BTP的定理5.5。下面的引理和证明由f或| x+y |而不是（x+y）表示- K） +这是等效的，因为它包含f或任意BTP。有关这一事实的解释，请参见第4节。引理5.7（BTP右侧部分的优势）。设π为节点（x，x）的任意BTP-, x+，y--, Y-+, y+-, y++）。然后必须满足以下条件之一：（i）对于代价函数c（x，y）：=|x+y |的次优鞅运输规划。即。存在一个竞争对手|πrsuch，即r | x+y | dπr（x，y）<r | x+y | d |πr（x，y）。（ii）对于成本函数|x+y |而言，πRha的成本高于πl。

即R | x+y | dπl（x，y）≤R | x+y | dπR（x，y）。我们将推迟到以后。利用引理5.7，我们可以很容易地证明定理5.5。定理5.5的证明。注意，（Xt，X，X）是一个关于Q的三步鞅。我们可以忽略剩下的过程，只考虑Q通过（Xt，X，X）在R上的投影。我们称这个测度为β。很明显，我们可以将β分解为BTP的s。Setβ=Rβxdu（x），其中u是（w.l.o.g.）我们可以用作索引空间的某个概率度量。每个βxis都是BTP。现在，对于任何βx，我们考虑度量ux=projy#βx和νx=projz#βx，即βx的最后两个边缘。它们是凸顺序的，因此我们可以找到成本（x+y）的最大鞅转移计划- K） +边缘为ux，νx。我们称之为πx。这是RB的有限度量，但不一定是BTP的正确部分。但我们可以（确切地）将πxagain分解成πx=Pnxi=1ax，iπx，i和ax，i∈ R+和ax，1+··+ax，nx=1。选择分解时，每个πx，iis都是aBTP的rig-ht部分，我们有Rs dux（s）=Rs dπx，i（s，t）。此步骤也请参见图5。现在我们需要重新组装这些部件，以获得我们想要展示的结果。对于每个πx，我们很清楚如何将其扩展到一个完整的BTP，我们将用πx，i表示。通过定义，它永远不会是πx，iful fills（i）在引理5.7.28 FLORIAN STEBEGG中的情况-→ -→+βx~πx~πx，1+~πx，2图5。β的修正步骤现在我们可以计算z（x+x- K） +dβ（x，x，x）=Z Z（x+x- K） +dβx（x，x，x）du（x）=Z Z（x+x- K） +dπx（x，x，x）du（x）=ZnxXi=1Z（x+x- K） +dπx，i（x，x，x）du（x）≤ZnxXi=1Z（x+x- K） +dπx，i（x，x）du（x）=Z（x+x- K） +dπ（x，x）表示结果。对于不等式，我们在引理5.7中使用了∧πx，iful fills（ii）。在我们开始证明引理5.7之前，我们想描述一些非最优的部分，这些部分是| x+y |的最大化运输计划，类似于Corrollary 4.13。

我们将在引理4.12的另一个推论中这样做。证明同样包括在两点比较函数f（引理4.12中定义）的值。推论5.8。设π为鞅输运的极大值 ν. 设Γ为引理4.6和（x，y）中的单调集-), （x，y+，（x′，y′）∈ Γ与y-< y′<y+。以下陈述是不可能的（（I1）和（I2）只是对第4.13条的重申，没有限制0≤ x、 x′：（I1）x′<x，y-< -x′≤ y′；（I2）x<x′，y′≤ -x′<y+；（I3）x′<x，-十、≤ Y-< -x′<y+；亚式期权29（I4）x<x′，y的模型独立定价-< -x′<y+≤ -x、 引理5.7的证明相当迂回。我们试图通过将其拆分为计算部分和论证部分来提高可接受性。我们将建立两个辅助引理。一种通过列举右边部分占主导地位的案例来处理引理5.7的proo f的计算部分的方法。另一种是通过说明引理5.7中的性质在对称性下是不变的，从而避免了一些情况。引理5.9。设π为BTP。通过设置π′（A）：=π来定义镜像BTPπ′(-A） 对于任何可测量的 我们在这里集合-A:={(-十、-Y-z） ：（x，y，z）∈ A} 。那么它就有了oπfull fillsr | x+y | dπl（x，y）≤R | x+y | dπR（x，y）当且仅当π′full fillsr | x+y | dπ′l（x，y）≤R | x+y | dπ′R（x，y）。oπris是最优鞅输运当且仅当i fπ′ris是非最优m鞅输运。引理5.10。设π为BTP。

它充满了| x+y | dπl（x，y）≤R | x+y | dπR（x，y）如果下列任一项成立：（L1）y-+≤ y+-;（L2）x-+ y+-≥ 0，x-+ Y--≥ 0;（L3）x++y++≤ 0，x++y-+≤ 0;（L4）x++y-+≤ 0，x++y+-≤ 0，x++y++≥ 0;（L5）x-+ y+-≥ 0，x-+ Y-+≥ 0，x-+ Y--≤ 0;（L6）x-+ Y-+≥ 0，x-+ Y--≤ 0，x++y+-≥ 0，y--≤ y+-≤ y++≤Y-+, (1-λ-)（十）+-十、-) ≤ x++y+-, (1-λ+（x）+-十、-) ≤ x++y++表示λ±使得λ±y--+ (1 - λ±）y-+= y+±；（L7）x-+ Y-+≥ 0≥ 十、-+ Y--, 十、-+ y++≥ 0，x++y+-≤ 0，y+-≤ Y--≤ y++≤ Y-+, λ（x）+-十、-) ≤ -（十）-+Y--) 用λ表示λy+-+ (1 - λ） y++=y--;（L8）y-:= Y--= y+-, x++y-≤ 0，x-+ Y-+≥ 0，x++y++≥0，y++≤ Y-+, (1 - λ） （十）+- 十、-) ≤ 对于λs，x++y++-+ (1 - λ） y-+= y++；（L9）y-+= y++，y--= y+-.证据

在我们开始计算这些情况下的预期结果之前，我们要注意几个恒等式，这些恒等式将在后续计算中反复使用（x++y+±）- （x+y+±）=λ-（十）+- 十、-),（十）-+ Y-±) - （x+y）-±) = -λ+（x）+- 十、-),（x++y++）+（x+y++）=2（x++y++）- λ-（十）+- 十、-),（十）-+ Y-±）+（x+y-±）=2（x-+ Y-±）+λ+（x+- 十、-).我们不会每次都做一系列的算术运算，因为这些基本上都是直截了当的。30 FLORIAN STEBEGG（L1）计算：Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ-λ--（|x）-+ Y--| - |x+y--|)+ λ-λ-+（|x）-+ Y-+| - |x+y-+|)+ λ+λ+-（|x++y）+-| - |x+y+-|)+ λ+λ++（|x++y++）- |x+y++|）≥ λ+λ-（十）+- 十、-)(- sgn（x+y）--)λ--- sgn（x+y）-+)λ-++ sgn（x+y）+-)λ+-+ sgn（x+y++）λ++）≥ λ+λ-（十）+- 十、-)（sgn（x+y）+-) - sgn（x+y）-+)) ≥ 0.（L2）注意，给定的条件意味着所有出现在|x+y |值中的项都是非负屈服的，具有上述g-i实体：Z |x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(λ+++ λ+-- λ-+- λ--) = 0.（L3）这是引理5.9给出的fr om（L2）。（L4）从这些条件我们可以推导出x-+ Y--≤ x+y--, 十、-+Y-+≤ x+y-+≤ x++y-+≤ 0和x+y+-≤ x++y+-≤ 0.对于x+y++≥ 我们得到了z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(-λ++- λ+-+ λ-++ λ--)+ 2λ+λ++（x++y++）≥ 0.对于x+y++≤ 0我们得到代替z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(λ++- λ+-+ λ-++ λ--) ≥ 0.（L5）这是引理5.9给出的fr om（L4）。当然这里有x+y-+≥ 十、-+ Y-+≥ 0和x++y++≥x++y+-≥ 0

我们区分了其他三个二进制表达式的符号：亚式期权的模型独立定价31ox+y--≤ x+y+-≤ x+y++≤ 0:Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(-λ++- λ+-- λ-++ λ--)+ 4λ+x+=2λ+（2x+- λ-λ-+（十）+- 十、-)).利用λ的不等式-λ+我们得到（λ+-(1 -λ-) + λ++(1 - λ+）（x+- 十、-) ≤ 2x+我们可以在上述表达式中使用它来获得2x+- λ-λ-+（十）+- 十、-)≥ (λ+-(1 - λ-) + λ++(1 - λ+) - λ-λ-+)（十）+- 十、-).现在我们将展示λ+-(1-λ-)+λ++(1-λ+)-λ-λ-+≥ 0以获得我们想要的结果。一个有效的条件是以下表达式是非负的：+- 十、-)（（y）++- x+（y）+-- Y--)+ （十）+- y+-)（y）++- Y--))- （十）+- x） （y）++- y+-)（十）-- Y--)≥ （十）+- x） （（y）++- x+（y）+-- Y--)+ （十）+- y+-)（y）++- Y--)- （y）++- y+-)（十）-- Y--))= （十）+- x） （十）+- 十、-)（y）++- y+-) ≥ 0.ox+y--≤ x+y+-≤ 0≤ x+y++:Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(λ++- λ+-- λ-++ λ--)+ 2λ+λ+-（x++y）+-)= 2λ+(λ-（十）+- 十、-)(λ++- λ-+) + λ+-（x++y）+-)).利用λ+的条件，我们得到λ-（十）+- 十、-)(λ++- λ-+) + λ+-（x++y）+-)≥ (λ-(λ++- λ-+) + λ+-(1 - λ+）（x+- 十、-).因此，仍需证明λ-(λ++- λ-+) + λ+-(1 -λ+) ≥ 0

同样，以下表达式32 FLORIAN Stebegg是非负的：+- x） （（x）+- y+-)（y）-+- Y--)- （十）-- Y--)（y）++- y+-))+ （十）+- 十、-)（y）++- x+（y）+-- Y--)≥ （十）+- x） （（x）+- y+-)（y）-+- Y--)- （十）-- Y--)（y）++- y+-)+ （y）++- x+（y）+-- Y--))= （十）+- x） （x+（y）-+- y+-) - 十、-（y）++- y+-)+ y+-（y）++- Y-+))≥ （十）+- x） （十）+- 十、-)（y）++- y+-) ≥ 0.在最后一步中，我们使用了y-+≥ 我们有+-≤ 0和y++- Y-+≤ 0.ox+y--≤ 0<x+y+-≤ x+y++:Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(λ+++ λ+-- λ-++ λ--) ≥ 0.o0<x+y--< x+y+-< x+y++:Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(λ+++ λ+-- λ-+- λ--)- 2λ-λ--（十）-+ Y--) ≥ 0.（L7）ox+y--≤ 0:Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(λ++- λ+-- λ-++ λ--)= 2λ+λ-（十）+- 十、-)(λ++- λ-+).我们需要建立λ++≥ λ-+或有效条件（x+- y+-)（y）-+- Y--) ≥ （十）-- Y--)（y）++- y+-) 这可以通过不使用ing（x）来表示+- y+-)（y）-+- Y--) - （十）-- Y--)（y）++- y+-)= （十）+- y+-)Y-++ （y）++- x+y--+ 十、-（y）+-- y++）≥ （十）+- y+-)y++（y）++- x+y+-+ 十、-（y）+-- y++）=（x+- 十、-)（y）++- y+-).亚式期权的模型独立定价33o0<x+y--:Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(λ++- λ+-- λ-+- λ--)- 2λ-λ--（十）-+ Y--)= 2 λ-(-λ+-λ+（x）+- 十、-) - λ--（十）-+ Y--)).利用λ的条件，我们得到- λ+λ+-（十）+- 十、-) - λ--（十）-+ Y--)≥ (λ--λ - λ + λ+-)（十）+- 十、-)≥ (λ--λ - λ+-)（十）+- 十、-).因此，仍需证明λ--λ - λ+-≥ 0

通过替换这个表达式中变量的值，这相当于表明下面的表达式是非负的：（y）-+- 十、-)（y）++- Y--) - （y）++- x+（y）-+- Y--)= （十）+- Y--)Y-++ （y）--- 十、-) - （十）+- 十、-)Y--≥ （十）+- 十、-)（y）++- Y--) ≥ 0.在这里，我们在最后一步中使用了y-+≥ y++适用。（L8）ox+y++≥ 0:Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=2λ+λ-（十）+- 十、-)(λ++- λ-+).如上所述，从m（x）开始+- Y-)（y）-+- Y-) ≥ （十）--Y-)（y）++- Y-) 在这种情况下这是显而易见的x+y++≤ 0:Z | x+y | dπr（x，y）-Z | x+y | dπl（x，y）=λ+λ-（十）+- 十、-)(-λ++- λ+-- λ-+- λ--)+ 2λ+λ++（x++y++）≥ 2λ+（x+- 十、-)(λ++(1 - λ) - λ-λ-+).简单的替换给出λ++（1- λ) - λ-λ-+≥ λ++(1 - λ) - λ-+=x+- 十、-Y-+- Y-≥ 0.34 FLORIAN STEBEGG（L9）这是根据我们已经证明的案例得出的结论。通过引理5.9，我们把自己限制在0≤ 十、-≤ x+和x-≤ 0≤ x+与| x-| ≤ x+。在第一种情况下，我们可以-十、-≤ Y-这给了我们（L2）的一个特例。或者我们可以-x+≤ Y-≤ -十、-这是（L6）的一个特例。我们终于可以吃到巧克力了-≤ -x+是（L8）的特例。在第二种情况下，我们必须区分-x+≤ Y-给出了（L6）和y的一个特例-≤ -这也是（L8）的一个特例。引理5.7的证明。我们现在可以对每个可能的BTP进行直接分析。这导致了一长串的病例，我们必须逐一列举。首先要注意的是，对于x-= 我们有πl=πrand，因此（ii）保持不变。x=x的情况也是如此-x=x+。

因此我们可以假设x-< 从现在开始。从引理5.10（L1）我们已经知道-+≤ y+-, 我们也有（ii）搁置，所以我们处理了这些案件。接下来，我们想看看BTP是这样的--< y+-< Y-+< y++。从L emma 5.9中，我们可以看出，处理这些案件非常有效≤ 十、-< x+还是x-≤ 0≤ x+与| x-| ≥ x+。在第一种情况下，我们看到了y+-< -十、-BTP通过推论5.8（I1）（含元素（x+，y++），（x+，y+）填充（i）+-), （十）-, Y-+)).否则我们有x-+ y+-≥ 0.因为我们只有x-+ Y-+≥ 0（从0开始）≤ 十、-≤ 十、-+) 剩下的BTP将根据x的符号，通过引理5.10的（L2）或（L5）填充（ii）-+ Y--.在第二种情况下，BTP填写（i）如果-x+<y-+≤ -十、-可以从带有元素s（x）的花冠y 5.8（I4）中看到-, Y--), （十）-, Y-+),（x+，y）+-). 这也适用于-十、-≤ Y-+由5.8（I1）与元素（x+，y++），（x+，y）的推论+-), （十）-, Y-+). 否则我们有x++y+-< x++y-+≤ 0和微不足道的x++y++≥ 因此（ii）保持5.10（L4）。我们要区分的下一种类型是BTP的withy--≤ y+-≤ y++≤ Y-+. 如果我们有+-= y++=y-+我们支持我们讨论的第一类计划。因此，我们可以假设我们只有y--< y+-= y++<y-+或者两个较低的元素或两个较大的元素相等，如果y+-< y++。我们注意到引理5.10（L9）中包含了它们之间的等式，所以我们假设这些等式中最多有一个是相等的。首先我们看x-< x+≤ 0.对于y-+≤ -我们有x++y++≤y++x-+≤ 因此，通过引理5.10（L3），BTP全填充（ii）。如果我们没有-+> -x+和y+-> Y--BTP全套（i）按推论模型独立定价亚洲期权355.8（I2）含元素（x-, Y--), （十）-, Y-+), （x+，y）+-). 为了你+-= Y--我们也有（我）为y++≤ -x+由5.8（I2）和元素（x-, Y--), （十）-, Y-+), （x+，y++）。对于y++<y-+≤ -十、-我们有（i）个推论5.8（I4）和这些相同的元素。