基于最优鞅的亚式期权模型独立定价

亚洲期权价格的简要概述最后，我们努力为亚洲期权建立（或者更确切地说是描述）清晰的模型独立价格界限。亚洲期权是指在期权开始和到期之间的固定时间范围内，押注于期权的平均价值。通过考虑股票在某个特定时间点的平均价格而非价格，可以获得一种与股票本身相比波动性较小的资产。这通常会使亚洲人的选择比普通的欧式选择更便宜。根据合同的具体形式，这些选项以各种不同的形式出现。主要区别在于平均值的粒度和类型。我们只对连续或离散监测的股票价格AC:=TZTXtdt，Ad:=NNXi=1Xti的经典算术平均值感兴趣。这里是0≤ t<·tN≤ T或者可以考虑对数的几何平均或平均。在这些平均值上，通常的赌注以“曲棍球”功能的形式出现。因此，我们可以将亚洲看跌期权或看涨期权视为（Ac，d）- K） +和（K）- 分别为Ac，d）+。如果我们可以在一系列不同的交易中进行交易，我们就有可能合成平均值的ar-bitra r y凸函数，因此一个一般的亚式期权对一些凸函数φ具有支付φ（Ac，d）。亚式期权的定价是一个特别有趣的研究课题，因为如果我们使用标准的Black-Scholes模型，价格甚至没有一个封闭形式的解决方案。例如，参见Boyle和Potachik[8]的surveyarticle，了解普利辛加斯期权的传统方法。各种类型的亚式期权的模型独立界限也一直是一个活跃的讨论话题。Dhaene等人[17]的一篇文章是关于这个主题的早期工作。最近，Albrecher等人[2]提出了一个与模型无关的下限。

Deelstra等人在[16]中讨论了在某些强市场条件下的改进。我们可以很容易地遵循他们的方法，在我们的框架中找到一个下限，通过利用凸函数的Jensen不等式来展示价格过程的任何联合规律，在第5节中，我们将实际演示亚洲期权如何在包含具有相同到期日的欧洲期权和自融资交易策略的投资组合中超边缘化。8弗洛里安人认为：E“φNNXi=1Xti！#=E“E”φNNXi=1Xti！英尺##≥ E“φNNXi=1E[Xti | Ft]！#=E[φ（Xt）]。因此，我们通过到期日为t的欧洲期权的价格找到了亚洲期权价格的下限，这是平均值的第一个样本点（前提是我们知道这个价格，这是在[16]中假设的）在[2]或[16]中，这些界限并不是很明显。这意味着我们只知道infQ∈M（P）等式[A]≥ E[B]其中A是亚式期权，B是到期日为t的欧式期权。如果我们只知道t时的边际值，可以证明边界是尖锐的。这可以通过与我们在第5节中使用的方法类似的方式实现，但我们在这里不再进一步讨论。在[16]中，假设到期日为t，它们以众所周知的价格交易。在这种情况下，下面这个简单的例子说明，通常情况下，边界并不尖锐。例3.1。考虑具有边际u：=δ、ut:=δ和ut:=（δ+δ）的远期价格，以及具有离散平均（Pi=1Xti）的亚洲期权- 1)+. 通过这种方法得到的价格下限显然是0，而通过选择一致鞅测度得到的唯一可能的真正远期价格是0。4.离散时间选项的界限我们现在将在我们的设置中尝试改进这个界限，找到实际的模型Q，从而最小化上述函数。

最后，我们不得不把自己限制在一个亚式期权上，它是在两个时间点0<t<t的股票价格的平均值上写的。所以我们想给出一个有支付φ的衍生工具的价格Xt+Xt其中φ是凸函数。我们希望这个价格在上述给定的意义上是最优的，只使用关于普通期权的买入价格的信息，其纯度与Xt和Xt定律相当。我们需要考虑的数学对象将在以下定义4.1中给出。考虑两个度量单位u和ν。这些测度s的鞅耦合集或马尔代尔传输集是给定亚式期权的模型独立定价9byM（u，ν）：={ρ∈ P（R）：projx#ρ=u，projy#ρ=ν，ρ是鞅测度}。其中P（R）表示R上的概率测度。对于最大和最小成本，通过沿鞅将u转移到ν来实现，我们设置¨D:=supπ∈M（u，ν）Z | x+y | dπ（x，y）；\'D:=infπ∈M（u，ν）Z | x+y | dπ（x，y）。利用这一定义，我们现在将制定以下定理来描述优化模型。定理4.2。按凸顺序考虑两个度量u和ν，使得u是连续的，并且支持（u） R+。此外，我们还需要| y | dν<∞.我们可以找到π，π∈ M（u，ν），使得‘D=Z | x+y | D |π（x，y）’D=Z | x+y | D |π（x，y）成立。此外，可以选择π，使其集中在两个实孔l可测函数的图上+→ R+和“Tl:R”+→ R.“TUI”不增加。类似地，可以选择π，使其集中在两个实函数Tu:R的g图上+→ R+和“Tl:R”+→ R和第二对角线-Id.“TU为非递减。推论4.3。

如果我们有一个如上所述的设置，其中u的支持度不限于R的正半部分，那么m（u，ν）中存在最大化和最小化鞅测度，其支持度分别为以下形式：o在R的右半平面上，优化器的支持度如定理4所述。2.在左半平面上，支架的形式如图4.2所述，绕平面中心旋转180°o.在我们开始解释这个定理的重要性之前，我们想指出一些关于它的重要细节。人们可能会注意到，我们在这里把自己局限于一个单一的支付函数，即绝对值，而不是所有可能的凸函数。虽然覆盖任意凸函数可能是有利的，但在这一点上，这似乎有点太难了。a B绝对10 FLORIAN STEBEGGxy+xy→XY图1。带有纯正和负u以及它们的混合值的最小化运输计划的集中集确实涵盖了用于期权的最重要的凸函数类型，即“曲棍球棒”函数下注。注意我们有x+y- K+=十、-K+y-K+=十、-K+y-K+所以，当r（x+y）/2+kdπ（x，y）的值在所有度量π上都是常数∈ M（u，ν），它等价于将r |x+|y | d |π（|x，| y）的to t al值在|π上最大化的原始问题∈ 其中，我们分别设置|u：=（2x+K）#u和|ν：=（2x+K）#ν。这种转变使得有必要在所有R中支持度量u和ν，即使人们只对理论的财务应用感兴趣，其中u和ν通常只在R+上支持。这个优化问题的优化者（最大化者或最小化者）不是唯一的。通过考虑度量u和ν，可以很容易地看出这一点，即supp（u），supp（ν） R+。

在这种情况下，任何度量单位inM（u，ν）将导致相同的值，因此同时是最大值和最小值。当然，在不限于正半轴的测量中，这个问题仍然存在。进一步注意，这个定理属于最优鞅运输理论，它是具有附加（线性）约束的最优运输，即运输是鞅测度。在这个理论中，我们称之为支付函数的函数（这里c（x，y）=| x+y |）通常被称为成本函数。我们将在两步鞅测度的上下文中使用这些术语。我们将把这个定理的解释推迟到以后，首先对所描述的设置和之前的结果进行进一步的专门化，这些结果可用于获得上述类型的选择的结论。首先，我们考虑一类仅依赖于路径的有限个值的路径依赖选项。因此，我们考虑Φ（（Xt）t形式的亚式期权的支付模型独立定价∈[0，T]）：=带0的Φ（Xt，…，Xtn）≤ t<·tn≤ T（显然，这种类型是一种分散监控的选择）。在不丧失一般性的情况下，我们甚至可以设置ti:=iand和T=n，稍后我们将对此进行澄清。当（Xt）是关于某个测度Q的鞅不连续时间，那么X，Xnis显然是一个关于Q的离散时间鞅。我们进一步假设Xiare的边缘定律如前所述给出。此外，如果我们定义一个离散时间鞅Y，Yn，我们可以通过设置xt:=yifori来构造一个具有正确边缘的mart ingale- 1<t≤ i、 所以，如果我们最大化上述整体离散时间鞅，我们得到的结果与最大化整体连续时间鞅的结果相同。

我们现在需要这个最大化指标给我们这个支付的最优鲁棒界。这是前面提到的关于强对偶性的结果，如[4]所示。我们将在下面的小节中详细讨论。4.1. 离散时间的强对偶性。由一致律得到的带支付Φ（X，…，Xn）的导数的价格的最小上界是该期权的超级套期保值的最小价格。为此，我们需要考虑可行边集。在第2节所述的框架中，我们让空间V被自我融资交易策略和欧洲看涨期权（即带支付的衍生品）所包围（Xi）- K） +对于某些i=1，这意味着半静态投资组合的形式是h（φi）i，（hj）j:=nXi=1φi（xi）+n-1Xj=1hj（x，…，xj）（xj+1）- xj）带φi∈ L（ui）凸，和hj:Rj→ R有界可测。式中，ui是Xi的概率定律，由条件Eui[（Xi）通过价格函数P唯一确定-K） +]=P（Xi-K） +代表K∈ R如前所述。为了将来使用，我们定义了定义4.4（超边缘策略）。给予一些回报Φ：Rn→ 我们称h（Φ）：={（（φi）i=1，…，n，（hj）j=1，…，n-1） ：Φ（x，…，xn）≤ H（φi）i，（hj）j}可行的超边缘策略集。n y H（φi）i，（hj）jis的价格由p（Hφi，hj）=nXi=1P（φi（Xi））+n给出-1Xj=1P（hj·（Xj+1- Xj））=nXi=1P（φi（Xi））12 FLORIAN Step，其中我们使用了第2节中的条件（P1）-（P3）。然后，最佳robustbound形式上由‘P:=inf（nXi=1Eui[φi]：（hj）j=1，。。。，N-1s。t、 H（φi）i，（hj）j∈ H（Φ））。上述问题有一个不方便的缺点，即边缘的设置不紧凑，因此不总是最小值，如[4]所示。

这可以通过考虑对偶问题来避免。我们已经从第2节知道，任何一致性定律Q都必须是这样的，即过程Xi是鞅，即EQ[Xi | X，…，Xi-1] =Xi-1对于2≤ 我≤ n、 此外，XI和r的分布必须在上面描述。显然，这个问题只关心（X，…，Xn）的分布，所以我们将研究度量，而不是原始（摘要）Ohm. 设M（u，…，un）表示Rn上具有边际ui且为边际定律的度量集。M（u，…，un）不是空的当且仅当边缘ui为凸序时。Strassenin[37]已经观察到了这一结果。[5]中也概述了这一事实的证据。现在我们可以考虑对偶优化问题D:=sup{EQ[Φ（X，…，Xn）]：Q∈ M（u，…，un）}。对于任何H（φi）i，（hj）j∈ H（Φ）和Q∈ 由于Q的鞅性质和P（φi（Xi））=Eui[φi（Xi）]=EQ[H（φi）i，（hj）j]，我们显然有P（H（φi）i，（hj）j）=Pni=1Eui[φi（Xi）]=EQ[φi（Xi）]。此外，等式[H（φi）i，（hj）j]≥ 等式[Φ]。由于期望值的单调性而成立。这表明≥“D总是成立的（如果对偶问题不可行，它甚至可以成立很小的问题）。如前所述，强对偶性已在[4]中得到证明，并总结在以下定理中：定理4.5。假设，unare Borel概率测度R，使得M（u，…，un）i为非空。让我们来看看→ (-∞, ∞]是一个较低的连续函数，使得Φ（x，…，xn）≤ Rn上的K·（1+| x |+···+| xn |）对于某些常数K，则不存在对偶间隙，即“P=”D。此外，对偶值“D”得到，i。e、 存在一个鞅测度Q∈ M（u，…，un），使得¨D=EQ[Φ]。最后一个断言是由于M（u，…，un）的弱紧性。双重优化程序的几何描述。

上一节的对偶问题类似于[38]和[39]中广泛涉及的RNA经典最优运输问题的结果。最优运输的一个非常常见的特点是，最优运输计划通常集中在集合上，集合是几何模型独立的亚式期权定价。这些结果中最著名的是Brenier定理，它描述了二次成本函数的最优运输计划几何。它声称这些运输计划被称为单调运输计划。这意味着它们由Rn上的凸函数的梯度给出。对于一维测度，我们将从现在开始考虑martinga-le的情况，这相当于说，Trans-nspor t计划集中在一个非递减函数的图上。这启发我们去寻找最优集市-集市耦合（即运输计划）的几何特性。由于问题的相似性，我们将M（u，ν）（u和ν按凸顺序排列）的元素称为上述marting-ale运输计划中定义的元素。对于仅依赖于两个时间点Φ（（Xt）t的选项，许多作者都考虑过这个问题∈[0,2]：=c（X，X）。Hobson a和Neuberger[28]以及Hobson和Klimek[24]描述了forwar d起始跨骑c（x，y）的优化几何结构：=|x- y |。Beiglb"ock和Juillet[5]以及Henry Labordère和Touzi[22]分别考虑了支付形式为c（x，y）且cxyy>0和cxyy<0的期权的最大值和最小值。鞅运输计划不能像在非鞅问题中那样集中在一个图上，除非两个测度一致，在这种情况下，相同的运输是唯一可行的鞅运输计划。

在前面考虑的情形中，它们通常集中在两个或三个图上，这似乎是鞅情形中的自然类比。在经典最优运输问题中，推导二维最优运输计划几何结构的一个广泛使用的工具是循环单调性的概念，我们在此不再讨论这个概念。在[5]中，有一个类似的notio n，可用于制定最优鞅运输计划。它被称为变量引理。引理4.6（变分引理）。设u和ν为凸阶概率测度，c:R→ R一个相对可测量的成本函数，其hsaties c（x，y）≥ a（x）+b（y）对于可积函数a和b（分别相对于u和ν）。假设π∈ M（u，ν）是一个模拟martinga l e运输计划的变量，它会导致有限的cos ts。然后存在一个π（Γ）=1的Borel集，如下所示：如果α是对rW的一个度量，具有有限的支持，那么 Γ然后我们得到了rc dα≤Rc dα′对于每个度量α′，使得（i）α′的边缘值为α，并且（ii）Ry dαx（y）=Ry dα′x（y）对于（projx#α）-a.e.xwhere（αx）x∈RDE注意到α相对于projx#α的不整合。实际上，我们需要定理4.2的证明，这个引理的一个推广，我们将在下面阐述。接下来是[5]中给出的引理4.6的一个14 FLORIAN证明。它也直接来自于[3]中的结果。引理4.7。设u和ν为凸阶概率测度和c，c′：R→ Borel可测量的成本函数，使c满足引理4.6中的条件，d c’满足c’（x，y）的分析条件≤ 可积函数f和g的f（x）+g（y）。假设π∈ M（u，ν）是一个最小化鞅运输计划，在所有rc′dπ>-∞ 持有。

然后存在一个π（Γ）=1的BorelsetΓ（π的单调性集），这样下面的结果是：如果α是rW上的一个测度，并且有有限的支撑，那么 Γnwe haveRc dα≤Rc dα′和Rc dα=Rc dα′意味着Rc′dα≥对于引理4.6中的每个度量α′，Rc′dα′。指导原则是，如果运输计划不是最优的，可以通过重新安排质量来改进。条件c和c′确保目标值是确定的。除了重要引理4.6之外，我们还需要另一个辅助引理，它也是从[5]中得到的。引理4.8。设k为正整数，Γ R.假设有无数的∈ R满足|Γa |≥ 其中Γa:={b:（a，b）∈ Γ}.存在a和b<bk∈ Γ测量每一个ε>0，就可能发现a′>a和b′<·b′k∈ Γa′与max（|a- a′|，|b- b′||bk- b′k |）<ε。此外，还可能发现a′<a和b′<b′k∈ Γa′与max（|a- a′′|，|b- b′′||bk- b′\'k|）<ε4.3。尽量减少交通布局。我们现在配备了最终证明定理4.2中提出的优化结构所需的工具。由于其复杂性，我们将项目分成两部分。我们将首先证明最小值的结构，并在下一小节中使用最大值。证明的总体思路受到成本函数| x的优化结构证明的启发- y |如[5]所述。这个代价函数的选择是唯一的，尽管这不是增加证明复杂性的例子。为了避免非均匀性，我们提出了一个二次优化问题。在成本函数c（x，y）的所有最小化运输计划中：=|x+y |我们正在寻找使rc（x，y）ydπ（x，y）的值最大化的运输计划。