基于最优鞅的亚式期权模型独立定价

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英文标题：
《Model-Independent Pricing of Asian Options via Optimal Martingale
  Transport》
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作者：
Florian Stebegg
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this article we discuss the problem of calculating optimal model-independent (robust) bounds for the price of Asian options with discrete and continuous averaging. We will give geometric characterisations of the maximising and the minimising pricing model for certain types of Asian options in discrete and continuous time. In discrete time the problem is reduced to finding the optimal martingale transport for the cost function $|x+y|$. In the continuous time case we consider the cases with one and two given marginals. We describe the maximising models in both of these cases as well as the minimising model in the one-marginal case and relate the two-marginals case to the discrete time problem with two marginals.
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中文摘要：
本文讨论了具有离散和连续平均的亚式期权价格的最优模型独立（鲁棒）界的计算问题。我们将给出离散和连续时间内某些类型的亚式期权的最大化和最小化定价模型的几何特征。在离散时间内，问题归结为寻找成本函数$|x+y |的最优鞅运输。在连续时间的情况下，我们考虑一个和两个给定边缘的情况。我们描述了这两种情况下的最大化模型以及一个边际情况下的最小化模型，并将两个边际情况与两个边际的离散时间问题联系起来。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

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PDF下载：
--> Model-Independent_Pricing_of_Asian_Options_via_Optimal_Martingale_Transport.pdf (396.81 KB)

2022-5-7 05:09:51 上传

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关键词：亚式期权 Mathematical Quantitative Applications Differential

亚洲期权的模型独立定价，通过最优移动方式Florian Stebeggle摘要。在这篇文章中，我们讨论了离散和连续平均的亚式期权价格的最优模型独立（鲁棒）界的计算问题。我们将给出离散和连续时间内某些类型的亚式期权的最大化和最小化定价模型的几何特征。在离散时间内，问题归结为寻找成本函数|x+y |的最优鞅运输。在连续时间的情况下，我们考虑一个和两个给定边缘的情况。我们描述了这两种情况下的最大化模型以及一个边缘情况下的最小化模型，并将两个边缘情况与两个边缘的离散时间问题联系起来。1.引言确定路径相关期权（例如亚洲期权）的价值是数学金融中一个重要且发展良好的选项。传统的方法可以追溯到萨缪尔森、默顿、布莱克和斯科尔斯，其中包括准确猜测（一个模型）基础股价的规律，该规律与市场上可用的信息一致。如果过程定律足够简单，即在分析上易于处理，那么就可以计算期权的公平（和无套利）价格，作为其相对于该概率定律的预期（无风险率的模搜索）回报。

此类模型的范围很广，过去曾被研究过，在金融行业也被广泛使用，用于计算金融产品的价格并进行风险价值分析。这种方法的一个问题是选择“正确”的模型。用于定价和风险分析的模型的个别选择并非完全武断，但仍基于强有力的假设。这种对过程真实规律的缺乏认识导致了对模型风险的关注，而传统方法通常忽略了这一点，因此无法捕捉到这一点。由于不了解这些信息，我们非常感谢FWF在P26736赠款项下提供的财政支持。这是作者提交的一篇论文的一个版本，部分满足了维也纳大学理学硕士学位的要求。2.FLORIAN Stefall：在真实的过程中，几乎不可能让你的用户了解你提出的模型的偏差范围。解决这个问题的早期方法之一是霍布森[29]。他提出了一种解决这个问题的方法，而不是基于单一模型来确定单一价格，而是通过对过程制定一些（一致的）规律来努力确定可能达到的全部价格范围。在[29]之后，发表了许多资料，讨论了不同类别资产的问题。[29]中讨论了回望期权，[10,11]中讨论了障碍期权，[15,26,27]中讨论了篮子期权，[12,30,24]中也讨论了波动率掉期。这些论文通常利用Skorokhod嵌入问题的各种解决方案，这些解决方案碰巧具有某些有益的性质。

霍布森[23]的一组课堂讲稿中可以找到该方法的总结。inObloj的调查[36]概述了各种有用的Skor okhod嵌入。在最近的一系列论文中，使用Monge[34]和Kantorovich[31,32]介绍的最优运输问题的最初设计结果，开发了一种获得模型独立价格范围的新方法。Galichon、Henry Labordèreand To uzi[20]、Beiglb"ock、Henry Labordère and Penkner[4]、Acciaio、Beiglb"ock、Penkner and Schachermayer[1]、Bouchard and Nutz[7]以及Dolinsky and Soner[18]对经典对偶结果进行了修改。该方法已被具体应用于[28,25]中的远期启动跨档期权，以及[5,22]中两个固定时间点的股票价格所决定的一般类外期权。本文主要关注后一系列论文的技术在亚洲风格选项中的新应用。亚式期权的定价在传统方法中也是一个难题，只能在一般市场环境下进行数值计算。我们将能够给出某些类型的亚式期权的最大化和最小化定价模型的几何特征，这些模型是不明确和连续的。首先，我们将建立我们的符号，并在下一节中简要介绍模型独立融资的主要问题。之后，我们将讨论亚式期权及其各种形式，并简要概述之前关于其估值的结果。然后，我们将讨论亚洲期权，该期权在一定的时间内监控股票价格，并给出模型的特征，该模型给出了平均值仅为两个值的期权的极值。

最后，我们还将概述这些离散时间结果与亚洲期权的关系，亚洲期权是通过股票价格的连续平均值确定的。亚洲期权的模型独立定价32。模型独立金融的主要问题我们不需要考虑一个框架，在这个框架中我们可以考虑流动交易资产的空间。这只是一个由一组随机变量（代表各种资产的收益）构成的向量空间。该框架的灵感来源于霍布森在[23]中开发的框架，该框架可以被视为在F"ollmer and Schied[19]中介绍的框架的扩展，Cox和Oblój在[13,14]中使用了该框架。更具体地说，我们考虑一个经过过滤的可测量空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]）当设置Ohm := C[0，T]。过滤应为最小右连续过滤，以使坐标过程Xt（ω）：=ω（t）与之相适应。我们将坐标过程XT解释为某些基础sset的远期（即贴现）价格。虽然将这个框架扩展到多股票是相当简单的，但我们将省略它，并将我们自己限制为单一股票设置。我们可以把V看作FT可测随机变量空间的线性子空间。（因此，奇异路径选项是V以外的任何可测量随机变量。）根据我们想要使用的市场环境，我们可以假设V包含各种资产。V中一种非常突出和重要的资产类型将是Vanilla看涨期权，带有一些K∈ R（CK:=（XT）-K） +）是许多市场不可或缺的一部分。此外，通常情况下，V包含自我融资交易策略的空间 五、定义2.1（自筹资金交易策略）。

I f（Ht）t∈[0，T]是一个适用于F的过程，并且其中的路径是有界变化的，那么我们称之为随机m变量giv en by（H·X）T:=RTHtdXtaself-financing trading strategy。S:={（H·X）T:H ada pted to F}。这只是意味着，我们总是可以使用一些（足够常规的）适应策略来交易基础资产。请注意，我们在这里始终使用远期价格。因此，我们认为无风险利率为0，因此我们可以借钱购买股票，而无需任何利息。在第5节中，我们也将考虑具有有限数量的椎间盘连续性的路径，但将演示它们如何被连续路径近似，从而使上述空间确实足够。这个积分是Lebesgue Stieltjes意义上的积分，因此是路径积分。哪类过程和被积函数允许路径随机积分是随机演算中的一个经常性问题。Bichteler[6]和Karandikar[33]已经讨论过这个问题。最近一篇关于这个问题的著名论文是Nutz[35]。在这篇论文中，我们可以限制自己处理边界（总）变分的e s，这确保了对于一个具有连续路径的过程，由于初等演算的结果，e s积分中存在路径积分。我们将在第5.4节FLORIAN Stebegg中再次需要这一点，现在我们可以并且将定义V上的定价函数P。这些是流动交易资产的价格，因为它们是由市场决定的。由于V中的所有资产都是在市场上流动交易的（或流动交易资产的线性组合），因此它们在特定时间0（当前）将有一个完全确定的价格。

由于市场应该没有套利，我们可以为P假设以下条件：（P1）P（A+λB）=P（A）+λP（B）对于A，B∈ 五、 λ∈ R.（P2）A≤ B=> P（A）≤ P（B）代表A，B∈ 五、（P3）P（A）=0 f或A∈ 美国。条件（P1）（线性）与金融中的“一价定律”有关。类似地，（P2）基本上是“无套利”条件（无风险）。最后一个条件（P3）也自然来自金融市场的基本考虑，因为我们可以在不需要任何初始捐赠的情况下获得自融资交易策略的支付，因此其价格应该为零。在这个框架中，我们现在要解决的问题是，在一个额外的资产上添加一个aprice标签/∈ V是可测量的。我们考虑空间VA:=V+（λA）λ∈我们想把P扩展到函数PA:VA→ 使条件（P1）-（P3）继续保持。显然，这相当于选择pA:=pA（A），这样我们就不会违反单调性。在独立于模型的金融中，我们不仅努力找到一个可能的价格，而且努力找到所有符合这些条件的价格。可能的概率集很容易被看作是凸的，这意味着它是一个区间，所以我们想要找到这个区间的边界。这个问题是一个线性优化问题，但在初始市场资产V和资产a的选择上有很大的不同，我们希望找到其价格范围为e的资产。2.1. 通过次级/超级套期保值来限定价格。避免价格套利的一个必要条件是将价格保持在超复制衍生工具的投资组合的任何价格之下。类似的lowerbound由一个子复制portf olio的价格给出。在上述框架中，我们希望找到Al，Au∈ V suchthat Al≤ A.≤ 欧。

这就产生了边界P（Al）≤ 帕≤ P（Au）。一般来说，我们会假设我们有一个V的生成系统。然后这个系统代表了给定价格的资产，因为它们实际上是在市场上交易的，V由可能的投资组合组成，即这些资产的线性组合。定义2.2（普通证券）。让{Fι：ι∈ 我} V是一个随机变量族，比如{Fι：ι∈ 一} 这是一个V的生成系统，然后我们可以把这组V称为普通证券。在这个意义上，V的元素是生成系统的有限线性组合。亚洲期权的模型独立定价5定义2.3（半静态投资组合）。我们称之为Vsemi静态文件夹中的元素。如果我们得到一项资产/∈ V半静态组合Al:=Pι∈IclιFι和Au:=Pι∈IcuιFι，只有许多cuι和clι与零不同，因此≤ A.≤ Auholds，则我们称之为A的Ala半静态子种子投资组合和Aua半静态子种子投资组合。备注2.4（套利机会）。如果我们能把帕苏克的话∈ V和A≤ 如果我们有pA>P（Au），那么这将通过做空和做多来立即给出一个错误的可能性。为了避免这种情况，我们需要对allP（Au）取最小值，这样≤ 欧。这就是模型独立金融的优化问题。下限的情况是类似的。备注2.5。请注意，我们几乎没有以一种确定的方式来描述次级和超边缘投资组合的不平等性，因为我们没有规定基础模型。2.2. 按模型限定价格。计算可能价格范围的另一种方法是优化从传统方法获得的价格。一开始描述的确定价格的传统方法是规定一些一致的法律。定义2.6（一致鞅测度）。

对于任何普通的安全性Fι，我们有P（Fι）=EQ[Fι]的度量称为一致鞅度量。我们用M（P）表示一致鞅测度集。给定一些一致的martinga-le测度Q，我们就可以计算出额外资产的价格。备注2.7。如前所述，我们希望忽略折扣。因此，我们可以认为无风险利率为零，也可以考虑普通证券和额外（异国）证券的收益，因为它们是按给定的方式贴现的。这在通过套期保值的abo ve估值方法中并不起作用，因为套期保值一直是单调的，因此半静态投资组合是否是超优势不会改变。以这种方式生成的价格会自动根据预期值的属性来填充一致性条件。如上所述，我们可以最大化所有可能的定律Q，以获得a一致价格区间的可能上界。请注意，在任意市场环境V中，现有价格a与之一致（根据价格过程的某些定律，价格是预期值这一事实已经是一个假设），没有任何先验的理由必须存在任何定律Q。同样，也没有先验的理由来解释为什么不能通过引起市场价格的法律来实现对资产的套利价格。如果我们想知道这个优化问题的最优界真的是我们想要找到的区间的最优上界，我们需要证明我们刚刚列出的两个优化的强对偶性。这意味着我们需要检查一下∈M（P）EQ[A]=infA≤Au∈副总裁（非盟）。例如[4]和[20]已经在各种市场环境（V，P）中建立了这种二元性。

请注意，对于任何Q∈ M（P）和Au∈ Vwith A≤ 我们显然有EQ[A]≤ 等式[Au]=P（Au）。因此他们的产品质量上乘∈M（P）等式[A]≤ 英法≤Au∈副总裁（非盟）微不足道。我们将回到第4.2.3节中[4]的对偶结果。市场限制。为了更好地了解我们通常会在M（P）中找到的一组度量，我们想在这里讨论一些常见的限制。引理2.8。考虑上述框架，并考虑可测空间上的一些测度Q(Ohm, F） 使得函数P（A）：=V full fill（P1）-（P3）上的等式[A]。然后，坐标过程（Xt）与Q证明有关。从到目前为止的讨论中我们知道，V包含所有的自我融资策略，它们的成本为0（P3）。在这种情况下，考虑一些0≤ T≤ T≤ T和一些任意函数h∈ Cb（R）并观察等式[h（Xt）（Xt- Xt）]=EQZTh（Xt）1t≤T≤tdXt= PZTh（Xt）1t≤T≤tdXt= 0 .现在假设香草的价格需要一些成熟度0<t≤ 忍受一切可能的打击∈ R是已知的。Breeden和Litzenberger[9]观察到，这决定了时间t的边际，即Xt（特定时间t的X a t值，而不是整个过程）相对于Q的分布。这可以通过考虑函数c（K）：=EQ[（Xt）来实现-K） +]=P（Xt- K） +）=R（x- k） +du（x），其中u=LawQ（Xt）。这意味着我们假设市场对到期日为T的欧洲看涨期权的估值符合某些定律Q a，我们知道它以这种方式获得的价格。该函数的第一个导数（在分布意义上）由C′（K）=Eu给出[-1K<Xt]=-(1 - u[Xt≤ K] ）。这使我们能够恢复u的分布函数~ Xt#Q来自通话价格。亚洲期权的模型独立定价73。