具有可积参数的双反射BSDE及相关Dynkin

我们说1（Y，Z）∈ S×eH2,0是终端数据ξ和生成器g的BSD E的解BSDE（ξ，g）简称如果（1.2）保持P-a、 s.2三胞胎（Y，Z，K）∈ S×eH2,0×Kis是一个具有终端数据ξ、发生器g和降低障碍物L简称RBSDE（ξ，g，L）如果（1.3）保持P-a、 s.3四胞胎（Y，Z，K，J）∈ S×eH2,0×K×Kis具有终端数据ξ、发生器g、下障碍物L和上障碍物U的双反射BSDE的解DRBSDE（ξ，g，L，U）简称如果（1.1）保持P-a、 美国评论1.1。给定一个参数对（ξ，g），g-（t，ω，y，z）：=-g（t，ω，-Y-z） ,，（t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm ×R×Rd（1.7）明确定义了一个PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的功能。对我来说∈ Swith LT≤ ξ、 P- a、 （Y，Z，K）∈S×eH2,0×Ksolves-RBSDE（ξ，g，L）当且仅当（eY，eZ，eJ）=(-Y-Z、 （K）∈ S×eH2,0×Kis是以下反射BSDE的一种解决方案，终端数据ξ=-ξ、 发电机g-上障碍物U=-L:美国犹他州≥eYt=eξ+ZTtg-（s，eYs，eZs）ds-eJT+eJT-ZttezDBS，t∈ [0，T]，ZT（Ut）-eYt）deJt=0。（浮置条件）（1.8）设g:[0，T]×Ohm ×R×Rd→ R是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的功能。为了研究具有生成元g和可积参数（ξ，L，U）的双反射BSDE，我们将对函数g进行如下总结：对g进行假设。让κ>0，λ∈ R、 α∈ （0，1）并让{ht}t∈[0，T]是一个非负可积过程i、 e.h∈ L（[0，T]×Ohm, B（[0，T]）F、 dt P）. 它可以容纳dt 数据处理-a、 美国。

（H1）|g（t，ω，y，z）- g（t，ω，y，z′）|≤ κ| z- z′|，Y∈ Rz、 z′∈ Rd；（H2）sg n（y）- y′）·（g（t，ω，y，z）- g（t，ω，y′，z））≤ λ| y- y′|，y、 y′∈ RZ∈ Rd；（H3）y→ g（t，ω，y，z）是连续的，Z∈ Rd；（H4）| g（t，ω，y，0）|≤ ht（ω）+κy |，Y∈ R（H5）|g（t，ω，y，z）- g（t，ω，y，0）|≤ κ（ht（ω）+| y |）+| z |）α，（y，z）∈ 从现在开始，任何p∈ [0, ∞) 我们假设Cp是一个泛型常数，依赖于p，κ，λ+，T和ERThtdt特别地，Cwill表示一个依赖于κ、λ+、T和ERThtdt的通用常数, 其形式可能会因线条不同而有所不同。为了方便起见，我们将调用函数g:[0，T]×Ohm×R×Rd→ R如果是P，则为“发电机”B（R）B（研发）/B（研发）-可测量和满意度（H1）-（H5）。备注1.2。如果函数g:[0，T]×Ohm ×R×Rd→ R在y中是Lipschitz连续的i、 e.对于一些eκ>0的，它保持SDT 数据处理-a、 s.那| g（t，ω，y，z）- g（t，ω，y′，z）|≤ eκy- y′|，y、 y′∈ RZ∈ 研发部, 然后H2自动持有和H4将替换为| g（t，ω，0，0）|≤ ht（ω），dt 数据处理-a、 美国评论1.3。设g为发电机。1） 函数g-（1.7）中定义的也是发电机。2） 给定τ∈T，自从{t≤τ }T∈[0，T]是F-适应c`agl`ad过程因此F-可预测的, g的可测性意味着gτ（t，ω，y，z）：=1{t≤τ（ω）}g（t，ω，y，z），（t，ω，y，z）∈[0，T]×Ohm*R×Rd（1.9）定义了一个PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的功能。可以推断gτ也满足（H1）-（H5）实际上，它满足（H2）的eλ=λ∨0.3） 如果g′是另一个生成器，那么对于给定的L，任何a，b>0.4）的ag+bg′也是∈ S+，gL（t，ω，y）：=（y- Lt（ω））-, （t，ω，y）∈ [0，T]×Ohm x R显然是PB（R）/B（R）-可测函数在y上是Lipschitz连续的，满足ERTgL（t，0）dt=ERTL+tdt≤ T kL+kS<∞. 值得注意的是。2.gLsatis fies（H2）-（H4）。

然后第3）部分显示，对于任何n∈ Ngn（t，ω，y，z）：=g（t，ω，y，z）+n（y）- Lt（ω））-, （t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm ×R×Rd（1.10）定义了一个发电机。具有可积参数的双反射BSDE 62主要结果：具有可积参数的双反射BSDE和相关的Dynkin对策本研究的贡献是具有可积参数的双反射BSDE的以下良好结果，其中-唯一解决方案的组成部分代表了s o下的相关Dynkin博弈的价值，称为“g”-eva luation”（见第4节），由BSDE与双重反射BSDE相同的发电机气体引起的非线性预期。与[25]一样，我们假设在双重反射的BSDE中完全分离下部和上部障碍物，而不是传统的Mokobodski条件，这在实践中很难检查。定理2.1。设g为发电机。对于任何ξ∈L（英尺），L∈S+和U∈s-这样P{LT≤ξ ≤UT}=P{Lt<UT，T∈[0，T]}=1，DRBSDE（ξ，g，L，U）允许唯一解（Y，Z，K，J）∈∩P∈（0,1）Sp×H2,0×K×Ksuch thatY属于（D）类。定义R（τ，γ）：=1{τ<γ}Lτ+1{γ≤τ }∩{γ<T}Uγ+1{τ=γ=T}ξ，τ, γ ∈ T让我们∈ T，τ*ν：=infT∈ [ν，T]：Yt={T<T}Lt+1{T=T}ξ∈Tν，Tandγ*ν：=infT∈[ν，T]：Yt=1{T<T}Ut+1{T=T}ξ∈它适用于任何τ，γ∈ Tν，TthatEgν，τ∧γ*νYτ∧γ*ν≤ Yν≤ Egν，τ*ν∧γYτ*ν∧γ, P-a、 因此，它持有P-a、 s.thatesssupτ∈Tν，TEgν，τ∧γ*νR（τ，γ）*ν)=Yν=Egν，τ*ν∧γ*νRτ*ν, γ*ν= essinfγ∈Tν，TEgν，τ*ν∧γR（τ）*ν, γ). （2.2）特别是，我们有yν=esssupτ∈Tν，Tγ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）= essinfγ∈Tν，tessupτ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）, P-a、 s.（2.3）备注2.1。（1） 对于任何ν，ζ∈T与0≤ν ≤ζ ≤τ*, 很明显τ*ν= τ*, P-a、 美国。

然后（2.1）表明Yν≤Egν，τ*ν∧ζYτ*ν∧ζ=Egν，γγ, P-a、 这表明-DRBSDE（ξ，g，L，U）的唯一解的分量是g-时间τ的次鞅*g的定义见（4.3）-鞅. 类似地，Y是g-su permartingaleup to timeγ*. 因此，Y是g-直到时间τ的鞅*∧γ*.（2） 在（2.3）中，如果我们认为响应。U当玩家选择停止游戏的时间τ提前时，玩家将从其对手处收到或支付的金额（如果金额为负）响应。不早而不是她的对手选择的停止时间γ，然后是Y-DRBSDE的唯一解（ξ，g，L，U）的分量正是g下D yn kin对策的玩家值-评价如果比赛在ν开始∈ T，（2.2）表明初始时间τ*当值过程Y在ν和第一次γ之后满足L时*当Y在v形成游戏的鞍点后遇到U时。3具有可积参数的BSDE定理2.1的推导基于具有可积终端数据的BSDE的适定性结果，即下文引用的定理6.2和6.3，即命题3.1。在第5节中，我们将利用惩罚方法构造一个具有可积参数的对应反射BSDE的唯一解，我们可以采用[25]的粘贴局部解的方法来获得定理2.1。提议3。1.设g为发电机。对于任何ξ∈ L（FT），BSDE（ξ，g）允许一个唯一解（Y，Z）∈∩P∈（0,1）（Sp×H2，p）使得Y是（D）类。这个适定性结果导致了一个广义鞅表示定理：推论3.1。对于任何ξ∈ L（FT），存在唯一的Z∈ ∩P∈（0,1）H2，P-a、 s.E[ξ| Ft]=E[ξ]+ZtZsdBs，t∈ [0，T]。(3.1)4.

G-评估和g-预期7提案n 3.1也会产生“g”-评估/预期”（见下一节），一种非线性预期，其下的最优停车问题值（分别为Dynkin g ame）解决了与发生器g相关的反射BSDE（分别为双反射BSDE），见（5.2）响应。(2.3).为了推导命题3.1的相应比较结果（这对于求解具有可积参数的反射BSDE的惩罚方法至关重要），我们需要[11]中引理2.2的以下简单推广（参见[30]中的推论1]）：引理3.1。给定V∈ 五、 if（Y，Z）∈ S×eH2,0满足P-a、 s.Yt=Y+Vt- V+ZtZsdBs，t∈ [0，T]，那么它适用于任何p∈ (1, ∞) 那个P-a、 s.| Yt | p=|Y | p+pZtsgn（Ys）| Ys | p-1dVs+pZtsgn（Ys）| Ys | p-1ZsdBs+p（p-1） Zt{Ys6=0}|Ys|p-2 | Zs | ds，t∈ [0，T]。借助引理3.1，我们可以推导出随机区间上BSDE的一般比较结果，这对于证明定理5.1和我们的主要结果orem 2.1:命题3.2是至关重要的。给定ν，τ∈T与ν≤τ、 对于i=1，2，让gi:[0，T]×Ohm×R×Rd→R是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的函数和let一，子，六∈S×H2，0×Vsuch表示{Yiγ}γ∈Tν，τ是一致可积的Rτν| Zit | dtp/2i<∞ 为了一些p∈（α，1），P-a、 s.Yit=Yiτ+Zτtgi（s，Yis，Zis）ds+Viτ- 维特-Zτtzisbs，T∈ [ν, τ]. （3.2）假设Yτ≤ Yτ，P-a、 s.和P-a、 s.Zst{Yr>Yr}（dVr- （数字录像机）≤ 0, t、 s∈ 对于i=1或i=2，如果gisaties，t<s.（3.3）H1,H2,H5如果g（t，Y3-是的，Z3-（它）≤g（t，Y3）-是的，Z3-它），dt 数据处理-a、 s.在随机区间[ν，τ]]上：=（t，ω）∈[0，T]×Ohm: ν(ω)≤T≤τ(ω), 然后它保持P-a、 是的≤YTT∈ [ν, τ].在V=V的[0，T]期间应用第3.2点≡ 对于Y为0的BSDE，我们得到以下比较结果-解属于（D）类，其Z-溶液为H2、Pf或某些p∈ (α, 1).提议3.3。

对于i=1，2，给定参数对ξi，giξ≤ ξ、 P-a、 美国，让我们易子成为SDE的解决方案ξi，gi因此，Yi属于（D）类和Zi类∈ ∪P∈（α，1）H2，p.对于i=1或i=2，如果符合H1,H2,H5如果g（t，Y3-是的，Z3-（它）≤g（t，Y3）-是的，Z3-它），dt 数据处理-a、 当它保持P-a、 是的≤YTT∈ [0，T].4g-评估和g-期望g是一台发电机。对于任何τ∈T，因为（1.9）中定义的函数gτ是一个生成器，所以位置3.1表明，对于任何ξ∈L（FT），BSDE（ξ，gτ）允许唯一解Yτ，ξ，Zτ，ξ∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p）（4.1）使得Yτ，ξ属于（D）类。然后我们可以引入“g”的概念-“评估/预期”，这稍微概括了[43]和[45]中提出的定义：定义4.1。一类算子，如ν，τ：L（Fτ）→L（Fν），ν∈T，τ∈它被称为“g”-评估“如果有任何ν，τ∈T与ν≤τ和任何ξ∈L（Fτ），Egν，τ[ξ]：=Yτ，ξν∈L（Fν）如果ξ∈ L（Fτ）；-∞, 如果E[ξ-] = ∞;∞, 如果E[ξ-] < ∞ 和E[ξ+]=∞.具有可积参数的DRBSDEs，尤其是对于任何ν∈T和ξ∈L（FT）我们把Eg[ξ| Fν]：=Egν，T[ξ]称为“g”-ξ的“期望”取决于σ- Fν场。备注4.1。如果g独立于（y，z），即如果{gt}t∈[0，T]是F-用ERT | gt | dt逐步测量过程<∞, 那么对任何人来说∈T，τ∈Tν，TEgν，τ[ξ]=Eξ+ZτνgtdtFν, P-a、 s。，ξ ∈L（Fτ）。（4.2）当g≡ 0，g-期望退化为经典的线性期望，即对于任何ν∈T和ξ∈L（FT），Eg[ξ| Fν]=E[ξ| Fν]，P-a、 根据命题3.3和命题3.1中的唯一性结果，可以推导出g-域L（FT）的求值继承了经典线性期望的以下基本性质：Letν，τ∈T与ν≤τ（1）“单调性”：对于任何ξ，η∈ L（Fτ）与ξ≤ η、 P-a、 美国。

我们有Egν，τ[ξ]≤ Egν，τ[η]，P-a、 s。；（2） “时间一致性”：对于一个国家而言∈ Tν、τ和ξ∈ L（Fτ），Egν，γEgγ，τ[ξ]= Egν，τ[ξ]，P-A.s（3） “持续保存”：如果它保持dt 数据处理-a、 g（t，y，0）=0，Y∈ R、 然后Egν，τ[ξ]=ξ，P-a、 对于任何ξ∈L（Fν）；（4） “零一定律”：对于任何ξ∈ L（Fτ）和A∈ Fν，我们有1AEgν，τ[1Aξ]=1AEgν，τ[ξ]，P-a、 s。；此外，ifg（t，0，0）=0，dt 数据处理-a、 s，则Egν，τ[1Aξ]=1AEgν，τ[ξ]，P-A.s（5） “平移不变量”：如果g独立于y，则Egν，τ[ξ+η]=Egν，τ[ξ]+η，P-a、 对于任何ξ∈ L（Fτ）和η∈L（Fν）。我们可以定义相应的g-一如既往的鞅：A B[0，T]F-类（D）的可测量过程X称为g-次鞅响应。G-超级啤酒-鞅如果有0≤ T≤ s≤ 0Egt，s[Xs]≥ （分别为。≤ 或=）Xt，P-a、 s.（4.3）g-鞅具有许多经典的鞅性质，如上交不等式、可选抽样定理、Doob-Meyer分解等，这些性质与g-与数学金融中的风险度量密切相关的评估参见[46]，[47]了解Lipschitz g的案例-用域L（FT）计算，二次g的情况见[40]，[34]-域L的求值∞（英国《金融时报》）. 由于页面的限制，我们将不会详细说明我们的g-用域L（FT）计算，也不考虑g的连通性-本文对风险度量进行了评价。5.具有可积参数的反射BSDE和相关的最优停止问题。对于命题3.1和命题3.3，我们可以使用pen-alization方法，作为实现go-al（定理m 2.1）的中间步骤，获得以下具有可积参数的反射BSDE的适定性结果，其中-唯一解的分量代表相关最优停止问题的值-评价定理5.1。设g为发电机。

对于任何ξ∈L（英尺）和L∈S+和LT≤ξ、 P-a、 s，RBSDE（ξ，g，L）允许一个非唯一解（Y，Z，K）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p×Kp）使得Y是（D）类。定义Rt:=1{t<t}Lt+1{t=t}ξ，t∈[0，T]。让我们∈ T和τ（ν） ：=infT∈[ν，T]：Yt=Rt∈它适用于任何γ∈ Tν，TthatEgν，γγ≤ Yν=Egν，τ(ν)∧γYτ(ν)∧γ, P-a、 特别是s.（5.1），我们有yν=esssupγ∈Tν，TEgν，γRγ= Egν，τ(ν)Rτ(ν), P-a、 s.（5.2）5。带有可积参数和相关最优停止问题的BSDE 9备注5.1。（1） 鉴于（5.1），Y-RBSDE唯一解（ξ，g，L）的组分是g-超级马丁格尔。对于任何ν，τ∈T与0≤ν ≤τ ≤τ（0），很明显τ(ν) = τ（0），P-a、 那么我们有Yν=Egν，τ(ν)∧γYτ(ν)∧γ=Egν，γγ, P-a、 这表明Y是g-直到时间τ的鞅(0).（2） 在（5.2）中，如果我们将R视为一个包含运行奖励L和终端奖励ξ的奖励过程，那么-RBSDE（ξ，g，L）唯一解的分量正是R在g下的S-nell包络-评价给定一个开始时间∈T，第一次τ（ν） 当Y在V之后遇到R时，如果玩家的目标是在g下最大化预期回报，则V是玩家选择的最佳停止时间-预料为了推导定理5.1中的存在性结果，我们将使用惩罚化方法，该方法可概括为以下两个单调性结果：命题5.1。让我∈S+并设g:[0，T]×Ohm×R×Rd→ R是PB（R）B（研发）/B（研发）-（H1）、（H4）和（H5）的可测量功能。对任何人来说∈ N、 考虑（1.10）中定义的函数gn和let（Yn，Zn，Jn）∈∩P∈（0,1）Sp×H2,0×k这是（D）类的Ynis和P类的Ynis-a、 s.Ynt=Ynt+ZTtgn（s，Yns，Zns）ds- JnT+JnT-ZTtZnsdBs，t∈ [0，T]。如果{Yn}n∈Nis是过程es的递增序列，然后是其极限Yt:=limn→∞↑ Ynt，t∈[0，T]是F-满足“支持”要求的（D）类可预测过程∈[0，T]| Yt | p#<∞, P∈(0, 1).提议5.2。

让我∈S+，设g:[0，T]×Ohm ×R×Rd→ R是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量函数（H1）-（H4），设ν，τ∈ T与ν≤ τ. 对任何人来说∈N、 考虑（1.10）和let（Yn，Zn）中定义的函数GN∈S×H2,0满足P-a、 s.Ynt=Ynτ+Zτtgn（s，Yns，Zns）ds-ZτtZnsdBs，T∈ [ν, τ]. （5.3）如果{t≥ν} Ynτ∧TT∈[0，T]，n∈ N是一个递增的过程序列，其极限Yt:=limn→∞↑ 1{t≥ν} Ynτ∧t、 t∈ [0，T]满足P{Yτ≥Lτ}=Pnsupt∈[ν,τ ]（Yt）-+Y+t< ∞o=1，然后处理{Yν∨t} t∈[0，T]有P-a、 s.连续路径，且存在（Z，K）∈H2,0×k如P-a、 美国。书信电报≤ Yt=Yτ+Zτtg（s，Ys，Zs）ds+Kτ- Kt-ZτtZsdBs，T∈ [ν，τ]，Zτν（Yt- Lt）dKt=0。（5.4）另一方面，定理5.1中的唯一性结果来自以下关于Y-解属于（D）类，其Z-溶液为H2、Pf或某些p∈ (α, 1).提议5.3。对于i=1，2，给定参数对ξi，gi李呢∈ S+使得P{LiT≤ ξi}=P{ξ≤ ξ} =P{Lt≤ 书信电报，T∈ [0，T]}=1，让易，子，基成为RBSDE的解决方案ξi，gi，Li因此，Yi属于（D）类和Zi类∈ ∪P∈（α，1）H2，p.对于i=1或i=2，如果符合H1,H2,H5如果g（t，Y3-是的，Z3-（它）≤g（t，Y3）-是的，Z3-它），dt 数据处理-a、 在美国，它持有P-a、 是的≤YTT∈ [0，T]。备注5.2。通过备注1.3（1），可以将定理5.1、命题5.2和命题5.3应用于g-定义（1.7）获得反射式BSDE的版本，上面有障碍物，如（1.8）。具有可积参数的DRBSDEs。1.命题3.1第3节和第4节结果的证明：当[11]的条件（H7）自动满足时，有必要验证其中的条件（H5），即给定r≥0，过程ψrt（ω）：=sup | y|≤r | g（t，ω，y，0）-g（t，ω，0，0）|，（t，ω）∈[0，T]×Ohm 是可积的。通过（H3），它持有dt数据处理-A.s

ψrt（ω）=supy∈[-r、 r]∩Q | g（t，ω，y，0）-g（t，ω，0，0）|，这意味着ψris F-进步是可测量的。同时，（H4）表明dt数据处理-a、 s.，ψrt（ω）≤|g（t，ω，0，0）|+sup | y|≤r | g（t，ω，y，0）|≤2ht（ω）+κr。由此可知，ψrtl属于L（[0，T]×）Ohm, B（[0，T]）F、 dtP） 。推论3的证明。1：显然，g（t，ω，y，z）：=0，（t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm 是一台发电机。根据命题N3.1，BSDE（ξ，0）允许一个唯一解（Y，Z）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p），使得Y为（D）类。给安∈N、 我们定义了停止时间τN:=infT∈[0，T]：Rt | Zs | ds>n∧T∈T，从Z看∈ ∩P∈（0,1）H2，p H2,0表示{τn}n∈它是静止的。让我们∈[0，T]a和n∈N.自YτN∧t=Yτn-Rτnτn∧tZsdBs，P-a、 在美国，采用条件期望E[·| Ft]可以得到yτn∧t=E[Yτn | Ft]，P-a、 s.（6.1）As{τn}n∈Nis静止不动，让n→ ∞ 在（6.1）中，我们可以从Y的连续性和{Yτ}τ的统一可积性来推导∈t Yt=E[Yt | Ft]=E[ξ| Ft]，P-a、 特别是r，Y=E[ξ]。那么E[ξ| Ft]=Yt=Y+ZtZsdBs=E[ξ]+ZtZsdBs，P-a、 这与过程的连续性相结合E[ξ| F·]T∈[0，T]和RtZsdBsT∈[0，T]导致（3.1），而过程Z的唯一性是明确的。命题3.2的证明：在不丧失一般性的情况下，假设GSaties（H1）、（H2）、（H5）和thatg（t，Yt，Zt）≤g（t，Yt，Zt），dt 数据处理- a、 s.在[ν，τ]]上。（6.2）设置（Y，Z）：=（Y）-Y、 Z-Z） q:=p/α∈ (1, 1/α).（1） 我们首先展示了E“supt∈[ν,τ ]Y+tq#∞.自E[|Yν|]≤ E|Yν|+E|Yν|< ∞ 利用{Yiγ}γ的一致可积性∈Tν，τ，i=1，2，推论3.1意味着存在唯一性∈ ∩p′∈（0,1）H2，p′，使得E[Yν| Ft]=E[Yν]+rtezdbs，T∈[0，T]= 1.