具有可积参数的双反射BSDE及相关Dynkin

（A.26）同样，-Zτl挑逗的l,m、 nsdKns≤ 1AlZτlt{Yns<Ls}eas（Ls-Yms）dKns≤伊塔l小吃∈[ν,τl]（Yms）-Ls）-!Knτl≤ 伊塔l小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-!Knτl, T∈ [ν, τl].把这个和（A.25），（A.26）插回（A.24）表示P-a、 美餐Yl,m、 新界+Zτl茶| Zm，ns | ds≤ η -2Zτl挑逗的l,m、 nsZm，nsdBs，T∈ [ν, τl],式中η：=eaτlYl,m、 nτl+2数据l小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-!Kmτl+Knτl.从H¨older不等式（6.27）和（6.29）中我们可以看出，t=ν的经验值为t{ν<t≤τl}|Zm，nt | dt≤EZτlνeas | Zm，ns | ds≤2E[η]≤2EheaτlYl,m、 nτli+4eaT（E“Al小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-#×呃Kmτl+Knτli） 1/2≤切哈lYτl-Ynτli+Cl（E）“A”l小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-#)1/2. （A.27）另一方面，伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不平等性意味着“超级”∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤E“supt∈[ν,τl]吃Yl,m、 新界#≤ E[η]+2E“支持∈[0，T]ZTt{ν<s≤τl}容易的l,m、 nsZm，nsdBs#≤E[η]+CE“支持”∈[ν,τl]Yl,m、 新界!·Zτlνeat|Zm，nt|dt1/2#≤E[η]+E“支持∈[ν,τl]Yl,m、 新界#+CEZτlνeat|Zm，nt|dt。作为E“supt∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤ 4.l通过（6.27）和（6.25），它从（A.27）中派生出“supt”∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤ 2E[η]+CEZτlνeat|Zm，nt|dt≤ CE[η]。（A.28）具有可积参数34的DRBSDEs和（6.27）表明∈[0,ν]Yl,m、 新界#≤E“supt∈[0，T]EA.lYm，nν英尺#≤4EhA.lYm，nν我≤4E“supt∈[ν,τl]Yl,m、 新界#,我们从（6.27）和（A.28）中看到“supt”∈[0，T]Yl,m、 新界#≤E“supt∈[0,ν]Yl,m、 新界+ 监督∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤5E“supt∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤CE[η]。这一点加上（A.27）导致了supm>n（E）supt∈[0，T]Yl,m、 新界#+EZT{ν<t≤τl}|Zm，nt | dt）≤CE[η]≤切哈lYτl-Ynτli+Cl（E）“A”l监督∈[ν,τl]（Ynt）-Lt）-#)1/2.As 1AlYτl-Ynτl≤2.l, N∈N乘（6.25），让N→∞, 从有界收敛定理和（6.36）可知→∞supm>n（E）supt∈[0，T]Yl,m、 新界#+EZT{ν<t≤τl}|zmt=1240。因此Yl,NN∈砂岩中的尼斯-柯西层序{ν<t≤τl}ZntT∈[0，T]，n∈N是H2，2中的柯西序列。

（6.43）的证明：作为Knν=Kl通过（6.2）和（6.42），我们可以从（6.28）推导出P-a、 s.Knt-Klt=（Knt）-Knν）-（K）lT-Klν） =Yl,nν-Yl,新界-1Al（Yν）-Yt）-Ztνg（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Ys，Z）l（s）ds+Ztν（Zns）-Zls） 星展银行，T∈[ν, τl].然后（6.27）和（H1）表明P-a、 美国。Knt-KlT≤1Al|Ynν-Yν|+1AlYnt-Yt+Ztνκ| Zns-Zls |+| g（s，Y）l,ns，Zl（s）-g（s，Ys，Z）l（s）|ds+Ztν硫化锌-Zls星展银行, T∈[ν, τl].因为H¨older的不等式和（1.5）意味着Knt-KlT≤加利福尼亚州l|Ynν-Yν|+CAlYnt-Yt+CZtν| Zns-Zls | ds+CA.lZtν| g（s，Y）l,ns，Zl（s）-g（s，Ys，Z）ls） |ds+Csupet∈[0，T]Zet{ν<s≤τl}硫化锌-Zls星展银行, T∈[ν, τl],我们可以从杜布的鞅不等式推断出∈[ν,τl]Knt- KlT#≤ 总工程师A.l|Ynν- Yν|+行政长官l监督∈[ν,τl]Ynt- Yt#+CEZτlν| Znt-Zlt | dt+CE“ZτlνAlg（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）dt#.有界收敛定理m和（6.25）表明limn→∞↓ EA.l|Ynν-Yν|= 多亏了（6.41），它仍然显示出Limn→∞E“ZτlνAlGt、 Ynt，ZlT-Gt、 Yt，ZlTdt#= 0.（A.29）A.附录35By（H3），它包含dt 数据处理-A.s、 那个limn→∞A.l∩{ν<t≤τl}g（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）=此外，（H1），（H4）和（6.25）意味着对于任何n∈ 不适用l∩{ν<t≤τl}g（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）≤1Al∩{ν<t≤τl}g（t，Ynt，0）+g（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Ynt，0）+g（t，Yt，0）+g（t，Yt，Z）l（t）-g（t，Yt，0）≤1Al∩{ν<t≤τl}2ht+2κl+2κ| Zlt|:= Hlt、 dt 数据处理-a、 s.（a.30）作为厄特ltdt≤2.l+2κlT+2κT1/2ERτlν| Zlt|dt1/2< ∞ 通过（6.24）和H¨older不等式，应用支配收敛定理yie-lds-thatlimn→∞EZτlνAlg（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）dt=0。所以直到{Yn}n的子序列∈N、 它能容纳P-a、 s。那个limn→∞RτlνAlg（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）dt=0。因为（A.30）表明∈NRτlνAlg（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）dt≤RThltdt, P- a、 既然H？older的不平等意味着RThltdt≤ 嗯2.l+2κlT+2κRτlν| Zlt|dt我≤ Cl+CERτlν| Zlt|dt<∞, 再次应用支配收敛定理得到（A.29）。

证明o（6.45）：适用于任何n∈ N、 H¨older不等式和（6.29）意味着EZτlνYnt-YtdKnt=EA.lZτlνYnt-YtdKnt≤A“E”l监督∈[ν,τl]Ynt-Yt!Knτl#≤（呃KnτlAl监督∈[ν,τl]Ynt-Yt#)1/2≤Cl（E）“A”l监督∈[ν,τl]Ynt-Yt#)1/2.作为n→ ∞, （6.41）显示limn→∞EZτlνYnt-YtdKnt= 所以直到{Yn}n的子序列∈N、 林恩→∞ZτlνYnt-YtdKnt=0，P-a、 s.（a.31）代表P-a、 sω∈ Ohm 这样（6.44）成立，路径Yt（ω）-Lt（ω）从t=ν（ω）到t=τ是连续的l（ω） 通过（6.40），我们可以从（6.44）中推断出度量dKnt（ω）弱收敛于度量edklt（ω）on周期[ν（ω），τl（ω） ]索利姆→∞Zτl（ω） ν（ω）（Yt（ω）-Lt（ω））dKnt（ω）=Zτl（ω） ν（ω）（Yt（ω）-Lt（ω））dKlt（ω）。把这个加在（A.31）上，我们从（6.35）中看到-a、 s.0≤ 1{ν<τl}Zτlt（Ys）-Ls）dKls≤ 1{ν<τl}Zτlν（Ys）-Ls）dKls=Zτlν（Ys）-Ls）dKls=limn→∞ZτlνYns-LsdKns=limn→∞Zτlν{Yns<Ls}（Yns-Ls）dKns≤0, T∈ [ν, τl],证明（6.45）。索赔证明（6.60）：很明显，Yγν=1{γν=T}YT+1{γν<T}Yγν≤ 1{γν=T}ξ+1{γν<T}Uγν，P- a、 所以我们只需要展示c onverse不等式。修理∈ N.显然，Kns:=nRs（Ynr-Lr）-s博士∈[0，T]是一个使P满意的过程-a、 s.Ynt=YnγnⅤ+ZγnⅤtg（s，Yns，Zns）ds+KnγnⅤ- 千牛-ZγnνtZnsdBs，T∈ 可积参数为36by（6.59）的[ν，γnν]DRBSDEs。自E[|Ynν|]<∞ 利用{Ynζ}ζ的一致可积性∈T、 应用引理A.2（Y，Z，K）=（Yn，Zn，Kn）和τ=γnν，我们从（1.6）中可以看出，对于任何p∈（0,1）EZγnνν| Znt | dt！p/2≤CpE“监督”∈[ν，γnν]|Ynt | p+Zγnννhtdtp#≤CpE“1+sups∈[0，T]| Ys | p+sups∈[0，T]| Ys | p+ZThtdt |。（A.32）让j∈N和定义a s浇头时间ζnj:=infT∈[0，T]：Rt | Zns | ds>j∧T∈T

因为（6.59）显示yγν∧ζnj≥ Ynγν∧ζnj=Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（s，Yns，Zns）ds+Knγnν∧ζnj- Knγν∧ζnj-Zγnν∧ζnjγν∧ζnjZnsdBs≥ Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（s，Yns，Zns）ds-Zγnν∧ζnjγν∧ζnjZnsdBs，P-a、 在美国，接受条件检验，嗯·Fγν∧ζnjiyields，P-a、 s.Yγν∧ζnj≥E“Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（t，Ynt，Znt）dtFγν∧ζnj#=1{γν≥ζnj}E“Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（t，Ynt，Znt）dtFζnj#+1{γν<ζnj}E“Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（t，Ynt，Znt）dtFγν#：=In，j+In，j.（A.3）As{γν≥ ζnj} {γnν≥ ζnj}，它保持P-a、 s.thatIn，j=E“{γν≥ζnj}Ynγnν∧ζnj+1{γν≥ζnj}Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（t，Ynt，Znt）dtFζnj#=Eh{γν≥ζnj}YnζnjFζnji=1{γν≥ζnj}Ynζnj。（A.34）与（6.17）、（H4）、（H5）、（1.5）和（1.6）类似，暗示g（t，Ynt，Znt）≤κ+（1+κ）ht+2κ| Ynt |+κ| Znt |α，dt 数据处理-a、 s。然后根据H¨older不等式，P-a、 s.Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（s，Yns，Zns）ds≤Zγnνγνg（s，Yns，Zns）ds≤CZγnνγν（1+hs+|Yns |）ds+κ（γnν）-γν)1-α/2Zγnνγν| Zns | ds！α/2（A.35）≤ CZT（1+hs+| Yns |）ds+CαZT | Zns | ds！α/2. （A.36）Fubini定理和{Ynζ}ζ的一致可积性∈T、 ERT | Yns | ds=RTE|Yns|ds≤喝一杯∈[0，T]E|Yns|< ∞,和锌一起∈ H2，α表明（A.36）中的最后一项是可积的。砷锌∈ ∩P∈（0,1）H2，p H2,0显示了这一点ζnjJ∈如果是静止的，它可以保持P-a、 那就是林杰→∞Yγν∧ζnj=Yγν，尽管我们还没有证明Y是否是一个连续过程。让j→ ∞ 在（A.33）和（A.34）中，我们可以从{Ynζ}ζ的一致可积性推导出来∈Tand支配收敛定理的条件期望形式thatyγν≥ 1{γν=T}YnT+limj→∞In，j=1{γν=T}ξ+1{γν<T}E“Ynγnν+Zγnνγνg（T，Ynt，Znt）dtFγν#=1{γν=T}ξ+1{γν<T}E{γnν=T}ξ+1{γnν<T}Uγnν+Zγnνγg（T，Ynt，Znt）dtFγν#，P-a、 （a.37）在上一个等式中，我们使用了Ynγnν=Uγnν，P-a、 美国。

利用yn和U的连续性讨论{γnν<T}。自从limn→∞↓ 1{γnν=T}=1{γν=T}和自ξ∈ L（FT），应用支配收敛定理的条件实验版本→∞{γν<T}E{γnν=T}ξFγν= 画→∞E{γν<T}{γnν=T}ξFγν= 0，P-a、 s.（a.38）参考文献37As 1{γnν<T}Uγnν= 1{γnν<T}Ynγnν≤Yγnν+Yγnν, P-a、 s，{Yζ}ζ的一致可积性∈Tand{Yζ}ζ∈Timpliesthat of{γnν<T}UγnνN∈N、 然后它从U thatlimn的连续性开始→∞E{γnν<T}UγnνFγν= E{γν<T}UγνFγν= 1{γν<T}Uγν，P-a、 s.（a.39）集合eα：=（1+α）∈ (0, 1). 给定ε>0，ε：=nEhRγnνγνg（s，Yns，Zns）dsFγνi>εo∈Fγν（A.35）、H¨older’sinequality和（A.32）表示p（Anε）≤εE“AnεEZγnνγνg（t，Ynt，Znt）dtFγν#=εE“AnεZγnνγνg（t，Ynt，Znt）dt#≤CεEZγnνγν（1+ht+|Ynt |）dt+κεE（γnν）-γν)1-α/2Zγnνγν| Znt | dt！α/2≤CεEZγnνγν1+ht+| Yt+| Yt|dt+κεnEh（γnν）- γν)(2-α） eα2（eα-α） io1-α/eα（e“Zγnνγν| Znt | dteα/2#）α/eα≤CεEZγnνγν1+ht+| Yt+| Yt|dt+CαεnEh（γnν）-γν)(2-α） eα2（eα-α） io1-α/eα（e“1+sups∈[0，T]| Yt | eα+sups∈[0，T]| Yt | eα+ZThtdt#）α/eα。由于Fubini定理和{Yζ}ζ的一致可积性∈T、 {Yζ}ζ∈这是怎么回事1+ht+| Yt+| Yt|dt≤ZT（1+ht）dt+ZTE|Yt |+| Yt|dt≤ZT（1+ht）dt+T支持∈[0，T]E[|Yt |]+T supt∈[0，T]E[|Yt |]<∞,让n→ ∞, 我们可以从支配收敛定理和有界收敛定理中推导出来→∞P（E）Zγnνγνg（s，Yns，Zns）dsFγν>ε） =0，P-a、 因此，EhRγnνγνg（s，Yns，Zns）dsFγνi在概率P上收敛到0，直到{（Yn，Zn）}n的子序列∈N、 一个哈斯林→∞E“Zγnνγνg（s，Yns，Zns）dsFγν#=0，P-a、 与（a.37）一起-（A.39）导致Yγν≥1{γν=T}ξ+1{γν<T}Uγν，P-a、 美国。参考文献[1]K.B a h lali，S.Hamad`ene和B。Mezerdi，具有两个反射屏障和连续二次增长系数的倒向随机微分方程，随机过程。应用程序。，115（2005），pp。

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