具有可积参数的双反射BSDE及相关Dynkin

这和（3.2）一起表明P-a、 s.eYt:=E[Yν| Fν∧t] +Yν∨(τ ∧（t）-Yν=E[Yν]+Zν∧teZsdBs-Zν∨(τ ∧t） νgsds-Vν∨(τ ∧t） +Vν+Vν∨(τ ∧（t）-Vν+Zν∨(τ ∧t） νzsbs=E[Yν]-Zt{ν<s≤τ }gsds-Zt{ν<s≤τ}（dVs）- dVs）+Zt{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}Zs星展银行∈ [0，T]，（6.3）其中gs:=g（s，Ys，Zs）-g（s，Ys，Zs）。苏伊是个F-适应连续过程，即∈ 将It^oTanaka公式应用于processeY+得到P-a、 s.eY+t=E[Yν]+-Zt{eYs>0}{ν<s≤τ }gsds+Lt-Zt{eYs>0}{ν<s≤τ}（dVs）- dVs）+Zt{eYs>0}{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}Zs星展银行∈[0，T]，（6.4）6.1第3节和第4节中结果的证明，其中L是F-被称为Ey a t 0的“当地时间”的适应的、不断增加的过程。让n∈N.我们定义了停止时间τN:=infT∈|n，ν∧τ ∈Tν，τ，并对过程进行部分积分eλ+（τn）∧t） eY+τn∧TT∈[0，T]来获得P-a、 s.eλ+（τn）∧t） eY+τn∧t=eλ+τnY+τn+Zτnτn∧t{Ys>0}{s>ν}eλ+sgsds+Zτnτn∧t{Ys>0}{s>ν}eλ+s（dVs- （dVs）-Zτnτn∧teλ+sdLs-λ+Zτnτn∧teλ+seY+sds-Zτnτn∧t{eYs>0}eλ+s{s≤ν} eZs+1{s>ν}Zs星展银行∈[0，T]。（6.5）这里我们使用了以下事实：∨(τ ∧t） =E[Yν| Fν]+Yν∨(τ ∧（t）-Yν=Yν∨(τ ∧t） ,，T∈ [0，T]，即eYt=Yt，T∈ [ν, τ]. （6.6）由于GSaties（H2）和（H5），它持有ds 数据处理-a、 在[[ν，τ]]上，{Ys（ω）>0}Gs、 ω，Ys（ω），Zs（ω）-Gs、 ω，Ys（ω），Zs（ω）≤1{Ys（ω）>0}λY+s（ω）≤λ+Y+s（ω），（6.7）以及Gs、 ω，Ys（ω），Zs（ω）-Gs、 ω，Ys（ω），Zs（ω）≤κhs（ω）+Ys（ω）+Zs（ω）|α+κhs（ω）+Ys（ω）+Zs（ω）|α.将其插回（6.5）并取t=ν∨在这里，我们从（6.2）和（3.3）中看到P-a、 s.eλ+（ν）∨（τn）∧t） ）Y+ν∨（τn）∧（t）≤eλ+τnY+τn+2κeλ+Tη-Zτnν∨（τn）∧t） {Ys>0}eλ+sZsdBs，t∈[0，T]，（6.8）式中η：=Rτνht++Yt++Zt++Zt|αdt。让我们∈ [0，T]。接受条件期望· |Fν∨（τn）∧（t）在（6.8）yie lds中，eλ+（ν∨（τn）∧t） ）Y+ν∨（τn）∧（t）≤Eheλ+τnY+τn+2κeλ+TηFν∨（τn）∧t） i，P-a、 因此{ν≤T≤τn}eλ+tY+t≤ 1{ν≤T≤τn}Eheλ+τnY+τn+2κeλ+TηFti，P-a、 美国。

（6.9）乘以（1.5）和H¨older不等式η≤Zτνht+| Yt|αdt+Xi=1Zτν| Zit |αdt≤ T1-αZτνht+| Yt|dtα+T1-α/2Xi=1Zτν| Zit | dtα/2，P-a、 s.Fubini定理与系统的一致可积性γγ∈Tν，τ意味着EZτν| Yt | dt=EZτν| Yν∨(τ ∧t） |dt≤ 埃兹特Yν∨(τ ∧（t）dt=ZTEhYν∨(τ ∧（t）idt≤T supγ∈Tν，τE|γ|<∞.当q=p/α时，再次应用（1.5）和H¨older不等式得到e[ηq]≤ 第三季度-1T（1-α） qEZτνht+| Yt|dtp+3q-1T（1-α/2）qXi=1E“Zτν| Zit | dtp/2#<∞. （6.10）我们从呃Rτν| Zit | dtp/2i<∞, i=1，2表示P-a、 sω∈ Ohm, 对于某些Nω，τ（ω）=τNω（ω）∈ 无论如何∈ [0，T]，因为易γγ∈Tν，τ，i=1，2意味着eλ+γY+γγ∈Tν，τ，n→∞ 在（6.9）中，P-a、 s.{ν≤T≤τ}Y+t≤1{ν≤T≤τ}eλ+tY+t≤1{ν≤T≤τ}2κeλ+TEheλ+τ（Yτ）-Yτ）++η| Fti=1{ν≤T≤τ}2κeλ+TE[η| Ft]。利用Y+的连续性和过程的连续性，可积参数为12的DRBSDEE[η|英尺]T∈[0，T]，一个得到PY+t≤2κeλ+TE[η| Ft]，T∈[ν, τ]= 1.然后Doob的鞅不等式和（6.10）导致了“supt”∈[ν,τ ]Y+tq#≤ （2κ）qeqλ+TE“supt∈[0，T]（E[η| Ft]）q#≤qq- 1.q（2κ）qeqλ+TE[ηq]<∞. （6.11）（2）接下来，我们展示E“supt∈[ν,τ ]Y+tq#=0；然后很容易得出结论。根据（6.4），应用引理3.1得到P-a、 美国。eY+tq=E[Yν]+Q-qZt{eYs>0}{ν<s≤τ }eY+sQ-1.gsds+qZteY+sQ-1dLs-qZt{eYs>0}{ν<s≤τ }eY+sQ-1（dVs）-dVs）+qZt{eYs>0}eY+sQ-1.{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}ZsdBs+q（q）-1） Zt{eYs>0}eY+sQ-2.{s≤ν}埃兹+1{ν<s≤τ}Zs|ds，t∈ [0，T]。设置a:=λ++κ1∧（q）-1） 让n∈N

我们定义了一个停止时间γn:=infT∈[ν，τ]：sups∈[ν，t]Y+s+Ztν| Zs | ds>n∧τ ∈Tν，τ，并对过程进行部分积分aq（γn∧（t）eY+γn∧T库特∈[0，T]来获得P-a、 s.eaq（γn）∧（t）eY+γn∧Tq+q（q）-1） Zγnγn∧t{eYs>0}eaqseY+sQ-2.{s≤ν}埃兹+1{s>ν}|Zs|ds=eaqγnY+γnq+qZγnγn∧t{Ys>0}∩{s>ν}eaqsY+sQ-1.gsds-aqZγnγn∧柚木eY+s量子点-qZγnγn∧柚木eY+sQ-1dLs+qZγnγn∧t{Ys>0}∩{s>ν}eaqsY+sQ-1（dVs）-（dVs）-qZγnγn∧t{eYs>0}eaqseY+sQ-1.{s≤ν} eZs+1{s>ν}Zs星展银行∈[0，T]。然后（6.6），（6.2），（6.7）和（3.3）暗示P-a、 s.eaqtY+tq+q（q）-1） Zγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds=eaqγnY+γnq+qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1.gsds-aqZγnteaqsY+s量子点-qZγnteaqsY+sQ-1dLs+qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1（dVs）-（dVs）-qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1ZsdBs≤ eaqγnY+γnq+qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1.g（s，Ys，Zs）-g（s，Ys，Zs）ds-qκ1∧（q）-1） ZγnteaqsY+s量子点-qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1ZsdBs，T∈ [ν，γn]。自1{Yt>0}κY+tQ-1 | Zt|≤Q-1{Yt>0}Y+tQ-2 | Zt |+κq-1.Y+tQT∈[ν，τ]，我们可以从（H1）推导出P-a、 s.eaqtY+tq+q（q）-1） Zγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds≤eaqγnY+γnQ- qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1ZsdBs，T∈ [ν，γn]。对t=ν进行实验表明tq（q-1） EZγnν{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds≤ EheaqγnY+γn气。另一方面，Burkholder-Davis-Gundy不等式意味着∈[ν，γn]eatY+tq#≤ EheaqγnY+γnqi+qE“支持”∈[0，T]ZTt{ν≤s≤γn}{Ys>0}eaqsY+sQ-1ZsdBs#≤ EheaqγnY+γnqi+CqE“支持∈[ν，γn]eatY+tq/2·Zγnν{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds1/2#≤ EheaqγnY+γn气+E“支持∈[ν，γn]eatY+tq#+CqEZγnνYs>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds。作为E“supt∈[ν，γn]eatY+tq#≤ “监督”∈[ν,τ ]Y+tq#∞ 在（6.11）中，从（6.12）中可以看出“supt”∈[ν，γn]Y+tq#≤E“supt∈[ν，γn]eatY+tq#≤2EheaqγnY+γnqi+CqEZγnν{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds≤cqehaqγnY+γn气。因为（6.11）和呃Rτν| Zit | dtp/2i<∞, i=1，2，它适用于P-a、 sω∈ Ohm 对于某些N′ω，τ（ω）=γN′ω（ω）∈N

让n→ ∞ 在上面的不等式中，我们可以从莫诺通收敛定理（6.11）和支配收敛定理（即∈[ν,τ ]Y+tq#=limn→∞↑ E“supt∈[ν，γn]Y+tq#≤Cqlimn→∞EheaqγnY+γnqi=CqEheaqτ（Yτ）-Yτ）+qi=0。备注4.1的证明：让ν∈T，τ∈Tν，T。对于ξ，必须显示（4.2）∈L（Fτ）。给定n∈N、 我们仍然在（A.3）中定义了停车时间。As Yτ，ξν∧γn=Yτ，ξγn+Rγnν∧γn{s≤τ}gsds-Rγnν∧γnZτ，ξsdBs，P-a、 与（a.4）相似，采用条件期望E·|Fν∧γn得到Yτ，ξν∧γn=1{ν≤γn}EYτ，ξγn+Rτ∧γnν∧γ-ngsdsFν+1{ν>γn}Yτ，ξγn+Rτ∧γnν∧γ-ngsds,P-a、 s.自{γn}n∈Nis静止不动，让n→∞, 我们可以从Yτ，ξγγ∈TthatEgν，τ[ξ]=Yτ，ξν=1{ν≤T}EYτ，ξT+ZτνgsdsFν+ 1{ν>T}Yτ，ξT+Zτνgsds= Eξ+ZτνgsdsFν, P-a、 美国。6.2第5节命题5.1的结果证明：（1）我们首先证明E[（Y*)p]<∞, P∈(0, 1).作为F的极限-适应的连续过程-可预测），Y也是F-可预测的过程。对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, Yt（ω）=limn→∞↑ Ynt（ω）意味着Y+t（ω）=limn→∞↑ Yn，+t（ω）。然后我们可以推断出+*（ω） =支持∈[0，T]Y+T（ω）=supt∈[0，T]支持∈NYn，+t（ω）=supn∈恩苏普特∈[0，T]Yn，+T（ω）=supn∈尼恩+*（ω） =林→∞↑ 伊恩+*(ω), ω ∈Ohm. （6.13）对于任何n∈N、 过程YNTP的连续性-a、 s，Yn+*= 监督∈[0，T]Yn，+T=supt∈[0，T]∩QYn，+t∈英国《金融时报》，这意味着+*是《金融时报》-可测量的我们从（6.13）中看到的n是Y+*也是英国《金融时报》-可测量的让p∈（α，1）并设置η：=ξ++L+*∈ L（英尺）。给定n∈ N、 我们声称P-a、 s.（Ynt）+≤ CαEh1+η+伊恩+*αFti，t∈ [0，T]，（6.14）（将在本证明的最后部分显示）。

因为Mnt:=Eh1+η+伊恩+*αFti，t∈ [0，T]是一个统一的可积鞅，应用[11]中的引理6.1，我们可以从（6.14），（1.5），（1.6），H¨older不等式和Young不等式（Yn+*)P≤ CpαE“supt∈[0，T]（Mnt）p#≤Cpα1- p（E[MnT]）p≤Cpα1- pn1+（E[η]）p+E（Yn+*)α阿宝≤Cpα1- pn2+E[η]+E伊恩+*Pαo≤ Cα，p1+E[η]+E伊恩+*P.可积参数为14E的DRBSDEs（Yn+*)P≤ E[（Yn）*)p] <∞, 我们看到E（Yn+*)P≤ Cα，p1+E[η]. 当n→ ∞, （6.13）和单调收敛定理+*)p]≤ Cα，p1+E[η]. 因为| Yt |=Y-t+Y+t≤ （Yt）-+ Y+t≤ |Yt |+Y+t，T∈ [0，T]，（6.15）（1.5）意味着E[（Y*)p]≤ E（Y）*)P+ E[（Y+*)p] <∞.此外，对于任何ep∈（0，α），（1.6）表明*)计划免疫≤1+Eh（Y）*)α+1i<∞. 因此，E[（Y*)p]<∞, P∈(0, 1).（2） 接下来，让我们证明Y属于（D）类。从E[（Y）开始+*)α] < ∞, 让n→ ∞ 在任何一个定理中，fo.6∈[0，T]，Y+T≤CαE1+η+（Y）+*)α英尺, P-a、 s.使用过程Y+和过程Y+的连续性E1+η+（Y）+*)α英尺T∈[0，T]，我们从（6.15）中看到-a、 s.| Yt |≤ |Yt |+Y+t≤|Yt |+CαE1+η+（Y）+*)α英尺, T∈[0，T]。这意味着Y属于（D）类，而yi属于（D）类。（3） 这仍有待证明费率索赔（6.14）。无论如何∈[0，T]，过程L的连续性表明P-a、 s.，Γt:=sups∈[0，t]L+s=sups∈[0，t]∩QL+s∈Ft，这意味着Γ是F-用E[ΓT]调整、持续增长的过程<∞.让n∈N.SinceRT{Ynt>Γt}（Ynt-Lt）-dt=0，应用它^o-田中的加工配方（Yn）-Γ）+产生（Ynt）-Γt）+=（YnT-ΓT）++ZTt{Yns>Γs}（g（s，Yns，Zns）ds-dJns-ZnsdBs）+ZTt{Yns>Γs}dΓs-（LnT）-Lnt，t∈[0，T]，其中ln是Yn的“当地时间”- Γ在0。设置a:=2（κ+κ）。

给定j∈ N、 我们定义了一个停止时间γj=γnj:=inf{t∈[0，T]：Rt | Zns | ds>j}∧ T∈并按程序的各个部分进行整合ea（γj）∧t） （Ynγj）∧T- Γγj∧（t）+T∈[0，T]来获得P-a、 s.ea（γj）∧（t）Ynγj∧T-Γγj∧T++aZγjγj∧茶（Yns）-Γs）+ds=eaγj（Ynγj）-Γγj）++Zγjγj∧t{Yns>Γs}eas（g（s，Yns，Zns）ds-dJns-ZnsdBs）+Zγjγj∧t{Yns>Γs}easdΓs-Zγjγj∧提斯德恩斯，t∈ [0，T]。（6.16）因为（H4）、（H5）、（1.5）和（1.6）暗示| g（t，Ynt，Znt）|≤ |g（t，Ynt，0）|+|g（t，Ynt，Znt）- g（t，Ynt，0）|≤ ht+κ| Ynt |+κ（ht+|Ynt |+|Znt |）α≤ ht+κ| Ynt |+κ（ht+|Ynt |）α+κ| Znt |α≤ ht+κ| Ynt |+κ（1+ht+|Ynt |）+κ| Znt |α（6.17）≤ κ+（1+κ）ht+2κ| Ynt- Γt |+2κt+κZnt |α，dt 数据处理-a、 根据（6.16）中的条件期望E[·| Ft]，我们可以从H¨older不等式推导出，对于任何∈ [0，T]ea（γj）∧（t）Ynγj∧T-Γγj∧T+≤κT吃+Eeaγj（Ynγj）-Γγj）+（1+κ）eaTZThsds+（1+2κT）eaTΓT+κT1-α/2e（1）-α） aTZγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2英尺, P-a、 （6.18）我们使用了1{Ynt>Γt}|Ynt这一事实- Γt |=（Ynt）- Γt）+。将公式应用于过程ne2a（γj∧（t）（Ynγj）∧T- Γγj∧（t）+ot∈[0，T]in（6.16）生成e2a（γj）∧（t）（Ynγj）∧T- Γγj∧（t）++ 2aZγjγj∧氧化钛（Yns）- Γs）+ds+Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns | ds=e2aγj（Ynγj）-Γγj）++2Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+（g（s，Yns，Zns）ds-dJns-ZnsdBs）+2Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+dΓs-Zγjγj∧te2as（Yns）- Γs）+dLns，t∈ [0，T]。（6.19）6.2第15节中结果的证明，因为（H1）和（H4）暗示 数据处理-a、 s.| g（t，Ynt，Znt）|≤|g（t，Ynt，0）|+|g（t，Ynt，Znt）-g（t，Ynt，0）|≤ht+κ| Ynt |+κ| Znt|≤ht+κ| Ynt- Γt |+κΓt+κ| Znt |，它持有dt 数据处理-a、 那{Ynt>Γt}（Ynt-Γt）+g（t，Ynt，Znt）≤（Ynt）-Γt）+ht+（κ+2κ）（Ynt）-Γt）++{Ynt>Γt}Γt+{Ynt>Γt}Znt |。设置ψnt:=sups∈[t，t]（Yns）- Γs）+，t∈ [0，T]。

然后从m（6.19）得出e2a（γj∧（t）Ynγj∧T-Γγj∧T++Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as|Zns|ds≤e2aT（Ynγj）++2e2aTψntZTthsds+te2atΓT+2e2aTψntΓT- 2Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as（Yns- Γs）+ZnsdBs≤e2aT（Ynγj）++（ψnt）+CZThsds+CΓT+Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as（Yns- Γs）+ZnsdBs, T∈ [0，T]，取两边的或derα/2的幂，我们从（1.5）中看到α/2-1eαa（γj）∧（t）Ynγj∧T- Γγj∧T+α+Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2≤eαaT（Ynγj）+α+（ψnt）α+CαZThsds！α+CαΓαT+ZTt{s≤γj}{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+ZnsdBsα/2，t∈[0，T]。（6.20）让t∈[0，T]。对于任何一个∈辛恰堡ZTt{s≤γj}{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+ZnsdBsα/2=ZTtA{s≤γj}{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+ZnsdBsα/2=ZTA{t≤s≤γj}{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+ZnsdBsα/2，乘以1Ato（6.20）并取期望值，我们可以从Burkholder-Davis-Gundy不等式和（1.6）E中推导出frAZγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2≤CαE“A（Ynγj）+α+1A（ψnt）α+1AZThsds！α+1AΓαT+ZTA{t≤s≤γj}{Yns>Γs}e4as（Yns）-Γs）+|Zns | dsα/4#≤CαEA+1A（Ynγj）++1A（ψnt）α+1AZThsds+1AΓT+1A（ψnt）α/2·ZTt{s≤γj}{Yns>Γs}e2as | Zns | ds！α/4≤CαE“A+1A（Ynγj）++1A（ψnt）α+1AZThsds+1AΓT#EAZγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2.自从ERγjγj∧t{Yns>Γs}e2as|Zns|dsα/2≤ eαaTjα/2和sinceE[（ψn）α]=e“supt∈[0，T]（Ynt）-Γt）+α#≤ E“supt∈[0，T]（Ynt）+α#≤ kYnkSα<∞,具有可积参数16A的DRBSDEs允许A随FTE变化Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2英尺≤ CαE“1+（Ynγj）+（ψnt）α+ZThsds+ΓT英尺#。然后我们从（6.18）中看到Ynγj∧T-Γγj∧T+≤ea（γj）∧（t）Ynγj∧T-Γγj∧T+≤CαE“1+（Ynγj）+（ψn）α+ZThsds+ΓT英尺#，P-a、 s.（6.21）{Ynγ}γ的一致可积性∈蒂姆普利斯（Ynγ）+γ∈T.砷锌∈ ∩P∈（0,1）H2，p H2,0，{γj}j∈尼丝静止不动。所以le Ting j→ ∞ 在（6.21）中，我们可以从过程Ynt的连续性推断+≤Γt+（Ynt-Γt）+≤Γt+CαE“1+ξ++（ψn）α+ZThsds+Γt英尺#≤CαE1+η+（ψn）α英尺, P-a、 然后根据过程SYN+和过程的连续性提出索赔（6.14）E1+η+（ψn）α英尺T∈[0，T]。

命题5.2的证明：证明相对较长，请参见我们的简介以获取草图。我们将把一些技术细节（带星号标签的方程式）的演示推迟到附录中。（1） 对任何人来说∈ N、 Knt:=nRt{ν<s≤τ}（Yns）- Ls）-ds，t∈ [0，T]显然是一个KsatisfyingKnt=0的过程，T∈[0, ν]. （6.22）作为Knτ-Knt=nRτt{ν<s≤τ}（Yns）-Ls）-ds=nRτt（Yns-Ls）-ds，T∈[ν，τ]，（5.3）s如何表示P-a、 s.Ynt=Ynτ+Zτtg（s，Yns，Zns）ds+Knτ- Knt-ZτtZnsdBs，T∈ [ν, τ]. （6.23）自{t≥ν}T∈[0，T]是F-采用了c`a dl`ag工艺和s inc e工艺Ynτ∧TT∈[0，T]是F-通过连续过程，我们看到Y是F-可选流程。（需要一些努力才能显示Y beν和T之间的连续性，中间结果见（6.40）。）根据初始定理，τl:=infT∈ [ν，τ]：（Yt）-+Y+t+L+t+Ztνhsds>l∧τ, l ∈ N（6.24）表示带ν的停止时间≤ τl≤ τ、 也就是说。τl∈ Tν，τ。作为EhL+*+RTHTDI<∞ 和Pnsupt∈[ν,τ ]（Yt）-+Y+t< ∞o=1，表示任意ω∈Ohm 除了P-对于some Nω，τ（ω）=τNω（ω）处的空集N∈N.现在，让我们来看看l∈N用于本部分以及接下来的两部分。让N:=∪N∈N{ω∈Ohm : 路径Yn·（ω）不是连续的}（这显然是一个P-空集）并设置l:= {ν < τl} ∩ 北卡罗来纳州∈ Fν∧τl Fν。给定ω∈ A.l, 对任何人来说∈ N我们可以从（6.24）得出| Ynt（ω）|≤ l, T∈ν(ω), τl(ω), 每个Ynt的连续性意味着|Ynt（ω）|≤ l,T∈ν(ω), τl(ω). 然后是{Yn}n的单音性∈南沙普恩∈NYnt（ω）≤Yt（ω）∨Yt（ω）≤ l, T∈ν(ω), τl(ω), ω ∈ A.l. （6.25）让n∈ N.作为E|1AlYnν|≤ l, 推论3.1表明存在一个uniqueeZl,N∈ ∩P∈（0,1）H2，psuch茅草EA.lYnν| Ft=EA.lYnν+RteZl,nsdBs，T∈[0，T]= 1.与（6.3）相似，我们可以从（6.23）推断P-a、 纽约l,nt:=EA.lYnν| Fν∧T+Ynν∨(τl∧（t）-Ynν=EA.lYnν-Zt{ν<s≤τl}g（s，Yns，Zns）ds-千牛∨(τl∧t） +Knν+Zt{s≤ν} 埃兹l,ns+1{ν<s≤τl}硫化锌星展银行∈ [0，T]。

（6.26）6.2第5.17Y节中结果的证明l,尼桑·F-适应的连续过程（即Yl,N∈ S） 这很令人满意l,nt=EA.lYnν| Fν+Ynt-Ynν=1AlYnν+1Al（Ynt）-Ynν）=1AlYnt，T∈ [ν, τl], （6.27）和（6.26）表明-a、 纽约l,新界-Yl,nτl-Knτl+Knt+ZτltZnsdBs=Zτltg（s，Yns，Zns）ds=1AlZτltg（s，Y）l,ns，Zns）ds=Zτltg（s，Y）l,ns，Zns）ds，T∈[ν, τl]. （6.28）自EYl,nν≤ l 由（6.27），（6.25）和由于Knν=0由（6.22），应用引理A.2和（Y，Z，K）=（Yl,n、 Zn，Kn）和（τ，p）=（τl, 2） ，我们从（6.27），（6.25）和（6.24）中看到lν| Znt | dt+E（Knτ）l)≤行政长官“监督”∈[ν,τl]Yl,新界#+行政长官“Zτlνhtdt#≤Cl. （6.29）然后从（H1）得出ERτlν| g（t，Y）l,新界，Znt）-g（t，Y）l,nt，0）| dt≤κERτlν| Znt | dt≤Cl. 根据[50]的定理5.2.1，{ν<t≤τl}ZntT∈[0，T]，n∈N有一个弱收敛的子q uenc e我们仍然用{1{ν<t来表示它≤τl}Znt}t∈[0，T]，n∈ N带极限Zl∈ H2,2；和{ν<t≤τl}（g（t，Y）l,新界，Znt）-g（t，Y）l,新界，0）T∈[0，T]，n∈ N具有弱收敛子序列我们仍然用{ν<t≤τl}（g（t，Y）l,新界，Znt）-g（t，Y）l,新界，0）T∈[0，T]，n∈N和limitehl∈H2，2。这很容易推断lt=1{ν<t≤τl}Zl坦德lt=1{ν<t≤τl}嗯lt、 dt 数据处理-a、 s.（6.30）F-Y的可选可测量性意味着停止进程的可测量性Yν∧TT∈[0，T]和Yτl∧TT∈[0，T]（参见[33]中的推论3.24）。作为一个l∩ {t>ν}∈ 任何FTT∈ [0，T]，A.l∩{t≥ν}T∈[0，T]是F-采用c`adl`ag工艺。Thennyν∨(τl∧（t）- Yν=1Al∩{t≥ν} （Yτ）l∧T- Yν=1Al∩{t≥ν} （Yτ）l∧T- Yν∧t） ，t∈ [0，T]（6.31）是F-可选流程，它遵循thateKlt:=Yν-Yν∨(τl∧（t）-Zt{ν<s≤τl}g（s，Ys，0）+ehlsds+Zt{ν<s≤τl}ZlsdBs，t∈ [0，T]（6.32）还定义了F-可选流程。

因为（6.31），（6.25），（H4），（6.24）和霍尔德的不平等性意味着埃克lT≤ 1Al∩{t≥ν}Yτl∧T+ |Yν|+1AlZτlνht+κ| Yt |+| ehlt|dt+Zt{ν<s≤τl}ZlSDB≤ 3.l+κlT+TZτlν|呃lt|dt1/2+支持∈[0，T]Zt{ν<s≤τl}ZlSDB, T∈ [0，T]，ob的鞅不等式和（1.5）证明了这一点吗埃克l*我≤Cl+3T-EZτlν|呃lt | dt+3E“支持∈[0，T]Zt{ν<s≤τl}ZlSDB#≤Cl+CEZτlν嗯lT+ZlTdt<∞. （6.33）我们下一步要求l满足引理A.3的条件，因此是一个不断增长的过程。（6.34*）作为Eh埃克lT我∞ 到（6.33），它保持P-a、 s.thateK公司lT<∞. 然后将[44]中的引理2.2应用于（6.32）表明这两个过程l和程序Yν∨(τl∧（t）T∈[0，T]有P-a、 s.c`adl`ag路径。（2） 通过H¨older不等式和（6.29），ERτlν（Ynt）-Lt）-dt=nEKnτl≤NE（Knτ）l)1/2≤北卡罗来纳州l, N∈ N.莱廷→∞, 从单调收敛定理我们知道EZτlν（Yt）-Lt）-dt=limn→∞↓ EZτlν（Ynt）-Lt）-dt=0，DRBSDEs具有可积参数18，因此它保持dt 数据处理-a、 s.1{ν<t<τl}（Yt）-Lt）-= 0.自从Yν∨(τl∧（t）T∈[0，T]有P-a、 第（1）部分的s.c`adl`ag路径，L有P-A.s、 对于任何ω，我们都可以将其导出∈A.l除了P-空集l, Yt（ω）≥Lt（ω）表示anyt∈ν(ω), τl(ω). 给定ω∈ {ν < τ}∩北卡罗来纳州∩北卡罗来纳州∩∪l∈嫩lc、 存在一个nω∈ N使得τNω（ω）=τ（ω）>ν（ω）。所以ω∈ ω∩eNcnω=ω′∈ Ohm : ν（ω′）<τnω（ω′）∩ 北卡罗来纳州∩eNcnω和Yt（ω）≥Lt（ω）对任何t都成立∈ν（ω），τnω（ω）=ν(ω), τ(ω). 总而言之，它适用于P-a、 sω∈ {ν<τ}Yt（ω）≥对于任何t，Lt（ω）∈ν(ω), τ(ω), 它与P{Yτ结合在一起≥Lτ}=1表明对于任何ω∈ P上的{ν<τ}e例外-空值nyt（ω）≥ Lt（ω），T∈ν(ω), τ(ω). （6.35）现在我们冻结参数l 再让ω∈ A.l∩bNc。作为一个l {ν < τ} ∩ Nc，我们从（6.35）thatYt（ω）中看到≥ 对于任何t，Lt（ω）∈ν(ω), τl(ω).