具有可积参数的双反射BSDE及相关Dynkin

（6.82）同样地，我们可以减少≥Egν，τ∧bγYτ∧bγ, P-a、 （6.83）证明（2.1）。过程Y，L和U的连续性意味着1{bτ<T}Ybτ=1{bτ<T}Lbτ和1{bγ<T}Ybγ=1{bγ<T}Ubγ，P-a、 美国ITP紧随其后-a、 s.R（bτ，γ）=1{bτ<γ}Lbτ+1{γ≤bτ}∩{γ<T}Uγ+1{bτ=γ=T}ξ≥ 1{bτ<γ}Ybτ+1{γ≤bτ}∩{γ<T}Yγ+1{bτ=γ=T}YT=Ybτ∧γ、 （6.84）和R（τ，bγ）=1{τ<bγ}Lτ+1{bγ≤τ }∩{bγ<T}Ubγ+1{τ=bγ=T}ξ≤ 1{τ<bγ}Yτ+1{bγ≤τ }∩{bγ<T}Ybγ+1{τ=bγ=T}YT=Yτ∧bγ。（6.85）然后（6.82），（6.83）和g的单调性-计算结果表明，egν，τ∧bγR（τ，bγ）≤Egν，τ∧bγYτ∧bγ≤Yν≤Egν，bτ∧γYbτ∧γ≤Egν，bτ∧γR（bτ，γ）, P-a、 s.在τ上取本质s-upremum∈ Tν，和γ上的绝对必要值∈ Tν，T分别产生tha tessupτ∈Tν，Tγ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）≤ es-sinfγ∈Tν，tessupτ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）≤esssupτ∈Tν，TEgν，τ∧bγR（τ，bγ）≤ Yν≤essinfγ∈Tν，TEgν，bτ∧γR（bτ，γ）≤esssupτ∈Tν，Tγ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）, P-a、 再乘以6.80，它仍然保持P-a、 s。thatYt=Ybτ∧bγ+Zbτ∧bγtg（s，Ys，Zs）ds-Zbτ∧bγtZsdBs，T∈ν、 bτ∧ bγ.将其与γ=bγ的（6.81）进行比较，我们可以从命题3.2中推断出P-a、 s.，Yt=Ybτ∧bγ，Ybτ∧ bγt为任何∈ν、 bτ∧bγ. 在（6.84）中取γ=bγ，在（6.85）y中取τ=bτ，即yν=Ybτ∧bγ，Ybτ∧ bγν=Egν，bτ∧bγYbτ∧bγ= Egν，bτ∧bγR（bτ，bγ）,P-a、 这与（6.86）一起证明了（2.2）和（2.3）。（3） （唯一性）Let（Y，Z，K，J）∈∩P∈（0,1）Spx H2,0×K×Kbe DRBSDE（ξ，g，L，U）的另一种溶液，因此Y属于（D）类。因为Y也代表了atis（2.3），所以它适用于任何t∈ [0，T]tha-tYt=esssupτ∈t，苔丝∈Tt，TEgt，τ∧γR（τ，γ）= essinfγ∈Tt，tessupτ∈Tt，TEgt，τ∧γR（τ，γ）=Yt，P-a、 美国。

（6.87）Y和Y的连续性表明P-a、 s.ξ+ZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt- JT+JT-ZTtZsdBs=Yt=Yt=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-JT+JT-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]。比较两侧的马丁格尔零件表明，Zt=Zt，dt 数据处理-a、 它允许-a、 s.Kt- Jt=Kt- Jt，t∈ [0，T]。（6.88）DRBSDE中的影响条件（ξ，g，L，U）意味着-a、 s.Kt=Zt{Ys=Ls}dKs，Kt=Zt{Ys=Ls}dKs，Jt=Zt{Ys=Us}dJs，Jt=Zt{Ys=Us}dJs，t∈[0，T]。（6.89）作为P{Lt<Ut，T∈[0，T]}=1，我们可以推断P-a、 s.Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}{Ys=Ls}dKs=0和Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}{Ys=Ls}dKs=0，t∈[0，T]，这与（6.89），（6.87）和（6.88）一起导致P-a、 s.Jt=Zt{Ys=Us}dJs+Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}dJs+Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}dJs+Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}dJs+Zt{Ys=Us}dKs=Jt∈[0，T]。然后很容易从（6.88）得出-a、 美国，Kt=Kt，T∈[0，T]。A.附录27A附录引理A.1。给定ξ∈L（Fτ），设ξ∈L（Fτ），设g（t，ω，y，z）=1{t≤τ（ω）}g（t，ω，y，z），（t，ω，y，z）∈[0，T]×Ohmx R×Rdbe是一个发电机。然后一个搭扣Yτ，ξt=Yτ，ξτ∧TT∈[0，T]=1和Zτ，ξt=1{t≤τ}Zτ，ξt，dt 数据处理-a、 s.（a.1）符号（Yτ，ξ，Zτ，ξ）见（4.1）. 特别是，它持有P-a、 s.thatYτ，ξt=ξ+Zτtgs、 Yτ，ξs，Zτ，ξsds-ZτtZτ，ξsdBs，T∈ [0, τ]. （A.2）证据：给定n∈N、 我们定义了一个停止时间γN:=infT∈[0，T]：ZtZτ，ξsds>n∧T∈T（A.3）由于Yτ，ξτ∧γn=Yτ，ξγn+Rγnτ∧γn{s≤τ}gs、 Yτ，ξs，Zτ，ξsds-Rγnτ∧γnZτ，ξsdBs=Yτ，ξγn-Rγnτ∧γnZτ，ξsdBs，P-a、 在美国，接受条件反射检查·|Fτ∧γn产生P-a、 s.Yτ，ξτ∧γn=EYτ，ξγnFτ∧γn=1{τ ≤γn}EYτ，ξγnFτ+1{τ>γn}EYτ，ξγnFγn=1{τ ≤γn}EYτ，ξγnFτ+1{τ>γn}Yτ，ξγn.（A.4）作为Zτ，ξ∈ ∩P∈（0,1）H2，p H2,0，{γn}n∈国家统计局。

让n→ ∞, 我们可以从Yτ，ξγγ∈TthatYτ，ξτ=1{τ≤T}EYτ，ξTFτ+ 1{τ>T}Yτ，ξT=EYτ，ξTFτ= EξFτ= ξ、 P-a、 然后，P-a、 s.Yτ，ξτ∧t=Yτ，ξτ+Zτ∧t{s≤τ}gs、 Yτ，ξs，Zτ，ξsds-Zττ∧tZτ，ξsdBs（A.5）=ξ+ZTt{s≤τ}gs、 Yτ，ξτ∧s、 1{s≤τ}Zτ，ξsds-ZTt{s≤τ}Zτ，ξsdBs，t∈ [0，T]。这表明Yτ，ξτ∧t、 1{t≤τ}Zτ，ξtT∈[0，T]也解BSDE（ξ，gτ）。清晰地Yτ，ξτ∧TT∈[0，T]是F-适应连续过程，使E“supt∈[0，T]Yτ，ξτ∧Tp#≤ E“supt∈[0，T]Yτ，ξtp#∞ 任何p∈ （0,1）以及Yτ，ξγγ∈T0，τ是一致可积的。像{t≤τ }T∈[0，T]是F-一种自适应的c`agl`ad过程因此F-可预测的, 我们看到了{t≤τ}Zτ，ξtT∈[0，T]是F-可预测过程RT{t≤τ}Zτ，ξt|p/2≤ ERT | Zτ，ξt|p/2< ∞ 对于任何p∈ (0, 1). 因此，通过BSDE（ξ，gτ）的s解的唯一性，（A.1）成立。此外，（A.5）也可以表示为：-a、 s.Yτ，ξτ∧t=ξ+Zτ∧甘油三酯s、 Yτ，ξs，Zτ，ξsds-Zττ∧tZτ，ξsdBs，t∈ [0，T]，这导致（A.2）。引理A.2。设g:[0，T]×Ohm×R×Rd→ R是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测函数满足（H1）和（H4）。给定ν，τ∈T与ν≤τ、 让（Y，Z，K）∈S×eH2,0×K满足P-a、 s.Yt=Yτ+Zτtg（s，Ys，Zs）ds+Kτ- Kt-ZτtZsdBs，T∈ [ν, τ]. （A.6）如果E|Yν|< ∞, 那么对于任何p∈ (0, ∞), 嗯Rτν| Zt | dtp/2i+E（Kτ）-Kν）p≤ CpE监督∈[ν，τ]| Yt | p+CpEhRτνhtdt圆周率。具有可积参数的DRBSDEs 28Proof：设E|Yν|< ∞ 和fix p∈(0, ∞). 根据Burkholder-Davis-Gundy不等式，对于任何连续的局部鞅ME[（M）]，都存在cp>0*)p]≤ cpEhhMip/2土地和Eh（M）*)p/2i≤ cpEhhMip/4Ti。（A.7）设置ψ：=supt∈[ν，τ]|Yt |并假设E[ψp]<∞, 否则，结果就微不足道了。我们让n∈N并定义停止时间τN:=inf{t∈[ν，τ]：Rtν| Zs | ds>n}∧τ ∈T很明显，ν≤τn≤τ.

因为（H1），（H4）和H¨older不等式意味着kτn-Kν=Yν-Yτn-Zτnνg（t，Yt，Zt）dt+Zτnνztdbtbt≤2ψ+Zτnν（ht+κ| Yt |+κ| Zt |）dt+ZT{ν≤s≤τn}ZtdBt≤（2+κT）ψ+Zτνhtdt+κ√TZτnν| Zt | dt1/2+支持∈[0，T]Zt{ν≤s≤τn}ZsdBs, P-a、 以p-次方，我们可以从（1.5）和（A.7）推断出Kτn-Kν圆周率≤(1∨4p-1） （（2+κT）pE[ψp]+EZτνhtdtP+κpTp/2+cpE“Zτnν| Zt | dtp/2#）。（A.8）作为E|Yν|< ∞, 推论3.1意味着存在一个uniqueeZ∈ ∩P∈（0,1）H2，PE[Yν| Ft]=E[Yν]+rtezdbs，T∈[0，T]=1.类似于（6.3），（A.6）s，P- a、 s.eYt:=E[Yν| Fν∧t] +Yν∨(τ ∧（t）-Yν=E[Yν]-Zt{ν<s≤τ}g（s，Ys，Zs）ds-Zt{ν<s≤τ}dKs+Zt{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}Zs星展银行∈ [0，T]。（A.9）SoeY是F-适应连续过程，即∈ S.集a:=2（κ+κ）a和δ：=3(1 ∨ 4p/2-1)(1 ∨ 4p-1)κpTp/2+cp-2/p.将It^o公式应用于加工吃|爱|T∈[0，T]，我们可以从（A.9）推导出P-a、 美餐艾特=E[Yν]+阿兹提斯埃斯ds-2Zt{ν<s≤τ}easeYsg（s，Ys，Zs）ds+Zteas{s≤ν} |eZs |+1{ν<s≤τ}Zs|ds-2Zt{ν<s≤τ}easeYsdKs+2ztaseys{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}Zs星展银行∈ [0，T]。与（6.6）的类比表明，teYt=Yt，T∈ [ν, τ]. 因此，它持有P-a、 s.thateaτ| Yτ|=eaτeYτ= 吃艾特+aZτ茶埃斯ds-2Zτt{ν<s≤τ}easeYsg（s，Ys，Zs）ds-2Zτt{ν<s≤τ}easeYsdKs+2Zτteasys{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}ZsdBs+Zτ茶{s≤ν} |eZs |+1{ν<s≤τ}Zs|ds=吃| Yt |+Zτ茶a | Ys |+|Zs|-2Ysg（s、Ys、Zs）ds- 2ZτteasYsdKs+2ZτteasYsZsdBs，T∈[ν, τ]. （A.10）那么（H1）和（H4）意味着P-a、 s.eaνYν+Zτnνeasa | Ys |+|Zs|ds=eaτnYτn+2ZτnνeasYsg（s，Ys，Zs）ds+2ZτnνeasYsdKs-2Zτnνeasyszsbs≤eaTψ+2Zτnνeas|Ys | hs+κ| Ys |+κ| Ys | Zs|ds+2atψ（Kτn）-Kν）+2ZT{ν≤s≤τn}easYsZsdBs≤1+δe2aTψ+2atψ·Zτνhsds+2（κ+κ）Zτnνeas | Ys | ds+Zτnνeas | Zs | ds+δ（Kτn-Kν）+2ZT{ν≤s≤τn}easYsZsdBs.A.

附录29如下所示：-a、 s.Zτnν| Zt | dt≤Zτnνeas | Zt | dt≤4+δe2aTψ+2Zτνhtdt+δ（Kτn）-Kν）+4支持∈[0，T]Zt{ν≤s≤τn}easYsZsdBs.以p/2为例-下面，我们可以从（1.5）和（a.8）中推断出：Zτnν| Zt | dtp/2#≤(1 ∨ 4p/2-1)(4+δp/2apte[ψp]+2p/2EZτνhtdtP+δp/2E[（Kτn-Kν）p]+4p/2cpE“Zτnνe2at | Yt | Zt | dtp/4#）≤CpE[ψp]+CpEZτνhtdtP+E“Zτnν| Zt | dtp/2#+CpE“（ψ）p/2Zτnν| Zt | dtp/4#≤CpE[ψp]+CpEZτνhtdtP+E“Zτnν| Zt | dtp/2#。所以呢Rτnν| Zt | dtp/2i≤ CpE[ψp]+CpERτνhtdtP, 这和（A.8）一起表明了这一点“Zτnν| Zt | dtp/2#+EhKτn-Kν圆周率≤ CpE[ψp]+CpEZτνhtdtP. （A.11）作为Z∈eH2，0，它代表P-a、 sω∈ Ohm 对于某些Nω，τ（ω）=τNω（ω）∈ 然后让→ ∞ 在（A.11）中，我们可以应用单调收敛定理来得到这个结论。引理A.3。设X为F-可选流程与P-a、 s.右上半连续路径i、 对于任何ω∈ Ohm除了P-空集NX，Xt≥林斯tXs，T∈[0，T）. 如果Xν≤Xeν，P-a、 s.表示任何ν，eν∈T与ν≤eν，P-a、 然后是一个不断增长的过程。证明：设置Dk:=tki:=ik∧ T2kTi=0，K∈ N和D:=∪K∈NDk。给定t∈ [0，T），我们定义Xt:=limn→∞↑ infs∈ΘntXs，其中Θnt:=D∩ （t，（t+2）-n）∧ [T]。显然，Θnt=∪k> nΘn，kt，其中n，kt:=Dk∩t、 （t+2）-n）∧ T. （A.12）对于任何m，n∈ N，m<N，因为Θanti是（t，（t+2）的可数子集-n）∧ T]，随机变量infs∈Θntxs显然是F（t+2）-n）∧T-可测量的所以Xt=limn→∞n> m↑ infs∈ΘntXs∈ F（t+2）-m）∧T.As m→ ∞, 过滤F的正确连续性表明∈ ∩M∈核因子（t+2）-m）∧T=Ft+=Ft。

（A.13）（1）另外设置XT:=XT∈ 首先，我们展示了过程Xis F-逐步可测量。无论如何∈[0，T），c∈R和n，k∈N，k>N，因为它适用于i=0，··，2kt 还有其他的吗∈[tki，tki+1）∩[0，t]那Θn，ki:=Θn，ktki={tkj:j=i+1，··，i+2k-n} =Θn，kss、 （s+2）-n）∧ T0，（t+2）-n）∧ T,我们可以推导出n（s，ω）∈[0，t]×Ohm: 明尔∈Θn，ksXr（ω）≥公司=2kt∪i=0n（s，ω）∈[tki，tki+1）∩[0，t]×Ohm: 明尔∈Θn，ksXr（ω）≥公司=2kt∪i=0n（s，ω）∈[tki，tki+1）∩[0，t]×Ohm: 明尔∈Θn，kiXr（ω）≥公司=2kt∪i=0∩R∈Θn，kin（s，ω）∈[tki，tki+1）∩[0，t]×Ohm: Xr（ω）≥公司=2kt∪i=0∩R∈Θn，ki[tki，tki+1）∩[0，t]×{Xr≥ c}∈B（[0，t]）F（t+2）-n）∧T.（A.14）带可积参数的DRBSDE 30Now，Lete∈ [0，T]和ec∈ R.Ifet=0，那么（A.13）表明（s，ω）∈东部时间0×Ohm : Xs（ω）>ec= {0}×{X>ec}∈B（{0}）F如果ET>0，对于任何m>m:=l-我们可以从（A.14）和（A.12）中推断（s，ω）∈东部时间0- 2.-M×Ohm: Xs（ω）>ec=n（s，ω）∈东部时间0-2.-M×Ohm: 画→∞n> m↑ infr∈ΘnsXr（ω）>eco=∪n> mn（s，ω）∈东部时间0-2.-M×Ohm: infr∈ΘnsXr（ω）>eco=∪n> m∪l∈Nn（s，ω）∈东部时间0-2.-M×Ohm: infr∈ΘnsXr（ω）≥ec+1/lo=∪n> m∪l∈N∩k> nn（s，ω）∈东部时间0-2.-M×Ohm: 明尔∈Θn，ksXr（ω）≥ec+1/lo∈B东部时间0-2.-MFet和（A.13）表明（s，ω）∈东部时间0×Ohm: Xs（ω）>ec=n（s，ω）∈∪m> m东部时间0- 2.-M×Ohm: Xs（ω）>eco∪（s，ω）∈et×Ohm: Xs（ω）>ec=∪m> m（s，ω）∈东部时间0- 2.-M×Ohm: Xs（ω）>ec∪et×Xet>ec∈B东部时间0场效应晶体管。所以∧：=nE R:（s，ω）∈东部时间0×Ohm : Xs（ω）∈ E∈B东部时间0胎儿包含所有开放的形态集合（ec，∞), 产生B（R）。显然，λ是σ-R领域。B（R）是 ∧，即。（s，ω）∈东部时间0×Ohm : Xs（ω）∈ E∈B东部时间0任何宴会∈ B（R）。因此，Xis F-逐步可测量。（2） 修理l ∈ 因为X和X都是F-首次登场定理证明了τ是可测量的l:= inf{t∈ [0，T]：Xt≤ Xt- 1/l} ∧ T.定义停止时间，即τl∈ T我们声称l:= {τl< T}∈ 这是一个P- 空集：假设不是，所以l\\我不是空的。让ω∈ A.l\\NXand集s:=τl(ω).

存在{si}i∈N [s，T]和利米→∞↓ si=s，因此xsi（ω）≤ Xsi（ω）- 1/l, 我∈ N.（A.15）给定m∈ N、 我们可以找到一些bi=bi（m）∈ N和bn=bn（m）≥ i’’我是这样的≥bi和n≥ bn，（si，（si+2）-n）∧ [T] (s)(s+2)-m）∧ T]因此Θnsi=∪k> nDk∩si，（si+2）-n）∧ T∪k> mDk∩s、 （s+2）-m）∧T= Θms.因此∈ΘmsXr（ω）≤ infr∈ΘnsiXr（ω）。勒丁→ ∞, 我们看到∈ΘmsXr（ω）≤ Xsi（ω）。就像我→ ∞, （A.15）A和X·（ω）的右上半连续性意味着∈ΘmsXr（ω）≤ 里美→∞Xsi（ω）≤里美→∞Xsi（ω）- 1/l ≤limrsXr（ω）- 1/l ≤ Xs（ω）- 1/l.现在，让我→ ∞ 产生x（ω）≤ Xs（ω）- 1/l, 这表明xτl≤ Xτl- 1/l 在l\\NX。（A.16）F-X的可选可测量性意味着停止过程的可测量性Xτl∧TT∈[0，T]（参见[33]的推论3.24），因此Xlt:=1{Xτl∧T≤Xt}，t∈[0，T]也是F-可选流程。自从Xlν=1{Xτl∧ν≤Xν}=1，P-a、 任何一个都可以∈T，交叉作用定理（见[16]的定理em IV.86）表明，对于任何ω∈Ohm 除了P-空集Nl,十、lt（ω）=1或（Xτ）l∧t） （ω）≤ Xt（ω），T∈ [0，T]。（A.17）让ω∈ A.l\\（NX）∪Nl). As X（τ）l(ω), ω) ≤ X（t，ω），T∈ [τl（ω） 通过（A.17），我们可以从（A.16）推导出thatX（τ）l(ω), ω) ≤ X（τ）l(ω), ω) ≤ X（τ）l(ω), ω) - 1/l.A.附录31A合同附件A，so 0=P（A）l) = P{Xt≤ Xt- 1/l 有一段时间∈ [0，T）}.让l → ∞ 对于某些t，产生p{Xt<Xt∈ [0，T）}=liml→∞↑ P{Xt≤ Xt- 1/l 有一段时间∈ [0，T）}=0，这与X的右上半连续性一起表明，除了P-空se t NXt≥Xt≥limstXs=limn→∞↓ 小吃∈（t，（t+2）-n）∧T]Xs≥ 画→∞↓ 小吃∈ΘntXs≥ 画→∞↑ infs∈ΘntXs=Xt，T∈[0，T）。也就是说，它适用于任何ω∈ NcthatXt（ω）=limsts∈D∩（t，t]Xs（ω），T∈ [0，T.[A.18]塞滕：=N∪∪s、 s′∈D、 s<s′Xs>Xs′, 这也是一个P-给定ω的零s集∈eNcand t，t′∈ [0，T]与T<T′，设{sn}n∈N D∩带limn的（t，t′）→∞↓ sn=t且设{s′n}n∈N D∩（（t′，t）∪{T}）与limn→∞↓ s′n=t′。

我们可以从（A.18）推导出Xt（ω）=limn→∞Xsn（ω）≤ 画→∞Xs′n（ω）=Xt′（ω）。因此，X是一个不断增长的过程。（6.34）的证明：（1）Yn的连续性意味着P-a、 sω∈ OhmlimstYs（ω）=limn→∞↑ infs∈（t，（t+2）-n）∧T]Ys（ω）=limn→∞↑ infs∈（t，（t+2）-n）∧T]limm→∞↑ Yms（ω）≥ 林姆→∞↑ 画→∞↑ infs∈（t，（t+2）-n）∧T]Yms（ω）=limm→∞↑ limstYms（ω）=limm→∞↑ Ymt（ω）=Yt（ω），T∈ν(ω), τ(ω), （A.19）这表明Yν∨(τl∧（t）T∈[0，T]有P-a、 s.右下半连续路径。然后从（6.32）thateK开始l有P-a、 s.右上半连续路径。（2） 我们下一个节目是thateKlγ是一个弱极限Knτl∧γN∈任何γ的Nin L（FT）∈ T让我们∈ L（英尺）。借助鞅表示定理，存在唯一的Zχ∈ H2，2如P所示-a、 s.Mχt:=E[χFt]=E[χ]+ZtZχSDB，T∈ [0，T]。设置ζ=ζl:= ν ∨(τl∧γ) ∈T和n∈N.我们定义Υl,nt:=Knν∨(ζ∧t） +Yl,nν∨(ζ∧（t）-Yl,nν-埃克lν∨(ζ∧t） +Yν∨(ζ∧（t）-Yν,T∈[0，T]。当Knν=0乘以（6.22）时，我们可以从（6.28）推导出P-a、 s.Υl,nt=-Zν∨(ζ∧t） νg（s，Y）l,ns，Zns）- g（s，Ys，0）-嗯lsds+Zν∨(ζ∧t） ν硫化锌-ZlsdBs=-Zt{ν<s≤ζ}g（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Ys，0）-嗯lsds+Zt{ν<s≤ζ}硫化锌-Zls星展银行∈ [0，T]，因此Υl,尼桑·F-适应连续过程。因为（6.27），（6.31）和（6.25）这是怎么回事l,新界|≤ 4.l+千牛∨(ζ∧（t）+埃克lν∨(ζ∧（t）, T∈[0，T]，（1.5），（6.29）和（6.33）意味着Υl,N*我≤3Eh16l+Knτl+埃克l*我≤Cl+CEZτlν|嗯lt |+| Zlt|dt<∞, （A.20）这表明l,N∈ 比如美国（6.22），一个哈塞克lt=0，T∈ [0, ν]. （A.21）如此l,nν=Knν-埃克lν=0. 通过部件整合过程MχΥl,尼尔斯：P-a、 s.χΥl,nT=MχTΥl,nT=MχtΥl,nt+ZTtMχsdΥl,ns+ZTtΥl,nsdMχs+hMχ，ΥiT-hMχ，Υit=-ZTt{ν<s≤ζ} Mχsg（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Ys，0）-嗯lsds+ZTt{ν<s≤ζ} Mχs硫化锌-ZlsdBs+ZTtΥl,nsZχsdBs+ZTt{ν<s≤ζ} Zχs硫化锌-Zlsds，t∈ [0，T]。（A.22）具有可积参数的DRBSDEs，因为Doob的鞅不等式表明Eh（Mχ*)我≤ 4E|MχT|= 4E|χ|< ∞ （即。

Mχ∈ s H2，2），应用Bur-kholder-Davis-Gundy不等式和H¨older不等式，我们从（A.20）中看到“supt”∈[0，T]Zt{ν<s≤ζ} Mχs硫化锌-Zls星展银行+ 监督∈[0，T]ZtΥl,nsZχsdBs#≤CE“Mχ*Zζν硫化锌-Zlsds1/2#+CEΥl,N*ZT|Zχs|ds1/2#≤C（Eh（Mχ*)i·EZζν硫化锌-Zlsds）1/2+C（EhΥl,N*i·EZT | Zχs | ds）1/2<∞.即Rt{ν<s≤ζ} Mχs硫化锌-Zls星展银行T∈[0，T]和Rt{s≥ν}Υl,nsZχsdBsT∈[0，T]是一致可积的。然后在（A.22）中取t=0的表达式得到Knζ-埃克lζi=Ehχ-Yl,nζ+Yζ+Yl,nν-Yνi+E[χΥl,nT]=Ehχ-Yl,nζ+Yζ+Yl,nν-Yν我- EZT{ν<s≤ζ} Mχsg（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Y）l,ns，0）-嗯lsds-EZT{ν<s≤ζ} Mχsg（s，Y）l,ns，0）-g（s，Ys，0）ds+EZT{ν<s≤ζ} Zχs硫化锌-Zlsds:=In-在里面-In+In。作为Mχ，Zχ∈H2，2，方程的弱收敛性{ν<s≤τl}（g（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Y）l,（n，0）s∈[0，T]，n∈N to{ν<s≤τl}嗯lss∈[0，T]和{ν<s≤τl}硫化锌s∈[0，T]，n∈N to{ν<s≤τl}Zls∈[0，T]到（6.30）表明limn→∞In=limn→∞In=0。自从χ-Yl,nζ+Yζ+Yl,nν-Yν≤4.l|χ|由（6.27）、（6.31）、（6.25）和自E[|χ|]≤1+E[|χ|]<∞ 在（1.6）中，支配收敛定理意味着limn→∞In=0。Mo reover，（H3）显示Limn→∞{ν<s≤ζ}g（s，Y）l,ns，0）-g（s，Ys，0）= 画→∞A.l∩{ν<s≤ζ}g（s，Yns，0）-g（s，Ys，0）=0，ds 数据处理-a、 而（H4）、（6.27）和（6.25）则暗示ds 数据处理-a、 美国。{ν<s≤ζ} Mχsg（s，Y）l,ns，0）-g（s，Ys，0）≤1{ν<s≤ζ} |Mχs|2hs+κYl,ns+ κ| Ys|≤1{ν<s≤ζ} |Mχs|2hs+2κl.As（6.24）和H¨older不等式表明Ezt{ν<s≤ζ} |Mχs |（2hs+2κ）l) ds≤2.l（1+κT）EMχ*≤2.l（1+κT）nEh（Mχ*)io1/2<∞,我们可以再次应用控制c收敛定理来获得limn→∞In=0。因此limn→∞呃χKnζ-埃克lζi=0。因为（6.22）和（A.21）意味着∈ NKnτl∧γ-埃克lγ=Knτl∧γ-埃克lτl∧γ=Knτl∧γ-千牛∧(τl∧γ)-埃克lτl∧γ-埃克lν∧(τl∧γ)=千牛∨(τl∧γ)-千牛-埃克lν∨(τl∧γ)-埃克lν=Knζ-埃克lζ、 一周→∞呃χKnτl∧γ-埃克lγi=0，这表明Knτl∧γN∈他身体虚弱lγ单位为L（FT）。（3） 现在，让γ，eγ∈不是这样的≤eγ，P-a、 美国。

对任何人来说∈N、 因为Knis是一个不断增长的过程，所以它保持P-a、 s.thatKnτl∧γ≤Knτl∧eγ。（A.23）那么我们必须lγ≤埃克leγ，P-a、 s.：假设不是，即P-A组的测量值：=埃克lγ> 埃克leγ∈FTI严格大于0，这将遵循EhAeKlγi>EhAeKl然而，我们从第（2）和（A.23）部分知道lγi=limn→∞EAKnτl∧γ≤ 画→∞EAKnτl∧eγ= 埃哈克l一个矛盾出现了。因此，eKlγ≤埃克leγ，P-a、 s.T.Then L emma a.3表明l这是一个不断增长的过程。附录33（6.37）的证明：设置A:=2（λ++κ）并固定m，n∈N中的m>N。我们定义过程Ξm，nt:=Ξmt-Ξnt，t∈[0，T]表示Ξ=Y，Yl, Z.与（A.10）相似，我们可以从（6.26）中推断P-a、 美餐Yl,m、 新界+Zτl茶a | Yl,m、 ns |+|Zm，ns|ds=eaτlYl,m、 nτl+2Zτl挑逗的l,m、 nsg（s，Y）l,ms，Zms）-g（s，Y）l,ns，Zns）ds+2Zτl挑逗的l,m、 nsdKms- 2Zτl挑逗的l,m、 nsdKns-2Zτl挑逗的l,m、 nsZm，nsdBs，T∈ [ν, τl]. （A.24）通过（H1）和（H2），它持有ds 数据处理-a、 s.thatYl,m、 nsg（s，Y）l,ms，Zms）-g（s，Y）l,ns，Zns）= Yl,m、 nsg（s，Y）l,ms，Zms）-g（s，Y）l,ns，Zms）+Yl,m、 nsg（s，Y）l,ns，Zms）-g（s，Y）l,ns，Zns）≤λ| Yl,m、 ns |+κYl,m、 ns | | Zm，ns|≤（λ++κ）|Yl,m、 ns |+|Zm，ns |。（A.25）此外，可以从过程KmthatZτ的定义中推断l挑逗的l,m、 nsdKms=1AlZτlteasYm，nsdKms=1AlZτlt{Yms<Ls}easYm，nsdKms≤1AlZτlt{Yms<Ls}eas（Ls-Yns）dKms≤伊塔lZτlν（Yns）-Ls）-dKms≤伊塔l小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-!Kmτl, T∈ [ν, τl].