具有可积参数的双反射BSDE及相关Dynkin

自连续函数（Ynt）-Lt）-（ω） ，t∈ν(ω), τl(ω)下降到（Yt）-Lt）-（ω） =0，t∈ν(ω), τl(ω)当n→∞, 迪尼定理表明→∞↓ 监督∈[ν(ω),τl（ω） [（Ynt）-Lt）-(ω) = 0.As 1Al监督∈[ν,τl]（Ynt）-Lt）-≤ 1Al监督∈[ν,τl]L+t+| Ynt|≤ 2.l, N∈ N乘以（6.24），（6.27）和（6.25），应用有界收敛定理得到thatlimn→∞↓ E“A”l监督∈[ν,τl]（Ynt）- Lt）-#= 0.（6.36）与我们在[20]中给出的论点类似（见其中第21-22页），我们可以从（6.36）thatnY中推断l,不∈沙中的柯西序列{ν<t≤τl}ZntT∈[0，T]，n∈N是H2,2中的柯西序列。（6.37*）让Yl∈桑德斯l∈H2,2B分别为它们的极限，即limn→∞↓ E“supt∈[0，T]Yl,新界-YlT#+ 画→∞埃兹特{ν<t≤τl}Znt-简单lTdt=0。（6.38）直到n的子序列l,不∈N、 一个有limn→∞↓ 监督∈[0，T]Yl,新界-YlT= 0，P-a、 从（6.27）可以看出-a、 纽约lt=极限→∞↑ Yl,nt=limn→∞↑ 1AlYnt=1AlYt，T∈ [ν, τl], （6.39）与Y的连续性l表明A.lYν∨(τl∧（t）T∈[0，T]是一个连续的过程。（6.40）另一方面，强极限l弱极限Zl属于{ν<t≤τl}ZntT∈[0，T]，n∈ N必须重合，即eZlt=Zlt、 dt 数据处理-a、 这与（6.38），（6.27）和（6.39）以及（6.30）一起表明→∞A“E”l监督∈[ν,τl]Ynt-Yt#+ 画→∞EZτlν| Znt-Zlt | dt=0。（6.41）（3）乘以（6.31）和（6.40），Yν-Yν∨(τl∧t） =1AlYν-Yν∨(τl∧（t）, T∈[0，T]是F-适应连续过程，然后是soisKlt:=Yν-Yν∨(τl∧（t）-Zt{ν<s≤τl}g（s，Ys，Z）ls） ds+Zt{ν<s≤τl}ZlsdBs，t∈[0，T]。（6.42）人们可以从（6.41）中推断出→∞E“supt∈[ν,τl]Knt- KlT#= 0.（6.43*）6.2第5节中结果的证明19So直到{Kn}n的子序列∈N、 它能容纳P-a、 s。撒林→∞监督∈[ν,τl]Knt- KlT= 0和Klt=limn→∞Knt，T∈ [ν, τl], （6.44）这与Kn的单调性一起表明，对于P-a、 sω∈ Ohm, 路径Kl·（ω） 随周期[ν（ω），τ增加l(ω)]. 我们也可以从（6.44）中推断P-a、 s。

ω ∈ Ohm, 测度dKnt（ω）弱收敛于测度dKl周期[ν（ω），τ]上的t（ω）l(ω)]. 然后是P-a、 s.Zτlt（Ys）- Ls）dKls=0，T∈ [ν, τl]. （6.45*）（4）设置τ：=ν，我们接下来将显示进程Y和进程zt:=Xl∈N{τl-1<t≤τl}Zltand Kt:=Xl∈NKlτl∧T-Klτl-1.∧T, T∈[0，T]（6.46）解（5.4）。像{τl-1<t≤τl}T∈[0，T]是F-改编c`agl`ad过程（因此F-可预测的）每个l ∈ N、 过程Z-isF-可预测的另一方面，很明显K是F-K=0时的调整过程。让我们来看看P-空集，使得对于任何ω∈Ncandl∈N、 RT|Zlt（ω）|dt<∞ 路呢Klt（ω）T∈[0，T]是连续的，并随周期[ν（ω），τ）增加l(ω)].给定ω∈ （N）∪N） （6.46）中的和是有限和：Zt（ω）：=NωXl=1{τl-1（ω）<t≤τl（ω） }Zlt（ω）a和Kt（ω）：=NωXl=1.Kl(τl(ω) ∧ t、 ω）-Kl(τl-1(ω) ∧ t、 ω）, T∈[0，T]。（6.47）前者意味着Zt | Zt（ω）| dt=Zτ（ω）| Zt（ω）| dt=NωXl=1Zτl(ω)τl-1（ω）|Zlt（ω）|dt≤NωXl=1ZT|Zlt（ω）|dt<∞, 那么Z∈H2，0。我们从（6.47）中的后一个可以看出，路径{Kt（ω）}t∈[0，T]在[0，ν（ω）]周期内等于0，是从K开始连续增加的一个连接l(τl-1（ω），ω）到Kl(τl(ω), ω), l = 1，··，Nω在周期内[ν（ω），τ（ω）]，然后在周期内保持不变τ（ω），T. 因此，{Kt（ω）}t∈[0，T]是一条持续增长的路径，表示K∈K.让我l ∈ N.可以推断出kT=Xi∈NKiτi∧T-Kiτi-1.∧T=lXi=1Kiτi∧T-Kiτi-1.∧T=lXi=1-Yτi∧t+Yτi-1.∧T-Zτi∧tτi-1.∧tg（s，Ys，Zis）ds+Zτi∧tτi-1.∧Tzisbs=lXi=1-Yτi∧t+Yτi-1.∧T-Zτi∧tτi-1.∧tg（s，Ys，Zs）ds+Zτi∧tτi-1.∧tZsdBs=-Yτl∧t+Yν∧T-Zτl∧tν∧tg（s，Ys，Zs）ds+Zτl∧tν∧tZsdBs=-Yt+Yν-Ztνg（s，Ys，Zs）ds+Ztνzsds，T∈[ν, τl]. （6.48）它遵循tha tYt=Yτl+Zτltg（s，Ys，Zs）ds+Kτl-Kt-ZτltZsdBs，T∈ [ν, τl]. （6.49）自K在τi上的增量-1，τi]是Kiover[τi]的that-1，τi]对于任何i∈ N、 （6.45）表示zτlν（Yt）- Lt）dKt=lXi=1Zτiτi-1（Yt）- Lt）dKt=lXi=1Zτiτi-1（Yt）- Lt）dKit=0，P-a、 美国。

（6.50）因为P{Yτ≥Lτ}=1，（5.4）完全保持P-a、 在集合{ν=τ}上，和（Yν）∨t） （ω）≡（Yν）（ω）T∈[0，T]是任意ω的恒定路径∈{ν =τ}. 让我们来看看P-空集，使得对于任何ω∈{ν <τ} ∩ 北卡罗来纳州∩ Ncandl∈N、 （6.35）和（6.50）保持情景ω，以及（Yν）∨(τl∧t） ）（ω）T∈[0，T]是一条连续路径见（6.40）.任意ω的可积参数DRBSDEs∈{ν = τ}∩N∪ N∪ Nc、 我们可以从（6.49）中推断（5.4）适用于场景ω和（Yν）∨t） （ω）=（Yν）∨(τ ∧t） ）（ω）T∈[0，T]是一条连续路径。命题5.3的证明：受影响的BSDE的影响条件意味着-a、 s.0≤Zst{Yr>Yr}dKr=Zst{Lr=Yr>Yr}dKr≤Zst{Lr>Lr}dKr=0，0≤ t<s≤ 它跟在后面-a、 s.Zst{Yr>Yr}（dKr）- dKr）=-Zst{Yr>Yr}dKr≤ 0, 0≤ t<s≤ 然后我们可以在周期[0，T]上应用3.2的假设，Vi=Ki，i=1，2来得到结论。关于任意n的定理5.1：（1）（存在性）的证明∈ N、 我们在（1.10）中定义了函数GNA，满足（H1）-（H5）自∈ S+。根据命题3.1，BSDE（ξ，gn）允许一个唯一的解（Yn，Zn）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p）s，表明Ynis是（D）类。此外，3.3定理表明，对于任何ω∈ Ohm 除了P-空集NYnt（ω）≤ Yn+1t（ω），T∈ [0，T]，N∈ N.（6.51）我们可以让（6.51）保持任何ω∈ Ohm 通过设置Ynt（ω）：=1{ω∈Nc}Ynt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, N∈ N每一个修改的版本仍然属于∩P∈（0,1）Sp，属于（D）类，含锌的BSDE（ξ，gn）含量.应用命题5.1，其中（Yn，Zn，Jn）=（Yn，Zn，0），n∈ 极限过程Yt:=limn→∞↑ Ynt，t∈ [0，T]是F-clas（D）满足E“supt”要求的前dic表格流程∈[0，T]| Yt | p#∞, P∈ (0, 1). 接下来就是这个了∈[0，T]（Yt）-+Y+t≤ Y*+ Y*< ∞, P-a、 s.As YT=limn→∞↑ YnT=ξ≥ 中尉，P- a、 应用命题N5.2和（ν，τ）=（0，T）得到Y∈ ∩P∈（0,1）Spsolves-RBSDE（ξ，g，L）与一些（Z，K）∈ H2,0×K。

此外，应用引理A.2和（ν，τ）=（0，T）并使用H¨older不等式，这就是为什么”ZT | Zs | dsp/2#+E[KpT]≤ CpE[（Y）*)p] +CPEZHTDT！p<∞, P∈ (0, 1).即（Z，K）∈ ∩P∈（0,1）（H2，p×Kp）。（2） （唯一性）让（Y，Z，K），（Y，Z，K）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p×Kp）是RBSDE（ξ，g，L）的两个解，如（D）类的Y，Yis。从命题5.3我们知道P{Yt=Yt，T∈ [0，T]}=1，所以它保持P-a、 s.thatZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-ZTtZsdBs=ZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]。比较两侧的多个可更换部件，结果显示Zt=Zt，dt 数据处理-a、 然后，P-a、 s.Kt=Y-Yt-Ztg（s，Ys，Zs）ds+ZtZsdBs=Y-Yt-Ztg（s，Ys，Zs）ds+ZtZsdBs=Kt，t∈ [0，T]。（3） （证明（5.1）和（5.2））Fixν∈T和γ∈我们将简单地表示τ（ν） bτ。{Yγ}γ的一致可积性∈Timplies，Yγ∈L（Fγ），so我们从（A.2）中看到P-a、 s.Yγ，Yγt=Yγ+Zγtgs、 Yγ，Yγs，Zγ，Yγsds-ZγtZγ，YγSDB，T∈ [ν, γ]. （6.52）因为它持有P-a、 s.thatYt=Yγ+Zγtgs、 Ys，Zsds+Kγ- Kt-ZγtZsdBs，T∈ [ν，γ]，6.3定理2.1的证明21应用命题3.2和（Y，Z，V）=Yγ，Yγ，Zγ，Yγ，0（Y，Z，V）=（Y，Z，K）是P-a、 s，Yγ，Yγt≤YTT∈[ν, γ]. 特别地，例如ν，γ[γ]=γ，γν≤Yν，P-a、 s.（6.53）As Yγ≥1{γ<T}Lγ+1{γ=T}ξ=Rγ，P-a、 在美国，我们从g的臭名昭著中走出来-评估yν≥ Egν，γ[Yγ]≥ Egν，γ[Rγ]，P-a、 s.（6.54），因为它持有P- a、 s.任何t的Yt>Rt=ltt∈[ν，bτ），RBSDE（ξ，g，L）中的流动条件意味着-a、 对于任何t，s.Kt=Kν∈[ν，bτ]。然后它保持P-a、 s.thatYt=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtgs、 Ys，Zsds+Kbτ∧γ-Kt-Zbτ∧γtZsdBs=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtgs、 Ys，Zsds-Zbτ∧γtZsdBs，T∈ν、 bτ∧γ.与（6.52）相似，有一个P-a、 s.Ybτ∧γ、 Ybτ∧γt=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtgs、 Ybτ∧γ、 Ybτ∧γs，Zbτ∧γ、 Ybτ∧γsds-Zbτ∧γtZbτ∧γ、 Ybτ∧γSDB，T∈ν、 bτ∧ γ.再次应用命题3.2得到P-a、 s.，Yt=Ybτ∧γ、 Ybτ∧γt对于任何t∈ν、 bτ∧γ.

因此，yν=Ybτ∧γ、 Ybτ∧γν=Egν，bτ∧γ[Ybτ∧γ] ，P-a、 这与（6.53）一起证明了（5.1）。当YT=ξ=RT，P- a、 s，我们可以从过程Y的c连续性和过程r的右连续性推导出Ybτ=Rbτ，P-a、 所以在（6.55）中取γ=T得到Yν=Egν，bτ[Ybτ]=Egν，bτ[Rbτ]，P-a、 这与（6.54）一起意味着（5.2）。6.3定理2.1（1）（存在性）的证明我们将遵循[25]的方法，通过粘贴局部解来构造DRBSDE（ξ，g，L，U）的整体解，见我们的简介。（1a）增加惩罚计划为了n∈ N、 我们在（1.10）中定义了满足（H1）的函数GNA-（H5）自∈ S+。定理5.1和重新标记5。2显示以下内容反映了带发电机GNA和上部障碍物U的BSDE美国犹他州≥ Yt=ξ+ZTtgn（s，Ys，Zs）ds- JT+JT-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]，ZT（Ut）- Yt）dJt=0。（6.56）提供独特的解决方案（Yn、Zn、Jn）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p×Kp）s，这表明Ynis属于（D）类。根据命题5。3和注释5.2，它适用于任何ω∈ Ohm 除了P-空集N thatYnt（ω）≤ Yn+1t（ω），T∈ [0，T]，N∈ N.（6.57）我们可以让（6.57）保持任何ω∈ Ohm 通过设置Ynt（ω）：=1{ω∈Nc}Ynt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, N∈ N每一个修改的版本仍然属于∩P∈（0,1）Sp，属于（D）类，满足（6.56）和（Zn，Jn）. 根据命题5.1，极限过程t:=limn→∞↑ Ynt，t∈ [0，T]是F-满足这些“支持”的（D）类可预测过程∈[0，T]| Yt | p#<∞, P∈(0, 1). （6.58）具有可积参数的DRBSDE 22Letν∈T对任何人来说∈N、 定义停止时间γNν：=inf{t∈[ν，T]：Ynt=Ut}∧T∈T因为它持有P-a、 s.thatYnt<UT∈ν、 γnν, 我们可以从（6.56）中的流量条件中得出：Jnt=Jnν，T∈[ν，γnν]= 1.然后，它跟随着- a、 s.0=Jnγnν- Jnt=Ynγnν- Ynt+Zγnνtgn（s，Yns，Zns）ds-ZγnνtZnsdBs。

（6.59）显然，γnν在n中减少，其极限γν：=limn→∞↓ γnν≥ 由于过滤F的正确连续性，ν仍然是一个停止时间。我们声称yγν=1{γν=T}ξ+1{γν<T}Uγν，P-a、 s.（6.60）（见附录）。所以Yγν≥ 1{γν=T}LT+1{γν<T}Lγν=Lγν，P-A.s、 自从E监督∈[0，T]| Yt | p+supt∈[0，T]| Yt | p<∞, P∈（0，1）并且因为它持有P-a、 s.thatYnt=Ynγν+Zγνtgn（s，Yns，Zns）ds-ZγνtZnsdBs，T∈ [ν，γν]（6.61）对于任何n∈ N乘以（6.59），将命题5.2应用于（Yn，Zn）N∈奈尔斯：这一过程Yν∨(γν∧（t）T∈[0，T]搭扣-a、 s.连续路径且存在（Zν，Kν）∈H2,0×k如P-a、 美国。书信电报≤ Yt=Yγν+Zγνtg（s，Ys，Zνs）ds+Kνγν- Kνt-ZγνtZνsdBs，T∈ [ν，γν]，Zγνν（Yt- Lt）dKνt=0。（6.62）自E[|Yν|]<∞ 由{Yζ}ζ的一致可积性∈T、 引理A.2，H¨older不等式和（6.58）表明Zτν| Zt | dtp/2#≤ CpE监督∈[ν，τ]| Yt | p+ 内容提供商EZτνhtdtp<∞, P∈ (0, 1). （6.63）（1b）减刑方案与备注1.3（4）中讨论的gl类似，gU（t，ω，y）：=（y- Ut（ω））+，（t，ω，y）∈ [0，T]×Ohm x R显然是aPB（R）/B（R）-可测函数（H2）-（H4）。对任何人来说∈ N、 从备注1.3（3）中我们可以看到egn（t，ω，y，z）：=g（t，ω，y，z）-n（y）-Ut（ω））+，（t，ω，y，z）∈[0，T]×Ohm×R×R定义了一个生成器，定理5.1表明RBSDEξ、 埃格恩，L这是一个独特的解决方案eYn eZn eKn∈ ∩P∈类（Kp，nis×kps）的（1，nis×kps）。由于egnis在n中减少，命题5.3表明P-a、 s.eYnt≥eYn+1t，T∈ [0，T]，N∈ N.（6.64）和（6.57）一样，我们可以假设（6.64）在任何地方都适用Ohm.设置埃尔，欧盟:= (-U-L）∈ S+×S-. 对任何人来说∈ N拜恩，bZn，bJn:=-艾恩，-eZn，-eKn令人满意的是，P-a、 s.eUt=-书信电报≥bYnt=-ξ -ZTtgs、 eYns，eZnsds+nZTt艾恩斯-我们+ds-eKnT+eKnT+ZTTESNSDBS=bYnT+ZTtg-s、 宾斯，bZnsds+nZTt比恩斯-埃尔斯-ds+bJnT-比恩特-ZTtbZnsdBs，t∈ [0，T]。

（6.65）自g-是一台重新标记1.3（1）的发电机，应用5.1吨的提案拜恩，bZn，bJn在…上∈NYELDS thatbYt:=limn→∞↑拜恩特，t∈[0，T]是F-（D）类满足“支持”的可预测过程∈[0，T]比亚特p#<∞, P∈6.3定理2.1的证明∈T停止时间τnν：=infT∈[ν，T]：bYnt=eUt∧T=infT∈[ν，T]：eYnt=Lt∧T∈T正在减少旅馆。分析到（6.60），τν：=limn→∞↓ τnν≥ ν仍然是满足τν=-1{τν=T}ξ+1{τν<T}eUτν≥ -1{τν=T}UT- 1{τν<T}Lτν≥ -Uτν≥eLτν，P-a、 s.（6.66）表示任何n∈ N、 与（6.61）相似，我们可以从（6.65）中得出P-a、 s.bYnt=bYnτν+Zτνtgns、 宾斯，bZnsds+nZτνt比恩斯-埃尔斯-ds-ZτνtbZnsdBs，T∈ [ν, τν].作为E“supt∈[0，T]比亚特p+supt∈[0，T]比亚特p#∞, P∈ （0,1），使用（6.66）并应用命题5.2得出整个过程按ν∨(τν∧（t）T∈[0，T]有P-a、 s.c.连续路径和存在bZν，bKν∈H2,0×k如P-a、 美国。英语教学≤bYt=bYτν+Zτνtg-（s，bYs，bZνs）ds+bKντν-bKνt-ZτνtbZνsdBs，T∈ [ν，τν]、Zτν（bYt）-eLt）dbKνt=0。（6.67）自g-（H4）和（H5）具有与g相同的函数h，与（6.63）的类比表明E“Zτν| bZt | dtp/2#≤ CpE监督∈[ν,τ ]比亚迪P+ 内容提供商EZτνhtdtp<∞, P∈ (0, 1). （6.68）套eY，eZν，eJν=-通过-bZν，-bKν, 由（6.67）可知，P-a、 美国。美国犹他州≥eYt=eYτν+Zτνtg（s，eYs，eZνs）ds-eJντν+eJνt-ZτνteZνsdBs，T∈ [ν，τν]、Zτν（Ut）-eYt）deJνt=0。（6.69）（1c）接下来，我们证明，除了P-空集NLt≤eYt=Yt≤ Ut，t∈ [0，T]。（6.70）给定n∈ N、 我们设置Vnt:=nRt（Yns-Ls）-ds-JntandeVnt:=-nRt（艾恩斯）-美国）+ds+Knt，t∈[0，T]。As（Yn，Zn，Jn）解（6.56）和eYn eZn eKn苏格兰皇家银行ξ、 埃格恩，L, 它能容纳P-a、 s。thatYnt≤乌坦德因特≥书信电报，T∈[0，T]。

（6.71）然后我们可以推导出P-a、 s.Zst{Ynr>eYnr}dVnr-德夫纳≤nZst{Ynr>eYnr}（Ynr）-Lr）-+（eYnr）-（乌尔）+dr=nZst{Lr≥Ynr>eYnr}（Ynr-Lr）-+1{Ynr>eYnr≥Ur}（eYnr）-（乌尔）+博士≤nZst{Lr>eYnr}（Ynr-Lr）-+1{Ynr>Ur}（eYnr）-（乌尔）+dr=0，0≤t<s≤T.因为YnT=eYnT=ξ，P-A.s、 在[0，T]期间应用命题3.2，其中g=g=g，（Y，Z，V）=（Yn，Zn，Vn）和（Y，Z，V）=eYn，eZn，eVn产生PYnt≤艾因，T∈[0，T]=1.因此P-a、 s.Yt=limn→∞↑ Ynt≤ 画→∞↓eYnt=eYt，t∈ [0，T]。（6.72）另一方面，让ν∈ T由（6.66），eYτν∧γν=1{τν>γν}≤γν}eYτν=1{τν>γν}eYγν+1{τν≤γν，τν<T}Lτν+1{τν=γν=T}ξ≤ 1{τν>γν}Uγν+1{τν≤γν，τν<T}Yτν+1{τν=γν=T}ξ=1{τν>γν}Yγν+1{τν≤γν}Yτν=Yτν∧γν，P-a、 可积参数为24的s.DRBSDEs同样，我们从（6.69）和（6.62）中得出-a、 s.eYt=eYτν∧γν+Zτν∧γνtg（s，eYs，eZνs）ds-eJντν∧γν+eJνt-Zτν∧γνteZνsdBs和Yt=Yτν∧γν+Zτν∧γνtg（s，Ys，Zνs）ds+Kντν∧γν- Kνt-Zτν∧γνtZνsdBs，T∈ [ν, τν∧ γν].由于Y和Y都属于（D）类，所以使用（6.63），（6.68）并将命题3.2应用于随机区间[[ν，τν]∧γν]]与（Y，Z，V）=eY，eZν，-eJν（Y，Z，V）=（Y，Zν，Kν）得到P-a、 美国，艾特≤Yt，T∈[ν, τν∧γν].特别是一个haseYν≤ Yν，P-a、 s.当v随T变化时，横截面定理em（见[16]的定理IV.86）和（6.71）暗示P-a、 中尉≤ 画→∞↓eYnt=eYt≤ Yt=limn→∞↑ Ynt≤ Ut，t∈ [0，T]，与（6.72）一起证明（6.70）。特别是，我们从（6.62）和（6.69）中看到，（Y，Zν，Kν，0）lo callysolve在随机区间[[ν，γν]]上的双反射BSDE和（Y，eZν，0，eJν）=（eY，eZν，0，eJν）局部解在随机区间[[ν，τ]]上的双反射BSDE。（1d）通过粘贴构建解决方案对任何人来说∈ N和t∈ [0，T]，设置Int:=[（T- 2.-n）∨ 0，（t+2）-n）∧ [T]。

与（A.19）相似，我们可以从Yn\'s，eYn\'s和（6.70）的连续性推断P-a、 s·林→∞↑ infs∈IntYs=limn→∞↑ infs∈英特利姆→∞↑ Yms≥ 林姆→∞↑ 画→∞↑ infs∈IntYms=limm→∞↑ Ymt=Yt=eYt=limm→∞↓eYmt=limm→∞↓ 画→∞↓ 小吃∈英特姆斯≥ 画→∞↓ 小吃∈英特利姆→∞↓eYms=limn→∞↓ 小吃∈InteYs=limn→∞↓ 小吃∈英提斯≥ 画→∞↑ infs∈IntYs，T∈ [0，T]，这表明Y是一个连续的过程。太可怕了∈ ∩P∈（0,1）Spby（6.58）。设ν：=0，我们递归地设置停止时间ν′l:= γνl, νl+1:= τν′l, l ∈ N、 和定义过程zt:=Xl∈N{νl<T≤ν′l}Zνlt+1{ν′l<T≤νl+1} eZν′lt、 Kt:=Xl∈NKνlν′l∧T-Kνlνl∧T, Jt:=Xl∈NeJν′lνl+1.∧T-eJν′lν′l∧T, T∈[0，T]。（6.73）自{νl<T≤ν′l}T∈[0，T]和{ν′l<T≤νl+1}T∈[0，T]是F-适应c`agl`ad过程（因此F-可预测的）每个l ∈ N、 过程Z是F-可预测的而且，很明显K和J是F-K=J=0的适应过程。让我们来看看P-空集，使得对于任何ω∈对于任意t，路径L·（ω），U·（ω）Y·（ω）是连续的，Lt（ω）<Ut（ω）∈[0，T]。在（6.60）和（6.66）之间，除了P之外，它仍然有效-位于{ν′的空集nl<T}Yν′l= 1{ν′l<T}Uν′l和1{νl+1<T}eYνl+1= 1{νl+1<T}Lνl+1.l ∈N.（6.74）我们声称{νN}N∈Nis静止：more精确，对于任何ω∈（N）∪ N∪N） cT=ωNω（ω）表示sωNω∈ N.（6.75）假设不是，那么它适用于一些ω∈ （N）∪ N∪ N） 每N的ηN（ω）<T∈ N.给定∈ N、 asνN（ω）≤ ν′n（ω）≤ νn+1（ω）<T，（6.74）表明Yν′n(ω)=Uν′n（ω） 及Yνn+1(ω)=eYνn+1(ω)=Lνn+1(ω). （6.76）让t*= T*（ω） =林→∞↑ νn（ω）=limn→∞↑ ν′n（ω）∈ [0，T]。作为n→ ∞ 在（6.76）中，我们看到了路径SL·（ω）、U·（ω）和Y·（ω）的连续性*（ω） =林→∞Lνn+1（ω） =林→∞eYνn+1（ω） =eYt*（ω） =Yt*（ω） =林→∞Yν′n（ω） =林→∞Uν′n（ω） =Ut*(ω).矛盾出现了，所以（6.75）成立。那么（6.73）中的三个总和就是有限总和。与下面（6.47）的讨论类似，Z∈H2,0和K，J∈K.6.3定理2.1的证明25Letl ∈ N与l ≥ 2.

与（6.48）相似，我们可以从（6.69），（6.62）和（6.70）推断P-a、 s.Kt-Jt=l-1Xi=1Kνiν′i∧T- Kνiνi∧T-l-1Xi=1eJν′iνi+1∧T-eJν′iν′i∧T=l-1Xi=1-Yν′i∧t+Yνi∧T-Zν′i∧tνi∧甘油三酯s、 Ys，Zν是ds+Zν′i∧tνi∧tZνisdBs-eY+iν∧t+eYν′i∧T-Zνi+1∧tν′i∧甘油三酯s、 eYs，eZν′是ds+Zνi+1∧tν′i∧teZν′isdBs=l-1Xi=1-Yνi+1∧t+Yνi∧T-Zνi+1∧tνi∧甘油三酯s、 Ys，Zsds+Zνi+1∧tνi∧tZsdBs=-Yt+Y-Ztgs、 Ys，Zsds+ZtZsdBs，T∈[0, νl].它紧随其后-a、 s.Yt=Yνl+Zνl甘油三酯s、 Ys，Zsds+Kνl-Kt-Jνl+Jt-ZνltZsdBs，T∈[0, νl]. （6.77）由于K在[νi，ν′i]上的增量是K在[νi，ν′i]上的增量（K是[ν′i，νi+1]上的常数），并且由于J在[ν′i，νi+1]上的增量是J在[νi，νi+1]上的增量，（6.69），（6.62）和（6.70）ag暗示着zl（Yt）-Lt）dKt=l-1Xi=1Zν′iνi（Yt-Lt）dKt=l-1Xi=1Zν′iνi（Yt-Lt）dKνit=0，（6.78）和zνl（犹他州）-Yt）dJt=Zνl美国犹他州-艾特dJt=l-1Xi=1Zνi+1ν′i美国犹他州-艾特dJt=l-1Xi=1Zνi+1ν′i美国犹他州-艾特dJν′it=0，P-a、 s.（6.79）很明显，YT=limn→∞↑ YnT=ξ，P-a、 美国出租l → ∞ 在（6.7）、（6.78）和（6.79）中，我们从（6.75）和（6.70）中看到，（Y，Z，K，J）解出了DRBSDE（ξ，g，L，U）。（2） （证据（2.1）-（2.3）固定∈T我们将简单地表示τ*ν乘以bτ和γ*v乘以bγ。因为它持有P-a、 s.thatYt>Lt，T∈ν、 bτ和Yt<Ut，T∈ν、 bγ,DRBSDE中的流动条件（ξ，g，L，U）意味着-a、 s.Kt=Kν，T∈[ν，bτ]和Jt=Jν，T∈ν、 bγ. （6.80）设τ，γ∈我们从m（6.80）中看到-a、 s.Yt=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtg（s，Ys，Zs）ds- Jbτ∧γ+Jt-Zbτ∧γtZsdBs，T∈ν、 bτ∧ γ.As Ybτ∧γ∈L（Fbτ）∧γ） 利用{Yγ′}γ′的一致可积性∈T、 （A.2）表明P-a、 s.Ybτ∧γ、 Ybτ∧γt=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtgs、 Ybτ∧γ、 Ybτ∧γs，Zbτ∧γ、 Ybτ∧γsds-Zbτ∧γtZbτ∧γ、 Ybτ∧γSDB，T∈ν、 bτ∧ γ. （6.81）应用命题3.2，其中（Y，Z，V）=（Y，Z，-J） 和（Y，Z，V）=Ybτ∧γ、 Ybτ∧γ、 Zbτ∧γ、 Ybτ∧γ, 0收益率-a、 美国，Yt≤Ybτ∧γ、 Ybτ∧γt对于任何t∈ν、 bτ∧γ. 它跟在那后面≤Ybτ∧γ、 Ybτ∧γν=Egν，bτ∧γYbτ∧γ, P-a、 美国。