内生条件下公平双边定价的BSDE方法

同样，让bL代表所有实值可测随机变量η的空间，使得|η| bL=EP（η）<∞.定义3.1对于任何概率测度Q，我们用A（Q）表示以下类别的重新估值、G适应过程A（Q）：=十、∈bHand XT∈失误Q.定义3.1将用于定义可接受合同的类别，并根据手头的特定设置选择Q。让我们强调一下，对于任何合同（A，C），A∈ A（Q）意味着过程A- 未来现金流的Aof属于A类（Q）。回想一下，合同的初始现金流（a，C）代表其初始价格，因此这不是先验的。为方便读者阅读，我们首先回顾了一个关于外源性对比剂alC案例的结果（见[14]中的第3.1和3.2条，以及[2]中的第5.2条）。命题3.2让x≥ 0，x≥ 0和假设3.1和3.3有效。对于任何合同（A，C），AC，l∈ A（ePl），套期保值者的除息价格等于Ph（x，A，C）=Bl（Yh，l，x）-十）- C其中对（Yh，l，x，Zh，l，x）是BSDE的唯一解决方案（dYh，l，xt=Zh，l，x，*tdeSl，cldt+Glt、 Yh，l，xt，Zh，l，xtdt+dAC，lt，Yh，l，xT=x，（3.9），交易对手的除息价格等于Pc（x，-A.-C） =-Bl（Yc，l，x）- x） +C，其中空气（Yc，l，x，Zc，l，x）是BSDE的唯一解决方案（dYc，l，xt=Zc，l，x，*tdeSl，cldt+Glt、 Yc，l，xt，Zc，l，xtdt- dAC，lt，Yc，l，xT=x.（3.10）在下一个结果中，套期保值者的共同c由等式（3.5）给出。请注意，GeneratorGlide在流程Y上明确定义，而流程Y又被定义为BSDE解决方案的一部分（3.11）。这意味着交易对手的BSDE（3.12）与套期保值者的B SDE（3.11）相结合。因此，套期保值者的价格Ph（x，A，C）仅取决于其初始捐赠，这对任何人来说都是至关重要的。

相比之下，交易对手的价格差取决于初始捐赠x和x，因此可以将其表示为Pc（x，x，-A.-C） 。然而，为了便于记谱，我们将写epc（x，-A.-C） ，同时要记住，这个过程很好地依赖于xas。命题3.3让x≥ 0，x≥ 0和假设3.1和3.3有效。那么对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl），套期保值者的除息价格等于Ph:=Ph（x，A，C）=Y，其中（Y，Z）是BSDE的唯一解（dYt=Z1，*tdeSl，cldt+flt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（3.11），发电机fl给定byfl（t，x，y，z）=rlt（Blt）-1z*圣- xBltrlt- rctq(-y） +rlty+q(-y） +xBlt- （Blt）-1z*圣+- rbty+q(-y） +xBlt- （Blt）-1z*圣-内生担保下的公平双边定价，交易对手的除息价格等于Pc:=Pc（x，-A.-C） =Y其中（Y，Z）是BSDE的唯一解决方案（dYt=Z2，*tdeSl，cldt+glt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（3.12），发电机gl由gl（t，x，y，z）=rlt（Blt）给出-1z*St+xBltrlt- rctq(-Yt）- rlt- Y- q(-Yt）+xBlt+（Blt）-1z*圣++ rbt- Y- q(- Yt）+xBlt+（Blt）-1z*圣-.证据由于抵押品数量在本框架中没有明确规定，过程C可能取决于套期保值者的价值，因此命题3.2不涵盖当前情况。然而，从[2]中命题5.2的证明中，我们可以推断，如果BSDE（3.9）和（3.10）有唯一的解，那么关系Ph（x，a，C）=Bl（Yh，l，x- 十）- C和PC（x，-A.-C） =-Bl（Yc，l，x）- x） +C仍然有效。同样值得强调的是，我们不能直接应用[13]的结果来求解BSDE（3.9）和（3.10），因为该过程也依赖于Yh，l，x。

然而，由于Ph:=Bl（Yh，l，x- 十）- C、 我们得到了PhT=0，因此，通过lettingeZh，l，x:=BlZh，l，x，我们得到了PhT=BltZh，l，x，*tdeSl，cldt+BltGlt、 Yh，l，xt，Zh，l，xtdt+rltBlt（Yh，l，x- x） dt+dACt- dCt=BltZh，l，x，*tdeSl，cldt+rltZh，l，x，*tStdt+rltYh，l，xtBlt- Zh，l，x，*tSt+dt- rbtYh，l，xtBlt- Zh，l，x，*tSt-dt- rltBltYh，l，xtdt+rltBlt（Yh，l，xt- x） dt+dAt+dFCt=eZh，l，x，*tdeSl，cldt+rltPht+Ct+xBlt- （Blt）-1eZh，l，x，*tSt+dt- rbtPht+Ct+xBlt- （Blt）-1eZh，l，x，*tSt-dt- XRLTBLDT+rlt（Blt）-1eZh、l、x、，*tStdt+dAt- rctCtdt。此外，通过将[2]中的命题5.2与方程（3.3）进行比较，我们可以简单地推导出Yh，l，x=（Bl）-1Vp（x，ν，A，C）和thusPh=Bl（Yh，l，x- 十）- C=Vp（x，а，A，C）- xBl- C=V（x，а，A，C）- xBl。通过对交易对手的定价问题应用类似的论点，我们得到等式Yc，l，x=（Bl）-1Vp（x，eа，-A.-C） ，从而使SPC（x，-A.-C） =-Bl（Yc，l，x）- x） +C=-V（x，e~n，-A.-C） +xBl。我们得出结论，如果C由方程（3.5）给出，那么我们有Ct=q（Vt（x）- Vht）=q(-因此，这对（Ph，eZh，l，x）是BSDE（3.11）的解决方案。类似地，foreZc，l，x:=-BltZc，l，x，我们得出这对（Pc，eZc，l，x）满足BSDE（3.12）。还有待验证BSDE（3.11）和（3.12）是否确实适定。可以检查FL（t，x，0，0）=0和映射flis均匀m-Lipschitz生成器（关于均匀m-Lipschitz生成器的定义，请参见[13]）。

因此，如果∈ A（ePl）然后，利用[13]中的定理3.2，我们得出结论，BSDE（3.11）有一个唯一解（Y，Z），使得（Y，m*Z）∈bH×bH2，d。同样地，我们也不需要te thatgl（t，x，0，0）=xBltrlt- rctq(-Yt）- rlt- q(-Yt）+xBlt++ rbt- q(-Yt）+xBlt-其中q是一致Lipschitz连续函数，Y∈所以gl（t，x，0，0）∈波黑。此外，mapping glis是一个均匀的m-Lipschitz算子，因此BSDE（3.12）也有一个唯一的解（Y，Z），使得（Y，m*Z）∈bH×bH2，d。8 T.Nie和M.RutkowskiWe现在可以检查T时公平双边价格的范围（见定义2.2）。在温和的假设下，当双方的初始捐赠具有相同的符号时，这个范围似乎不是空的。让我们注意到，如果初始禀赋是相反的符号，即当x>0和x<0时，这个范围通常可能是空的（见命题3.9（ii）第3.2节）。命题3.4让x≥ 0，x≥ 0和假设3.1和3.3有效。对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl）我们有，每t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePl- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围是非空的，ePl- a、 美国证据。鉴于P位置3.3和BSDE比较定理的合适版本（见[13]中的定理3.3），建立不等式Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePl- a、 在美国，必须证明德国劳埃德船级社t、 x，Y，Z≥ 佛罗里达州t、 x，Y，Z,ePl l - a、 e。。为了证明后一个不等式，我们表示δ：=glt、 x，Y，Z- 佛罗里达州t、 x，Y，Z= rltBlt（x+x）- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-)式中δ=-Yt- q(-Yt）+Bltx+（Blt）-1Z1，*tSt，δ：=Yt+q(-Yt）+Bltx- （Blt）-1Z1，*tSt。因为，根据假设2.1，不等式rl≤ rbholds，我们得到δ≥ rltBlt（x+x）- rlt（δ+δ）=0，这是必需的条件。

备注3.1很明显，当抵押品取决于交易对手的价值Vc:=V（x，e~n，-A.-C） 具体来说，当假设3.1被Ct=q（Vct）的假设取代时- 对于一些一致Lipschitz连续函数q，如q（0）=0。注3.2当初始捐赠满足x时，可以证明类似的结果≤ 0和x≤ 0，因此它们仍然具有相同的符号。关于初始捐赠有相反迹象的案例更具挑战性，第3.2.3.1.1节对差异模型中的欧洲债权进行了分析。最近，Mercur io[11]研究了差异模型中欧洲债权抵押的定价和对冲（另见P Iterberg[16]）。应该指出的是，在[11]中，套期保值者和交易对手的初始捐赠隐含地被假定为无效。更重要的是，套期保值者（以及交易对手）的共同金额被指定为套期保值者（以及交易对手）价值的恒定比例，也就是说，在[11]中假设，对于某些α，Ch=αVhandCc=αvc∈ [0，1]。这种对mar gin账户的规定显然与套期保值者和交易对手相互独立地向第三方提供/接收可能不同金额的抵押品的情况相对应。显然，这与现实生活中的情况不一致，在现实生活中，保证金账户对双方都很常见，因此一方收取的抵押物金额由另一方收取（或过账）。为了简单起见，我们假设d=1，所以只有一个风险资产，S=S。

这种限制可以放宽，因此推论3.1可以很容易地扩展到多资产框架。内生担保下的公平双边定价9假设3.4我们假设：（i）风险资产S在P下具有除息价格动态，由以下表达式给出，对于t∈ [0，T]，dSt=u（T，St）dt+σ（T，St）dWt，S=S∈ O、 （3.14）其中W是一维布朗运动，O是通过扩散过程S（通常为O=R+）可获得的实值域，（ii）过滤G由布朗运动W生成，（iii）系数u和σ使得SDE（3.14）具有唯一的强解，（iv）红利过程等于At=Rtκ（u，Su）du。我们观察到这一点，cldt=（Blt）-1.dSt- rltStdt+dAt=u（t，St）+κ（t，St）- rltStdt+σ（t，St）dWt。我们注意到：=（σ（t，St））-1.u（t，St）+κ（t，St）- rltSt（3.15）我们假设a满足Novikov的条件expZT | at | dt!< ∞. （3.16）让我们通过设置deplp=exp来定义概率度量(-ZTatdWt-ZT | at | dt）。（3.17）根据Girsanov定理，概率测度P等价于P，过程F等价于EPL下的布朗运动，其中dfWlt:=dWt+atdt。很容易看出，过程的动力学，cldunderePlaredeSl，cldt=σ（t，St）dfwl和thuseSl，cldis a（ePl，G）-（局部）鞅与二次变化heSl，cldit=Rt |σ（u，Su）|du。因此，如果（σ（·S））-假设3.3成立，因为布朗运动不具有（G，ePl）下的可预测表示性质。让我们用（3.5）给出的对冲规则来评论欧洲未定权益的估值和对冲。一般欧洲索赔在其到期日支付给套期保值人的金额，因此- A=HT[T，T]（T）。（3.18）我们认为将此类合同表示为（HT，C）很方便。

从命题3.4，我们推导出以下推论。推论3.1考虑一个有担保的欧洲索赔（HT，C），其中随机变量HTissquare在EPL下可积。如果x≥ 0，x≥ 假设3.1是有效的，当（HT，C）的公平双边价格Rft（x，x）的范围为非空时，ePl-a.s.3.1.2模型具有不确定的货币市场利率，我们在假设x下继续工作≥ 0和x≥ 0.让我们选择任何满足以下条件的G-适配利率过程RT∈ [rlt，rbt]对于每一个t∈ [0，T]。（3.19）10 T.Nie和M.Rutkowski我们保留了关于现有市场模型的所有其他假设，包括tradedrisky资产的se T，但为了进行比较，我们现在还考虑了一个附加的市场模型，该模型采用单一的不确定货币市场利率r。为了更具体，假设2.1中的第（iv）部分变为：dBlt=rtBltdt，dBbt=rtBbtdt和dBct=rctBctdt，适用于某些G-适应和有界过程r、RL和rc。在这些假设下，套期保值者和交易对手的除息价格相同，这不取决于他们的初始捐赠。直观地说，这是因为现在的情况是完全对称的，因为我们现在处理的是单一利率。从形式上讲，X股息价格过程Pr=Y现在与BSDE的唯一解决方案（dYt=Z）一致*tdeSl，cldt+f（t，Yt，Zt）dt+dAt，Yt=0，（3.20），其中发电机f由以下表达式f（t，y，z）=（rlt）给出- rt（Blt）-1z*圣- rctq(-y） +rt（y+q）(-y） ）。下一个结果不仅更一般，而且在我们看来，它也比Mercurio[11]中的4.1号提案更自然，正如第3.1.1节开头所提到的那样，各方的共同金额与合同的单方价值挂钩。

请注意，pricesPh（0，A，C）和Pc（0，-A.-C） 在伯格曼模型中，在假设x=x=0且抵押品C由（3.5）给出的情况下，使用不同的借贷利率rland RB计算。命题3.5考虑货币市场利率r的市场模型（i）任何合同（A，C）的价格∈ A（ePl）令人满意的公共关系≤ Ph（0，A，C），ePl- a、 s.（ii）如果x=x=0且等式（3.5）中的函数q满足（rt- rct）（q（y）- q（y））≤ 0代表ally≥ y、 然后是Pc（0，-A.-C）≤ 公共关系- a、 美国证据。（i） 鉴于BSDE的比较定理（见[13]中的定理3.3），有必要证明不等式flt、 0，Yt，Zt≤ Ft、 Yt，Zt≤ 德国劳埃德船级社t、 0，Yt，ZtholdsePl l - a、 e。。设usdenoteδ：=Yt+q(-Yt）+Bltx- （Blt）-1Z*tSt。假设rt∈ [rlt，rbt]适用于所有∈ [0，T]，我们得到δ：=flt、 x，Yt，Zt- Ft、 Yt，Zt= rt（Blt）-1Z*tSt- xBltrlt+rltδ+- rbtδ-- rtYt- rtq(-Yt）≤ rt（Blt）-1Z*tSt- xBltrlt+rtδ- rt（Yt+q）(-Yt）=（rt- rlt）xBlt。因此，如果x=0，那么δ≤ 因此，Y≤ 扬因此公关≤ Ph（0，A，C）。（ii）我们现在假设套期保值者的初始捐赠为空，并检查交易对手的定价问题。我们假设Ct=q(-Y） =q(-Ph（0，A，C））。让我们表示δ：=-Yt- q(-Yt）+Bltx+（Blt）-1Z*tSt。来自rt∈ [rlt，rbt]，我们得到δ：=ft、 Yt，Zt- 德国劳埃德船级社t、 x，Yt，Zt= -rt（Blt）-1Z*tSt- rctq(-Yt）+rctq(-Yt+rt（Yt+q）(-Yt）- xBltrlt+rltδ+- rbtδ-≤ -rt（Blt）-1Z*tSt- rctq(-Yt）+rctq(-Yt+rt（Yt+q）(-Yt）- xBltrlt+rtδ=（rt- rlt）xBlt+（rt- rct）（q）(-Yt）- q(-Yt）。自（rt）-rct）（q（y）-q（y））≤ 0代表一切≥ 雅迪≤ Y、 我们有-rct）（q）(-Yt）-q(-Yt）≤ 因此，如果x=0，则nδ≤ 0.我们得出结论，Pc（0，-A.-C）≤ 公共关系。内生担保下的公平双边定价11备注3.3请注意- rct）（q（y）- q（y））≤ 0代表一切≥ 你很容易就知道了。

例如，如果q是一个递增函数（例如，当α，α>-1） ，那么就必须预测rt≤ rct。当x≥ 0和x≥ 0，不清楚等式Pc（x，-A.-C）≤ 公共关系≤ Ph（x，A，C）是有效的。事实上，命题3.5只表明它们在假设x=x=0的情况下是有效的。注3.4如[12]第5.4节所述，可以证明价格相对于各方初始禀赋的单调性和稳定性。在套期保值者的价格的情况下没有困难。由于交易对手的价格Pc（x，x，-A.-C） 此外，根据套期保值者的原始禀赋，[12]中使用的论点应稍加修改。3.2相反符号的初始禀赋迄今为止，我们的工作假设双方的初始禀赋均为非负。现在，我们将简要分析x≥ 0和x≤ 0.与我们之前的工作[12]一样，“鞅测度”的概念现在将以比假设更抽象的方式来描述。2.参考一些辅助过程，以下称为β。假设3.5我们假设：（i）存在一个相当于P的概率度量β，使得过程seseSi，cld，i=1，2，d、 由desi给出，cldt=dSit+dAit- βitSitdt（3.21）对于某些Rd值、G-适应、有界过程β满足rb≤ βifor i=1，d、 都是（ePβ，G）连续的平方可积鞅，并且对于ePβ下的过滤G具有可预测的r e表示性质，（ii）存在一个Rd×d值的G适应过程m，使得Hescldit=Ztmum*udu（3.22），其中mm*是可逆的，满足mm*= Sσ*s

这里σ是G适应过程的d维平方矩阵ix，满足椭圆度条件（3.7）。下面的命题建立了Be-rgman模型在现有假设下的无套利性质。由于该结果的证明与[12]中提案N3.2的证明非常相似，因此省略了它。命题3.6如果假设3.5成立，那么伯格曼的模型对于对冲基金和任何合同（A，C）而言都是无套利的。为了进行比较，我们回顾了[14]共同提出的关于外源性共同作用的提案3.3。命题3.7让x≥ 0，x≤ 0和s消费3.5是有效的。那么对于任何合同（A，C），AC∈ A（ePβ）我们有Ph（x，A，C）=eYh，x- C和Pc（x，-A.-C） =eYc，x- 其中（eYh，x，eZh，x）是以下BSDE（deYh，xt=eZh，x，*tdeScldt+Gh（t，x，eYh，xt，eZh，xt）dt+dACt，eYh，xt=0和（eYc，x，eZc，x）是以下BSDE（deYc，xt=eZc，x，*tdeScldt+Gc（t，x，eYc，xt，eZc，xt）dt+dACt，eYc，xt=0,12 t.Nie和M.rutkowski，其中生成器和Gc由以下表达式gh（t，x，y，z）给出：=dXi=1ziβitSit- xrltBlt+rlty+xBlt- Z*圣+- rbty+xBlt- Z*圣-andGc（t，x，y，z）：=dXi=1ziβitSit+xrbtBbt- rlt- y+xBbt+z*圣++ rbt- y+xBbt+z*圣-.下一个结果涵盖了当初始捐赠X和XHAVES igns时套期保值者抵押品的情况。由于它的pro of与命题3.3的pro of类似，所以这里不介绍它。命题3.8让x≥ 0，x≤ 0和假设3.1和3.5有效。