内生条件下公平双边定价的BSDE方法

因此，从x≥ 0+q(-y）≥ 0代表一切≥ 0，我们得到f（t，x，Yt，Zt）=Pdi=1ZitβitSit-Pdi=1ri，bt（ZitSit）+- xrltBlt- rctq(-Yt）+rltYt+q(-Yt）+xBlt+Pdi=1（ZitSit）-=Pdi=1ZitβitSit-Pdi=1ri，bt（ZitSit）+- rctq(-Yt）+rltYt+q(-Yt）+Pdi=1（ZitSit）-.Sinceg（t，x，y，z）≥Pdi=1ziβitSit+Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xrbtBbt- rctq(-Yt）- rbt- Y- q(-Yt）+xBbt+Pdi=1(-（齐西特）-=Pdi=1ziβitSit+Pdi=1ri，bt(-（齐西特）+- rctq(-Yt）- rbt- Y- q(-Yt）+Pdi=1(-（齐西特）-,我们有g（t，x，Yt，Zt）- f（t，x，Yt，Zt）≥Pdi=1ri，bt | ZitSit |+（rbt- （rlt）Yt+q(-Yt）- rltPdi=1（ZitSit）-- rbtPdi=1(-ZitSit）-= （加拿大皇家银行）- （rlt）Yt+q(-Yt）+Pdi=1（ri，bt- rlt（ZitSit）-+Pdi=1（ri，bt- rbt）(-ZitSit）-.内生担保下的公平双边定价≥ rb≥ rl，Y≥ 0和y+q(-y）≥ 0代表一切≥ 0，我们得出g（t，x，Yt，Zt）- f（t，x，Yt，Zt）≥ 因此，BSDE的比较定理得到了期望的不等式。5.3套期保值者初始捐赠的价格独立性下一个目标是证明，对于特定类别的合同，套期保值者在部分净额结算的模型中的价格独立于初始捐赠x。对第5.7条的财务解释是，套期保值者永远不需要从账户BB借入现金用于套期保值目的，因此也不需要从账户BB借入现金非负初始捐赠对他的首要问题无关紧要。因此，很明显，当x时，类似的结果不会成立≤ 0.与ken相同，独立财产在Bergman的模型gene ral中不会持有，因为在Latter模型中，风险资产的正头寸融资可能需要从现金账户Bb中扣除。命题5.7让x≥ 0和假设3.1和3.5有效。如果合同（a，C）满足假设5.1，则套期保值者的价格Pht（x，a，q）独立于x。

在5.4的条件下，我们得到Ph（x，A，q）=Y，其中（Y，Z）是BSDE的唯一溶液dYt=Z1，*tdeScldt+ft、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0。Sincef（t，x，0，0）=0和At-Ais是一个递减过程，根据BSDEs的比较理论，我们得到Y≥ 因此，使用不等式x≥ q+0和y(-y）≥ 0代表一切≥ 0，we g etf（t，x，Yt，Zt）=Pdi=1ZitβitSit-Pdi=1ri，bt（ZitSit）+- xrltBlt- rctq(-Yt）+rltYt+q(-Yt）+xBlt+Pdi=1（ZitSit）-=Pdi=1ZitβitSit-Pdi=1ri，bt（ZitSit）+- rctq(-Yt）+rltYt+q(-Yt）+Pdi=1（ZitSit）-其中最后一个表达式与x无关。因此，价格Pht（x，A，q）=Ytis也与x有关。备注5.3支持x≥ 0和合同（a，C）是这样的过程a-Ais增加，属于A（ePβ）。如果从套期保值者的角度来看，抵押品C由Ct=q（Vct）给出-Vt（x）），其中函数q满足-y+q（y）≥ 0换一个y≥ 0，则交易对手的价格Pct（x，-A.-q） 独立于x。然而，如果我们仍然在套期保值者抵押品的假设下工作，这个问题需要更多的关注，因为交易对手的价格也取决于套期保值者的初始捐赠x。如上述命题所示，对于满足假设5.1的合同（a，c），过程独立于xso，显然，价格Pct（x，-A.-q） 独立于x，但仍可能取决于x。目前尚不清楚是否可以通过（3.5）给出的套期保值者抵押品C找到某种类别的非平凡合同（A，C），例如Pct（x，-A.-q） 不依赖于x（它可能仍然依赖于x）。5.4套期保值者价格的正同质性我们再次考虑了套期保值者的价格，我们表明，它与合同规模和非负初始捐赠正同质。注意，这个属性是28 T.Nie和M。

如果只有合约的规模，而不是套期保值者的初始捐赠水平，通过非负的s校准因子λ进行了调整（或降低），则Rutkowskino不再成立。当然，当已知合同价格独立于套期保值者的初始投资时，例如在命题5.7的假设下，这种评论并不适用。命题5.8让x≥ 0和假设3.1和3.5有效。对于任何合同（A，C），如- A.∈ A（ePβ）和方程（3.5）中的函数q是正齐次的，这意味着对于所有λ，q（λy）=λq（y）≥ 0，那么套期保值者的价格对于所有λ也是正齐次的∈ R+和t∈ β（λ，λ），λ- a、 s.（5.13）证明。很明显，λ=0的（5.13）ho lds。现在我们把λ>0。从专业位置5。4.我们知道Ph（x，A，q）=Y其中（Y，Z）是BSDE的唯一溶液dYt=Z1，*tdeScldt+ft、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0。类似地，Ph（λx，λA，q）=eY，其中（eY，eZ）是BSDE的唯一解（deYt=eZ1，*tdeScldt+ft、 λx，eYt，eZtdt+λdAt，eYT=0。因此我们有：=λYand Z=λZ（dYt=Z*tdeScldt+λft、 x，λ-1Yt，λ-1Ztdt+λdAt，YT=0。为了完成证明，有必要证明对于每个λ∈ R+λft、 x，λ-1y，λ-1z= Ft、 λx，y，z.使用每个λ的性质q（λy）=λq（y）可以很容易地检查这一点∈ R+。如果抵押品由Ct=q（Vct）给出- Vt（x）），则交易对手的价格具有与命题5.8中相同的正同质性性质。然而，如果假设套期保值者的抵押品，则对交易对手价格同质性的研究稍微复杂一些，尤其是交易对手的价格取决于套期保值者的初始捐赠x。

在这种情况下，Ct=q（Vt（x）- Vht），这取决于（x，A），所以我们将在。命题5.9让x≤ 0和假设3.1和3.5有效。对于任何合同（A，C），如- A.∈ A（ePβ）和方程（3.5）中的函数q是正齐次的，对于所有λ∈ R+和t∈ [0，T]，Pct（λx，-λA，Cλx，λA）=λPct（x，-A、 Cx，A），ePβ- a、 美国证据。与命题5.8的证明类似，现在可以证明λgt、 x，λ-1y，λ-1z= Gt、 λx，y，z其中函数G在命题5.4中给出。因为q（λy）=λq（y）和y=λYforλ≥ 0（参见第5.8节），很容易完成证明。备注5.4当初始捐赠满足x时，类似于命题5.8和5.9的结果也有效≤ 0和x≥ 0.此外，通过结合前两节的结果，我们可以找到一组价格独立于初始捐赠且具有显著同质性的合同。伯格曼模型也可以建立类似的冰均匀性。这些证明与部分网状模型的证明相当相似，因此它们不存在。内部担保296模型下的公平双边定价部分净额结算和协商担保在最后一节，我们通过研究交易对手之间协商担保金额C的情况，继续分析部分净额结算模型，在这个意义上，它取决于套期保值者的价值Vh:=V（x，φ，A，C）和交易对手的价值Vc:=V（x，eφ，-A.-C） 。如第4节所述，我们假设抵押品满足假设4.1。

在这种情况下，我们有Ph（x，A，C）=Ph（x，x，A，C）和Pc（x，-A.-C） =Pc（x，x，-A.-C） ，这意味着这两个价格取决于初始捐赠的向量（x，x）。6.1等号初始禀赋假设双方的初始禀赋为非负，以下结果给出了双方的完全耦合定价BSDE。命题6.1让x≥ 0，x≥ 0和假设3.3和4.1有效。对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl）我们有（Ph，Pc）*= 其中（Y，Z）求解二维完全耦合的DBSDE（dYt=Z）*tdeSl，cldt+gt、 Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（6.1），其中g=（g，g）*,A=（A，A）*对于所有的y=（y，y）*∈ R、 z=（z，z）∈ Rd×2，g（t，y，z）=rlt（Blt）-1z*圣- （Blt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+- xBltrlt- rctbq(-Y-y） +rlty+bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）-+- rbty+bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）--（6.2）与g（t，y，z）=rlt（Blt）-1z*St+（Blt）-1Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xBltrlt- rctbq(-Y-y）- rlt- Y- bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1(-（齐西特）-++ rbt- Y- bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1(-（齐西特）--.（6.3）在本节剩余部分中，我们在假设3.4下工作，并研究欧洲未定权益（HT，C）的估值和对冲。我们注意到BSDE（6.1）变成（dYt=Ztσ（t，St）dWt+（gt、 Yt，Zt+ σ（t，St）atZt）dt+dAt，YT=0，（6.4），其中过程a由（3.15）给出。如第4.3节所述，必须检查以下BSDE（dYt=ZtdfWlt+gt、 Yt，（σ（t，St））-1Ztdt，YT=(- 嗯，-（HT）*.我们现在可以研究担保债权在t时的公平双边价格范围。命题6.2让x≥ 0，x≥ 0和假设3.3、3.4、4.1和4.3有效。对于任何担保欧洲索赔（HT，C），其中HT∈ L(Ohm, 我们有，对于每一个t∈ [0，T]，Pct（x，-嗯，-C）≤ Pht（x，HT，C），ePl- a、 s.30 T.Nie和M.RutkowskiProof。让σ-1t:=（σ（t，St））-1.

检查功能sh（t，y，y，z，z）：=-Gt、 y，y，σ-1tz，σ-1tzandh（t，y，y，z，z）：=-Gt、 y，y，σ-1tz，σ-1tz式中，d=1的（6.2）和（6.3）给出的gand gare满足假设4.2和条件（4.13）。很容易检查假设4.2是否成立。我们将检查是否满足条件（4.13）。我们设置δ：=y++y+bq(-y+- Y-y） +xBlt+（Blt）-1σ-1吨（（z+z）St）-δ：=-Y- bq(-y+- Y-y） +xBlt+（Blt）-1σ-1t(-（zSt）-.然后（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）=-g（t，y++y，y，σ）-1t（z+z），σ-1tz）+g（t，y++y，y，σ）-1t（z+z），σ-1tz）=-rlt（Blt）-1σ-1tzSt+（Blt）-1r1，bt（σ-1t（z+z）St）+（Blt）-英国电信1r1(-σ-1tzSt）+（x+x）Bltrlt- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-).自从rlt≤ rbt，我们有（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-) ≤ rlt（δ+δ）=rlty++（x+x）Bltrlt+rlt（Blt）-1((σ-1t（z+z）St）-+ (-σ-1tzSt）-).因此，使用r1，bt≥ 我们得到了（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）≥ -拉蒂+- rlt（Blt）-1σ-1tzSt+（Blt）-1r1，bt（σ-1t（z+z）St）+（Blt）-英国电信1r1(-σ-1tzSt）+- rlt（Blt）-1((σ-1t（z+z）St）-+ (-σ-1tzSt）-)= -rlty++（Blt）-1（r1，bt）- rlt）（σ-1t（z+z）St）+（Blt）-1（r1，bt）- （rlt）(-σ-1tzSt）+≥ -rlty+。使用与命题证明N4.4类似的论点，我们得出结论（4.13）成立。6.2相反符号的初始禀赋我们通过研究相反符号的初始禀赋来总结本文。命题6.3让x≥ 0，x≤ 0和假设3.5和4.1有效。

对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePβ）我们有（Ph，Pc）*=其中（bY，bZ）求解二维完全耦合的dbsde（dbYt=bZ）*tdeScldt+bgt、 bZt，bZtdt+dAt，bYT=0，（6.5），其中bg=（bg，bg）*,A=（A，A）*对于所有的y=（y，y）*∈ R、 z=（z，z）∈ Rd×2，bg（t，y，z）=Pdi=1ziβitSit- xBltrlt- rctbq(-Y-y） +rlty+bq(-Y-y） +xBlt- Z*圣+- rbty+bq(-Y-y） +xBlt- Z*圣-（6.6）内生担保下的公平双边定价31和BG（t，y，z）=Pdi=1ziβitSit+（Blt）-1Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xBbtrbt- rctbq(-Y-y）- rlt- Y- bq(-Y-y） +xBbt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）-++ rbt- Y- bq(-Y-y） +xBbt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）--.（6.7）满足假设3.4和3.5，然后描述=u（t，St）+κ（t，St）- βtStdt+σ（t，St）dWt和BSDE（6.5）变成（dYt=Ztσ（t，St）dWt+（bgt、 Yt，Zt+ σ（t，St）btZt）dt+dAt，YT=0，其中过程b由（4.18）给出。如第4.3节所述，必须检查以下BSDE（dYt=ZtdfWβt+bgt、 Yt，（σ（t，St））-1Ztdt，YT=(-嗯，-（HT）*,其中fwβ是在等价概率测度pβ下的布朗运动。命题6.4让x≥ 0，x≤ 0应使xx=0。如果满足假设3.4、3.5、4.1和4.4，则对于任何担保欧洲索赔（HT，C），HT∈ L(Ohm, FT，ePβ）我们有，每t∈ [0，T]，Pct（x，-嗯，-C）≤ Pht（x，HT，C），ePβ- a、 美国证据。像往常一样，我们写-1t:=（σ（t，St））-1.检查功能sh（t，y，y，z，z）是有效的：- bgt、 y，y，σ-1tz，σ-1tzandh（t，y，y，z，z）：=- bgt、 y，y，σ-1tz，σ-1tz其中bg和bg分别由（4.7）和（4.8）给出，即假设4.2和条件（4.13）。这类似于提案4.7的证明，使用xx=0，并在提案6.2的证明中使用相同的计算。细节留给读者。

确认Nie Tianyang和Marek Rutkowski的研究得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（DP120100895）的支持。参考文献[1]伯格曼，Y.Z.：不同利率下的期权定价。金融研究回顾8（1995），475-500。[2] Bielecki，T.R.，Rutkow ski，M.：具有融资成本和抵押的合同估值和对冲。工作文件，2014年。[3] Brigo，D.，Capponi，A.，Pallavicini，A.，Papatheodorou，V.：无套利交易对手估值调整中的共同保证金，包括再抵押和净额结算。工作文件，2011.32 T.Nie和M.Rutkowski[4]Buckdahn，R.，Quincampoix，M.，Rascanu，A.：后向随机微分方程的生存性和对偏微分方程的应用。Probab。理论相关领域116（2000），485-504。[5] Burgard，C.，Kjaer，M.：具有双边交易对手风险和融资成本的期权的PDE代表。工作文件，2009年11月20日。[6] Burgard，C.，Kjaer，M.：具有交易对手风险和融资成本的衍生品的偏微分方程表示。《信贷风险杂志》第7期（2011），第1-19页。[7] Cr’epey，S.：融资约束下的双边交易对手风险——第一部分：定价。MathematicalFinance（2012年12月12日在线出版）。[8] Cr’epey，S.：融资约束下的双边交易对手风险——第二部分：CVA。MathematicalFinance（2012年12月12日在线出版）。[9] El Karoui，N.，Peng，S.，Quenez，M.C.：金融中的逆向随机微分方程。数学金融7（1997），1-71。[10] 胡耀鹏，S.：关于多维BSDE的比较定理。C.R.阿卡德。Sci。巴黎爵士。I.343（2006）135-140。[11] Mercurio，F.：伯格曼、皮特堡和其他：抵押和差别利率下的衍生品定价。

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