内生条件下公平双边定价的BSDE方法

考虑任意合同（A，C），其中-Ais是一个非正（或bou）值，从上面看，因此-A.≤ 对于某些常数M），连续的，G-适应的过程，例如EePl[supt∈[0，T]| At |]<∞. 然后我们就有了，每一个t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePl- a、 美国证据。还记得吗-1t:=（σ（t，St））-1.我们有（Ph、Pc）*= Y=（Y，Y）*式中（Y，Z）为solvesBSDE（4.15）。莱蒂：=Y-A+A，其中A=（A，A）*A=（A，A）*, 所以（deYt=ZtdfWlt+gt、 eYt+At- A、 σ-1tZtdt，eYT=-在与命题4.4的证明类似，我们假设（t，y，y，z，z）：=-g（t，y+At）- A、 y+At- A、 σ-1tz，σ-1tz）和h（t，y，y，z，z）：=-g（t，y+At）- A、 y+At- A、 σ-1tz，σ-1tz）。因为A是连续的，所以∈[0，T]| At |]<∞, 不难验证假设4.2是否符合h。此外，由于- A.≤ 0（或A）- A.≤ 我们有-4y-[h（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）]≤ 4rlty-（y++At- （A）≤ |M | | y-|+ 2z{y<0}。为了完成证明，必须使用定理4.1。备注4.1对于过程更一般的合同（a，C），我们可能不会有类似的结果。这是因为在（4.15）中，一般现金流可能会破坏可行性房地产。然而，通过混合命题4.5和命题4.6中引入的两类特殊契约，我们可以构造以下一类契约：对于0<t≤ T≤ . . . ≤ tk≤ 处理Hl（T），l=1，kde定义于[tl，T]，网址：- A=kXl=1[tl，T]（T）Hl（T），其中，对于l=1，2，k、 过程Hl（t），t∈ [tl，T]满足以下条件之一：（i）Hl是一个连续的、G适应的过程，Hl≤ M和EePl【监督】∈[tl，T]| Hl（T）|]<∞,（ii）Hl（t）=Hl代表所有t∈ [tl，T]，其中随机变量Hl∈ L(Ohm, Ftl，P）。通过将命题4.5和命题4.6的陈述和事实结合起来，一个人可以证明，满足（i）-（ii）的合同（A，C）的公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。20 T.聂和M。

鲁特科夫斯基。4相反标志的初始捐赠在这里只考虑了欧洲或有债权抵押（HT，C）的情况，但对于命题4.5和4.6中介绍的两种特殊合同，类似的结果也成立。我们在假设3.4和3.5下工作，我们表示bt:=（σ（t，St））-1.u（t，St）+κ（t，St）- βtSt. （4.18）假设4.4我们假设过程b满足诺维科夫条件（3.16），过程（σ（·s））-1，β和所有利率都是连续过程和过程（σ（·S））-1是有界的。我们观察到这一点=u（t，St）+κ（t，St）- βtStdt+σ（t，St）dWt=σ（t，St）btdt+dWt= σ（t，St）dfWβt此处dfWβt:=dWt+btdt。让我们通过设置depβdP=exp来定义概率测量值epβ(-ZTbtdWt-ZT | bt | dt）。根据Girsanov定理，过程fwβ是ePβ和thuseScldis a（ePβ，G）-（局部）鞅下的布朗运动，二次变化heScldit=Rt |σ（u，Su）|du。此外，由于过程（σ（·S））-1是有界的，假设3.5成立。我们得出结论，该模型在EPβ下是无套利的（见命题3.6）。在目前的框架下，BSDE（4.6）可以表示为（dYt=Ztσ（t，St）dWt+bgt、 Yt，Zt+ σ（t，St）btZtdt+dAt，YT=0。如第4.3节所述，因此有必要检查[0，T]（dYt=ZtdfWβT+bg）上的以下BSDEt、 Yt，（σ（t，St））-1Ztdt，YT=(-嗯，-（HT）*.命题4.7让x≥ 0，x≤ 0应使xx=0。如果满足假设3.4、3.5、4.1和4.4，则对于任何担保欧洲索赔（HT，C），HT∈ L(Ohm, FT，ePβ）我们有，每t∈ [0，T]，Pct（x，-嗯，-C）≤ Pht（x，HT，C），ePβ- a、 美国证据。让σ-1t:=（σ（t，St））-1.必须检查功能sh（t，y，y，z，z）：=- bgt、 y，y，σ-1tz，σ-1tzandh（t，y，y，z，z）：=- bgt、 y，y，σ-1tz，σ-1tz满足假设4.2和条件（4.13），其中bg和bg分别由（4.7）和（4.8）给出，d=1。

首先，从β的连续性，σ-关于t，我们推导出y，y，z，z∈ R、 函数h（t，y，y，z，z）和h（t，y，y，z，z）对于t.Second也是连续的，因为σ-1S是有界的，bq是一致Lipschitz连续的，很明显h（t，y，y，z，z）和h（t，y，y，z，z）对于（y，y，z，z）是一致Lipschitz连续的。此外，从bq（0，0）=0和x≥ 0和x≤ 我们有h（t，0，0，0，0）=内生担保下的公平双边定价21h（t，0，0，0）=0。因此，我们看到假设4.2适用于h。最后，让我们检查条件（4.13）是否也满足。为此，我们设置δ：=y++y+bq(-y+- Y-y） +xBlt- σ-1t（z+z）支架δ=-Y- bq(-y+- Y-y） +xBbt+σ-1tzSt。然后（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）=-bg（t，y++y，y，σ）-1t（z+z），σ-1tz）+bg（t，y++y，y，σ）-1t（z+z），σ-1tz）=-σ-1tβt（z+z）St+xBltrlt+rctbq(-y+- Y-y）- rltδ++rbtδ-+ σ-1tβtzSt+xBbtrbt- rctbq(-y+- Y-y）- rltδ++rbtδ-= -σ-1tβtzSt+xBltrlt+xBbtrbt- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-).自从rlt≤ rbt，我们有（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-) ≤ 闵rlt（δ+δ），rbt（δ+δ）= 闵rlty++xBltrlt+xBbtrlt- rltσ-1tzSt，rbty++xBltrbt+xBbtrbt- rbtσ-1tzSt.砰（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）≥ -σ-1tβtzSt+最大值-rlty++xBbtrbt- xBbtrlt+rltσ-1tzSt，-rbty++xBltrlt- xBltrbt+rbtσ-1tzSt.我们还有h（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）≥ -rlty++σ-1tSt（rlt）- βt）z+xBbt（rbt- rlt）。因此，如果x=0，则使用过程β、rl和σ的有界性-1S，我们获得-4y-[h（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）]≤ 4rlty-y+- 4y-zσ-1tSt（rlt）- βt）=-4y-zσ-1tSt（rlt）- βt）≤ M|y-|+ 2z{y<0}，这是期望的不等式（4.13）。当x=0时，也可以得到同样的不等式。备注4.2让我们考虑第4.3节中考虑的更一般的合同类别。

我们现在假设利率rl和rb是确定性的，并且满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。使用[12]中命题5.4的证明中研究的例子，对于风险资产的每个模型，我们看到对于第4.3节中考虑的每个合同（A，C），对于所有∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 s.当且仅当xx=0。备注4.3如第3.1节所述，价格Ph（x，A，C）（分别为Pc（x，-A.-, C） ）确实应该是Ph值（x，x，A，C）（re sp.，Pc（x，x，-A.-C） ），这意味着套期保值者和缔约方的价格取决于初始捐赠x和x。使用多维BSDE的比较理论（见胡和彭[10]），人们可能试图证明与初始捐赠有关的价格的单调性（有关结果，请参见[12]中的第5.4节）。22 T.Nie和M.Rutkowski5模型带有部分净额结算和套期保值抵押品。在第5节和第6节中，我们考虑了带有部分净化和完全再抵押现金抵押品的模型。有关此建模框架的详细描述，请参考[2,12]。我们的目的是证明前面章节中开发的方法可以应用于这种设置，尽管关于单边和双边价格的性质可能有不同的结论。由于某些结果的证明与伯格曼模型中的对立面的证明非常相似，因此省略了它们。从[12]中的Le mma 2.1和引理2.2中，我们知道，对于自融资交易策略（ξ，…，ξd，аl，аb，а1，b，а2，b，…，аd，b，η），过程Yl：=（Bl）-1Vp（x，ν，A，C）和Zl，i=ξi，i=1，2。

，d satisfydYlt=dXi=1Zl，itdeSi，l，cldt+Gl（t，Ylt，Zlt）dt+dAC，lt（5.1），其中生成器Glequals，for all（ω，t，y，z）∈ Ohm ×[0，T]×R×Rd，Gl（T，y，z）=（Blt）-1Pdi=1LTZISIT- （Blt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+- rlty+（Blt）-1.rltyBlt+Pdi=1（ziSit）-+- rbtyBlt+Pdi=1（ziSit）--.类似地，过程Yb:=（Bb）-1Vp（x，ν，A，C）和Zb，i=ξi，i=1，2，d satisfydYbt=dXi=1Zb，itdeSi，b，cldt+Gb（t，Ybt，Zbt）dt+dAC，bt（5.2），其中，对于所有（ω，t，y，z）∈ Ohm ×[0，T]×R×Rd，Gb（T，y，z）=（Bbt）-1Pdi=1rbtziSit- （Bbt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+- rbty+（Bbt）-1.rltyBbt+Pdi=1（ziSit）-+- rbtyBbt+Pdi=1（ziSit）--.在整个第5节中，我们在对冲者抵押品的第3.1条下工作。5.1等号初始捐赠首先检查初始捐赠满足x的情况≥ 0和x≥ 0.我们注意到，在这种情况下，在假设3.2（或假设3.3）下，部分净额结算模型是无套利的，适用于套期保值者和相对方的任何合同（A、C）（见[12]中的建议3.1）。利用[12]中的命题N4.1和4.2，我们可以建立以下命题n，这与本研究中的命题3.3相对应。命题5.1让x≥ 0，x≥ 0和假设3.1和3.3有效。

对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl），套期保值者的除息价格等于Ph:=Ph（x，A，C）=Y，其中（Y，Z）是BSDE的唯一解（dYt=Z1，*tdeSl，cldt+flt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（5.3）内生担保下的公平双边定价23，生成方为byfl（t，x，y，z）=rlt（Blt）-1z*圣- （Blt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+- xBltrlt- rctq(-y） +rlty+q(-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）-+- rbty+q(-y） +xBlt+（Blt）-1Pdi=1（ziSit）--交易对手的除息价格等于Pc:=Pc（x，-A.-C） =Y其中（Y，Z）是BSDE的唯一解决方案（dYt=Z2，*tdeSl，cldt+glt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（5.5），发电机gl由gl（t，x，y，z）=rlt（Blt）给出-1z*St+（Blt）-1Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xBltrlt- rctq(-Yt）- rlt- Y- q(-Yt）+xBlt+（Blt）-1Pdi=1(-（齐西特）-++ rbt- Y- q(-Yt）+xBlt+（Blt）-1Pdi=1(-（齐西特）--.（5.6）正如在伯格曼的模型中，如果假设了hedg e r抵押品的约定，那么我们有Ph=Ph（x，A，C）和Pc=Pc（x，x，-A.-C） ，但我们仍然表示交易对手的价格asPc（x，-A.-C） 。我们可以研究公平双边价格的范围。命题5.2让x≥ 0，x≥ 0和假设3.1和3.3有效。那么对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl）我们有，每t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePl- a、 s.（5.7）证明。这就足以说明gl（t，x，Y，Z）≥ fl（t，x，Y，Z），ePl l - A.E我们表示δ：=gl（t，x，Y，Z）- fl（t，x，Y，Z）=rltBlt（x+x）+（Blt）-1dXi=1ri，bt | Z1，itSit |- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-)式中δ=-Yt- q(-Yt）+Bltx+（Blt）-1dXi=1(-Z1，itSit）-δ：=Yt+q(-Yt）+Bltx+（Blt）-1dXi=1（Z1，itSit）-.自从rl≤ rband rl≤ ri，b，我们得到δ≥ rltBlt（x+x）+（Blt）-1Pdi=1ri，bt | Z1，itSit |- rlt（δ+δ）≥ （Blt）-1Pdi=1（ri，bt- rl）| Z1，itSit |≥ 0，这就完成了证明。24 T.聂和M。

鲁特科夫斯基5。1.1具有不确定货币市场利率的模型我们在这里研究初始捐赠满足x的情况≥ 0和x≥ 0，但对于x≥ 0和x≤ 0是相似的。让我们选择一个任意的G适应利率过程∈ [rlt，rbt]对于每个t∈ [0，T]。（5.8）我们现在考虑单一货币市场利率r的市场模型，在该模型中，套期保值者和交易对手的除息价格与各自的初始捐赠无关。价格Pr=Y可以通过求解BSDE（dYt=Z）得到*tdeSl，cldt+f（t，Yt，Zt）dt+dAt，Yt=0，（5.9），其中发电机f等于（t，y，z）=rlt（Blt）-1z*圣-（Blt）-1Pdi=1ri，bt（ziSit）+-（Blt）-1Pdi=1rt（ziSit）--rctq(-y） +rty+q(-y）.与命题3.5类似，我们在假设3.1下得到以下结果。命题5.3对于任何合同（A、C），如果∈ A（ePl），市场模型中唯一的无套利价格，货币市场利率r满足Pr≤ Ph（0，A，C），ePl- a、 s.如果x=x=0，则（3.5）中的函数q满足（rt- rct）（q（y）- q（y））≤ 0代表一切≥ y、 然后alsoPc（0，-A.-C）≤ 公共关系- a、 s.5.2相反符号的初始禀赋Let us现在考虑以下情况：≥ 0和x≤ 0.我们现在假设rb≤ ri，假设3.5与rb保持一致≤ βi≤ ri，b.根据[12]中的命题3.2，我们知道，对于任何合同（A，C）和任意初始捐赠，部分净额结算模型对套期保值者和交易对手都是无套利的。使用[12]中的支持位置5.3和类似于命题3.8证明的论点，可以证明以下命题。命题5.4让x≥ 0，x≤ 0和假设3.1和3.5有效。

对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePβ），套期保值者的除息价格等于Ph=Y，而这对（Y，Z）是BSDE的唯一解决方案dYt=Z1，*tdeScldt+ft、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（5.10），其中f（t，x，y，z）=Pdi=1ziβitSit-Pdi=1ri，bt（ziSit）+- xrltBlt- rctq(-y） +rlty+q(-y） +xBlt+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+q(-y） +xBlt+Pdi=1（ziSit）--该公司的除息价格等于Pc=Yc，其中这对（Yc，Zc）是BSDE的唯一解决方案dYt=Z2，*tdeScldt+gt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（5.11）内生担保下的公平双边定价，其中g（t，x，y，z）=Pdi=1ziβitSit+Pdi=1ri，bt(-ziSit）+xrbtBbt- rctq(-Yt）- rlt- Y- q(-Yt）+xBbt+Pdi=1(-（齐西特）-++ rbt- Y- q(-Yt）+xBbt+Pdi=1(-（齐西特）--.以下结果表明，如果XX=0，公平双边价格的范围是非空的。否则，可以生成此范围为空的模型示例。命题5.5让x≥ 0，x≤ 0和假设3.1和3.5有效。（i） 如果xx=0，那么对于任何合同（A，C），A∈ A（ePβ）我们有，对于每一个t∈ [0，T]Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 s.（5.12）（ii）让rland rbt具有确定性，并满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。然后（5.12）适用于所有合同（A，C），例如∈ A（ePβ）和所有t∈ [0，T]当且仅当xx=0。证据（i） 假设x≥ 0和x≤ 0

我们将证明δ：=g（t，x，Y，Z）- f（t，x，Y，Z）≥ 最大值- （加拿大皇家银行）- rlt）xBlt+Pdi=1（ri，bt- rbt）| Z1，itSit |，（rbt）- rlt）xBbt+Pdi=1（ri，bt- rlt）| Z1，它|.实际上，我们有δ=xrltBlt+xrbtBbt- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-)式中δ=-Yt- q(-Yt）+xBbt+Pdi=1(-Z1，itSit）-, δ：=Yt+q(-Yt）+xBlt+Pdi=1（Z1，itSit）-.来自rlt≤ rbt，它遵循δ≥Pdi=1ri，bt | ziSit |+xrltBlt+XRBTBT- rlt（δ+δ）=（rbt- rlt）xBbt+Pdi=1（ri，bt- rlt）| Z1，itSit |和δ≥Pdi=1ri，bt | ziSit |+xrltBlt+XRBTBT- rbt（δ+δ）=-（加拿大皇家银行）- rlt）xBlt+Pdi=1（ri，bt- rbt）| Z1，itSit |。因此，我们证明了δ≥ 最大值- （加拿大皇家银行）- rlt）xBlt+Pdi=1（ri，bt- rbt）| Z1，itSit |，（rbt）- rlt）xBbt+Pdi=1（ri，bt- rlt）| Z1，它|.如果xx=0，则使用ri，bt≥ rbt≥ rlt，很容易检查上述不等式的右侧是否为非负。因此δ≥ 因此，从BSDE的比较定理和命题3.8，我们推导出不等式（5.12）适用于每一个t∈ [0，T]。（ii）如果xx6=0，那么[12]中命题5.4的证明给出了一个与q的合同（a，C）≡ 0，使得不等式c（x，-A.-C） >Ph（x，A，C），ePβ- a、 s在目前的框架中保持不变，因此Rp（x，x）几乎肯定是非空的。备注5.1如果xx<0，那么从上述命题中，我们知道对于某些合同（A，C），我们有Pcbt（x，-A.-C） 对于某些BT，Phbt（x，A，C）∈ [0，T]。正如在[12]中，对于一些特殊的契约（A，C），不等式Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）适用于所有t∈ [0，T]。我们将在下一小节讨论。26 T.Nie和M.Rutkowski5。2.1现金流单调的合同我们继续研究x≥ 0和x≤ 0

受[12]的启发，我们将证明，对于一些特殊合同（A、C），ine质量（5.12）适用于所有t∈ [0，T]。假设5.1合同（a，C）满足以下条件：（i）过程a- Ais递减，属于A类（ePβ），（ii）抵押品C由（3.5）给出，函数q满足y+q(-y）≥ 0代表一切≥ 例如，当q（y）=（1+α）y时，条件（ii）成立+-（1+α）y-对于一些理发过程，α，α≤ 0，这意味着当套期保值者发布抵押品时，现金金额永远不会超过全部抵押品。实际上，q是完全一致的Lipschitz连续的，q（0）=0。此外，我们有，毕竟≥ 0，y+q(-y） =y- （1+α）y=-αy≥ 0.为了强调函数q的重要作用，我们有时会写Pht（x，A，q）和pct（x，-A.-q） 而不是Pht（x，A，C）和Pct（x，-A.-C） 分别为。备注5.2在伯格曼模型的情况下，我们无法使用用于建立下一个结果的方法证明公平双边价格的范围是非空的。这再次表明，价格的属性取决于手头市场模型的特定特征。命题5.6让x≥ 0，x≤ 0和假设3.1和3.5有效。如果合同（a，C）满足假设5.1，那么不平等性Pct（x，-A.-q）≤ Pht（x，A，q）对每一个t都有效∈ [0，T]。证据我们已经知道pa ir（Pht，eZh，xt）解BSDE（5.10），而配对（Pct，eZc，xt）解BSDE（5.11）。注意f（t，x，0，0）=0和A- 这是一个递减过程，根据BSDE的比较定理，我们得到了Ph=Y≥ 0