内生条件下公平双边定价的BSDE方法

对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePβ），套期保值者的除息价格等于Ph=Y，其中（Y，Z）是BSDE的唯一解决方案dYt=Z1，*tdeScldt+ft、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（3.23），其中生成器f由f（t，x，y，z）=dXi=1ziβitSit给出- xrltBlt- rctq(-y） +rlty+q(-y） +xBlt- Z*圣+- rbty+q(-y） +xBlt- Z*圣-交易对手的除息价格等于Pc=Y，其中（Y，Z）是BSDE的唯一解决方案dYt=Z2，*tdeScldt+gt、 x，Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（3.24），其中generatorg由g（t，x，y，z）=dXi=1ziβitSit+xrbtBbt给出- rctq(-Yt）- rlt- Y- q(-Yt）+xBbt+z*圣++ rbt- Y- q(-Yt）+xBbt+z*圣-.当交易对手的初始禀赋出现相反迹象时，我们现在能够分析公平双边价格的范围。命题3.9让x≥ 0，x≤ 0和假设3.1和3.5有效。（i） 如果xx=0，那么对于任何合同（A，C），A∈ A（ePβ）我们有，尽管t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 s.（3.25）（ii）让rland rbt是确定性的，并满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。然后（3.25）适用于所有合同（A，C），例如∈ A（ePβ）和所有t∈ [0，T]当且仅当xx=0。证据（i） 我们考虑在第3.8号提案中研究的BSDE（3.23）和（3.24）的解（Y，Z）和（Y，Z），我们希望应用BSDE的比较定理来证明≥ Y.我们声称如果x≥ 0和x≤ 0，那么δ：=g（t，x，Yt，Zt）- f（t，x，Yt，Zt）≥ 最大值- （加拿大皇家银行）- rlt）xBlt（rbt）- rlt）xBbt. （3.26）内生担保下的公平双边定价13实际上，我们有δ=xrltBlt+XRBTBT- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-)其中我们表示δ：=-Yt- q(-Yt）+xBbt+Z1，*tSt，δ：=Yt+q(-Yt）+xBlt- Z1，*tSt。从假定的不等式rlt≤ rbt，很容易得出δ≥ xrltBlt+XRBTBT- rlt（δ+δ）=（rbt- rlt）xbbt和δ≥ xrltBlt+XRBTBT- rbt（δ+δ）=-（加拿大皇家银行）- rlt）xBlt。因此，我们已经证明（3.26）是有效的。

如果xx=0，则（3.26）中的右侧为非负。因此δ≥ 因此，根据BSDE s和e质量（Ph，Pc）=（Y，Y）（见命题3.8）的比较定理，我们推断（3.25）适用于每个t∈ [0，T]。（ii）我们现在假设利率rlt和RBA是确定性的，并且满足rlt<RBT的allt∈ [0，T]。如果xx6=0，那么[12]中Pro位置5.4的证明给出了一个与q的合同（a，C）≡ 0，使得不等式Pc（x，-A.-C） >Ph（x，A，C），ePβ- a、 在当前框架中保持，因此设置Rf（x，x）为空。4伯格曼的协商抵押模型我们在第4节和第6节中的目标是分析抵押物金额C依赖于套期保值者的价值Vh:=V（x，~n，A，C）和交易对手的价值Vc:=V（x，e~n，-A.-C） 。具体而言，假设3.1被以下假设取代，其中抵押品金额可能取决于双方的合同价值。为了方便起见，我们接着说，抵押品是由双方协商的，从总体上讲，抵押品协议的选择和抵押品金额的动态计算都涉及到合同的双方。假设4.1协商的抵押品C由Ct=bq给出Vt（x）- Vht，Vct- Vt（x）（4.1）其中bq:R→ R是一致Lipschitz连续函数，使得bq（0，0）=0。协商担保品的情况应与后退部分中考虑的情况进行对比，后者假定担保品金额仅由一方设定。让我们观察一下，这两部分的价格现在将取决于初始捐赠的向量（x，x），但我们将继续写Ph（x，A，C）和Pc（x，-A.-C） 而不是Ph（x，x，A，C）和PC（x，x，-A.-C） 分别为。

为了x≥ 0和x≥ 0，使用命题3.3证明中的参数，我们得到了Ph=Ph（x，A，C）=V（x，ν，A，C）- xBl=Vh- xBlandPc=Pc（x，-A.-C） =-V（x，e~n，-A.-C） +xBl=-Vc+xBl。同样，对于x≤ 0，我们有Pc=Pc（x，-A.-C） =-V（x，e~n，-A.-C） +xBb=-Vc+xBb。我们得出结论，对于x，下列等式是有效的≥ 0和任意x，Ct=bqVt（x）- Vht，Vct- Vt（x）= bq(-Pht，-Pct）。（4.2）14 T.Nie和M.Rutkowski示例4.1作为等式（4.1）的一个特殊实例，我们可以考虑凸性抵押物ngiven，其bq（y，y）=αy+（1- α） 对于某些α∈ [0,1]，因此Ct=α（Vt（x）- Vht）+（1- α） （Vct）- Vt（x））=-（αPht+（1）- α） Pct）。4.1完全耦合定价BSD以下结果涵盖了非负初始禀赋的情况，是命题3.3的一个相当直接的扩展，因此省略了它的证明。值得注意的是，进程Y和Z分别是R值和Rd×2值。命题4.1让x≥ 0，x≥ 0和假设3.3和4.1有效。

对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePl）、套期保值者和交易对手的除息价格（Ph、Pc）*= 其中对（Y，Z）求解以下二维全耦合BSDE（dYt=Z*tdeSl，cldt+gt、 Yt，Ztdt+dAt，YT=0，（4.3），其中g=（g，g）*,A=（A，A）*对于所有的y=（y，y）*∈ R、 z=（z，z）∈ Rd×2，g（t，y，z）=rlt（Blt）-1z*圣- xBltrlt- rctbq(-Y-y） +rlty+bq(-Y-y） +xBlt- （Blt）-1z*圣+(4.4)- rbty+bq(-Y-y） +xBlt- （Blt）-1z*圣-andg（t，y，z）=rlt（Blt）-1z*St+xBltrlt- rctbq(-Y-y）- rlt- Y- bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1z*圣+（4.5）+rbt- Y- bq(-Y-y） +xBlt+（Blt）-1z*圣-.显然，双方的价格取决于初始捐赠的向量（x，x），因此符号Ph=Ph（x，x，A，C）和Pc=Pc（x，x，-A.-C） 这样更合适。然而，为了简洁起见，它们仍将被表示为Ph（x，A，C）和Pc（x，-A.-C） 分别为。以下提案涵盖了相反符号的初始天赋情况，该提案与提案3.8相对应。命题4.2让x≥ 0，x≤ 0和假设3.5和4.1有效。对于任何合同（A，C）而言∈ A（ePβ），套期保值者和交易对手的除息价格（Ph，Pc）*=其中，对（bY，bZ）求解以下二维全耦合BSDE（dbYt=bZ*tdeScldt+bgt、 bZt，bZtdt+dAt，bYT=0，（4.6），其中bg=（bg，bg）*,A=（A，A）*对于所有的y=（y，y）*∈ 兰德z=（z，z）∈ Rd×2，bg（t，y，z）=Pdi=1ziβitSit- xBltrlt- rctbq(-Y-y） +rlty+bq(-Y-y） +xBlt- Z*圣+(4.7)- rbty+bq(-Y-y） +xBlt- Z*圣-内生担保下的公平双边定价15和bg（t，y，z）=Pdi=1ziβitSit+xBbtrbt- rctbq(-Y-y）- rlt- Y- bq(-Y-y） +xBbt+z*圣+（4.8）+rbt- Y- bq(-Y-y） +xBbt+z*圣-.证据同样，这个证明类似于命题3.3的证明。我们还在[13]中使用Theo rem 3.2来展示BSDE（4.3）和（4.6）的适定性。

尽管[13]中研究的BSDE是一维的，但显然[13]中的Theo rem 3.2可以很容易地扩展到多维框架。4.2反向随机生存能力属性要获得协商抵押品的公平双边价格范围，需要比较完全耦合BSDE（4.3）和（4.6）解决方案的两个组成部分。当这些参数由连续鞅驱动时，这是一个具有挑战性的开放问题。幸运的是，在最常用的金融模型中，BSDE的定价实际上是由布朗运动驱动的。在这种假设下，利用胡和彭[10]的思想以及Buckdahn等人[4]给出的反向随机生存性（BSVP）的特征，我们将能够通过生成一个合适版本的组件式比较定理（见下面的定理4.1），来比较BSDE（4.3）唯一解的两个一维组件Yand Y。让我们首先回顾一下Buckdahn等人[4]研究的反向随机生存性（BSVP）的定义。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，具有由d维布朗运动W生成的过滤F。对于任何欧几里德空间H，我们表示Lad(Ohm, C（[0，T]，H]），由空间L的F-适应过程的封闭线性子空间(Ohm, F、 P，C（[0，T]，H））。还有，小伙子(Ohm ×（0，T），H）是F-适应的可测过程X的希尔伯特空间，使得kXk=ERT | Xt | dt1/2< ∞.

我们现在考虑以下n维BSDEYt=η+ZTth（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs（4.9），其中η是一个Rn值的随机变量，其生成满足以下假设。假设4.2让映射h：Ohm ×[0，T]×Rn×Rn×d→ （i）P-a.s.，适用于所有人（y，z）∈ Rn×Rn×d，过程（h（t，y，z））t∈[0，T]是F自适应的，映射→ h（t，y，z）是连续的，（ii）函数h是关于（y，z）的一致李普希兹函数：存在一个常数L≥ 这样所有人的P-a.s.都∈ [0，T]和y，y′∈ Rn，z，z′∈ Rn×d | h（t，y，z）- h（t，y′，z′）|≤ L（| y）- y′|+| z- z′|），（iii）随机变量supt∈[0，T]| h（T，0，0）|在P下是平方可积的。以下定义来自Buckdahn等人[4]。定义4.1我们说BSDE（4.9）具有反向随机生存性（BSVP）当且仅当：对于任何∈ [0，T]和任意η∈ L(Ohm, 傅，P；K） ，唯一的解决方案（Y，Z）∈ 小伙子(Ohm, C（[0，U]，Rn））×Lad(Ohm ×（0，U），Rn×d）到BSDE（4.9）的时间间隔[0，U]，即Yt=η+ZUth（s，Ys，Zs）ds-ZUtZsdWs（4.10）令人满意∈ K代表所有t∈ [0，U]、P-a.s.16 T.Nie和M.Rutkowski对K的非空闭凸集 Rn，设∏K（y）为点y的投影∈ 将dK（y）设为y和K之间的距离。Buckdahn等人[4]建立了以下结果。命题4.3让生成器h满足假设4.2。

那么BSDE（4.9）具有BSVP inK当且仅当∈ [0，T]，z∈ Rn×dand y∈ Rn因此dK（·）在y是两倍可微的，我们有4hy- πK（y），h（t，πK（y），z）i≤ hDdK（y）z，zi+mdk（y）（4.11），其中M>0是独立于（t，y，z）的常数。受Hu和Peng[10]结果的启发，我们将证明命题4.3可用于为二维BSDE建立组件式比较定理的方便版本。具体来说，我们证明了以下定理，其中我们表示Y=（Y，Y）*, Z=（Z，Z）*andh（t，y，z）=h（t，y，y，z，z），h（t，y，y，z，z）*.定理4.1考虑二维BSDEYt=η+ZTth（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs（4.12）由d维布朗运动W驱动，其中生成器h=（h，h）*满足假设4.2。以下陈述是等效的：（i）对于任何∈ [0，T]和η，η∈ L(Ohm, FU，P，R）使η≥ η、 唯一的解决方案（Y，Z）∈小伙子(Ohm, C（[0，U]，R））×Lad(Ohm ×（0，U），R2×d）to（4.12）on[0，U]satifies Yt≥ YTT∈ [0，U]，（ii）以下不等式适用于所有y，y∈ R和z，z∈ 路，-4y-[h（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）]≤ M|y-|+ 2 | z |{y<0}，P- a、 s.（4.13）证明。让我们表示Y=（Y）- Y、 Y）*,eZ=（Z）- Z、 Z）*, eη=（η）- η, η)*andeh（t，y，z）=（eh（t，y，z），eh（t，y，z））*其中eh（t，y，z）：=h（t，y+y，y，z+z，z）- h（t，y+y，y，z+z，z）和h（t，y，z）：=h（t，y+y，y，z+z，z）。那么，声明（i）等同于以下条件：（iii）对于任何日期U∈ [0，T]和任意的eη=（eη，eη）使得eη≥ 0，在时间间隔[0，U]eYt=eη+ZUteh（s，eYs，eZs）ds内下列BSDE的唯一解（eY，eZ）-ZUteZsdWs（4.14）令人满意≥ 通过将命题4.3应用于BSDE（4.14）和凸x，闭集K=R+×R，我们可以看到（iii）反过来与（ii）等价，因为（4.11）与（4.13）在这方面是一致的。

4.3等信号的初始禀赋在第4.3节和第4.4节中，我们在假设3.4下工作，因此我们处理一个扩散模型。为了简单起见，我们在这里给出了一维布朗运动W驱动的一个风险资产集的情况，但是，从定理4.1的观点来看，对于由一维布朗运动驱动的d个风险资产的情况的一个扩展是相当困难的。让我们回忆一下，过程a由等式（3.15）给出。内生担保下的公平双边定价假设4.3我们假设过程满足Novikov条件（3.16），过程（σ（·s））-1所有的利率都是连续的过程，这个过程（σ（·S））-1是有界的。SincedeSl，cldt=u（t，St）+κ（t，St）- rltStdt+σ（t，St）dWt=σ（t，St）（atdt+dWt），定价BSDE（4.3）降低为（dYt=Ztσ（t，St）dWt+att，σt+tdt+dAt，YT=0，或者，等效地，（dYt=ZtdWt+Gt、 Yt，（σ（t，St））-1Zt+ atZtdt+dAt，YT=0。（4.15）我们首先关注（3.18）中给出的欧洲或有权益担保（HT，C）的估值和对冲。那么（4.15）相当于以下BSDE，对于t∈ [0，T），Yt=-HT-HT-ZTtZsdWs-ZTtg（s，Ys，（σ（s，Ss））-1Z）+ASZDST在终端日期T处有一个额外的跳转，这确保了YT=0。因此，很明显，它必须在[0，T]（dYt=ZtdfWlt+g）上检查以下BSDEt、 Yt，（σ（t，St））-1Ztdt，YT=(- 嗯，-（HT）*,（4.16）在（3.17）定义的概率测度下，F是布朗运动。我们现在可以与NegotiatedCalateral研究时间t时欧洲索赔的公平双边协议范围。回想一下，在目前的框架中，我们有Ph（x，A，C）=Ph（x，x，A，C）和pc（x，-A.-C） =Pc（x，x，-A.-C） 。命题4.4让x≥ 0，x≥ 0和A s消费3.4、4.1和4.3有效。考虑一个任意的欧洲担保债权（HT，C），其中HT∈ L(Ohm, 英国《金融时报》，ePl）。

然后我们有，对每个人来说∈ [0，T]，Pct（x，-嗯，-C）≤ Pht（x，HT，C），ePl- a、 s.（4.17）证据。我们写σ-1:=（σ（t，St））-1.有必要检查函数hand h是否由h（t，y，y，z，z）给出：-Gt、 y，y，σ-1z，σ-1zandh（t，y，y，z，z）：=-Gt、 y，y，σ-1z，σ-1z,式中，（4.4）和（4.5）分别给出的d=1的gand gare满足埃普兰条件（4.13）下的假设4.2。首先，利用（σ（·S））的连续性-1，gand Gw关于t，我们知道对于y，y，z，z∈ R、 函数h（t，y，y，z，z）和h（t，y，y，z，z）相对于t也是连续的-1S是有界的，函数bq是一致Lipschitz连续的，很明显，h（t，y，y，z，z）和h（t，y，y，z，z）关于（y，y，z，z）是一致Lipschitz连续的。此外，从bq（0，0）=0和x，x≥ 0，我们得到h（t，0，0，0，0）=h（t，0，0，0，0）=0.18 t.聂和M.鲁特科夫斯基我们得出结论，假设4.2适用于手部h。让我们检查条件（4.13）是否有效。如果我们设置δ：=y++y+bq(-y+- Y-y） +xBlt- （Blt）-1σ-1（z+z）支架δ=-Y- bq(-y+- Y-y） +xBlt+（Blt）-1σ-1zSt，然后（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）=-g（t，y++y，y，σ）-1（z+z），σ-1z）+g（t，y++y，y，σ）-1（z+z），σ-1z）=-rlt（Blt）-1σ-1zSt+（x+x）Bltrlt- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-).自从rlt≤ rbt，我们有（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-) ≤ rlt（δ++δ+）- rlt（δ）-+ δ-) = rlt（δ+δ）=rlty++（x+x）Bltrlt- rlt（Blt）-1σ-1zStandh（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）=-rlt（Blt）-1σ-1zSt+（x+x）Bltrlt- rlt（δ++δ+）+rbt（δ-+ δ-) ≥ -rlty+。因此，我们获得-4y-[h（t，y++y，y，z+z，z）- h（t，y++y，y，z+z，z）]≤ 4rlty-y+=0≤ M|y-|+ 2z{y<0}，这是所需的条件（4.13）。现在让我们考虑一个更一般的合同a，其中套期保值者收到现金流H，H，Hkat乘以0<t≤ T≤ . . .

≤ tk≤ T，所以- A=kXl=1[tl，T]（T）Hl其中∈ L(Ohm, Ftl，ePl）。为了证明这一点，我们用（H，C）来表示这一主张。命题4.5让x≥ 0，x≥ 0和假设3.4、4.1和4.3有效。然后对于任何担保索赔（H，C），其中∈ L(Ohm, 对于l=1，2，k我们有，每t∈ [0，T]，Pct（x，-H-C）≤ Pht（x，H，C），ePl- a、 美国证据。我们首先研究[tk，T]上的问题。由于dAt=0，这只是Propo sition4的一个特例。4（必须取HT=0），我们有Pct≤ PHT适用于所有t∈ [tk，T]。实际上，我们可以直接检查等式Pct=Pht=0是否适用于所有t∈ [tk，T]。我们现在考虑[tk]上的问题-1，tk）。回想一下（Ph，Pc）*= Y=（Y，Y）*其中（Y，Z）解BSDE（4.15）。从第一步开始，我们知道Y1，tk=Y2，tk=0。让我们把r BSDE（4.15）放在[tk]上-1，tk]。注意到A只在时间tk改变Atk=Hk，我们获得∈ [tk]-1，tk），Y=-香港-香港-ZtksZtdfWlt-Ztksgt、 Yt，σ-1tZtdt其中σ-1t:=（σ（t，St））-1.所以这只是欧洲索赔的定价BSDE，到期日为TK，收到付款为Hk。因此，利用命题4.4，我们得到了∈ [tk]-1，tk），Y2，t≤ Y1，t产生Pct≤ Pht。内生担保下的公平双边定价19我们可以将这种不平等扩大到[tk]-2，tk-1). 事实上，对于s∈ [tk]-2，tk-1） ，Y=Y1，tk-1.- 香港-1Y2，tk-1.- 香港-1.-Ztk-1sZtdfWlt-Ztk-1sgt、 Yt，σ-1tZtdt。从第二步开始，我们现在是Y2，tk-1.≤ Y1，tk-利用定理4.1和命题4.4的证明，我们得到了Y2，t≤ Y1，t对于所有t∈ [tk]-2，tk-1） ，从而产生Pct≤ Phtfor allt∈ [tk]-2，tk-1). 通过反向归纳，我们得出结论（4.17）适用于每一个t∈ [0，T]。对于交易对手的价格，我们还有以下结果。命题4.6让x≥ 0，x≥ 0和A s消费3.4、4.1和4.3有效。