倒向随机微分方程的多级逼近

此外，函数u（t，·）和v（t，·）与Lipschitz常数CX/（t）是Lipschitz连续的- t） （1）-θ） /2和CX/（T）- t） 一,-θ/2。（Aπ）时间网格集{π（k）：k≥ 0}满足度（i）π（k+1）是π（k）的对应；（ii）存在一个常数Cx0≤我≤2k-1.（k） 我≤ CX-K（iii）存在一个常数cx，使得min0≤我≤2k-1.（k） 我≥ cX-K（iv）回顾（y（t，x），z（t，x））求解（8）的过程，有一个常数cx，对于所有k≥ 0，t（k）i∈ π（k）和x∈ Rd，k-1Xj=0E[Zt（k）j+1t（k）j | z（t（k）i，x）t- ~z（k，i，x）j|dt]≤ CX-k、 式中，z（k，i，x）j：=（k） iEki[Zt（k）j+1t（k）jz（t（k）i，x）tdt]。（AX）有一类Rd值π（k）-马尔可夫链{X（k，i，X）：X∈ Rd，0≤ 我≤ 2k，X（k，i，X）j=X J≤ i} 满足以下性质：（i）从（AX）（iv）中调用参数θ，有一个常数cx，对于所有x∈ Rd，k≥ 0和我∈ {0，…，2k}，E[|Φ（X（t（k）i，X）t）-Φ（X（k，i，X）k）|]≤ CX-kand E[|Φ（X（k，2k-1，x）k）-Φ（x）|]≤ CX-2θk；（ii）所有k≥ 0和j∈ {0，…，2k}和l∈ {j，…，2k}，存在一个G（k）j B（Rd）-可测函数V（k）j，l：OhmX路→ 用σ-代数G（k）j 含σ的Ftjand的FTindependent(W（k）r:r≥ j） ，使得X（k，i，X）l=V（k）j，l（X（k，i，X）j）；（iii）存在一个常数Cx，对于所有x∈ Rd，k≥ 1.我∈ {0，…，2k}，和j∈{i，…，2k}E[|X（k，i，X）j- X（k）-1，α（i），x）α（j）|]≤ CX-k、 为了简洁起见，我们将过程（X（k，0，X）i）表示为0≤我≤2kby（X（k）i）0≤我≤2k。2.2从假设中导出的离散BSDE的性质本节收集了直接从第2节一般条件得出的一些基本结果。1和在第3-5节中有用。回想一下（AX）中的马尔可夫过程族。2018年7月3日14:28∈ {0, . . .

，2k}和x∈ 渡边坤田分解保证了平方可积、π（k）适应过程和平方可积（F（k）鞅L（k）的apair（~y（k），~z（k））=（~y（k，i，x），~z（k，i，x））的唯一存在性，使得~y（k）L=Φ（x（t（k）i，x）t）-K-1Xj=l~z（k）jW（k）j-K-1Xj=lL（k）j，L≥ i、 （9）在哪里L（k）i:=L（k）i+1- L（k）i，L（k）=0，L（k）与W（k）是（强）正交的W（k）jL（k）j0≤J≤nisan（F（k）i）-鞅，即Ekj[W（k）j对于所有j，L（k）j]=0。我们将根据（AX）（iii）的连续时间BSDE（y（t（k）i，x），z（t（k）i，x））的解和下一个引理中的条件期望Ekl[·]来确定（~y（k），~z（k），L（k））的显式表示。这使得我们可以通过推论2.3建立关于过程z（k）lby的重要先验界。引理2.1。对于任何时间，网格π（k），k≥ 0，我∈ {0，…，2k}，l≥ i、 还有x∈ Rdholdsy（k）l=Ekl[Φ（X（t（k）i，X）t）]和（k） l~z（k）l=Ekl[(W（k）l）>Φ（X（t（k）i，X）t）]，（10）L（k）L=Zt（k）L+1t（k）L（z（t（k）i，x）s- ~z（k）l）dWs（11）（k） lz（k）l=Ekl[Zt（k）l+1t（k）lz（t（k）i，x）tdt]。（12） 证据。（10）中的等式是众所周知的，并且很容易通过（9）本身或（9）的乘积的条件期望得到(W（k）l）>。等式y（t（k）i，x）t（k）l=Ekl[Φ（x（t（k）i，x）t）]意味着y（k）l=y（t（k）i，x）t（k）l=Φ（x（t（k）i，x）t）-K-1Xj=l~z（k）jW（k）j-K-1Xj=lZt（k）j+1t（k）j（z（t（k）i，x）s- ~z（k）j）dwsL（k）j=Rt（k）j+1t（k）j（z（t（k）i，x）s- ~z（k）j）dWs。平等很容易实现。事实上(W（k）i）>取条件期望Ekl[·]得到0=（k） l~z（k）l-Ekl[Rt（k）l+1t（k）lz（t（k）i，x）tdt]。Φ（X）t=0（k，l）(W（k）l）>]-埃克尔[(W（k）i）>Zt（k）l+1t（k）lz（t（k）i，x）tdWt]=（k） l~z（k）l- Ekl[Zt（k）l+1t（k）lz（t（k）i，x）tdt]。这证明了（12）。自然地，我们得到了离散BSDE（3-4）解的马尔可夫表示。引理2.2。尽管如此，k≥ 0和j∈ {0, . . .

，2k- 1} 存在确定性函数y（k）j:Rd→ 兰德z（k）j:Rd→ （Rq）>使得ekj[Φ（X（k，i，X）k）]=y（k）j（X（k，i，X）j）和（k） 杰基[(W（k）j）>Φ（X（k，i，X）k）]=z（k）j（X（k，i，X）j）2018年7月3日14:28∈ {0，…，2k}和x∈ 此外，还存在确定性函数y（k）j:Rd→ R和z（k）j:Rd→ （Rq）>，其中y（k）k（·）=0表示j∈ {0，…，2k- 1} Ekj[N]-1Xl=jfl（X（k，i，X）l，y（k）l+1（X（k，i，X）l+1（X（k，i，X）k+1），z（k）l（X（k，i，X）l）+z（k）k（X（k，i，X）l）（k） l]=`y（k）j（X（k，i，X）j）和Ekj[(W（k）j）>（k） jN-1Xl=j+1fl（X（k，i，X）l，y（k）l+1（X（k，i，X）l+1（X（k，i，X）l+1（X（k，i，X）l+1），z（k）l（X（k，i，X）l）+z（k）l（X（k，i，X）l））（k） l]= \'-zj（X（k，i，X）j）代表所有i∈ {0，…，2k}和x∈ 这直接来自于（AX）（ii）通过测量理论的常规条件论证，如[24，引理4.1]。最后，我们给出了函数y（k）i（x）和z（k）i（x）在x中一致的几乎确定绝对界。此类界限对于第3节至关重要，并在第3节中反复使用。推论2.3。存在一个常数cxk，对于所有k≥ 0，我∈ {0，…，2k}，l≥ i、 还有x∈ Rd，|z（k）l |=|z（k，i，x）l |有界（a.s.）byCz，k，l:=CX（T- t（k）l）（1-θ） /2（13）这意味着≥ 函数z（k）i（·）绝对有界于Cz，k，i。此外，存在一个与k和i无关的常数Cy，使得| y（k）i（·）|有界于Cy（a.s.）。证据回想一下（AX）（iii）中z（t（k）i，X）t的v（t，X（t（k）i，X）t）版本，以及函数X的绝对界→ v（t，x）来自（AX）（iv）。

使用表示法（12），可以得出|z（k）i |=（k） 我Eki[Zt（k）i+1t（k）iv（t，X（t（k）i，X）t）dt]≤CX（k） iZt（k）i+1t（k）idt（T）- t） （1）-θ） /2=2CX（T- t（k）i）（k） i（1+θ）（T）- t（k）i）（1-θ)/2-2CX（T）- t（k）i+1）（k） i（1+θ）（T）- t（k）i+1）（1）-θ)/2≤2CX（k） 我（k） i（1+θ）（T）- t（k）i）（1-θ)/2.为了获得z（k）i（x）的界，我们额外使用条件（AX）（i）来获得| z（k）i（x）|≤ |z（k）i（x）- ~z（k）i |+|z（k）i |≤s（k） iE[|Φ（X（k，i，X）k）-Φ（X（t（k）i，X）t）|]+|z（k）i |≤ CX+|z（k）i |我们通过声明| z（k）i（x）|轻度滥用符号≤ CX（T-t（k）i）-(1-θ） /2简化符号。有界ony（k）是（AΦ）中Φ（·）的有界的直接结果。2.3第4节和第5节的附加假设和性质第4节和第5节使用了以下条件。2018年7月3日14:28 8（Af）每周一次∈ {0，…，2k}，驱动程序fi:Rd×R×（Rq）>→ R是B（Rd） B（R） B（（Rq）>）可测量并满足以下特性：（i）对于所有x∈ Rd，（y，z）7→ fi（x，y，z）是Lipschitz连续的，依赖于t（k）i的Lipschitz常数：存在常数Lf>0 finite和θL∈ （0，1）对于所有（y，z），（y，z）∈R×（Rq）>，|fi（x，y，z）- fi（x，y，z）|≤Lf{|y- y |+| z- z |}（T）- t（k）i）（1-θL）/2；（ii）|fi（x，0，0）|，一致有界于常数Cf:|fi（x，0，0）|≤ CFX适用于所有人；（iii）回顾函数u和v，以及参数θ，从（AX）（iii）中，有确定性函数u:[0，T]×Rd→ R和V:[0，T]×Rd→ （Rq）>使得BSDE（1）的解的（Y，Z）存在一个令人满意的版本- u（t，Xt）=u（t，Xt），Zt- v（t，Xt）=v（t，Xt）代表所有t（a.s.）。

此外，存在一个常数CX，使得| U（t，x）|以CX（t）为界-t） θ+θL，U（t，·）与Lipschitz常数CX（t）是Lipschitz连续的-（t）-(1-θL-θ） /2，andV（t，·）是Lipschitz连续的，且Lipschitz常数为CX（t）-（t）-{1-t处的（θL+θ）/2}∈ [0，T）。（AX）调用函数“y（k）j:Rd”→ R和z（k）j:Rd→ （Rq）>引理2.2，函数su:[0，T]×Rd→ R和V:[0，T]×Rd→ （Rq）>来自（Af）（iii）。为了所有的x∈ rdt和t（k）j∈ π（k），存在一个常数cx，使得maxj≤我≤2k-1Ekj[|y（k）i（X（k，j，X）i）-U（t（k）i，X（t（k）j，X）t（k）i）|]≤ CX-k、 安德克-1Xi=0E[| | z（k）i（X（k）i）-V（t（k）i，Xt（k）i）|]（k） 我≤ CX-k、 （Aπ）回忆参数θLfrom（Af）（i），时间网格π（k）：={0=t<…<t（k）k=t}，k≥ 是这样的，即cπ（k）：=supi<2k（k） i（T）- t（k）i）1-θL-→ 0作为k→ +∞, （14） 林素福呢→∞Rπ（k）<+∞, 其中Rπ（k）：=sup0≤我≤2k-2.（k） 我（k） i+1。（15） 我们现在用（AX）证明引理2.2中函数y（k）j（x）和函数z（k）j（x）的先验界，从而证明过程y（k）jand¨z（k）j的先验界，类似于推论2.3。这些界限对于构造算法和获得第4节中的误差估计至关重要。引理2.4。存在一个常数cxk，对于所有k≥ 0，我∈ {0，…，2k-1} ，x∈ 我们有| y（k）i（x）|≤ Cy，i:=CX（T）- t（k）i）（θL+θ）/2，| z（k）i（x）|≤ Cz，i:=CX（T）- t（k）i）（1-{θL∨θ+θ})/2.2018年7月3日14:28。从假设（Af）中调用函数U（t，x）。|y（k）i（x）上的界由平凡分解| | | | y（k）i（x））|=| | | y（k）i（x）得到-U（t（k）i，x）|+|U（t（k）i，x）|。然后，使用（Af）（iii）和（AX）（ii）（j=i）的边界，得出| | y（k）i（x）的结果。通过对符号的轻微滥用，我们用CX代替CX（T+Tθ+θL）来简化符号。对于| z（k）i（x）|的界，我们记得（k） i\'z（k）i（x）=Eki[\'y（k）i+1（x（k，i，x）i+1）W（k）i]并治疗病例i=2k-1和i<2k-1.分开。

对于i=2k-柯西-施瓦兹不等式与（AX）（i）收益率(（k） k-1)\'z（k）k-1（x）=嗯W（k）k-1{Φ（X（k，2k）-1，x）k）-Φ（x）}i≤ CX(（k） k-1） 1+2θ意味着|＠z（k）k-1（x）|≤ CX（T- t（k）k-1)-1+2θ，根据需要。因为我<2k- 1.应用Cauchy-Schwarzyields(（k） i）| z（k）i（x）|=Eki\'y（k）i+1（X（k，i，X）i+1）±U（t（k）i+1，X（t（k）i，X）t（k）i+1）-U（t（k）i+1，x）W（k）i≤ 2.（k） 伊基y（k）i+1（X（k，i，X）i+1）-U（t（k）i+1，X（t（k）i，X）t（k）i+1）+ 2.（k） 伊基|U（t（k）i+1，X（t（k）i，X）t（k）i+1）-U（t（k）i+1，x）|.对第一项使用假设（AX）（ii），对第二项使用假设（Af）（iii）中U的Lipschitz连续性(（k） i）| z（k）i（x）|≤ 2(（k） i）CX+2(（k） i）CX（T）- t（k）i+1）1-{θL+θ}≤ 2(（k） i）CX+2(（k） i）CX（T）- t（k）i）1-{θL+θ}，其中一个交换（T- t（k）i+1）by（t）- t（k）i）来自（Aπ）。通过对符号的轻微滥用，我们重写了CX:=CX∨p2CX（1+T1）-{θL+θ}）来简化结果。2.4满足一般假设的示例本节详细介绍了过程、时间网格和函数的明确示例，以说明和解释第2.1节中的条件。iAsumption（AX）。性质（ii）是关于初始值X的支付Φ（X（t，X）t的Lipschitz连续性性质。如果（a）Φ是局部Lipschitz连续的，即对于某些常数和∈ [0, ∞) 保持|Φ（x）-Φ（x）|≤ c（|x | l+|x | l）|x-x |代表所有x，x；或者（b）H？older指数大于或等于1/2的H？older连续，在（a）和（b）两种情况下，X（t，X）用Lipschitz连续系数求解SDE（可能有跳跃）。在（b）情况下，较低的H¨older正则性将降低定理3.7、3.9中数值格式的收敛速度，参见备注3.15。性质（iii）是马尔可夫BSDE的经典性质。当X（t，X）在布朗过滤[14，定理4.1]或L’evy过滤[35，命题4]中用确定性（马尔可夫）Lipschitz连续系数函数解SDE时，它是满足的。

已知该性质也适用于X（t，X）为（S（t，X）r形式的集合∧sS（t，x）rl∧s、 s（t，x）s），其中s（t，x）是在布朗过滤和t≤ r<…<rl≤ T，参见[34,16]。有两个重要的例子可以证明属性（iv）是有效的。首先，假设X（t，X）解一个具有确定性（马尔可夫）、有界且连续微分系数的SDE，其偏导数是有界且H¨older连续的，且微分系数在2018年7月3日14:28 10一致椭圆。那么v（t，x）=（σ（t，x）xu（t，x））>和抛物型偏微分方程经典梯度界的| v（t，x）| follows的有界性[15]；θ等于Φ的H¨older指数。其次，如果Φ是局部Lipschitz连续的，如果X（t，X）解具有线性增长的确定性（马尔可夫）Lipschitz连续系数的SDE，这个结果在θ=1时成立；路径依赖设置X（t，X）s=（s（t，X）r∧sS（t，x）rl∧s、 s（t，x）s——其中s（t，x）求解具有线性增长的确定性（马尔可夫）Lipschitz连续系数的SDE——在这种情况下也有效。i消耗（Aπ）。条件（i）是确保t（k-1） α（i）+1>t（k）ifor所有k和i；后来，当我们在定理3.7中引入条件（AX）时，这个条件变得至关重要。点t（k）i:=t的时间网格满足要求- T（1）- i/2k）任何β的1/β∈ （0，1），其中包括统一的时间网格。条件（iv）是最复杂的需求，近年来得到了广泛的研究。让我们首先考虑布朗过滤的情况。然后，条件（iv）满足（局部）Lipschitz连续Φ和均匀时间网格，如果X（t（k）i，X）是具有确定性（马尔可夫）的anSDE解，则线性增长的Lipschitz连续系数[40,37]局部Lipschitz连续性的含义如（AX）所述。

对于H–older连续（分数平滑）Φ，时间网格满足点t（k）i:=t- T（1）- i/2k）1/β如果β小于Φ的H¨older（分数平滑度）指数，且X（t（k）i，X）求解一个连续SDE，其漂移系数b（t，X）为确定性（马尔可夫）、有界且两次连续可微，波动率系数σ（t，X）为有界且H¨older连续，且σ一致椭圆[22]；请注意，时间网格也满足属性（i）-（iii），参见[39，引理5.3]以证明（ii）。我们注意到，这种收敛速度可能不是最优的，参见[20][31]。路径相关设置x（t（k）i，x）s=（s（t（k）i，x）r∧sS（t（k）i，x）rl∧s、 s（t（k）i，x）s）是Φ分数光滑的，s（t，x）是具有有界、二次可微系数的SDE的解，其偏导数是有界且H¨older连续的，如果使用合适的时间网格，也满足条件；参考[16]。在一个由L’evy过程生成的过滤中，[8]表明，如果终端条件为Φ（XT），对于X（t（k）i，X）求解线性增长的Lipschitz连续系数的SDE，且Φ是Lipschitz连续的，则均匀时间网格足以具有这种性质。iAsumption（AX）。条件（i）是马尔可夫链对马尔可夫过程的“良好逼近”准则。如果Φ是（局部）Lipschitz连续的，且X（t（k）i，X）解一个系数为确定性（马尔可夫）、Lipschitz连续且具有线性增长的SDE（带跳跃），则满足；X（k，i，X）可以是时间网格π（k）上X（t（k）i，X）的欧拉格式近似。然而，如果终端条件具有较低的正则性，欧拉格式可能不满足该条件；例如，在Φ只有有界变化的情况下，参见[1，定理5.4]。

对于小于1的H¨older指数θ，可能需要更高阶的近似方案。条件（ii）对马尔可夫链的要求略高于基本定义；SDE的大多数近似方案（包括Euler方案）都满足这一要求。条件（iii）是SDE的多级蒙特卡罗型近似方案中要求的典型估计，参见[18,19,17]和其中的参考文献。例如，对于具有确定性（马尔可夫）、利普希茨连续线性增长系数的SDE，它是一种欧拉模式所满足的性质。如果马尔可夫链的收敛速度较低，则多层格式的收敛速度较低；见备注3.16。i消费（Af）。Lipschitz连续驱动器的条件（Af）（i）在文献[32,6,8,10]中是θL=1的标准条件，最近被扩展到θL<1的设置[24,23,39]。θL<1可以治疗某些二次型BSDE[24]。2018年7月3日14:28 11可从[39，推论4.3]获得V（t，·）条件（Af）（iii）的Lipschitz连续性。该结果适用于布朗过滤，其中X（t，X）求解具有确定性（马尔可夫）、有界、二次可微分系数的SDE，其偏导数有界且H¨oldercontinuous，且其波动矩阵一致为椭圆。函数v（t，·）的Lipschitz连续性等于limε→0φ（t，ε，θL，θ）=CX/（t- t） 一,-（θL）-θ） /2对于所有t∈ [0，T）；注意，在这项工作中，θ表示为θΦ。收敛需要θL+θ的条件≥ 1.Lipschitz常数U（t，·）的估计来自标准结果，即存在一个独立于（t，x）的常数|徐（t，x）|≤ C | V（t，x）|代表所有人（t，x），以及|V（t，·）|∞≤ CX/（T）- t） （1）-θL-θ） /2[39，推论2.13]。类似地，U（t，x）上的几乎确定界在[39，eq]中可用。

(3.12)].iAsumption（AX）。该条件是离散化性质；例如，[22，第3节][39，第3节]在相当一般的条件下证明了这一点。这两个参考文献都处理了X，它用确定性（马尔可夫）、有界、二次微分系数求解anSDE，其偏导数是有界且H¨older连续的，且其波动矩阵是一致椭圆的；终端条件可能非常平滑。i消耗（Aπ）。需要时间网格（Af）（iv）上的附加条件来获得离散环境中的先验估计；见[24，3.2号提案]。虽然这些条件看起来很抽象，但事实上，它们被（Aπ）中给出的时间网格所满足；参见[39，Lem.B.1]。3多级最小二乘蒙特卡罗模式在本节中，我们为多级算法的每个级别k和网格π（k）的每个时间点i构造引理2.2中函数y（k）i（x）（和z（k）i（x））的近似。近似函数用y（k，M）i:Rd表示→ R、 分别是z（k，M）i:Rd→ （Rq）>。（16） 多级算法使用蒙特卡罗最小二乘回归来近似条件期望，将在第3.2节中描述。我们使用普通最小二乘回归，如[24]中所述，我们在第3.1节中回顾了其术语。与[24]相比，我们必须特别注意算法的新颖多级结构。在第3.3节中，综合误差分析给出了全局误差max0的上限≤我≤2k-1E[|y（k）i（X（k）i）-y（k，M）i（X（k）i）|]+k-1Xi=0E[|z（k）i（X（k）i）-z（k，M）i（X（k）i）|]（k） ，并显示了它如何依赖于数值参数（蒙特卡罗模拟的数量、基函数的选择）和k级的全局误差-算法的第1部分。