倒向随机微分方程的多级逼近

在这个例子中，基于该基础的函数空间上的线性投影的偏差较小，而基于指标的函数空间则需要一个更好的划分来实现这一点，从这个意义上可以理解线性模型相对于指标模型的优势。这个例子表明，通过实际计算可以实现多层次的效率增益；此外，还表明，除了第3.3.4节完成拆分算法Fix k>0所要求的特定假设外，在更一般的情况下，效率的提高可能是预期的。在本节中，大致描述拆分系统（4）的第二部分，即函数“y（k）i:Rd”→ R和z（k）i:Rd→ （Rq）>引理2.2。在2018年6月3日14:28 321 2 3 4 6 7省略上标（k）以简化注释-2.-1.5-1.-蒙特卡罗法的0.5log2（N）log10（MSE）BSDE近似- Z-ML方案中的均方误差（MSE）（线性基础）ML方案（指示剂基础）图2:3维中的多水平的Z中的均方误差（MSE）如下所示，我们记得这些函数满足¨yi（Xi）：=Eihk-1Xj=i+1fjXj，y（k）j+1（X（k）j+1）+yj+1（X（k）j+1），z（k）j（X（k）j）+zj（X（k）j）吉，i×(R)zi（Xi）：=EihW（k）iK-1Xj=i+1fjX（k）j，yj+1（X（k）j+1）+yj+1（X（k）j+1），zj（X（k）j）+zj（X（k）j）Ji、 设函数（yj（·），zj（·））为0≤J≤N-1b使用多级算法进行近似，π表示多级算法最高级别的时间网格π（k）。我们使用[24]中的最小二乘多步动态规划（LSMDP）对具有零终端条件的离散BSDE和随机驱动Rf（M）j（y，z）：=fjX（k）j，y（k，M）j+1（X（k）j+1）+y，z（k，M）j+1（X（k）j+1）+z（48）近似为“易（·）”和“子（·）”。我们在符号X（k）中保留上标k，W（k）和t（k）提醒使用的时间网格是π（k），尽管LSMDP没有使用更早（更粗糙）的时间网格。

驱动程序有两个随机性来源：依赖于多级算法中使用的样本的随机函数（y（k，M），z（k，M））和马尔可夫链X（k）。符号f（M）j（x，x，y，z）：=fjx、 y（k，M）j+1（x）+y，z（k，M）j（x）+z,将在续集中有所帮助。为了方便读者，我们简要回顾了LSMDP算法。与第3节中的算法一样，LSMDP是一种最小二乘蒙特卡罗算法；2018年6月3日14时28分的差异331 2 3 4 6 7-2.-1.5-1.-蒙特卡罗法的0.50log2（N）log10（MSE）BSDE近似- Z MDP方案中的均方误差（MSE）（线性基础）MDP方案（指标基础）图3:3维MDP的Z中的均方误差（MSE）与第3节的多级算法相比，基函数的选择和模拟的生成有三个方面：首先，由于没有使用多个级别，只生成Markovchain X（k）的模拟；其次，为每个时间点生成独立的模拟云，这意味着每个时间点的经验度量独立于在任何其他时间点使用的经验度量；第三，基函数的选择与多级方案不同。我们通过以下定义将其正式化。定义4.1（有限维近似空间）。因为我∈ {0，…，2k-1} 我们定义了函数线性空间KY，iand KZ，iof维KY，iand KZ，i，由KY，i:=span{p（1）Y，i，…，p（KY，i）Y，i}，对于p（l）Y，i:Rd→ R s.t.E[|p（l）Y，i（Xi）|]+∞,KZ，i:=span{p（1）Z，i，…，p（KZ，i）Z，i}，对于p（l）Z，i:Rd→ （Rq）>s.t.E[|p（l）Z，i（Xi）|]+∞.我们在基函数和线性空间的表示法中抑制下标k，以区别于定义3.2中的下标k。函数“yi（·）”和“zi（·）”将分别在线性空间KY、i和KZ、i中进行近似。将以KZ，i近似。

我们定义1，i:=infφ∈KY，iEh |φ（Xi）- \'yi（Xi）| i:=infφ∈KZ，iEh |φ（Xi）- \"子(十一)一;；与定义3.2一样，这些是choosen基函数可能存在的最佳近似误差。定义4.2（模拟和经验测量）。因为我∈ {0，…，2k- 1} ，生成Mi≥ 1独立副本Ck，i:={(W（k，i，m）i，X（k，i，m））：m=1，米}of(W（k）i，X（k））：Ck，i时间i时用于回归的模拟云。我们假设模拟云（Ck，i:0≤ i<N）是独立生成的，并且也是从云{Ck:0]独立生成的≤ K≤ k} 用于多级算法的定义4.2。让ν（k）i，Mdenote于2018年7月3日14:28测量Ck，i-模拟，即ν（k）i，M=MiMiXm=1δ(W（k，i，m）i，X（k，i，m）i，。。。，X（k，i，m）k）。我们使用符号中的附加下标i表示模拟云Ck，i，以及LSMDP算法的经验测量ν（k）i，m，来区分它们与多级算法中使用的下标i，并指定时间点。正如在第3节中，我们扩大了概率空间，同时继续通过(Ohm, F、 P），还包含用于LSMDP和多级算法的模拟；回想一下，原型过程W（k）和X（k）独立于所有模拟云。算法3。回想一下线性空间KY，iand KZ，ifrom定义4.1，经验测度{ν（k）i，M:i=0，…，2k- 1} 根据定义4.2，（Af）（iii）中的几乎确定界限，第1.1节中截断函数TL（·）的定义，以及定义3.1中的OLS。设置y（M）k（·）：=0。对于每个i=2k- 1，2k- 2.

，0，递归设置随机函数y（M）i（·）和z（M）i（·）如下：定义y（M）i（·）：=TCy，iψ（M）Y，i（·）和¨z（M）i（·）=TCz，iψ（M）Z，i（·）, 式中，Cy，i:=CX（T）- t（k）i）（θL+θ）/2，Cz，i:=CX（t）- t（k）i）（θL+θ）/2/（k） 土地ψ（M）Y，i（·）OLSS（M）Y，i（x），KY，i，ν（k）i，M对于S（M）Y，i（x）：=k-1Xj=if（M）kxj，xj+1，\'y（M）j+1（xj+1），\'z（M）j（xj）（k） j和ψ（M）Z，i（·）解OLSS（M）Z，i（w，x），KZ，i，ν（k）i，M对于S（M）Z，i（w，x）：=（k） 是（M）Y，i+1（x）w>，代表w∈ Rq，x=（x，…，xk）∈ （Rd）k+1。（49）我们现在来看本节的主要结果，即LSMDP算法的误差分析。定理4.3（LSMDP方案的误差）。回想一下常数Cy，iand Cz，ifrom算法3。每j∈ {0，…，2k- 1} ，定义（j）：=TY1，j+TZ1，j+CS3KY，jMj+2qKZ，j（k） jMj+ 800Cy，j（KY，j+1）+Cz，j（KZ，j+1）q对数（3Mj）Mj。式中cs:=k-1Xi=0nCf+Lf（Cy，i+Cy+Cz，i+Cz，k，i）（T）- t（k）i）（1-θL）/2o（k） i.从（Aπ）中回忆Cπ（k），并假设k足够大，因此Cπ（k）Lf（Rπ）∨ 1) ≤ （384（2q+（1+T）eT/2）（1+T））-1，并且多级算法的参数是这样的，即全局误差由¨E（k）估计≤ ε对于某些ε>0（关于¨E（k）的定义，见等式（23）和随后的2018年7月3日14:28）。那么，对于所有0≤ 我≤ 2k- 1，EhMiMiXm=1 | y（M）i（X（k，i，M）i）- \'yi（X（k，i，m）i）|i≤ TY1，i+3CSKY，iMi+CΓ（1+T）ε+CΓk-1Xj=iE（j）（k） j，（50）k-1Xj=iEhMjMjXm=1 | z（M）j（X（k，j，M）j）- \'zj（X（k，j，m）j）|i（k） j≤ CΓ（1+T）ε+CΓk-1Xj=iE（j）（k） j，（51）式中CΓ=8 exp384（Rπ）∨ 1） （2q+（1+T）eT/2）（1+T）TθLLf/θL.上述定理的证明类似于[24，定理4.11]的证明。

事实上，[24，定理4.11]的证明仅依赖于条件论元、先验估计、可测性集中和普通最小二乘回归的基本性质（命题3.11）；apriori估计[24，命题3.2]承认驱动因素的随机性，并且有序最小二乘回归的性质是通用的，因此这些参数不需要对我们的设置进行更改。下面的命题5.1提供了测量结果的浓度。分析中有三个最小值，为了方便读者，我们现在对其进行详细说明。首先，我们必须通过添加σ（C，…，Ck）来扩充条件参数中使用的σ-代数，σ（C，…，Ck）是分裂系统第一部分的多级算法中使用的模拟的σ-代数。其次，在应用先验估计后，必须估计[|fj（y（k）j+1（X（k）j+1）+yj+1（X（k）j+1），z（k）j（X（k）j）+zj（X（k）j））-f（M）j（\'y（M）j+1（X（k）j+1），\'z（M）j（X（k）j））|]（52），而在[24，等式（33）]中的相应计算中，只需要估计E[|fj（yj+1（X（k）j+1），zj（X（k）j））-fj（y（M）j+1（X（k）j+1），z（M）j（X（k）j））|]。

回顾一下f（M）j（y，z）：=fj（X（k）j，y（k，M）j+1（X（k）j+1）+y，z（k，M）j+1（X（k）j+1）+z，我们使用fj（y，z）的Lipschitz连续性以及（y（k），z（k））的近似（y（k，M），z（k））会产生小于或等于ε的全局误差来估计由于多电平效应而产生的误差。最后，将[24，定理4.11]中的常数C（4.7）替换为CS；CSis的显式值与[24，引理4.7]中C（4.7）的显式值完全相同，仅使用‘y（M）i（·）和‘z（M）i（·）的几乎绝对边界。5结论：使用第3节和第4节的结果，比较有无外裂和多级方案，我们现在可以将我们的算法（拆分结合多级）与最小二乘多步动态规划（LSMDP）方案进行比较，两者都没有。为了简单起见，我们将假设θ=θL=1，这意味着终端条件Φ（·）是Lipschitz连续的（但不一定是可微分的），并且驱动器在（y，z）中是一致Lipschitz连续的。对于本节的剩余部分，如果存在一个独立于k和y的常数，我们写g（y）=O（y），使得g（y）/y→ C为y→ 0.对于给定的精度水平ε>0，我们的目标是在2018年7月3日14:28 36设置基函数和（\'yi，\'zi）近似值的每个时间点的模拟次数，以便全局误差满足E（M）：=max0≤我≤2k-1E[| y（M）i（X（k）i）- |X（k）i=124i（k）- “\'zi（X（k）i）|]（k） 我≤ O（ε）。（53）为了应用定理4.3，我们首先提供测量结果的集中度。提议5.1。每k∈ {0，…，κ}和i∈ {0, . . .

，2k- 1} ，我们有[y（M）i（X（k）i）- “\'yi（X（k）i）|]≤ 2HMIMIXM=1|y（M）i（X（k，i，M）i）- \'yi（X（k，i，m）i）|i+2028（KY，i+1）Cy，ilog（3Mi）Mi，E[| z（m）i（X（k）i）- “\'zi（X（k）i）|]≤ OX（hmiz）i=124m- \'zi（X（k，i，m）i）|i+2028（KZ，i+1）qCz，ilog（3Mi）Mi；我们记得Cy，i=CX（T- t（k）i）（1+θ）/2和Cz，i=CX（t- t（k）i）θ/2。正如命题3.5一样，命题5.1类似于[24，命题4.10]。不等式右边的第二项是修正项，可以解释为由于内部测度的变化而产生的相互依赖误差。我们看到，互依误差与定理4.3中E（i）中的最后一项K·，i和Mi具有相同的依赖性。因此，为了确保（53），有必要设置数值参数，使局部误差项满足E（i）≤ O（ε）为everyi∈ {0，…，2k- 1}. 使用（AX）（ii），我们可以替换TY1，i和TZ1，ibyTY2，i:=infφ∈KY，iE[|φ（Xt（k）i）-U（t（k）i，Xt（k）i）|]和TZ2，i:=infφ∈KZ，iE[|φ（Xt（k）i）-V（t（k）i，Xt（k）i）|]分别在局部误差项E（i）中，并选择基函数，使TY2，i和TZ2，i在每个i中由O（ε）控制。由于（Af）（iii）中的Lipschitz连续性，在直径为O的不相交超立方体的划分上使用（每个时间点以及Y和Z）函数的基是有效的(√ε). 这个基础是有限维的，但我们可以做一个简单的截断来绕过这个问题。我们还假设（如[24，第4.4节]）对于每一个∈ {0，…，2k-1} ，X（k）i为指数矩，因此我们可以在外部区域中设置基础[-R、 R=ln（ε）时R]dto为零-1+ 1); 这种截断会导致误差O（ε），这是允许的。因此，超立方体基Kl，iI的维数在l中是一致的∈ {Y，Z}和我∈ {0，…，2k- 1} ，也相等（ε-d/2ln（ε）-1+1）d）。

因此，我们必须选择模拟的数量，使其在i中均匀地等于O（2kε）-1.-d/2ln（ε）-1+1）d）。它只剩下计算方案的复杂性。对计算成本有两个贡献：马尔可夫链X（k）的模拟成本和布朗增量W（k），以及回归的成本。模拟成本等于O（23kε）-1.-d/2ln（ε）-1+1）d）；额外因子2k来自于在每个时间步重新模拟马尔可夫链X（k）的路径。由于我们使用分区估计来计算回归系数，回归成本等于toPk-1j=0O（Mi）=O（22kε-1.-d/2ln（ε）-1+1）d）；有关分区估计的详细信息，请参见第3.3节。因此，回顾2k=ε-1，整体复杂度等于O（ε）-4.-d/2ln（ε）-1+1）d）。因此，利用第3.3节中的假设和计算，可以得出，在2018年7月3日14:28 37时，采用多级算法（即算法3和算法2）的拆分方案的总体复杂性为isO（ε-2.-dln（ε）-1+1））+O（ε-4.-d/2ln（ε）-1+1）d）。（54）我们现在校准了LSMDP算法，该算法没有分裂，也没有多级，下面我们回顾一下算法4中的完整性。然后，我们计算该算法的复杂度，以便与已建立的算法进行适当的比较，并确定多级分割算法的可能增益。算法4。回想一下线性空间KY，iand KZ，ifrom定义4.1，经验测度{ν（k）i，M:i=0，…，2k- 1} 根据定义4.2，（Af）（iii）中的边界，以及第1.1节中的截断函数tl（·）。集合y（M）k（·）：=Φ（·）。对于每个i=2k- 1，2k- 2.

，0，将随机函数y（M）i（·）和z（M）i（·）递归设置如下：定义y（M）i（·）：=TCyψ（M）Y，i（·）z（M）i（·）=TCz，iψ（M）Z，i（·）, 式中，Cy:=CX，Cz，i:=Cz，k，iandψ（M）Y，i（·）解S（M）Y，i（x），KY，i，ν（k）i，M）的OLS（S（M）Y，i（x）：=Φ（xN）+k-1Xj=ifkxj，y（M）j+1（xj+1），z（M）j（xj）（k） j和ψ（M）Z，i（·）为S（M）Z，i（w，x）解OLS（S（M）Z，i（w，x），KZ，i，ν（k）i，M）：=（k） 是（M）Y，i+1（x）w>，代表w∈ Rq，x=（x，…，xk）∈ （Rd）k+1。[24，定理4.11]研究了该算法的误差。利用该算法，我们直接逼近连续时间函数v（t，·）+v（t，·）。算法4的复杂度分析与上述算法3的复杂度分析相同，但我们必须考虑到由于Lipschitz系数的时间依赖性而产生的额外权重：v（t，·）+v（t，·）的Lipschitz常数等于- （t）-1/2）对于所有t∈ [0，T）-参见假设（AX）（iv）和（Af）（iii）。因此，我们为每个时间点i选择一个超循环基础∈ {0，…，2k- 1} 谁的立方体有直径- t（k）iO(√ε).因此，算法4的总体复杂度为isO（ε-3.-d/2ln（ε）-1+1）d）k-1Xi=0（T- t（k）i）d/2≤ O（ε）-4.-dln（ε）-1+1）d）。与（54）中的两项相比，算法4的复杂度占主导地位：如果d<4，（54）以O（ε）为主导-4.-d/2ln（ε）-1+1）d），而对于d≥ 4，（54）以O（ε）为主-2.-dln（ε）-1+ 1)).因此，在高维d中，ε的一阶等于二阶≥ 4.由于使用了多级分割算法。如果我们在零驱动部分使用分裂法，但不使用多级（即注释3.8中的LSMDP），与纯LSMDP相比，增益仍然很大，在ε中为一阶，但是通过多级（对于d≥ 4） ，参见第3.3节。最后，我们通过一个金融示例的计算结果来支持非线性发生器的理论。

为此，考虑一个d=2维正向过程X=（S，H），用于相关几何布朗运动dS=Sσsdww，其中S=1，dh=Hγdt+σH（ρdW+p1）-ρdW）, H=1，（55）2018年7月3日14:28 38，参数σS=σH=0.5，ρ=0.6和γ=0.1。将S和H视为流动可交易风险资产和非流动资产的（贴现）价格过程，期权Φ（XT）=（HT）的所谓不好交易估值界Y- ST）+到期时交易T一项交易资产Tinto一项非交易资产Ht由非线性BSDEdYt描述=-h | Z（2）t | dt+ZtdW=-|Z（2）t | dt+Z（1）tdW（1）t+Z（2）tdW（2）t，YT=Φ（XT），（56），其中Z=（Z（1），Z（2））；对于我们认为h=0.2的大量约束，请参见[2,3]。BSDEH是Margrabe型公式的显式解，见[3]，相应的良好交易对冲策略可以从Z中获得。ML和MDP的回归基础由Rinto K=50集的a部分超立方体上的指标函数给出。模拟次数为M=2* 两个方案各10个；对于多层（ML），每个层使用相同数量的模拟。均方误差的结果见表2。它们显示了多级（ML）与分裂方案相结合的大幅误差减少，尤其是对于时间网格（更大的k=logN）的Z中的MSE，与之前一样，也证实了使用非零生成器的本例的见解。表2：Y和Z方向非零发生器对数（N）1 2 3 4 5MDP Y 0.1372 0.0795 0.0515 0.0379 0.0322MDP Z 0.0161 0.0089 0.0092 0.0143 0.0253 Ml Y 0.1371 0.0791 0.0510 0.0373 0.0314 Ml Z 0.0156 0.0068 0.0039 0.0032 0.0031确认：我们感谢Emmanuel Gobet对本文和论文[38]的建议，其中首次引入了多级方案，特别是为了指出定理3.9中使用的特殊基础。