倒向随机微分方程的多级逼近

利用第14页[5，情形（b）的条件论证，得出如下结论：e[kψ（k）Z，i- ψ（k，M）Z，ikk，i，M]≤ ehmkxm=1Tr[~p ~p>]（X（m））E（M）k，i[Tr（∑（M））]i≤MkE[Var（Hα？（X）|X）K（K）Z，iXj=1（fj）]（在[5]的等效符号中）≤K（K）Z，iXj=1E[|S（K）Z，i（X）- S（k，M）Z，i（X）|X（k）i∈AZ，k，i，j]MkP（X（k）i∈ AZ，k，i，j）≤K（K）Z，iδMkE[|S（K）Z，i（X）- S（k，M）Z，i（X）|]。为了完成证明，我们得到了E[|S（k）Z，i（X）的上界- S（k，M）Z，i（X）|]:E[|S（k）Z，i（X）- |=i（X，k）][（y（k）i（X（k）i）-y（k，M）i（X（k）i））E[|W（k）i |](（k） 我知道-1.-1Xj=α（i）+1E[|W（k）i | | z（k）-1） j（X（k）-1） j）-z（k）-1，M）j（X（k）-1） j）|]E[|W（k）-1） j](（k） i）。2018年7月3日14时28分，两人之间存在相互依赖问题W（k）土地| z（k）-1） j（X（k）-1） j）-z（k）-1） j（X（k）-1） j）我们现在对待的；注意，在处理E[|S（k）Y，i（X）时，这种相互依赖性不会出现-S（k，M）Y，i（X）|]。自从W（k）ihas q独立分量，每个分量都具有均值为0且方差为0的高斯分布（k） i，这些分量在定律上都等于q（k） 式中，N具有均值为0、方差为1的高斯分布。通过部分积分计算期望值，然后使用密尔不等式，对于任何R>0，这意味着[|N | N |>√R] =2P（N>√R） （R+1）-√重新-R/2√2π≤ 2P（N>√R） （R+1）-R）≤ 2e-R/2。现在，使用分解W（k）i=Tq（k） 红外光谱(W（k）i+(W（k）i- Tq（k） 红外光谱(W（k）i）和推论2.3和算法2中z项的最确定界，它遵循[|W（k）i | | z（k）-1） j（X（k）-1） j）-z（k）-1，M）j（X（k）-1） j）|]≤ qR（k） iE[|z（k）-1） j（X（k）-1） j）-z（k）-1，M）j（X（k）-1） j）|]+4qCX（k） i（T）- t（k）-1） j）1-θE[|N |N |>R]≤ qR（k） iE[kz（k-1） j（·）-z（k）-1，M）j（·）kk-1，j，∞] +8qe-R/2CX（k） i（T）- t（k）-1） j）1-θ≤ qR（k） iE[kz（k-1） j（·）-z（k）-1，M）j（·）kk-1，j，∞] +8qe-R/2CX（k） i（T）- t（k）-1） j）1-θ.通过选择R=ln（22k）完成证明。

为了完成（38）和（39）的估计，它只剩下界E[kE（M）k，i[ψ（k）Y，i]- ψ（k）Y，ikk，i，M]和E[kE（M）k，i[ψ（k）Z，i]-ψ（k）Z，ikk，i，M]。提案3.14。除一般假设外，假设（AX）（来自定理3.7）或（AK）（来自定理3.9）有效。那么，无论如何≥ 0和我∈ {0，…，2k- 1} ，E[kE（M）k，i[ψ（k）Y，i]-ψ（k）Y，ikk，i，M]≤ C2×2-kK（k）Y，iMk3CX+（2+q）andE[kE（M）k，i[ψ（k）Z，i]-ψ（k）Z，ikk，i，M]≤ C6K（k）Z，i（2+5T1）-θ） CxMk（T- t（k）i）1-θ+2C（2+q）K（K）Z，iCXcXMk。式中，如果（AK）成立，C=δ；如果（AX）成立，C=1。证据我们将使用提案3.11（iv）。对于x=（x，…，xk）∈ R（2k+1）×d，\'x=（\'x，…，\'xk）-1) ∈R（2k）-1+1）×d，w=（w，…，wk-1) ∈ Rk×q，定义h（x，’x，w）：=xi；h是一个Borel可测函数，h（X（m））=X（k，m）i。用h表示σ-代数σ嗨（Xm）：m=1，Mk, 等于σ（X（k，m）i:m=1，Mk），并由G表示σ-代数F(*)K-1.∨ σ（X（k，m）j:j<i，m=1，Mk）；那么S（k）Y，i（·）和S（k）Z，i（·）是G B（Rl）-可测量，和G∨ H等于F（M）k，i。由于ψ（k，M）Y，i（resp.ψ（k，M）Z，i）解OLS（S（k）Y，i（·），k（k）Y，i，ν（k）M）（resp.OLS（S（k）Z，i（·），k（k）Z，i，ν（k）M）），它只剩下为期望ψY，k，i:=E（M）k，i[|S（k）Y，i（X（M））找到合适的（确定性）上界- E（M）k，i[S（k）Y，i（X（M））]|]2018年7月3日14:28 26（分别为ψZ，k，i:=E（M）k，i[|S（k）Z，i（X（M））- E（M）k，i[S（k）Z，i（X（M））]|]）允许我们应用命题3.11（iv）。这项技术对于ψY，k，i和ψZ，k，i都是相似的，所以我们只包括后者的证明。

策略如下：首先，我们假设马尔可夫链X（k，m）和X（k-1，m）是t（k）处的确定值x和t（k）处的¨x-1） α（i）；然后通过引入扩散过程X（t（k）i，X，m）和X（t（k），分解ψZ，k，ib的上界-1） α（i），\'x，m）；最终，我们得到了x=x（k，m）和x=x（k-1，m）α（i）（由于自始至终使用条件期望E（m）k，i[·]而不会造成困难）来获得最终界限。IStep 1（定义t（k）和t（k）处马尔可夫链的初始值-1） α（i））：观察随机变量S（k）Z，i（X（m））仅通过值（X（k，m）i，X（k，m）k，X（k）-1，m）α（i）+1，X（k）-1，m）k-1.i（k），W，W（k，m）k-1） 也就是说，它不依赖于路径X（k，m），X（k-1.m）和时间t（k）i.Lettingx，`x之前的W（k，m）∈ 我们定义（m，i）（x，\'x）：=（x（k，m，i，x）i，X（k，m，i，X）k，X（k-1，m，α（i），\'x）α（i）+1，X（k）-1，m，α（i），\'x）k-1.W（k，m）i，W（k，m）k-1).然后可以写出ψZ，k，i=ψZ，k，i（X（k，m）i，X（k-其中ψZ，k，i（x，\'x）：=E（m）k，i[|S（k）Z，i（x（m，i）（x，\'x））- E（M）k，i[S（k）Z，i（X（M，i）（X，\'X））]。IStep 2（中间离散BSDE分解）：设X（t，X，m）（m）∈ {1，…，Mk}）是从时间t开始的扩散模拟，其值x与增量的布朗运动路径相同W（k，m）i.回顾第2.2节中的离散BSDE（~y（k），~z（k））和定义y（k，m）j:=Ekj[Φ（X（t（k）i，X，m）t）]，以及（k） j~z（k，m）j:=Eki[(W（k，m）i）>j的Φ（X（t（k）i，X，m）t）]∈ {0，…，2k- 1}. 对于粗网格π（k-1） ，定义y（k-1，m）j:=Ek-1j[Φ（X（t）k-1） α（i），\'x，m）T]和（k）-1） j~z（k）-1，m）j:=Ek-1j[W（k）-1，m）jΦ（X（t）k-1） j的α（i），\'x，m）T]∈ {0，…，2k-1.-1}.

我们使用这些过程将S（k）Z，i（X（m）（X，\'X））分解为两个表达式：S（k）Z，i（X（m，i）（X，\'X））=W（k，m）i（k） inΦ（X（k，m，i，X）N）-Φ（X（t（k）i，X，m）t）-（y（k）i（X（k，m，i，X）i）- ~y（k，m）i）-主键-1.-1j=α（i）+1（z（k）-1） j（X（k）-1，m，α（i），\'x）j）- ~z（k）-1，m）j）W（k）-1.m）乔+W（k，m）i（k） 我Φ（X（t（k）i，X，m）t）- ~y（k，m）i-K-1.-1Xj=α（i）+1~z（k）-1，m）jW（k）-1，m）j=: A（x，\'x）+A（x，\'x）。2018年7月3日14:28 27微不足道的不平等（x+y）≤ 2x+2y对于所有实x和y，则产生ψZ，k，i（x，\'\'x）≤ 2E（M）k，i[A（x，\'x）]+2E（M）k，i[A（x，\'x）]。I步骤3（绑定在E（M）k上，I[A（x，\'\'x）]）。利用柯西-施瓦兹不等式，我们得到了e（M）k，i[|z（k）-1） j（X（k）-1，m，α（i），\'x）j）- ~z（k）-1，m）j |]=(（k）-1） j）E（M）k-1，i[|E（M）k，j[(W（k）-1，m）j）>（y（k）-1） j+1（X（k）-1，m，α（i），\'x）j+1）- ~y（k）-1，m）j+1）]≤Q（k）-1） jnE（M）k，i[|y（k）-1） j+1（X（k）-1，m，α（i），\'x）j+1）- ~y（k）-1，m）j+1 |]-E（M）k，i[|E（M）k-1，j[y（k）-1） j+1（X（k）-1，m，α（i），\'x）j+1）- ~y（k）-1，m）j+1]|]o.观察E（m）k-1，j[y（k）-1） j+1（X（k）-1，α（i），\'x，m）j+1）- ~y（k）-1，m）j+1]=y（k-1） j（X（k）-1，α（i），\'x，m）j）- y（k-1，m）j。

然后，求和符号的ashift表示givesk-1.-1Xj=α（i）+1E（M）k，i[|z（k）-1） j（X（k）-1，m，α（i），\'x）j）- ~z（k）-1，m）j |]（k）-1） j≤K-1.-1Xj=α（i）+1qnE（M）k，i[|y（k）-1） j+1（X（k）-1，m，i，`x）j+1）- ~y（k）-1） |j+1241]-E（M）k，i[|E（M）k-1，j[y（k）-1） j+1（X（k）-1，m，i，`x）j+1）- ~y（k）-1） j+1]|]o≤K-1.-1Xj=α（i）+1qnE（M）k，i[|y（k）-1） j（X（k）-1，m，i，`x）j）- ~y（k）-1，m）j |]-E（M）k，i[|E（M）k-1，j[y（k）-1） j+1（X（k）-1，m，i，`x）j+1）- ~y（k）-1，m）j+1]|]|{z}=0o+qE（m）k，i[|Φ（X（k-1，m，α（i），\'x）N）-Φ（X（t）k-1） α（i），\'x，m）T）|]。因此，利用布朗增量的独立性，可以得到上界（M）k，i[A（x，\'x）]=（k） inE（M）k，i[|Φ（X（k，M，i，X）N）-Φ（X（t（k）i，X，m）t）|]+E（m）k，i[|y（k）i（X（k，m，i，X）i）- ~y（k）i |]+k-1.-1Xj=α（i）+1E（M）k，i[|z（k）-1） j（X（k）-1，m，i，`x）j）- ~z（k）-1，m）j |]（k）-1） 乔≤（k） in2E（M）k，i[|Φ（X（k，M，i，X）N）-Φ（X（t（k）i，X，m）t）|]+qE（m）k，i[|Φ（X（k）]-1，m，α（i），\'x）N）-Φ（X（m，t（k）-1） α（i），|x）T）|]o（44）根据马尔可夫链（AX）（i）和时间网格（Aπ）（iii）的假设（44）中括号中的项可以由CXmaxi{2限定-k+q2-（k）-1)}. 因此，E（M）k，i[A（x，\'x）]≤（2+q）CX-K（k） 我≤（2+q）CXcX。2018年7月3日14:28 28I第4步（在E（M）k，i[A（x，\'\'x]上绑定）。使用等式（9）和引理2.1，我们得到-1.-1Xj=α（i）+1~z（k，m）jW（k）-1，m）j=Φ（X（t）k-1） α（i），\'x，m）T）- ~y（k）-1，m）α（i）+1-K-1.-1Xj=α（i）+1L（k）-1，m）jwhereL（k）-1，m）j:=Rt（k）-1） j+1t（k）-1） j（z（t）k-1） α（i），\'x，m）t- ~z（k）-1，m）j）>dW（m）和z（t（k）-1） α（i），\'x，m）是（AX）（iii）中给出的过程，其中x（t）（k-1） α（i），\'x，m）代替x（t（k）-1） α（i），\'x）。

将其代入A（x，\'\'x）的定义中，则表示A（x，\'\'x）=(W（k）i）>（k） inΦ（X（t（k）i，X，m）t）-Φ（X（t）k-1） α（i），\'x，m）T）-（~y（k，m）i- ~y（k）-1，m）α（i）+1）+k-1.-1Xj=α（i）+1L（k）-1.m）乔。现在，我们确定并接受期望值，并以正确的方式对待条款五十、 Φ和y分别为。在…中处理术语五十、 我们应用性质（Aπ）（iv）来获得该pk-1j=α（i）+1E（M）k，i[|L（k）-1，m）j |]以2CX为界-K该上界与x（t（k）的起始值x无关-1） α（i），\'x，m）。为了处理涉及Φ的术语，我们将假设（AX）（ii）应用于obtainE（M）k，i[|Φ（X（t（k）i，X，M）t）-Φ（X（t）k-1） α（i），\'x，m）T）|]≤ CX | x-X（t（k）-1） α（i），\'x，m）t（k）i |。（45）备注3.15。在（45）中，可以看到条件（AX）（ii）的影响；需要求出O（2）的上界-k） 对于Φ中的项，一旦我们把x=x（k，m）i，\'x=x（k-1，m）α（i），并取期望值。最后，为了处理y中的术语，我们使用y（k，m）i- ~y（k）-1，m）α（i）+1等于y（k，m）i±y（k，m）2（α（i）+1）- ~y（k）-1，m）α（i）+1=（~y（k，m）i）- y（k，m）2（α（i）+1））+E（m）k，2（α（i）+1）[Φ（X（t（k）i，X，m）t）-Φ（X（t）k-1） α（i），\'x，m）T）]。Φ中的术语按（45）处理。我们进一步扩展（~y（k）i- ~y（k）2（α（i）+1））使用（9）~y（k，m）i- ~y（k，m）2（α（i）+1）=2（α（i）+1）Xj=i{z（k）jW（k，m）j+L（k，m）j}。通过平方和条件期望，我们得到了（Aπ）（iv）和推论2.3，即e（M）k，i[|y（k，M）i- y（k，m）2（α（i）+1）|]=2（α（i）+1）Xj=iE（m）k，i[|z（k）j||W（k）j |+|L（k）j |]≤2CX-k（T）- t（k）i）1-θ+CX-k、 为了结束第4步，我们结合上述上界来获得（k） iE（M）k，i[A（x，\'x）]≤ 3×（3CX | x-X（t（k-1） α（i），\'x，m）t（k）i |+2CX-k（T）- t（k）i）1-θ+2CX-k） 。2018年7月3日14:28 29因此，堵塞x=x（k，m）和¨x=x（k-1，m）α（i），我们得到（k） iE（M）k，i[A（X（k，M）i，X（k-1，m）α（i））]≤ 9CX | X（k，m）i- X（k）-1，m）α（i）|+6CX-k（T）- t（k）i）1-θ+6CX-k（46）总结证据。

（AX）下命题的证明现在通过观察|X（k，m）i来完成- X（k）-1，m）α（i）|=0 in（46），将步骤1-4中获得的估计值拼合为一（m）k，i[|S（k）Z，i（X（m））- E（M）k，i[S（k）Z，i（X（M））]|]发现存在确定性界，并应用命题3.11（iv）。另一方面，如果（AK）有效，我们再次（在引理3.13的证明中）使用[5，第14页的情况（b）]的条件参数来获得[kE（M）k，i[ψ（k）Z，i]-ψ（k）Z，ikk，i，M]≤δK（K）Z，即E（M）k，i[|S（k）Z，i（X（1））-E（M）k，i[S（k）Z，i（X（1））]Mk.通过组合步骤1-4中获得的E（M）k，i[|S（k）Z，i（X（1））的估计值-E（M）k，i[S（k）Z，i（X（1））]|]代入上述不等式，我们可以看到期望E[kE（M）k，i[ψ（k）Z，i]-ψ（k）Z，ikk，i，M]以6δk（k）Z为界3CXE[|X（k）i- X（k）-1） α（i）|]（k） i+（2+2T1）-θ） CXcX（T- t（k）i）1-θ+ 2δ（2+q）K（K）Z，iCXcXMk≤6δK（K）Z，i（2+5T1）-θ） CxMk（T- t（k）i）1-θ+2δ（2+q）K（K）Z，iCXcXMk（47），其中我们在上一个不等式中使用了（AX）（iii），并且（Aπ）（iii）用于界（k） 我≥ cX-K备注3.16。我们在等式（47）中看到了假设（AX）（iii）的影响；假设收敛速度较低，则理论3中关于上界k的整体收敛速度。9会更低。通过使用引理3.12（分别为引理3.13）和命题3.14估计（38–39）中的项，完成证明，并将估计值代入（36–37）。3.5计算示例本节中的计算示例说明并比较不同模拟方案与带零生成器的BSDE的实际误差和效率（3），以支持基于误差估计的理论分析结果。我们考虑具有解析解的BSDE情况，以便研究各个近似方案的近似解的实际全局均方误差（MSE）。

MSE由蒙特卡罗在一个固定时间网格上计算，计算方式与（23）中的全局误差相同。总MSE是相对于Y和Z分量的MSE之和，分别对应于第一个（最大加班时间的平方）和第二个（时间加权）和。2018年7月3日14:28 303.5.1正弦支付首先让我们考虑一个q=1维的例子，其中T=1，X=W，终端条件Φ（X）=sin（X）。在回归基础上，我们采用了高达7次的埃尔米特多项式，对{1，p（t，Wt），…，p（t，Wt）}在所有时间t>0的情况下都是正交的，即K=8。我们在最终水平K运行多水平（ML）方案，Mk=40×K×2k模拟，而在任何较低水平j<j+1≤ k模拟次数Mj=2Mj+1倍。在k级之前，ML的总体复杂度为ML=O（k×22k）。为了进行比较，我们运行了MDP方案的两个实例：第一个（MDP1）和1 2 3 4 5 6 7 8 9-16-14-12-10-8.-6.-4时间步长（log2）误差（log2）全局均方误差多级复杂度为O（k22k）MDP2复杂度为O（23k）MDP1复杂度为O（22k）图1：正弦支付：对数均方误差与对数（N）对ML和MDP1，2Mk=40×K×2K模拟，然后（MDP2）具有更高的数值Mk=40×K×22k模拟。第一种情况下的复杂性为CMDP，1=O（22k），第二种情况下的复杂性为CMDP，2=O（23k）。图1显示了MDP1、MDP2和theML方案的全局均方误差（MSE）与时间步数k=logN的对数。各回归线为（ML）-0.88倍-5.0（MDP1）-0.05倍-分别为5.7（MDP2）-0.97-6.5. 本例支持定理3.7和3.9的结果，以及第3.3节中随后的复杂性分析；事实上，我们可以看到，MDP的模拟量是多级模拟量的2k倍，才能达到大约2倍的收敛速度-1.

此外，我们可以看到计算结果表明，在定理的假设之外，对于比（AK）允许的更广泛的基函数类，可以获得定理3.9中所述的效率增益，因为本例中使用的基函数不满足此条件。3.5.2一个多维例子假设正向过程是一个布朗运动X=W，维度q=3，考虑终端条件Φ（XT）=qqxit，T=1。这超出了第3.3节复杂性分析中使用的假设、有界性假设（AΦ）和利普希茨假设（AX）（iv）。本例将分别比较2018年7月3日14:28（ML）和MDP计划的Y部分和Z部分的MSE贡献。此外，我们还比较了两组不同的回归基础。第一个回归基础（“指标”）由Rinto K=8=512集的等概率超立方体上的指标函数组成。第二个回归基（“线性”）由函数组成，每个函数都位于Rinto K=5集划分的一个超立方体内，并在外部消失。线性基包含4×5=500个回归函数，因此两个基的大小大致相同。两种方案的模拟次数均为M=2×10。

对于ML，每个级别使用相同数量的模拟。（N）2 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 0.1253 0 0.1236 0.1231 0 0.1222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0.12 12 5 5 0 0 0.1194 0 0 0.1194 0 0 0.1183 0 0.1183 0 0 0.0 0 0 0 0 0.5 5 5 5 5 5 5 5 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.1193 3 0 0 0 0 0 0 0.1193 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1193 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1190升升（线性）线性（线性）线性）0（线性）0（线性）0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0358 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.58 0.0 0.0 0 0 0.0.1154 0.1210MDPY（指标）0.5865 0.5465 0.5351 0.5318 0.5297 0.5297MDP Z（指标）0.1514 0.1253 0.1230 0.1330 0.1550 0.2044全局均方误差表（表1）显示，对于内时间网格，多级方案的Z部分误差较低，而Y部分的误差相似。多级方案显示，对于线性基，Z的误差降低得更高。对于k=logN，误差减少系数超过1/2≥ 4是重要的，即使注意到在最终水平k时，N=2k+1时间步长的MDP的计算成本基本上等于N=2k步长的ML的计算成本。与MDP相比，多级方案的误差（Z）在后期k=logN开始增加，并以更温和的速度增加，无论选择的基础是什么；通过比较图2和图3可以看出这一点。这一影响与定理3.7和3.9的结果相吻合，定理3.7和3.9指出，与MDP方案相比，多级方案的误差受时间点数量的影响较小（27）；多级方案的误差应仅随N的对数增加。图2显示了误差曲线在较大k时仅轻微增加。请注意，对于固定数量的模拟，如此处所示，统计误差不可避免地会在某个阶段增加和接管；这仅仅意味着更大的k=logN需要更多的模拟。