倒向随机微分方程的多级逼近

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英文标题：
《Multilevel approximation of backward stochastic differential equations》
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作者：
Dirk Becherer and Plamen Turkedjiev
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We develop a multilevel approach to compute approximate solutions to backward differential equations (BSDEs). The fully implementable algorithm of our multilevel scheme constructs sequential martingale control variates along a sequence of refining time-grids to reduce statistical approximation errors in an adaptive and generic way. We provide an error analysis with explicit and non-asymptotic error estimates for the multilevel scheme under general conditions on the forward process and the BSDE data. It is shown that the multilevel approach can reduce the computational complexity to achieve precision $\\epsilon$, ensured by error estimates, essentially by one order (in $\\epsilon^{-1}$) in comparison to established methods, which is substantial. Computational examples support the validity of the theoretical analysis, demonstrating efficiency improvements in practice.
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中文摘要：
我们发展了一种多级方法来计算后向微分方程（BSDE）的近似解。我们的多级方案的完全可实现算法沿着细化时间网格序列构造序列鞅控制变量，以自适应和通用的方式减少统计近似误差。在一般条件下，我们对多层格式的前向过程和BSDE数据进行了误差分析，给出了显式和非渐近误差估计。结果表明，与已有的方法相比，多级方法可以降低计算复杂度，以达到由误差估计保证的精度$\\epsilon$，基本上是一个数量级（单位$\\epsilon^{-1}$），这是相当可观的。计算实例支持了理论分析的有效性，证明了在实践中效率的提高。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Multilevel_approximation_of_backward_stochastic_differential_equations.pdf (722.75 KB)

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关键词：倒向随机微分方程 随机微分方程 微分方程 随机微分 Differential

倒向随机微分方程的多级近似D。贝切勒*德国柏林林登国际大学数学研究所6D-10099。Turkedjiev+法国理工大学数学研究中心和萨克莱夫大道91128 Palaiseau cedex，FranceJuly 3，2018AbstractWe开发了一种多层次方法来计算后向微分方程（BSDE）的近似解。我们的多级方案的完全可实现算法沿着一系列重新定义的时间网格构造序列鞅控制变量，以自适应和通用的方式减少统计近似误差。在一般条件下，我们对前向过程和BSDE数据给出了多层格式的显式和非渐近误差估计的误差分析。结果表明，多级方法可以降低计算复杂度以达到精度, 由误差估计确保，基本上由一个顺序（在-1） 与已建立的方法相比，这是实质性的。计算实例证明了理论分析的有效性，并在实践中证明了效率的提高。1简介[18]引入了多级蒙特卡罗的概念，作为有效计算扩散过程X的函数Φ的线性期望E[Φ（X）]的模拟方法；另见[27]。

多层蒙特卡罗（MLMC）是一个活跃的研究领域，在许多方向上不断发展；例如，[13]研究了X是L′evy-diven随机微分方程的解的情况，[4]发展了一种用于最优停止问题的多层次方法，其中期望E[Φ（Xτ）]在一系列停止时间τ上最大化。本文提出了一种求解倒向随机微分方程的新的多级近似算法，该算法可以看作是线性期望微分的概率费曼卡表示的非线性推广，在最优控制和控制中有许多应用*作者感谢德国Schience基金会DFG、柏林数学学校和Matheon+通讯作者：turkedjiev@cmap.polytechnique.fr.由风险基金会主席金融风险、FiME实验室和主席金融与可持续发展支持的研究，由UIS Bachelier Finance and Sustainable Growth Laboratory赞助，这是一项与Ecole Polytechnique联合发起的倡议。2018年7月3日14:28 1数学财务，参见示例[14]。为此，我们考虑了形式为yt=Φ（XT）+ZTtf（s，Xs，Ys，Zs）ds的倒向随机微分方程（BSDE）-ZTtZsdWs+Nt，T，T∈ [0，T]，（1）在过滤概率空间上(Ohm, FT，（FT）t∈[0，T]，P），满足有限水平的通常条件∞ 以及q维布朗运动W。终端条件Φ是一个满足某些标准条件的确定函数（见第2节），而X是一个外生给定的马尔可夫过程，初始值X=X，且（Nt，T）为0≤T≤这是一个与W正交的鞅。（1）的一个解是R×（Rq）>值过程的（Y，Z）对。通常，BSDE无法显式求解，只能使用离散时间近似。修正时间网格π：={0=t。

，tN=T}，设（Xi）0≤我≤（Xt）0的合适离散时间近似≤T≤吨π。我们将基于[24]onso中的分析，称为多步前向动态规划（MDP）方程yi:=E[Φ（XN）+N-1Xj=ifj（Xj，Yj+1，Zj）（tj+1- tj）|Fti]和（2）（ti+1- ti）×Zi:=E[（Wti+1- Wti）>（Φ（XN）+N-1Xj=i+1fj（Xj，Yj+1，Zj）（tj+1- |Fti]；这个过程（Yi，Zi）（i=N，…，0）被称为离散BSDE解。此外，我们利用aknown分裂技术将离散BSDE分解为Yi给出的两个（离散）BSDE系统的a组分之和（Y，Z）=（Y+\'Y，Z+\'Z）：=E[Φ（XN）|Fti]和（ti+1）- ti）×zi:=E[（Wti+1- Wti）>Φ（XN）|Fti]（3）表示i=N，0，同样地，\'yi:=EN-1Xj=ifj（Xj，yj+1+\'yj+1，zj+\'zj）（tj+1- （tj）Fti和（4）（ti+1）- ti）×zj:=E（Wti+1）- Wti）>N-1Xj=ifj（Xj，yj+1+\'yj+1，zj+\'zj）（tj+1- （tj）Fti.我们称系统（3-4）为（y，z）和（\'y，\'z）分裂方案。通过将方程（3）和（4）相加，可以恢复原始离散BSDE（2）。为了求解系统（3-4），必须首先求解（y，z），然后使用该解求解（\'y，\'z）。一般来说，我们必须近似条件期望算子以获得完全可实现的算法，为此，我们将使用蒙特卡罗最小二乘回归，这是一种在BSDE contextby[21]中提出的方法。我们的方法是开发一种新的多重网格算法，我们称之为多级算法，以便有效地近似（y，z），然后使用所谓的最小二乘多步动态规划算法（LSMDP）[24]来近似（\'y，\'z）。在本文中，我们关注（3-4）的解与我们完全可实现方案之间的误差；这符合[32][24]的精神。

本文不考虑将2018年7月3日14:28时的时间离散化模式（如（2））近似为（1）的误差；对于这种错误的分析，可以参考广泛的研究[40,9,8,20,22,29,36,28,11,16,39,33,12]。由于改进的正则性，LSMDP算法可以更有效地求解（4）而不是（2），尤其是在高维情况下。我们在第5节中指出，通常，使用LSMDP解析（4）会产生O（ε）的复杂性-4.-d/2ln（ε）-1+1）d），而使用LSMDP求解（2）会产生O（ε）的复杂性-4.-dln（ε）-1+1）d），其中ε是精度，d是X的维数。多级算法在二进时间网格{π（k）：k的重新定义序列上顺序建立（y，z）的近似值≥ 并采用自适应鞅控制变量算法的形式：假设我们已经在时间网格π（k）上构造了（3）的解-1） ：={0=t（k）-1), . . . , t（k）-1） k-1=T}，我们表示（y（k-1） ，z（k）-1） ，我们用它来构造π（k）上的解：={0=t（k），…t（k）-1） k=T}如下所示：y（k）i:=E[Φ（X（k）k）-K-1.-1Xj=α（i）+1z（k）-1） j（Wt（k）-1） j+1- Wt（k）-1） j）| Ft（k）i]，（5）（t（k）i+1- t（k）i）×z（k）i:=E[（Wt（k）i+1- Wt（k）i）>Φ（X（k）k）-y（k）i-K-1.-1Xj=α（i）+1z（k）-1） j（Wt（k）-1） j+1- Wt（k）-1） j）|Ft（k）i]，对于α（i）：=max{0≤ J≤ 2k-1:t（k）-1） j≤ t（k）i}和i∈ {0，…，2k- 1}. 为了解（5），必须先解y（k）i，然后解z（k）i，然后对i进行迭代- 1.一旦解出y（k）和z（k），就可以进入时间网格π（k+1）。注意，在条件期望算子下，只要π=π（k），多级方案（5）就会匹配离散BSDE（3）。然而，当用蒙特卡罗最小二乘算子代替条件期望时，多级公式的方差比LSMDP公式小得多。

事实上，我们在第3.3节中证明了多级算法的复杂度通常为O（ε）-2.-dln（ε）-（3）的LSMDP算法的复杂度为O（ε-3.-d） )；这里，ε是精度，d是X的维数。我们看到，通过使用多级算法，我们有一个一阶改进（最多对数项），这是实质性的。使用多级分裂方案逼近（3-4）isO（ε）的总体复杂性-2.-dln（ε）-1+1））+O（ε-4.-d/2ln（ε）-1+1）d），这应该与LSMDP方案的复杂性O（ε）进行比较-4.-dln（ε）-1+1）d）对于（2），我们看到算法的复杂度有了很大的提高。复杂性的降低很大程度上是因为需要生成更少的过程X模拟。这有第二个影响，即减少了运行算法所需的内存。因为我们通常处理高维问题（例如d≥ 5） ，内存使用率通常非常高，因此降低内存使用率对于实际实现非常重要。为了结束引言，我们总结了我们的研究结果的新颖性，并将其与现有文献进行了比较。本文的大部分内容致力于分析多级方案，据我们所知，这是第一个用于BSDE近似中方差缩减的自适应多重网格算法。我们努力使我们的结果具有高度的通用性，并举例说明我们的假设有效的许多感兴趣的情况，参见第2节——包括不连续或路径依赖的马尔可夫过程X的一些实例。2018年7月3日14:28 3我们的结果的适用性并不局限于我们给出的例子。我们提到，分裂方案（3-4）在过去的文献中已经被研究过。

在连续时间设置中，[22][39]使用它来确定过滤（Ft）t时BSDE（1）的规律性属性≥0由布朗运动W生成。[7]在离散时间设置中使用它来设计基于鞅基技术的数值格式，在[24]中使用它来设计BSDEs的代理格式。这两种技术的共同想法是，如果可行，有效地利用一些先验知识，将解（y，z）很好地近似到离散BSDE（3），例如适当的鞅基或近似PDE解的分析知识。相比之下，多级方案不需要这样的先验知识。我们证明了（y，z）的近似是在没有多级结构的情况下近似分裂方案最昂贵的部分；这解释了通过（y，z）的（通用）多级近似可以获得的总体效率增益。我们给出了算法的显式误差估计，并以定量的方式证明我们能够获得显著的复杂性改进；我们还提供了一些数字例子来证实这些说法。在本文的后半部分，我们确定了用于近似（3-4）解的多级分裂格式的显式估计；用多级方案计算（y，z）后，用LSMDP方案近似（\'y，\'z\'）。与（2）中的（y，z）相比，我们还使用了（4）中（\'y，\'z）的改进正则性[39]的结果，以证明可以获得更好的复杂性，因为可以选择较低维度的回归基础。论文的组织：第1.1节提供了论文中使用的一些符号。在第2节中，我们陈述了整篇文章中要使用的假设，并给出了几个例子来说明这些假设允许我们的算法在高度通用性的情况下应用。

在第3节中，我们给出了多级方案，并计算了完全可实现方案的显式误差估计。然后，使用这些误差估计值进行复杂性分析，结果表明，与LSMDP方案相比，多级方案在理论上提高了效率。在第4节中，我们对用于近似（\'y，\'z）（4）的LSMDP方案进行了误差分析，因为（y，z）（3）是使用多级方案计算的。最后，在第5节中，我们对多级分裂方案进行了复杂性分析，并将其与有无分裂的LSMDP方案进行了比较，以证明效率的提高。通过数值例子，证明了完全可实现的多级算法在实际计算中的改进效率。1.1给定概率空间的符号和约定(Ohm, F、 P）和次σ-代数G，我们写了G可测平方可积随机变量空间的L（G）。常数总是被理解为有限且非负的。连续时间的过滤被用来满足正确的连续性和完整性的通常条件。连续时间内的马尔可夫过程和半鞅被认为具有Cadlagpath。随机变量之间的不等式（cadlag过程）被理解为几乎适用于P（Pdt）。对于任何向量或矩阵V，我们用V>表示其转置。某些Rn（或Rm×n）上的usualEuclidian范数用|·|表示。对于任何函数f:Rk→ Rn，上范数用| f（·）表示|∞:= 好的∈Rk | f（x）|。为了我≥ 0和l∈ N、 我们定义了截断函数tl:Rl→ Rlby TL（x）：=(-L∨ 十、∧ L-L∨ xl码∧ 五十） 多层次方法是沿着时间网格序列和在这些网格上演化的近似过程序列工作的。为此，我们引入以下符号。每k≥ 0，我们用π（k）表示：={t（k）。

，t（k）k}a时间2018年7月3日14时28分4格，2个时点，（k） i:=t（k）i+1-第（k+1）次时间增量和W（k）i:=Wt（k）i+1-Wt（k）为第k级（i+1）布朗增量。为了处理多个时间网格π（k）之间时间标记的引用，我们定义了函数α：{0，…，2k}→ {0，…，2k-1} 由α（i）：=α（k）（i）：=max{j∈ {0，…，2k-1} ：t（k-1） j≤ t（k）i}（6）为了简化记法，只要从上下文中清楚了k级，我们就简单地为α（k）写α。对于σ-代数F（k）i:=Ft（k）i（i=0，…，2k），我们用eki[·]：=E[·| F（k）i]表示各自的条件期望。一个随机过程X=（Xt）t∈[0，T]是分段常数，节点在π（k）的时间点，我们称之为离散，并写X（k）i:=Xt（k）i。简单地说，任何（F（k）i）自适应过程都可以被视为连续时间的cadlag过程。我们说X是（F（k）i-适应的，如果XiisF（k）i-可测量每个i∈ {0，…，2k}，如果它是过滤（F（k）i）中的鞅，则称之为（F（k）i）-鞅。最后，π（k）-马尔可夫链是一个离散过程，即（F（k）i）-马尔可夫链。2假设在本节中，我们陈述了本文中关于马尔可夫过程/链X、时间网格π（k）、终端函数Φ和驱动程序f的条件。正如[24]中所述，我们致力于获得高水平的概括性，在这种概括性下，后续分析是有效的，以使结果适用于尽可能广泛的一类问题。这包括但不应限于相关实际问题的具体例子，这些例子在第2.4节中详细说明，以解释和说明我们的一般假设，这些假设乍一看可能过于抽象。第2.2节推导了代表性的基本结果和先验估计，这些结果将在下文中有用。

第4节和第5节中的分析所需的一些附加假设将在第2.3.2.1节“一般假设”中详细说明。以下条件将贯穿全文。（AΦ）函数Φ：Rd→ R是可测的，且一致有界于CΦ。（AX）有一类（Ft）-马尔可夫过程{（X（t，X）s）∈[t，t]：（t，x）∈ [0，T]×Rd}共享相同的（可能是时间不均匀的）马尔可夫动力学，在这个意义上，对于相同的收缩算子半群Pt，s（T≤ s） 作用于有界可测函数h:Rd→ 它保持spt，sh（x）=E[h（x（t，x）s）]和Pt，sh（x（u，x）t）=E[h（x（u，x）s | Ft]为0≤ U≤ T≤ s≤ T（7） 我们让X（t，X）s=X表示s∈ [0，t]。该族满足以下性质：（i）马尔可夫过程X在该族中，且满足X=X（0，X）；（ii）存在一个常数cx，对于所有x，x∈ RDS和RDS∈ [t，t]，E[|Φ（X（t，X）t）-Φ（X（t，X）t）|]≤ CX | x-x |和E[|x（t，x）s）- x |]≤ CX（t-s） )；2018年7月3日14:28 5（iii）存在确定性函数u:[0，T]×Rd→ R和v:[0，T]×Rd→ （Rq）>，可测，对于[0，t]×Rd中的任何（t，x），平方可积（有界）鞅（t，x）s=E[Φ（x（t，x）t）| Fs]（s）∈ [0，T]），以及来自It^o鞅表示（T，x）s=Φ（x（T，x）T）的可预测被积函数z（T，x）-ZTsz（t，x）rdWr，s∈ [0，T]，（8）承认y（T，x）s=u（s，x（T，x）s）和z（T，x）s=v（s，x（T，x）s）。（iv）存在常数θ∈ （0,1]和CX≥ 因此，尽管如此∈ [0，T）和x∈ Rd，| v（t，x）|以CX/（t）为界- t） （1）-θ)/2.