百慕大群岛和希腊群岛暴露剖面的蒙特卡罗计算

在这里，我们将重点介绍ondown和out barrier选项。跌价卖出障碍期权最初处于激活状态，当标的资产达到障碍时，其价值为零；如果期权在其有效期内未被取消，持有人将在合同结束时收到支付价值。在时间tm时，当期权仍然有效时，定价动态由以下公式给出：Vbarrm（Xm）=（g（Sm）·1Sm≤五十、 对于tM，cm（Xm）·1Sm≤五十、 对于tm∈ T- tM，（14），其中1（·）为指示器功能。风险敞口的价值定义为期权仍然有效时的期权价值。当行使/取消该选项时，曝光值变为0。风险敞口的定价动态可以用以下公式表示：Em（Xm）=（0，当期权被取消时；Vm（Xm），当期权有效时；（15） 式中，Em（·）表示时间tm时的曝光量，m=1,2，·，m- 1.我们定义EM=0。一旦在时间tm行使/取消期权，则风险暴露将晚于时间tm。3.随机网格捆绑方法我们提出了随机网格捆绑方法（SGBM）。SGBM基于模拟、捆绑和回归。通过生成（模拟）大量随机路径来定义随机网格，我们可以确定未来每个时间点状态变量的经验分布。表示时间tmas^xm（i），i=1，…，时第i路径的状态变量的值，N，一旦我们计算了这些场景在时间tm，m=0，M-1 EE函数的值可用EE（tm）近似≈NNXi=1Em（^xm（i）），（16），其中N表示路径数。PFE函数的值也可以根据生成场景的已实现曝光值，由相应的分位数来近似。公式（16）中给出的风险敞口比例是不含贴现因子的值。

然而，为CVA定价，需要的是贴现风险敞口价值。当随机利率确定时，贴现风险敞口是贴现因子和EE的乘积。当利率是随机的时，我们需要对生成场景的实现值进行如下贴现：EE*（tm）≈NNXi=1expm-1Xk=0rk（i）（tk+1）- tk）！·Em（^xm（i））！，（17） 其中rk（i）是第i条路径上时间tk的已实现利息值。计算暴露分布需要每个时间点路径上的选项值，因此需要计算每个时间点所有路径的连续值（见（11））。在以下几节中，我们将讨论如何在SGBM中逼近延拓值。3.1在有界域Im+1上，时间tm+1的最小二乘逼近选择函数Vm+1（·）是L-可测的，我们用一个更简单的函数^Vm+1（·）来逼近它，即^Vm+1（Xm+1）≈ Vm+1（Xm+1），Xm+1∈ Im+1。（18） 通过将期权投影到多项式空间来进行近似，其中的值是H基函数的线性组合，由pp（Im+1）={f | f（x）=HXk=1β（k）ψk（x），x定义∈ Im+1，k、 β（k）∈ R} ，（19）其中p是多项式子空间的阶数，H表示基函数的个数。因此，近似的期权价值可以写成^Vm+1（Xm+1）=H-1Xk=0β（k）ψk（Xm+1），Xm+1∈ Im+1，（20）其中系数集{β（k）}H-1k=0可通过回归以最小二乘法确定，前提是tm+1时的选项值可用，最小k、 β（k）∈RNXi=1Vm+1（^xm+1（i））-H-1Xk=0β（k）ψk（^xm+1（i））！。（21）本质上，公式（21）给出了Lnorm中期权函数在多项式空间Pp（I）上的最佳逼近，称为多项式空间Pp（I）上的投影。请注意，插值逼近函数和最小二乘逼近函数是两个不同的概念。

通过插值，逼近函数的值在离散节点处是精确的，而在最小二乘意义下进行逼近时，我们研究平均值的逼近。在后一种情况下，我们发现函数f在某个子空间上的投影Ohm, 用P表示Ohm, 这样的差异-POhm与子空间中所有函数正交的fisOhm [16]. Lprojection不需要是连续的，也不需要有明确的节点值，这在我们的例子中很方便，因为网格节点是通过模拟生成的。当我们用基函数的线性组合来近似期权函数时，早期时间点的连续函数可以用贴现基函数的条件期望的线性组合来近似，即cm（Xm）≈ ^cm（Xm）=等式^Vm+1（Xm+1）·D（tm，tm+1）Xm= EQ“H-1Xk=0β（k）ψk（Xm+1）·D（tm，tm+1）Xm#=H-1Xk=0β（k）等式ψk（Xm+1）·D（tm，tm+1）Xm=H-1Xk=0β（k）φk（Xm），（22），其中我们用φk（Xm）表示贴现基函数的条件期望：=EQψk（Xm+1）·D（tm，tm+1）Xm, k=0，H.（23）事实上，很容易看出序列{φk}kk=0的跨度形成了空间中函数的闭子空间，表示为：EP（Im）={Ef | Ef（x）=HXk=1β（k）φk（x），x∈ Im，β（k）∈ Rk} 。

（24）换句话说，我们对空间EP（Im）上的延拓函数进行了近似，系数是通过在稍后的时间点tm+1上对期权函数进行近似得到的。当选择基函数时，可以使用贴现基函数的相应条件预期的分析公式，可以立即计算连续值，并且可以分别应用欧式、百慕大或障碍期权的公式（12）、（13）和（14）计算同一点的期权值。虽然对于p阶多项式空间，有许多选择基函数集的可能性，但我们选择阶数等于或低于p阶的单项式作为基函数。单项式是只有一个项的多项式，可以定义为具有非负整数指数的变量幂的乘积。单项式的阶数定义为变量的所有指数之和。考虑一个具有p阶多项式空间的n维问题，很容易看出阶数小于或等于p阶的单项式集是多项式的一个跨度，这些基函数的总数等于（n）-1)!Ppd=0（d+n）-1)!D用单项式构造多项式子空间很方便。此外，我们还有折扣单项式期望的解析公式：当我们使用单项式作为基本函数时，折扣基函数的条件期望就是折扣矩。

对于二维动力学，这些力矩在定义3.1中给出。n阶d变量的单项式数为（d+n-1)!（n）-1)!D定义3.1（折扣时刻）在时间段[t，t]，t<t，以时间t的信息为条件，状态变量Yt=[Yt，zt]Tof阶p+q的折扣时刻定义为q（yT）p·（zT）q·D（t，t）Yt.在动力学的贴现矩和贴现特征函数（dChF）之间有一个有用的联系。通过衍生工具w.r.t和zT，我们发现（yt）p·（zt）q·D（t，t）Yt=（i） p+q·pΦ向上·qΦuq（u，u；Yt，t，t）u=0，u=0，（25），其中Φ（；）是dChF。高维情况可以用类似的方式定义。对于常数基函数（阶数为0），贴现第一矩等于区间[t，t]：φ（Xt）=φ：=EQ[D（t，t）|Xt]=EQhe中的零耦合键-特鲁杜Xti=：P（t，t）。（26）一旦推导出贴现矩的解析公式，乘以在时间tm+1确定的系数集，我们就可以得到在时间tm近似连续值的公式。3.2 greeks状态变量Xm必须至少包含基础资产信息，我们总是将log asset变量作为向量Xm=[Xm，…]中的第一个元素T、 其中xm:=log（Sm）。在这里，我们给出了初始资产价值S的灵敏度w.r.t，它适用于本文讨论的所有模型。可以直接估算SGBM中暴露文件的灵敏度。在time tm时，灵敏度为() 在EE w.r.t中，基础资产价格的变化可通过以下公式得出：EE（tm）=EE（tm）s≈NNXi=1相对长度单位S（^xm（i））=NNXi=1相对长度单位xm·xmSm公司·SMS（^xm（i）），m=0，M- 1，（27）式中^xm（i）=[log（Sm（i）），…]是状态变量在时间tM的第i个实现；应用链法则并计算偏导数，我们得到xmSm=Sm，SMS=SmS，m=0，M- 1.

（30）风险敞口文件的第一个衍生工具定义为：相对长度单位xm:=0行使期权时，厘米xm当该选项处于活动状态时，m=0，M- 1，（31）通过公式（22），延拓函数w.r.t xM的一阶导数近似为厘米Xm≈^cmXm=HXk=0β（k）φkXm，m=0，M- 1，（32）SinceSm=Sexprm-σmtm+σmWxtm, （28）很容易得出：SMS=exprm-σmtm+σmWxtm=SmS，（29）其中σm=√Vm和rm分别是时间tM的波动率和利率。这里的方差变量和利率可以是常数，也可以是随机值。其中，系数集与（22）中的相同。因此EE（tm）≈NNXi=1相对长度单位xm（^xm（i））·S，m=0，M- 1，（33）进一步，我们可以得到伽马（Γ）的一个简单公式，即ΓEE（tm）≈NNXi=1相对长度单位Xm（^Xm（i））-相对长度单位xm（^xm（i））·S、 m=0，M- 1、（34）注释：以类似的方式，我们能够计算Rho（ρ），它被定义为对利率r的敏感性，以及Vega（ν），它是对波动率v的敏感性。然而，在整个时间范围内计算Vega（ν）是一件有意义的事，因为计算Vega（ν）是非常重要的虚拟机v、 3.3收敛性和捆绑选择基于蒙特卡罗的回归方法的收敛性和偏差有一些有趣的研究。在[17]中，Clement、Lamberton和Protter证明了Longsta-Schwartz算法几乎肯定是收敛的，并确定了收敛速度。其他可用的研究表明，直接估计中存在一个向上偏差，基于获得的最优行使策略的结果是期权价格的下限估计[8,7,9]。

在[18]中，Broadie和Cao建议应用局部模拟来改进上下限算法并减少方差。当近似期权价值时，会出现两种类型的错误[17]：o类型1：错误源是真实期权价值和近似期权价值之间的差异，因为价值是通过其在多项式空间上的投影来近似的。这个误差与多项式空间的性质有关类型2：误差源是通过基于样本数据的回归估计系数时产生的噪声，这与蒙特卡罗模拟的准确性有关，因此与路径数有关。我们需要减少类型1和类型2的错误。根据中心极限定理，可以通过增加概率为1 a.s.的一致性路径的数量来减少类型2的错误[17]。一些可用的结果表明，当基函数的数量变为完整时，类型1的误差变为零[5]。在本文中，我们将给出与多项式空间的性质有关的1型误差的精确上界，并给出使用丛的理由。在[17]中，讨论的是类型2的错误。虽然主要关注Longsta ff-Schwartz方法，但分析也可以应用于我们的方法。

如[17]中所述，我们将类型2的误差添加为anoise项：^V（Xm+1）=eV（Xm+1）+m+1，（35）eV（Xm+1）=HXk=0β（k）ψk（Xm+1），（36）当路径数N足够大时，m+1~ N（0，σm+1N）独立于变量Xm+1；^V（·）是多项式空间上期权的“真”值，其中sev（·）是系数集{β（k）}Hk=1的期权的近似值。我们进一步将延拓函数的近似值定义为：~cm（Xm）：=EQeVm+1（Xm+1）·D（tm，tm+1）Xm, （37）亨切姆（Xm）≈ ^cm（Xm）=cm（Xm）+m+1，（38）我们首先给出一个关于近似连续值的误差由近似期权值的误差在形式中的有界性的命题。命题1假设Xm∈ Im，条件密度函数满足Zim+1f（Xm+1；Xm）dXm+1=1- ε、 Xm+1∈ Im+1，（39），其中f（·；Xm）是以Xm为条件的密度函数， 是由于积分范围的截断而产生的小误差。在时间tm逼近连续函数的误差可由在时间tm+1as:kcm逼近期权函数的误差限定- ~cmkL（Im）≤ kVm+1-eVm+1公里（Im+1）·p（1）- ε） h（Im），（40），其中h（Im）是有界域Im的大小。附录A.1中给出了证明。命题1确保，当期权函数的近似值是准确的时，延续函数在早期阶段的近似值也是准确的。Proposition 1中的有界性包括类型1和类型2的错误。对于类型1的误差，我们给出了[16]和[19]中的两个著名见解，分别通过投影到一维和二维域中的线性多项式空间给出了误差的界。定理3.2在一维域I中，假设函数f（x）是二次可微的，P（I）是线性多项式空间。

在Lnorm的区间I中，投影到空间P（I）上可以满足最佳近似结果min^f∈P（I）kf-^fkL（一）≤ Chkf（2）kL（I），（41），其中h是区间I的长度，f（2）是二阶导数函数。定理3.3在二维域I中，假设函数f（x，x）是二次可微的，P（I）是线性多项式空间。在Lnorm的区间I中，投影到空间P（I）上可以满足最佳逼近结果min^f∈P（I）kf-^fkL（一）≤ ChkDfkL（I），（42），其中h是网格的代表性大小，而d是具有混合导数的二维微分算子。有关网格构造的详细信息，请参见[19]。定理3.2和3.3通过函数在线性多项式空间上的投影近似函数，提供了误差的上界。虽然我们对函数的性质知之甚少，但通过在一些离散子域I，…，上逼近函数，可以减少误差，IJ，以至于我=∪Ji=1Ii，每个子域ii中函数的投影写为f（x）≈^fi（x），x∈ Ii，i=1，J.（43）在一维记数法中，误差的范围为，JXi=1min^fi∈P（Ii）kf-^fikL（二）≤ CJXi=1hikf（2）ikL（Ii）≤ CJmaxi=1hikf（2）kL（I），（44），其中Ii是Ii的大小。它告诉我们，通过在子域中逼近函数，可以有效地减小误差。定理3.2和3.3给出了线性多项式空间（p=1）上投影的上界。在命题2中，我们将结果推广到p阶多项式空间。假设区间a（p）的1阶和2阶是I（p）的二次多项式。

Lnormsatis中区间I上空间Pp（I）上的投影最好的近似结果如下所示：∈Pp（I）kf-^fkL（一）≤ Chp+1kf（p+1）kL（I），（45），其中h是区间I的长度。附录A.2给出了证明。命题2提供了一个1-d问题的多项式子空间Pp（I）中近似函数精度的粗略估计。精度取决于区间长度、多项式阶数和（p+1）阶导数的值。实际上，子域的确定是在SGBM中通过从模拟路径生成束来完成的。我们通过在时间tm上将路径聚类成束来定义时间tm+1的子域。一个目标是满足命题1中的假设。时间tm的路径根据条件进行聚类，以便在时间tm+1时，同一束中的路径值落入同一子域。当所有子域大小相同时，一维精度可以近似为jxi=1min^Vjm+1∈Pp（Iim+1）kVm+1-^Vjm+1千克（Iim+1）~CJ（p+1）kf（p+1）kL（Im+1），（46），其中J是束数。^Vjm+1是函数在第j丛中多项式空间上的精确投影。在实践中，我们根据横截面数据，通过回归（用EVJM+1表示）进行估计，其中类型2的误差起作用。我们需要确保每个包中有足够的路径，以便类型2的错误非常小，否则分析类型1的错误是没有意义的。我们提出了定义捆绑包的原则：价值一致，数量相等。简而言之，在每个捆绑包中，状态变量路径值应尽可能接近，并且路径应以某种方式分布到每个捆绑包中，以确保每个捆绑包中都有“有效”路径。