百慕大群岛和希腊群岛暴露剖面的蒙特卡罗计算

第4节介绍了束的制作方法。3.4暴露值的反向迭代我们介绍了从最后一次T开始反向迭代计算暴露值的程序。假设路径生成已完成，且所有观测日期{tm}Mm=0的NPATH状态变量的实现值可用，表示为{xm（i），m=0，…，m，i=1，…，N}。在时间tM，合同结束时，曝光值设置为0。对于欧式期权、百慕大期权或障碍期权，第i条路径的期权价值分别采用公式（12）、（13）和（14）计算为VM（^xM（i））。时间tM-1.应用某种捆绑方法将路径聚集成J束，我们在时间tM处表示第J束-1由BM提供-1，j.在p阶多项式空间中，跨度中有H个基本函数，我们可以通过OLS回归在同一束中找到“最佳系数集”，通过最小化以下表达式，minβ（k，BM）-1，j）∈捆绑BM中的RxPath-1，jVM（^xM（i））-HXk=0β（k，BM-1，j）ψk（^xM（i））！，（47）时间tM的第k个系数-1在第j束中，用β（k，BM）表示-1，j），因此在第j个束中的timetM，期权函数可以用vm（^XM）来近似≈H-1Xk=0β（k，BM-1，j）ψk（^XM），对于束BM中的路径值-1，j，（48）和（22），在时间tM时连续函数近似的解析公式-1厘米-1（^XM）-1) ≈H-1Xk=0β（k，BM-1，j）φk（^XM）-1） ，用于bundle BM中路径的值-1，jat tM-1，（49），其中（23）中定义的φk（·）代表相应的折扣力矩。因此，对于所有路径，连续值为cM-1（^xM）-1（i）），i=1。

N，可直接计算；选项值在时间M的第i条路径上-1、虚拟机-1（^xM（i）），以及暴露值EM-1（^xM（i）），也可以确定。然后迭代以一个时间步长返回到time tM-2.重复捆绑和回归程序，以计算连续性、期权和风险敞口值。我们沿着后退的方向前进，直到到达初始时间Tw。在这里，我们有整个时间范围内所有路径的选项/曝光值。灵敏度值的计算可以在迭代过程中同时进行，因为它需要相同的一组系数。欧洲、百慕大或障碍期权的反向计算程序基本相同，只是期权价值的定价公式不同：我们分别对这些期权应用公式（12）、（13）和（14）。在计算百慕大期权的风险敞口比例时，我们还需要确定最佳的早期锻炼策略。在时间tm时，如果尚未行使期权，则每个路径上的期权和曝光值都设置为相应的连续值；根据可用信息，计算每条路径的支付价值，并将其与延续价值进行比较，以确定是否应行使期权。

对于特定路径，如果应行使期权，则从时间tmon开始的该路径的风险敞口将等于零，时间tmon的期权价值等于支付价值。我们存储所有路径和相应现金流的“最佳”行使策略，并通过将贴现现金流的平均值取为：EE（tm）来估计某个时间点的相应EE值≈NXτi>tm（D（tm，τi）·现金流（i）），（50），其中τi是第i条路径的运动时间（或停止时间），现金流是在时间τi的支付值，已知为ascash-flow（i）：=g（Sτi）（i））=max（ω（Sτi）（i）- K） ，0），其中（ω=1，用于呼叫；ω=-1，对于看跌期权，（51），Sτi（i）时间τi时第i路径的股票价值。如果在某些路径和到期日未行使期权，则现金流值仅为零。请注意，在处理随机利率时，贴现因子需要包含在每个模拟路径的实际值中。实际上，我们将通过公式（16）计算的EE值称为直接估计量。通过公式（50）计算的EE值基于另一组模拟场景，即路径估计器。

计算路径估计器的详细过程如下：o在反向迭代的回归过程中，在每个时间点，保存每个束的系数集；o我们模拟另一组两倍大小的路径；o我们从时间tM开始倒算-1采样时间t:–在时间tm，生成束，并使用在FirstSimulation中获得的每个束的相同系数集来确定路径的连续值；——计算期权价值，并在时间tm时确定每条路径的锻炼策略；保存每条路径的行使策略和相应的现金流量值根据获得的“最佳”运动策略，应用公式（50）计算EE值。3.5注释路径估计器通常是下界，而直接估计器代表上界[8,5]，由于“最大”函数的凸性。这是一个有用的结果，我们可以通过比较这些上下限之间的差异来测试SGBM的收敛性。对于百慕大期权，风险敞口的估计在很大程度上取决于“最佳”早期锻炼策略的准确性。在早期行使点，暴露函数存在不连续性，因此在行使日期，当行使期权时，特定路径的暴露值立即跳至零；如果计算出的“最优”早期行使策略不准确，“真实”和计算出的风险敞口值之间的差异将与此时的期权值一样大。在每个时间点对期权定价对“最优”策略的准确性的敏感性要低得多“期权函数平滑时的早期练习策略。4基函数和捆绑我们看到，基函数的数量等于（n+p）！n！p！，其中n是维数，p是多项式空间的阶数。

我们将应用捆绑来提高准确性。4.1赫斯顿模型我们考虑二维状态变量Xt=[Xt，vt]T，其中Xt=log（St）为对数资产变量，vt代表方差变量。动态由Heston随机波动率模型DVT=κ（`v）给出- vt）dt+γ√vtdWvt，dxt=R-及物动词dt+√vtdWxt，（52）其中r是恒定利率；Wxt和Wvt是布朗运动，dWxt·dWrt=ρx，rdt；常数参数κ，v代表波动过程中回复的速度和平均水平，γ称为vol-of-vol参数。期权函数是对数资产价格和方差的函数。对于p={0,1,2,3}阶，基函数集如表1所示。多项式空间的p阶对应的基函数0{1}1{1，x，v}2{1，x，v，x，x·v，v}3{1，x，v，x，x，x，x·v，v，x，x，x，v}表1：基函数和p阶。赫斯顿模型属于所谓的资产动力学类，这意味着可以通过dChF获得折现矩的分析公式。折扣时机见附录B.1.1。在文献[5]中，提出了在Black-Scholes模型下对多测度集定价时捆绑资产路径的递归分岔方法。为了降低复杂度，引入了一种基于payoff值的缩减空间递归分岔方法。

Heston模型下捆绑的一个重要区别是，当这两个过程的布朗运动之间存在巨大的相关性时，对数资产和方差过程高度相关。对于较大的相关参数，应用二维递归分岔方法直接导致一个有问题的事实，即我们可能没有精确的结果，因为某些束中的路径数不足以进行精确回归，即使路径总数很大。因此，我们采用了递归分岔方法，增加了一个旋转步骤，并提出了一种捆绑方法。4.1.1带旋转的递归分岔束基于每个时间点的横截面数据进行，我们表示时间tmas的两个已实现数据集：d={xm（i）}Ni=1和d={vm（i）}Ni=1。其基本思想是，通过旋转角度α，将相关数据集投影到两个几乎独立的数据集Q和Q。步骤1：旋转角度α的三角函数值定义为：cosα=s1+ksign（k），sinα=sk1+k，（53），其中kis为斜率定义ask:=E[（xm- E[xm]）（vm- E[vm]）]Eh（xm- E[xm]）i≈协方差（d，d）方差（d）（54）新的两组数据由以下公式计算：qq=cosαsinα-sinαcosαdd（55）第2步：我们对旋转数据qand qto makebundle应用标准递归分岔方法。沿着每个维度，计算给定数据集的平均值；通过将数据分成4组，计算出平均值，沿着每个维度分别捆绑路径，并且在一次迭代后，我们有4个不重叠的捆绑。我们用j个迭代重复这些过程，路径的总数是4j。图1显示了对旋转数据应用递归分岔方法后的捆绑结果。

在左图中，具有相同颜色块中的值的路径在此时间点属于同一束；这些路径的索引会被保存，我们也会在右侧的图中用原始值（未旋转）绘制相同束的散点图。-5.-4.8-4.6-4.4-4.2-4.-1.25-1.2-1.15-1.1-1.05-1旋转后，记录-assetafter rotation，variance（a）第2步：应用递归分支4。3.4.4.5 4.6 4.7 4.800.050.10.150.2日志-资产差异（b）原始数据上对应的捆绑图1：旋转递归分岔的结果。在递归分岔方法中，经过j次迭代后，n维问题的束数为（2n）j。对于赫斯顿模型，j-迭代后束的数量等于4J。这里提出的方法对高维问题没有吸引力，因为可能会涉及旋转过程。4.1.2等数量捆绑另一种捆绑方式是将等数量的路径分配给捆绑。首先，我们对路径w.r.t及其日志资产变量值进行排序。排序在（j）之间的路径-1） ·NJ+1和j·NJ属于第j束，因此在过滤后有j束；然后，在每个束中，我们对路径w.r.t其方差值进行二次排序，并以相同的方式将每个束划分为Jsmaller束。在这两次迭代之后，出现了数量相同的j·Jbundles。图2显示了这两次迭代的结果束，其中相同颜色的块表示同一束的日志资产和方差值（这里没有旋转步骤）。第一次迭代是基于对数资产变量的值进行的，因为很容易看出，在对期权进行定价时，资产变量占主导地位。

等数捆绑的一个潜在问题是，请注意，解析公式forE[（xm- E[xm]）（vm- E[vm]）]=E[xmvm]- E[xm]E[vm]，Eh（xm- E[xm]）i=Exm- （E[xm]）可以通过矩来获得，因此可以用ChF来推导。我们用这些解析公式计算Kw。4.3 4.4.5 4.6 4.7 4.800.050.10.150.2日志-assetvariance（a）步骤1：日志资产域上的捆绑包4。3.4.4.5 4.6 4.7 4.800.050.10.150.2日志-资产差异（b）步骤2：差异域上的捆绑图2：等数捆绑的结果。当Feller条件不满足时，存在零方差值，在对这些路径排序时可能会产生混淆。等数捆绑的一个优点是，人们可以自由选择每个维度的细分数量。我们可以在log asset domain中选择更大的数字，因为log asset的价值将对期权价值产生更大的影响。

与递归分岔方法相比，等数捆绑也更有效。4.2 Heston-Hull-White模型当我们将利率作为一个随机变量加入时，状态变量变成Xt:=[Xt，vt，rt]，在Heston-Hull-White模型下，相应的动力学被给出，bydrt=λ（θ- rt）dt+ηdWrt，dvt=κ（\'v- vt）dt+γ√vtdWvt，dxt=rt-及物动词dt+√vtdWxt，（56）有WrtBrownian运动，dWvt·dWrt=0，dWxt·dWrt=ρx，r；常数参数λ、θ和η分别代表均值回归的速度、利率的平均水平和利率过程的波动性；其他参数与（52）中的相同。表2给出了p阶多项式空间的基函数，直到2阶。p阶基函数0{1}1{1，x，v，r}2{1，x，x，v，v，r，r，x·v，x·r，r·v}表2：基函数和p阶。当将SGBM应用于HHW动力学时，困难在于，当ρx，r6=0时，HHW模型不属于一个困难的类，因此无法获得折扣动量的解析公式。我们可以从协方差矩阵σ（Xt）σ（Xt）T中看到这一点=vtρx，vvt√vtηρx，r* γvt* * η. （57）因此，我们将使用[12]中提出的有效H1HW模型来近似HHW模型，并找到近似HHW模型的贴现矩的分析公式。4.2.1基函数和H1HW模型为了获得HHW动力学的替代有效公式，我们用确定性函数E近似（57）中的随机项PV（t）√及物动词vs, 这是Pv（t）在时间间隔[s，t]内的条件期望，因此近似模型的协方差矩阵可以写成：σ^Xtσ^XtT=vtρx，vvtE√及物动词vsηρx，r* γvt* * η. （58）与（58）中的协方差矩阵相连的模型称为H1HW模型[12]。

[12]中给出了误差分析，将全尺寸HHW模型与近似H1HW模型的性能进行了比较，结果表明，期权价值中的误差通常非常小。在附录B.3中，给出了H1HW模型的贴现ChF，在此基础上，我们可以确定贴现矩。波动率的条件预期表达式如下所示：√及物动词vs=p2c（τ）e-λ(τ )∞Xk=0k！λ（τ，vs）kΓ1+d+kΓd+k, （59）带τ：=t- s、 式中c（τ）=4κγ（1）- E-κτ），d=4κvγ，λ（τ，vs）=4κvse-κτγ(1 - E-κτ），（60），计算该和时被截断。然而，在数值计算中，结果表明公式（59）并不可靠，尤其是当τ很小时。因此，对于较小的τ值，方差平方根的条件检验近似为asE√及物动词vs≈√vs，这是因为√及物动词vs→√v，when（t- （s）→ 0.当d>时，我们可以使用以下公式简化方差的条件期望表达式：E√及物动词vs≈sc（τ）λ（τ，vs）- 1+d+d2（d+λ（τ，vs））, （61）其中c（τ）、d和λ（τ，vs）如（59）所定义，见[12]。当d<时，建议使用（59）中的精确公式。4.2.2捆绑我们在这个三维问题中开发了两种捆绑方法。首先，我们提出了HHW模型的带旋转的递归分岔方法。第一步：通过以下方式将两组数据（d，d，d）投影成两组独立的数据（q，q，q）。