百慕大群岛和希腊群岛暴露剖面的蒙特卡罗计算

我们定义了旋转角度α，αascosα=s1+β符号（β），sinα=sβ1+β，（62）cosα=s1+β符号（β），sinα=sβ1+β，（63），其中β：=E[（xm- E（xm））（vm- E（vm））]Eh（xm- E[xm]）i≈协方差（d，d）方差（d），（64）β：=E[（xm）- E（xm））（rm- E（rm））]Eh（xm- E[xm]）i≈协方差（d，d）方差（d），（65）这些所需的矩可以从（非贴现）ChF中导出，我们用解析公式计算斜率。我们使用以下矩阵旋转角度α，α的数据d，d和Db，qqq=cosαsinαsinα-cosαcosα-sinαsinαcosαsinαcosαcosα0sinαddd（66）在3-d的情况下，以相等的编号制作束的想法也与Hestonmodel类似。首先，我们根据股票价值对路径进行排序，并确定Jbundles；在这个迭代之后，在每个捆绑包中，通过利率值对路径进行排序，以确定这个方向上的Jbundles，然后对方差值进行排序，以在每个捆绑包中拥有Jsub捆绑包。经过这三次迭代，我们得到了（J·J·J）束。请注意，当伐木条件不满足时，有很多“零”“在路径的方差值中。因此，第二个捆绑步骤是以利率值为基础的。然而，第一个步骤应该基于股票值，因为期权值主要由股票值决定。4.3障碍期权捆绑当我们为障碍期权定价捆绑时，我们只考虑‘活动路径’。因此，我们发现没有达到障碍的路径r、 并应用常规捆绑方法。

这在图3中显示为一个二维示例。4.3 4.4.5 4.6 4.7 4.800.050.10.150.2日志-资产价值方差价值（a）带旋转的递归分岔，障碍4。3.4.4.5 4.6 4.7 4.800.050.10.150.2日志-资产价值差异值（b）等数捆绑，障碍图3：障碍选项的捆绑结果。5数值结果在本节中，给出了用SGBM方法得到的几个数值结果。我们首先讨论了随机波动率和随机利率对风险敞口数量的影响。接下来，我们通过比较路径和直接估计量，并通过比较参考值（通过COS方法或模拟路径的贴现现金流获得）来分析SGBM的收敛性和准确性。对于本文介绍的所有测试，出于稳健性原因，我们将使用二次指数（QE）方案[20]生成前向MC路径。我们将QE方案评估结果与SDE Euler方案的结果进行了比较，得出结论，尤其是在Feller条件不满足的情况下，QE方案更优越。我们测试了几个满足Feller条件和不满足Offller条件的参数集。我们发现，由于选择了方法组件（QE方案、捆绑类型和基函数的选择），Feller条件对SGBM的性能几乎没有影响。因此，我们只显示Feller条件不满足的参数集的结果，因为它被认为更难估值。一般来说，在时间步长的选择上，满足感觉条件的情况更容易一些。我们应用公式（9）计算CVA，回收率δ=0。

方程（8）中定义了违约概率函数，其恒定强度h=0.03.5.1随机波动率和随机利率的影响我们展示了随机波动率和随机利率对预期风险敞口（EE）和潜在未来风险敞口（PFE）的影响。除了已经讨论过的Heston和HHW模型之外，我们还在本节中考虑了Black-Scholes和Black-Scholes-Hull-White（BSHW）模型。这些模型的特征函数（构成SGBM分析力矩的基础）见附录B.2。为HHW模型选择的参数集由κ=0.3、γ=0.6、v=\'-v=0.05、λ=0.01、η=0.01、r=θ=0.02和S=100给出；相关系数设为ρx，v=-0.3和ρx，r=0.2；T={1,5}。为了进行比较，我们使用了常数波动率σ=√对于Black-Scholes和BSHW模型，v=0.2236；对于Black-Scholes和Heston模型，r=0.02。这些模型中的所有其他参数设置与HHW模型中的相同。我们考虑10个行使日期的aBermudan看跌期权，行使日期K=100，并在图4中比较EE和PFE值forT=1和T=5。路径数等于2·10，离散化的时间步长，t（QE）=0.05。

在BS、BSHW和Heston模型中，使用的束数为4=64，而在HHW模型中，使用的束数为8=512.0.20.40.6 0.8 10246810timeEE BShestonbshwhw（a）T=1，EE0 1 2 3 4 50510152Timeee BShestonbshwhw（b）T=5，EE0 0.2 0.4 0.6 0.8 101020030Timepfe BShestonbshwhw（c）T=1，PFE01 2 3 4 50260 Timepfe BShestonbshwhw（b）T=5，图4：随机波动率和利率对不同期限和不同资产动态的EE和PFE的影响。从图4中我们可以看到以下内容：o当T=1（如（a）和（c）所示）时，HHW模型的暴露值与Heston模型的暴露值相对接近，BSHW模型的暴露值与BS模型的暴露值相似。由于到期时间较短，在我们的模型假设和参数下，随机利率对风险敞口没有显著影响，因此资产动态中的随机波动会显著增加PFE值当T=5（如（b）和（d）所示）时，我们注意到这些模型的EE值只有很小的差异。加上随机利率和随机波动成分，PFEpro文件发生了变化，但没有观察到任何明确的模式。为了获得更长的成熟期的结果，我们进行了更多的测试。分别设置vol的vol参数γ=0.001或vol的利率参数η=0.001，但保持其他参数不变，我们得到图5中的PFE值。在图5（a）中，Heston模型的PFE文件与BS模型的PFE文件非常相似，HHW模型的PFE文件与BSHW模型的PFE文件相似。这一点很明显，因为由于vol-of-vol值较小，随机资产波动率在动态中不起主要作用。

因此，我们可以观察到，随机利率导致PFE增加，尽管在每个行使日期都有下降失效。在图5（b）中，BSHW模型的PFE结果与BSHW模型的PFE结果接近，而HHW模型获得的PFE结果与Heston结果非常相似。FE值在合同的早期阶段增加，然后在五年合同的后期阶段向BS modelPFE快速下降。0 1 2 3 4 50102034050时间点BSHestonBSHWHHW（a）γ=0.001，PFE0 1 2 3 4 50204060时间点BSHestonBSHWHHW（b）η=0.001，PFEFigure 5：随机波动率和利率的影响，选择小模型参数。在较长期限的情况下，随机利率起着重要作用，并导致PFE收益增加；随机资产波动似乎对合同早期的PFE价值有影响，无论合同的长度如何。对于具有随机利率和波动性的资产模型，PFE文件的形式不容易预测：在此处选择的参数下，在合同的早期阶段（比如t<1），HHW模型下的PFE文件与Heston模型下的PFE文件非常相似，但在随后的时间，HHW模型下的PFE文件会增加。5.2 SGBM趋同在Heston模型下，百慕大期权的风险敞口收益我们通过考虑10个行使日期的百慕大看跌期权来研究SGBM的趋同。路径数等于5·10，时间步长为t（QE）=0.05。我们选择以下参数集。测试A：S=100，K=100，r=0.04，T=1。参数κ=1.15，γ=0.39，\'v=0.0348，v=0.0348，ρx，v=-0.64.

（Feller条件不满足。）5.2.1直接估计和路径估计的比较当基函数的阶数选择为p=1和p=2时，我们将直接估计和路径估计的期权值和EE值与束数进行比较。EE值的差异由相对L-范数测量，因为EE是一个时间相关函数。图6（a）显示，当束数增加时，路径和直接估计收敛到“真”选项值。当束数J=4=64时，路径和方向估计量已收敛到参考值水平（通过COS方法计算）。与p=1相比，p=2阶SGBM基本函数提高了收敛速度。图6（b）证实了当束数增加时，路径和直接估计收敛的EE值。我们在表3中给出了百慕大看跌期权的期权价值和标准差。

我们还提供了由等式（9）计算的CVA值。相对L-范数定义为asPMm=0（EEd（tm）- EEp（tm））PMm=0（EEd（tm））！，（67）其中EEd（tm）是直接估计器在时间tm时获得的EE值，而EEp（tm）是相应的路径估计器值。0 1 2 3 456789束数4选择值COS参考值直接电子模拟程序p=1路径估计器p=1直接估计器p=2路径估计器p=2误差修正错误条（a）选项值0 1 2 3 410-310-210-1100束数差异4j p=1p=2（b）直接和路径估计器之间的EE差异图6：直接和路径估计器的选项值和EE值与束数的相对差异。COS SGBM direct（标准）SGBM path（标准）V（0）5.483 5.486（2.4e-04）5.476（4.0e-03）EE（0）-0.327-0.328（7.9e-05）ΓEE（0）0.0247 0.0247（2.3e-05）CVA 0.0924 0.0926（8.9e-05）0.0949（7.9e-05）表3：百慕大期权、希腊期权和CVA的价值；SGBM基于5个模拟。5.2.2基函数阶数研究COS方法是基于Fouriercosine展开的百慕大期权定价的一种高效、准确的方法[21]。我们对[21]中的COS方法进行了调整，使其也可用于计算暴露率，另见[4]。以COS方法为参考，我们研究了EEP和PFE的收敛性以及EEP的收敛性。在图7和图8中，我们展示了SGBM对于曝光量w.r.t捆绑类型、捆绑数量和基函数顺序的准确性。我们检查EE，PFE，EE和ΓEE在SGBM和COS方法之间。当基函数集仅包含常数p=0时，则初始资产值或方差值的所有导数w.r.t均等于零，我们根本无法确定其值。

当基函数的阶数为1时，我们可以计算初始资产价值的一阶导数w.r.t，但这些函数的二阶导数值为零。图7中的捆绑方法是带旋转的递归分岔，而图8中的数字捆绑结果非常相似。除非另有说明，否则在接下来的实验中采用了带旋转捆绑的递归分岔。很明显，增加束数和/或基函数的阶数可以提高结果的准确性；随着束数的增加，多项式阶数对精度的影响变小。当J=4束和p=2时，结果与p=3的近似值一样令人满意。特别是，我们看到，通过更高的多项式阶p和更大的束数，希腊值的精度会提高。当束的数量足够大（4）时，p=2阶的基函数与p=3阶的基函数的性能相当EE，但对于ΓEE，p=3阶的基函数提高了精度。5.3 Heston Hull White模型的SGBM结果在这里，我们将分析HHW模型下的暴露结果。为了验证GBM组件的选择，我们首先考虑期权的定价。我们对HHW模型的离散化基于QE-Heston方案，并结合对利率的欧拉离散。我们采用时间步长t（QE）=0.05，使用的路径数N=5·10。

已使用以下参数集：0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=0多项式p=1多项式p=2多项式p=3（a）EE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=0多项式p=1多项式p=2多项式p=3（b）PFE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=1多项式p=2多项式p=3（c）EE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=2多项式p=3（d）Γ参见图7：曝光曲线和w.r.t束数的相对L误差和基函数的阶数。捆绑法：带旋转的递归分岔；通过COS方法确定参考值。0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=0多项式p=1多项式p=2多项式p=3（a）EE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=0多项式p=1多项式p=2多项式p=3（b）PFE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=1多项式p=2多项式p=3（c）EE0 1 2 3 410-310-210-1100101束数4jL2误差多项式p=2多项式p=3（d）Γ参见图8：曝光曲线和w.r.t束数的相对L误差和基函数的阶数。捆绑方式：捆绑数量相等。测试B：κ=0.3，γ=0.6，v=\'v=0.05，λ=0.01，η=0.01，r=θ=0.02，S=100；相关系数选择为ρx，v=-0.3和ρx，r={0.2,0.6}；T={5,10}（未满足Feller条件）。如上所述，SGBM采用H1HW模型的贴现矩来近似出现的贴现矩。

为了确定这种近似的影响，我们将首先通过SGBM对欧洲期权定价，并比较贴现现金流平原蒙特卡罗结果得出的结果。如[12]中所述，我们还比较了不同罢工价值的隐含波动率值，以分析准确性。随后，我们给出了百慕大期权的结果，并通过直接估计和路径估计的比较证实了SGBM的收敛性。5.3.1 HHW模型下的欧洲期权定价采用SGBM为欧洲期权定价，问题比百慕大期权定价更容易，因为期权在到期之前无法行使，即对于所有tm<tm，V（X）=EQVM（XM）D（t，tM）十、= 情商情商VM（XM）D（tm，tm）XmD（t，tm）十、. （68）因此，我们可以直接从tM时的贴现平均期权价值计算欧式期权估值；或者我们可以使用中间时间点，t，tm，介于tm和tm之间，用于在反向迭代中计算路径处的选项值，其中时间t处的选项值将基于时间t处所有路径的选项值进行计算。时间t处的选项值是我们在此执行的SGBM精度测试。当分析公式和SGBM模拟准确时，这两种方法之间应该没有显著差异。然而，当我们使用从H1HW中导出的近似HHW贴现动量时，时间步长的大小将影响结果的准确性。我们通过在SGBM中选择三个不同的时间步来测试这一点t={0.05,0.5,10}（后者仅为一次步长）。表4给出了MC和SGBM的计算隐含波动率（%）结果，当T=10时，具有不同的时间步长和罢工值K={40,80,100,120,180}。图9显示了隐含波动率结果中的相应误差。