百慕大群岛和希腊群岛暴露剖面的蒙特卡罗计算

参考值是通过蒙特卡罗获得的贴现现金流结果。ρx，rStrike Monte Carlo QE SGBMt=0.05 SGBMt=0.5 SGBM（0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）80 19 19.96（0 0 0（0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）19（0）19（0 0）19（0 0 0 0 0 0 0 0 0（0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）19（0（0）19（0（0 0 0 0 0）19（0）19（0（0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0）19（0（0 0 0 0）19）26.49（0.005）26.64（0.013）8020.71（0.02）20.70（0.005）20.75（0.008）20.86（0.016）10019.23（0.01）19.21（0.002）19.28（0.008）19.35（0.013）120 18.42（0.02）18.39（0.003）18.48（0.008）18.49（0.014）180 18.27（0.04）18.25（0.006）18.34（0.005）18.26（0.017）表4：蒙特卡罗法和SGBM法的隐含波动率（%）结果。捆绑数量j=64，多项式阶数p=2。测试B，T=10。表格和图表显示，当我们在tand tM之间采取更多的时间步长时，结果会更准确。然而，较大时间步长的结果也非常令人满意。因此，我们可以通过使用更多的时间步长来提高SGBM的准确性，但这将降低该方法的效率。5.3.2 HHW模式下百慕大期权的风险敞口文件我们现在为百慕大看跌期权定价，该看跌期权可在到期前10个相同的行权日行权。罢工设定为K=100。我们使用测试B中的参数，分别为{ρx，r=0.2，T=5}和{ρx，r=0.6，T=10}。我们通过比较直接估计和路径估计来检验SGBM的收敛性。期权价值收敛与不同阶SGBM基函数的比较如图10所示。然后，图11显示了当p=1和p=2 w.r.t束数时，通过直接和路径估计器获得的EE值差异的SGBM收敛性。

结果表明，隐含波动率SGBM的误差为0 50 100 150 20000.050.10.150.2，t=0.05SGBM，t=0.5SGBM，t=10（a）ρx，r=0.20 50 100 150 20000.050.10.150.2隐含波动率SGBM的临界误差，t=0.05SGBM，t=0.5SGBM，t=10（b）ρx，r=0.6图9：隐含波动率（%）与罢工值的误差。通过表4中相同的结果获得。参考值：蒙特卡罗结果。p=2的近似值是有利的，束数最好设置为8=512。随着束数的增加，直接估计和路径估计的EE值的差异减小。这些HHW结果支持第5.2节中的结论，从而支持SGBM的收敛性。0 1 2 3101214161820束数8选择值直接估计器p=1路径估计器p=1直接估计器p=2路径估计器p=2误差误差巴（a）ρx，r=0.2，T=50 1 2 314161820222426束数8选择值直接估计器p=1路径估计器p=2误差巴（b）ρx，r=0.6，T=10图10：当p=1和p=2时，直接估计器和路径估计器对期权价值的比较。测试B，T=10.0 1 2 310-310-210-1100束数8jdi差异p=1p=2（a）ρx，r=0.2，T=50 1 2 310-310-210-1100束数8jdi差异p=1p=2（b）ρx，r=0.6，T=10图11:SGBM直接估计器和路径估计器获得的EE值的比较，当NP=1和p=2时。为了进行比较，我们还在表5中给出了相应的收敛结果。我们还提供了通过等式（9）计算的CVA值。5.4障碍期权定价和精度在本小节中，我们给出了在Heston和HHW模型下，障碍水平H=0.8S的淘汰障碍看跌期权的结果。

选择p=2阶的基函数进行计算，使SGBM直接（标准）SGBM路径（标准）ρx，r=0.2，T=5V（0）11.3747（6.5e-04）11.3507（1.5e-02）EE（0）-0.2935（3.0e-05）ΓEE（0）0.0143（3.6e-05）CVA 0.9829（3.1e-03）ρx，r=0.6，T=10V（0）15.9162（1.28e-02）15.9310（1.9e-03）EE（0）-0.2608（6.39e-04）ΓEE（0）0.0085（2.08e-05）CVA 2.9678（3.42e-03）表5：期权、希腊和CVA的价值；百慕大看跌期权；SGBM基于5个模拟。我们在应用SGBM时获得了准确的灵敏度。参考值通过赫斯顿模型的Coston方法获得。对于HHW模型，我们使用贴现现金流蒙特卡罗结果作为参考。如果路径没有达到障碍，现金流等于到期时的支付；否则，期权在路径上被取消，现金流为零。在Heston模型下，利用测试A中的参数，图12通过绘制曝光的L误差及其在Heston模型下屏障选项w.r.t束数的希腊值，证实了GBM的收敛性，其中COS方法可用于参考值。表6.0 1 2 3 410给出了相应的数值-410-310-210-1100捆绑数量4jL2错误EEPFE（a）暴露：EE和PFE0 1 2 3 410-310-210-1100101捆绑包数4jL2错误Γ（b）希腊人：Ee和ΓEe图12：屏障选项的曝光和曝光的相对L误差。赫斯顿模型下的试验参数。COS SGBM direct（标准）蒙特卡洛（标准）V（0）1.2300 1.2299（1.8e-03）1.2283（4.9e-03）EE（0）0.0605-0.0609（1.2e-04）ΓEE（0）0.00310.0020（3.3e-05）CVA 0.0363 0.0363（8.7e-05）0.0362（1.4e-04）表6：期权、希腊期权和CVA的价值；剔除障碍看跌期权；SGBM和MC基于5个模拟。

Heston模型下测试A的参数。对于HHW模型计算，我们使用了测试B中的参数，得出的值如表7.6所示。结论在本文中，我们采用了随机网格捆绑法（SGBM）来计算具有随机波动性和随机利率的资产动态的敞口利润和希腊值。SGBM直接蒙特卡罗标准ρx，r=0.2，T=5V（0）0.5767（8.6e-04）0.5579（2.1e-03）EE（0）-0.0230（6.7e-05）ΓEE（0）-2.2e-04（7.3e-06）CVA 0.9829（1.1e-04）ρx，r=0.6，T=10V（0）0.3372（1.6e-03）0.3333（4.8e-03）EE（0）-2.1e-04（2.8e-05）ΓEE（0）-5.6-04（5.3e-06）CVA 0.0875（5.5e-04）表7：期权、希腊和CVA的价值；淘汰看跌期权；SGBM和MC基于5个模拟。HHW模型下试验B的参数。SGBM可用于计算欧洲、百慕大以及屏障选项的预期暴露和潜在完全暴露功能。算法结构和基本方法组件非常相似，这使得SGBM成为一个合适的CVA评估框架。我们给出了选择基函数的参数，给出了两种类型的捆绑算法，并证明了直接和路径估计器相对于越来越多的捆绑的SGBM收敛性。数值实验证明了其收敛性和准确性。SGBM基于贴现矩的解析公式的可用性。当SDEdynamics属于有效类时，折扣矩可以直接从折扣DCHF中导出。

在HHW模型下，这些都不可用，我们必须恢复到近似时刻。检查这对结果准确性的影响。当需要精确的希腊值时，作为基函数的高阶多项式很重要；否则，对于期权价格和风险敞口数量，多项式阶数p=1是足够的。计算效率受SGBM中使用的束数的影响。并行算法对于减少计算时间非常重要。致谢我们感谢Lech A.Grzelak、Shashi Jain、Kees de Graaf和Drona Kandhai进行的非常有益的讨论，以及ING银行的CVA团队。感谢DutchTechnology Foundation STW（12214项目）的资助。参考文献[1]J.Gregory，《交易对手信用风险：全球金融市场的新挑战》。《威利金融》系列，约翰·威利父子出版社，2010年。[2] P.Klein和J.Yang，“交易对手信用风险和美国期权”，《衍生工具杂志》，第20卷，第7-21页，2013年。[3] Y.Shen，J.Van Der Weide和J.Anderluh，“列维过程下百慕大期权交易对手信用风险敞口的基准方法：蒙特卡罗COS方法”，ProcediaComputer Science，第18卷，第0期，第1163-1171页，2013年。2013年国际计算科学会议。[4] C.S.L.De Graaf，Q.Feng，D.Kandai和C.W.Oosterlee，“交易对手信用风险敞口的有效计算”，国际理论与应用金融杂志，第17卷，第04期，第1450024页，2014年。[5] S.Jain和C.W.Oosterlee，“随机网格捆绑方法：百慕大选择及其希腊人的有效定价”，论文，SSRN，2013年9月。[6] J.F.Carriere，“使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行估值”，保险：数学与经济学，第19卷，第1期，第19-30页，1996年。[7] J.N。

Tsitiklis和B.Van Roy，“复杂美式期权定价的回归方法”，Trans。尼尔。网络。，第12卷，第694-703页，2001年7月。[8] F.Longstaff和E.Schwartz，“通过模拟评估美国期权：一种简单的最小二乘法”，《金融研究评论》，第14卷，第1期，第113-147页，2001年。[9] L.Stentoft，“价值函数近似或停止时间近似：使用模拟和回归对美式期权定价的两种最新数值方法进行比较”，《计算金融杂志》，第18卷，第1-56页，2010年。[10] M.Broadie，P.Glasserman和Z.Ha，“使用具有优化权重的随机网格通过模拟为美式期权定价”，载于概率约束优化（S.Uryasev，ed.），非凸优化及其应用第49卷，第26-44页，美国斯普林格出版社，2000年。[11] P.Glasserman和B.Yu，“美式期权的模拟：现在回归还是以后回归？”摘自《2002年蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法》（H.Niederreiter，ed），第213-226页，斯普林伯格-海德堡，2004年。[12] L.Grzelak和C.Oosterlee，“关于随机利率的Heston模型”，《暹罗金融数学杂志》，第2卷，第1期，第255-286页，2011年。[13] M.Pykhtin和S.Zhu，“交易对手信用风险建模指南”，GARP风险评论，第16-22页，2007年7月/8月。[14] D.Brigo，“交易对手风险常见问题解答：信用风险值、PFE、CVA、DVA、收尾、净额结算、抵押品、再抵押、WWR、巴塞尔、融资、CCD和保证金贷款”，论文1111.1331，arXiv。org，2011年11月。[15] 《随机金融学导论》，第二版。查普曼和霍尔/华润金融数学系列，泰勒和弗朗西斯，1996年。[16] M.Larson和F.Bengzon，“一维分段多项式逼近”，摘自《有限元法：理论、实现和应用》，第卷。

《计算科学与工程》10篇，第1-22页，施普林格柏林海德堡出版社，2013年。[17] E.Cl’ement，D.Lamberton和P.Protter，“美国期权定价的最小二乘回归方法分析”，金融与随机，2002页。[18] M.Broadie和M.Cao，“通过模拟为美国期权定价的改进上下限算法”，量化金融，第8卷，第8期，第845-861页，2008年。[19] M.Larson和F.Bengzon，“2D中的分段多项式逼近”，摘自《有限元法：理论、实现和应用》，计算科学与工程文本第10卷，第45-69页，斯普林格-柏林-海德堡，2013年。[20] L.B.G.Andersen，“赫斯顿随机波动率模型的简单有效模拟”，《计算金融杂志》，第11卷，第1-48页，2008年。[21]F.Fang和C.Oosterlee，“赫斯顿模型下百慕大和障碍期权基于傅立叶的估值方法”，暹罗金融数学杂志，第2卷，第1期，439-463页，2011年。附录A。1命题1的证明在这里，我们提供命题1的证明。kcm- ~cmkL（Im）=ZIm情商Vm+1（Xm+1）·D（tm，tm+1）Xm- 情商eVm+1（Xm+1）·D（tm，tm+1）XmdXm≤齐姆情商Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）· （D（tm，tm+1））XmdXm≤齐姆情商Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）XmdXm≤Zim+1Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）f（Xm+1；Xm）dXmdXm+1≤ZIm+1Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）ZImf（Xm+1；Xm）dXmdXm+1≤ZIm+1Vm+1（Xm+1）-eVm+1（Xm+1）dXm+1·ZIm+1ZImf（Xm+1；Xm）dXmdXm+1！=(1 - )kVm+1-eVm+1kL（Im+1）·h（Im），（69），其中h（Im）是域Im的大小，asZIm+1ZImf（Xm+1；Xm）dXmdXm+1=ZImZIm+1f（Xm+1；Xm）dXm+1dXm=ZIm（1）- )dXm=（1）- )h（Im）。（70）A.2命题2We的证明通过区间I上p阶多项式^f（x）逼近函数f（x），其中残值定义为p（x）：=f（x）-^f（x），x∈ 我

（71）注意e（p+1）p（x）=f（p+1）（x）as^f（p+1）（x）=0。当f（x）是p+1倍可微时，Lsense中“最佳”估计的误差是有界的。选择p+1不同点，{x0,0，x0,1，…，x0，p}∈ 一、 应用插值，十、∈ 我 η（x）∈ 一、 这样的顶点（x）=f（p+1）（η（x））（n+1）！pYi=0（x- x0，i）。（72）这意味着我们可以找到一个多项式，使得残差函数ep（x0,0）=ep（x0,1）=···=ep（x0,p）。根据罗尔定理，点{x1,0，x1,1，…，x1，p-1} 存在，因此第一导数ee（1）（x1,0）=e（1）（x1,1）=···=e（1）（x1，p-1) = 0. 通过归纳，R≤ p、 存在p- r+1点{xr，0，xr，1，…，xr，p-r} ，从微积分的基本定理，R≤ p、 对于任意点yi，e（r）p（y）=e（r）p（xr，0）+Zyxr，0e（r+1）p（x）dx。（73）当e（r）p（xr，0）=0时，我们有以下e（r）p（y）=Zyxr，0e（r+1）p（x）dx≤Zyxr，0e（r+1）p（x）dx≤Zyxr，0·e（r+1）p（x）dx≤Zyxr，0dx！Zyxr，0e（r+1）p（x）dx！≤ hke（r+1）pkL（I）。（74）当我们两边都成直角时，我们得到e（r）p（y）≤ hke（r+1）pkL（I），（75），因此，区间I中e（r）p（y）的形式为，ke（r）pkL（I）=子e（r）p（y）dy≤齐克（r+1）pkL（I）dy≤ hke（r+1）pkL（I）。（76）通过归纳，很容易找到KEPKL（I）≤ hke（1）pkL（I）≤ ··· ≤ hp+1ke（p+1）pkL（I）=hp+1kf（p+1）kL（I）（77）B联合贴现特征函数在本附录中，我们向读者提供关于特征函数的已知结果。

基于这些，很容易（通过手工或计算机程序）确定GBM所需的折扣矩。B.1 Heston模型Heston模型贴现ChF的表达式由[21]给出：Φ（u，u，T | Xt）=exp\'A（u，u，τ）+\'B（u，τ）xt++\'C（u，u，τ）vt, （78）式中，\'A（u，u，τ）=I+I，\'B（u，τ）=iu，\'C（u，u，τ）=r+-2Dγ（1）- 通用电气-Dτ），（79），其中g=iu- R-iu- r+，D=q（κ- γρx，viu）+γu（u+i），r±=γ（κ- γρx，viu±D），（80）andI=κvR-τ -γ测井1.- 通用电气-Dτ1- G, I=r（iu）- 1)τ.B.1.1折现矩折现矩及其一阶导数和二阶导数的解析公式通过MATLAB中的符号计算得出。我们将介绍Heston模型的折扣时刻。等式[xT·D（t，t）|xT]=xt+2κ（\'v- （vt）1.- E-κτ+ （r）-\'-v）τE-rτ，（81）EQxT·D（t，t）|xT=xt+2κ（\'v- （vt）1.- E-κτ+R-\'vτ+\'v8κOhm+vt4κOhm!E-rτ，（82）EQ[vT·D（t，t）|Xt]=v+（vt- v）e-κτE-rτ，（83）EQvT·D（t，t）|Xt=vtγκE-κτ- E-2κτ+\'vγ2κ1.- E-κτ+v+（vt- v）e-κτ!E-rτ，（84）EQ[xT·vT·D（t，t）|xT]=（\'v+（vT- v）e-κτ)xt+2κ（\'v- （vt）（1）- E-κτ）+（r-\'-v）τ+vγ4κOhm+vtγ2κOhm!E-rτ，（85），其中Xt=[Xt，vt]T，τ=T-t、 在哪里Ohm=E-2κτγ+4e-κt(1 + κτ)γ- 2ρκγ（2+κt）+2κ+ (2κτ - 5) γ- 8ρκγ (κτ -2) + 8κ(κτ - 1) , (86)Ohm= - E-2κτγ+2e-κτ-κτγ+ 2ρκγ (1 + κτ ) - 2κ+ γ- 4κργ + 4κ, (87)Ohm=E-2κτ+2κe-κτ(τ -2ργ(1 + κτ)) +4κρ - γγ, (88)Ohm=E-κτ1.- κτ +2ρκτγ- E-2κτ. （89）B.2 Black-Scholes-Hull-White模型BSHW模型的贴现ChF表达式为：Φ（u，u，u，T | Xt）=exp\'A（u，u，w，τ）+\'B（u，τ）xt++\'D（u，u，τ）rt, （90）与B.1中的B（u，τ）相同，且A（u，u，u，τ）=I+I+I，\'D（u，u，τ）=iu- 1λ1.- E-λτ+ iue-λτ，（91）andI=σiu（iu- 1） τ，I=θ（iu）- 1） τ+λ（e）-λτ- 1） （iu）- 1) - iuE-λτ- 1.,I=η2λλ（u+i）（e）-λτ- 1） （λu）- U- i） +2λE-2λτ- 1.（λu）- U- （一）- （i）τ,I=ηθσρx，rλ-iu+uλ（λτ+e）-λτ- 1） +uu（e）-λτ- 1).

（92）同样，折扣矩是通过MATLAB中的符号计算得到的。B.3 H1HW模型近似HHW模型（称为H1HW模型）的贴现ChF表达式由[12]给出：Φ（u，u，u，T | Xt）=exp\'A（u，u，u，τ）+\'B（u，τ）xt++\'C（u，u，τ）vt++\'D（u，u，τ）rt, （93）其中，系数B（u，τ），\'C（u，u，τ）和\'D（u，u，τ）在B.1和B.2节中是相同的，而系数A（u，u，u，τ）=I+I+I+I，（94）其中表达式g，和r±与赫斯顿模型的表达式相同，且I=θ（iu）- 1） τ+λ（e）-λτ- 1） （iu）- 1) - iuE-λτ- 1., （95）I=κvR-τ -γ测井1.- 通用电气-Dτ1- G,I=η2λλ（u+i）（e）-λτ- 1） （λu）- U- i） +2λE-2λτ- 1.（λu）- U- （一）- （i）τ,I=ηρx，r-iu+uλG（τ，vt）- uuG（τ，vt）. （96）上面出现的两个积分由数值计算得出，asG（τ，vt）：=ZτE√及物动词-s及物动词1.- E-λsds≈L-1Xk=0E√v（T）-K（s）及物动词1.- E-λ（k）（s）s、 （97）G（τ，vt）：=ZτE√及物动词-s及物动词E-λsds≈L-1Xk=0E√v（T）-K（s）及物动词E-λ（k）（s）s、 （98）式中τ=T- Ts=τL，L是积分区间数，方差平方根的条件期望由（59）给出。