非线性瞬态市场冲击下的最优执行

在下文中，我们将此解决方案称为GSS解决方案。2.2 n关于线性市场冲击的一般情况在一般非线性情况下，问题在数学上要复杂得多。Dang[21]最近提出了这一方向的第一步，包括两个贡献。第一种方法是使用基于卷积积的积分变分法[47,45,46]，将成本最小化问题转化为一个积分方程推广（2.7）。具体来说，如果f∈ C（R）和G∈ L[0，T]，对于[0，T]上满足的函数类x，x在（0，T）上是绝对连续的，ofo 五、∈ L[0，T]，方程（2.2）的泛函的平稳性的以下必要条件成立：Ztf（v（s））G（T- s） ds+f′（v（t））ZTtv（s）G（s）- t） ds=λ，（2.10），其中λ是由约束方程（2.3）设置的常数。对于凸冲击函数，f（v）∝ 符号（v）| v |δδ大于1，等式（2.10）成立五、∈ R.相反，在凹形情况下，δ<1，如果交易速度v在某个时间t消失，则方程式（2.10）不确定，因为f的导数在零处发散。这种观测限制了可以考虑的轨迹类别。此外，在凹形情况下，不保证必要条件（2.10）也有效，因为最小化成本问题可能有大量的极值点。方程（2.10）是一个弱奇异的第一类SOHN方程[42]，形式为ZTG（|t- s |）F（v（s），t）ds=λ（2.11）如果一个核在积分范围内的一个或多个点上变得有限，则称为奇异核，如Abel方程[52]。如果核的奇异性是可积的，即函数在包含奇异性的区间上的被积是有限的，则称为弱奇异核。

在我们的例子中，弱奇异核由g（| t）给出- s |）=|t- s|-γ.式中f（v（s），t）=（f（v（s）），s≤ tv（s）f′（v（t）），s>t.（2.12）注意积分方程（2.11）中有两个非线性来源：非线性冲击函数f（v）和函数f。事实上，非线性还取决于影响函数f′的初始导数，即价格对单位时间交易量的响应。此外，涉及f′（v（t））的术语将时间t的价格响应与未来交易率纠缠在一起，即s>t的v（s），即v的当前值和未来值之间的耦合。这意味着方程（2.11）不能归类为弱奇异非线性Fredholm方程，因为函数F既依赖于t又依赖于s。在线性冲击情况下，两种非线性都消失了，人们恢复了交易率的第一类弱奇异线性Fredholm积分方程，其中当前和未来时间之间没有这种耦合。需要注意的是，方程式（2.11）中的F不是v的可逆函数，因为它不仅取决于s，还取决于t。因此，通过设置u（t）=F（v（t））并求解u的线性积分方程来求解非线性积分方程的常用方法在这里不适用。在第3节中，我们使用同伦分析方法来求解积分方程（2.11）。2.2.1 Dang的定点算法Dang[21]的第二个贡献是求解积分方程（2.10）的数值格式。这是一种定点迭代方案，通过求积方法找到数值解，我们在附录a.1中对此进行了回顾。求积依赖于将时间间隔[0，T]离散为n个二进制区间，将积分方程转化为n维向量的方程组。

对Dang的定点法的收敛特性进行了详细的数值分析，作为子区间数N的函数，以及由δ测量的线性影响偏差-1见附录A.1。现在我们总结一下这项分析的结果。图1左面板中描述的绿色区域显示了我们对Dang算法的实现收敛的区域，而右面板显示了作为地图固定点获得的解的平方剩余误差（在等式（3.12）中定义为通用非线性算子）。两个小组讲述了相同的故事。对于较小的子区间数N，即使冲击函数是强非线性的，该方法也会收敛。随着N的增加，即对于区间的更细划分，我们发现该方法仅适用于非常中等的非线性函数。Dang的方法显然总是在δ=1时收敛，因为在这种情况下，目标函数只有一个最小值。党的方法不收敛并不奇怪；迭代格式可用于求解第二类积分方程，而方程（2.11）是第一类积分方程。总之，Dang在[21]中提出的解决方法是有问题的。首先，无法保证通过求解积分方程（2.10）可以得到一种策略，在所有可接受的策略中，该策略可以使预期执行成本（2.2）最小化。特别是，如果撞击功能50 100 150-0.5-0.3-0.10.10.30.5Nδ- 1.-0.5-0.3-0.1 0.1 0.3 0.5-50050100150200δ - 1log10E N=2N=10N=50N=100N=150图1：左面板：参数空间（N，δ）上Dang定点法的收敛区域-1).

右面板：作为地图固定点获得的解的平方残差。如果是凹的，正如在现实中观察到的那样，解决方案仅限于那些交易速度v（t）永远不会消失的方案，因为f′（v）在v=0时发散。第二，根据我们的数值测试，Dang的定点算法似乎只适用于[0，T]区间的中度非线性和中度离散。因此，我们需要研究其他方法。在下一节中，我们考虑方程（2.10）的微扰方法，该方法适用于弱线性，即δ 1.这使我们能够了解非线性对最优解的影响。在第3节中，我们提出了一种使用同伦方法求解方程（2.10）的新方法。最后，在第4节中，我们将给出成本函数离散化版本的蛮力数值最小化，我们将明确地看到该成本函数有许多局部极小值。2.3微扰方法本节我们提出一种简单的微扰方法来研究方程（2.10）在弱非线性情况下的解。这将为我们以后使用更强大的同伦方法得到的结果提供一些直觉。我们的微扰方法基于两种近似。第一种方法考虑影响函数，而第二种方法考虑交易率，即未知解。让我们考虑一个购买程序，v（t）>0和一个稍微凹的冲击函数，f（v）=v1-,0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4.-3.8-3.6-3.4-3.2-3.-2.8-2.6Log10容积线性衰减-非线性图2：弱非线性情况下Urysohn方程的解，γ=0.5，=0.02和x=0.1。整行代表解v（s）=v（s）+v（s）。我们观察到这个解在时间反转下是不对称的。虚线代表GSS解决方案，即。

该解适用于线性碰撞情况。0<<< 1.然后我们得出近似值f（v）=v-v log（v）+O; f（v）＝1′-  - log（v）+O. （2.13）代入方程（2.10），并仅保持项的阶数，我们得到ztv（s）G（t）- s） ds+ZTtv（s）G（s）- t） ds- Ztv（s）log（v（s））G（t- s） ds+[1+log（v（t））]ZTtv（s）G（s）- t） ds= λ.（2.14）如前所述，GSS解决方案（2.8）解决了（2.14）Ztv（s）G（t）的零阶情况- s） ds+ZTtv（s）G（s）- t） ds=λ，（2.15）为封闭形式。现在写出v（s）=v（s）+v（s）+O（）。然后，阶匹配项给出了v（s）的以下线性Fredholm方程：Ztv（s）G（t- s） ds+ZTtv（s）G（s）- t） ds=Ztv（s）log（v（s））G（t- s） ds+[1+log（v（t））]ZTtv（s）G（s）- t） ds- λ′.（2.16）我们使用constraintZT[v（s）+v（s）]ds=xt求解上述λ′固定值的方程，以确定λ′固定值的正确值。我们迭代搜索λ′，直到方程（2.16）满足给定精度，在我们的情况下为X的1‰。图2显示了该微扰解的示例。我们使用第3.2节中描述的求积方法来离散核G，并执行矩阵求逆，以解方程（2.16）的离散化版本。我们在这里使用N=512点的正交网格报告γ=0.5、=0.02和X=0.1的情况。我们的第一个观察结果是，当市场影响发生变化时，最优策略在时间反转下不再是对称的，与线性大小写相反。事实上，最好在交易期的前半段交易速度更快，在下半段交易速度更慢。在凸市场影响的情况下重复计算，我们得到了相反的行为：最好在下半年交易更快，正如[21]中使用定点法所发现的。

在第3节中，我们将观察到（2.10）在强非线性碰撞情况下使用同伦方法的数值解具有相同的性质。值得再次强调的是，没有理由相信积分方程（2.10）的解给出了最优的执行策略，对应于预期成本（2.2）的全局最小值。3同伦分析方法同伦的概念可以追溯到亨利·庞卡e。简言之，同伦描述了连续的变化或变形。例如，圆可以连续变形为正方形或椭圆形，咖啡杯可以连续变形为甜甜圈，但不能变形为圆球。更正式地说，让我们考虑以下一般非线性方程：N[v（t）]=0，（3.1），其中N是非线性算子，t表示自变量，v（t）是未知函数。廖[33]构造了所谓的零阶变形方程（1）- p） Lφ（t；p）- v（t）= Ph H（t）N[φ（t；p）]，（3.2），其中p∈ [0,1]被称为同伦参数，或嵌入参数和h 是一个非零辅助参数，称为收敛控制参数[1]。H（t）6=0是辅助函数，li是辅助线性算子，v（t）是v（t）的初始猜测，φ（t；p）是未知函数。对于辅助功能或操作员的选择没有特别的规定；通常，选择取决于要解决的问题。当p=0和p=1时，我们分别有φ（t；0）=v（t），φ（t；1）=v（t）。（3.3）因此，当p从0增加到1时，溶液φ（t；p）从初始猜测v（t）到寻求的溶液v（t）连续变化。在麦克劳林级数中关于p展开φ（t；p），我们有φ（t；p）=v（t）+∞Xm=1vm（t）pm，（3.4）其中vm（t）=m！mφ（t；p）下午p=0。

（3.5）式（3.4）中φ的级数表示称为同伦级数，（3.5）中的vm（t）称为φ的m阶同伦导数[31]。如果使用辅助线性算子，则初始猜测，收敛控制参数h, 适当选择辅助函数，同伦级数收敛于p=1，给出方程（3.1）的寻求解。然后利用φ（t；1）=v（t）的关系，我们得到了所谓的同伦级数解v（t）=v（t）+∞Xm=1vm（t），（3.6），这是原始非线性方程的解之一，廖[32]证明了这一点。定义向量VM=v（t），v（t），vm（t）, （3.7）并将零阶变形方程（3.2）与同伦参数p相差m次，然后设置p=0，最后除以m！，我们有所谓的mthorder变形方程vm（t）- χmvm-1（t）= h H（t）Rm虚拟机-1., （3.8）其中虚拟机-1.=（m）- 1)!M-1N[φ（t；p）]下午-1.p=0（3.9）和χm=（0，m）≤ 1，1，m>1。（3.10）n阶近似解由v（n）（t）=v（t）+nXm=1vm（t），（3.11）给出，精确解由v（t）=limn给出→∞v（n）（t）。这种方法的两个主要困难是计算方程（3.9）的导数，以及如何选择合适的h 为了保证方程（3.6）级数解的收敛性。第一个问题要求我们计算方程（3.4）同伦麦克劳林级数的给定非线性光滑函数f的同伦导数，即计算导数off（φ）。我们请读者参考附录A.2了解详细信息。第二个问题是如何选择合适的收敛控制参数值h 为了保证方程（3.6）[35]级数的收敛性。

为此，我们将采用以下所谓的优化方法[33,4,2]，根据该方法，我们确定控制方程（3.1）asEn的平方残差(h) =ZTNv（n）（t）dt。（3.12）然后通过找到该平方残差的最小值，获得收敛控制参数的最佳值。事实上，如果v（n）（t）是方程（3.1）原始问题的解，那么剩余的En(h) 消失。3.1非线性瞬态市场影响的同伦现在我们将同伦分析方法（HAM）应用于非线性积分方程（2.11）的解。ThusN[v（t）]=-λ+ZTG（|t- s |）F（v（s），t）ds。（3.13）正如[27]中所建议的，我们选择线性算子L作为恒等式，即isL[φ（t；p）]=φ（t；p），（3.14）和辅助函数为H（t）=1。零阶变形方程为（1- p）φ（t；p）- v（t）= h pn[φ（t；p）]。（3.15）将该零阶变形方程与p进行m次微分，并最终除以m！，我们得到了m阶变形方程vm（t）=χmvm-1（t）+h Rm虚拟机-1., （3.16）其中m>1Rm虚拟机-1.=（m）- 1)!M-1N[φ（t；p）]下午-1 | p=0=ZTG（| t- s |）（m）- 1)!M-1F（φ（s；p），t）下午-1.p=0）ds。（3.17）例如，一阶变形方程isv（t）=h-λ+ZTG（|t- s |）Fv（s），tds. （3.18）为了计算高阶变形方程，我们需要将F写成两个同伦序列的函数，分别在时间点s和tF处定义∞Xi=0vi（s）pi，∞Xj=0vj（t）pj=（f（P∞i=0vi（s）pi），s≤ t（P∞i=0vi（s）pi）f′P∞j=0vj（t）pj, s>t.（3.19），然后应用方程（A.8）相对于非线性一维系统的同伦导数≤ t、 方程（A.9）相对于非线性二维系统的同伦导数，对于s>t。

对于v（t）>0，第一个同伦导数的表达式如下所示：pF∞Xi=0vi（s）pi，∞Xj=0vj（t）pj！p=0=（δ（v（s））δ-1v（s），s≤ tδv（s）（v（t））δ-1+ δ (δ - 1） v（s）（v（t））δ-2v（t），s>t（3.20）更高的阶数可以使用符号计算软件（如Mathematica Ormale）进行计算。显然，为了使该算法有效，初始猜测需要满足条件f′（v（t））<∞ 尽管如此，t∈ [0，T]。因此，V在整个区间[0，T]上必须有相同的符号。从现在起，我们考虑购买计划。为了测试对初始猜测的可能依赖性，我们选择VWAP策略vV W AP（t）=X/t，以及线性情况下的GSS解决方案，即由等式（2.8）得出的VGSS作为初始猜测。3.2离散同伦分析方法要将HAM应用于我们的问题，我们需要计算有限积分（3.17），这似乎在分析上很难解决。因此，我们提出了一种近似这些积分的方法，并将这种离散化的HAM称为DHAM方法。首先，我们通过将时间间隔[0，T]在时间ti=it/N处拆分为N个子间隔，将方程（2.11）离散化，其中i∈ {0,1，··，N}。这给出了变量vi=v（ti）中的非线性方程组，其中i∈ {1，··，N}NXj=1GijFij（v）=λ（3.21），其中i表示时间点ti。非线性函数F（.）方程（2.12）的形式变成了实N×N矩阵xfij（v）=（f（vj），j≤ ivjf′（vi），j>i.（3.22）衰变核G（|t）- s |）成为一个Toeplitz实对称N×N矩阵，由gij=Ztiti给出-1Ztjtj-1G（| t- s |）ds dt。（3.23）如果G（τ）=τ-γ、 对于i>j，我们有gij=（1- γ) (2 - γ)TN2.-γ（一）- j+1）2-γ-2（一）- j） 二,-γ+（i）- J- 1)2-γ（3.24）和对角线项由GII=（1）给出- γ) (2 - γ)TN2.-γ. （3.25）在该方案中，等式（2.3）的交易量约束由nxi=1vi=NXT给出。

（3.26）我们不能直接解方程（3.21）的非线性系统。相反，我们搜索近似同伦级数解vi=vi+∞Xm=1vmi，i∈ {1，··，N}，（3.27），其中m>1的变形方程（3.16）近似为vmi=vm-1i+hNXj=1GijFm-1ij，（3.28）以及- 1） -在网格点ti，sjFm上计算同伦导数-1ij=M-1.下午-1F∞Xk=0vkipk，∞Xl=0vljpl！p=0。（3.29）n阶近似解由v（n）i=vi+nXm=1vmi（3.30）给出，我们计算方程（3.21）asEn的平方残差(h) =NXi=1“-λ+NXj=1GijFijv（n）#. （3.31）资产的价值hMint将该误差降至最低，给出了DHAM解v（n）i(h方程（2.11）的最小值。这个解可以看作是一个精确解的分段常数近似，对应于一系列VWAP执行，交易率为v（n）i。最后，预期清算成本（2.2）近似为cv（n）=NXi=1NXj=1v（n）如果v（n）jAij，（3.32），其中描述衰变核G（t）的Toeplitz矩阵的Aijare元素- s） Aij=0；j>i，Aii=Gii/2；Aij=Gij；J≤ i、 （3.33）3.3 DHAM结果我们在这里展示了由方程式（2.6）给出的在无动态套利区域使用DHAM获得的最优策略。我们详细分析了强非线性系统中γ=0.45和γ=0.5的值，即δ=0.5。我们考虑的情况是，要购买的数量为X=0.1，这可以解释为元订单执行，即购买可用数量的10%。我们使用N=100子区间的网格进行离散化，并在总执行量为X的1‰的限制条件下计算第7阶的解。如前所述，我们考虑两个初始猜测，即一个对应于VWAP预测，另一个对应于GSS解（2.8）。VWAP初始条件的结果如图3所示。