非线性瞬态市场冲击下的最优执行

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英文标题：
《Optimal execution with nonlinear transient market impact》
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作者：
Gianbiagio Curato, Jim Gatheral and Fabrizio Lillo
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study the problem of the optimal execution of a large trade in the presence of nonlinear transient impact. We propose an approach based on homotopy analysis, whereby a well behaved initial strategy is continuously deformed to lower the expected execution cost. We find that the optimal solution is front loaded for concave impact and that its expected cost is significantly lower than that of conventional strategies. We then consider brute force numerical optimization of the cost functional; we find that the optimal solution for a buy program typically features a few short intense buying periods separated by long periods of weak selling. Indeed, in some cases we find negative expected cost. We show that this undesirable characteristic of the nonlinear transient impact model may be mitigated either by introducing a bid-ask spread cost or by imposing convexity of the instantaneous market impact function for large trading rates.
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中文摘要：
我们研究了非线性瞬态冲击下大型交易的最优执行问题。我们提出了一种基于同伦分析的方法，通过这种方法，一个表现良好的初始策略会不断变形，以降低预期的执行成本。我们发现，对于凹形冲击，最优解是前置的，其预期成本显著低于传统策略。然后我们考虑成本泛函的蛮力数值优化；我们发现，购买计划的最佳解决方案通常以几个短时间的密集购买期和长时间的疲软销售期为特征。事实上，在某些情况下，我们会发现负的预期成本。我们表明，非线性瞬态影响模型的这种不良特征可以通过引入买卖价差成本或通过对大交易率施加瞬时市场影响函数的凸性来缓解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_execution_with_nonlinear_transient_market_impact.pdf (603.34 KB)

2022-5-7 06:23:10 上传

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关键词：非线性 Quantitative Conventional Optimization agent-based

具有非线性瞬态市场影响的最佳执行吉安比亚吉奥·库拉托、吉姆·加泰拉尔和法布里齐奥·利洛拉·诺莫拉·苏佩里奥雷，卡瓦列里广场7号，56126比萨，伊塔利巴鲁克学院，纽约城市大学，美国圣达菲研究所，1399海德公园路，圣达菲，新墨西哥州圣达菲，美国昆特拉布，途经皮特拉桑蒂纳123号，56122比萨，意大利12月17日，2014年摘要我们研究了存在非线性瞬态影响的大型交易的最优执行问题。我们提出了一种基于同伦分析的方法，即一个良好的初始策略不断变形，以降低预期的执行成本。我们发现，凹形冲击的最佳解决方案是前置的，其预期成本显著低于传统策略。然后我们考虑成本函数的数值优化；我们发现，买房计划的最佳解决方案通常包括几个短而密集的买房期和长时间的卖空期。事实上，在某些情况下，我们发现负预期成本。我们表明，非线性瞬时冲击模型的这种不良特征可以通过引入买卖价差成本或对大交易率施加瞬时市场影响函数的凸性来缓解。内容1引言32最优执行问题及其解决方案52.1线性市场影响的情况。62.2非线性市场影响的一般情况。72.2.1当氏定点算法。82.3微扰法。93同伦分析方法113.1非线性瞬态市场影响同伦。

133.2离散同伦分析方法。143.3 DHAM结果。164数值优化184.1激励示例。194.2数字成本最小化。204.3结果。214.3.1最低成本解决方案。224.3.2成本环境的特征。244.3.3单调策略。265规范解决方案275.1增加差价成本。285.2凹凸冲击。296结论31A附录34A。1当氏定点算法。34A。2同伦衍生物。361简介优化交易策略长期以来一直是金融市场投资者的重要目标。正如凯尔（Kyle）在近三十年前的线性均衡模型[55]中所展示的那样，对于拥有资产基本价格内幕信息的投资者来说，最佳策略是随着时间的推移进行增量交易。这种策略允许交易者最小化成本，同时最小化向市场其他部分披露信息的可能性。拆分大订单（此处称为元订单）[56]的最佳方式取决于目标函数和市场影响模型，即。

价格的变化取决于签署的交易规模。部分原因是交易所的全自动化趋势日益增强，部分原因是金融市场微观结构的新统计规律的发现，最优执行问题正日益受到学术界和实务界的关注[3,26]。正如Gatheral等人[23]所指出的，第一代市场影响模型[12,7,8,9]区分了两个影响因素。第一部分是暂时的，只影响触发它的个别贸易。第二个组成部分是永久性的，对所有当前和未来的交易都有同等的影响。这些模型可以是离散的，也可以是连续的，并且可以假设单个交易的线性或非线性市场影响。第二代市场影响模型侧重于市场影响的暂时性[15,41,13,26]。在ch模型中，市场影响通常被假定为两个组成部分：瞬时市场影响和衰减部分。瞬时分量模拟了价格对交易量的反应。衰减成分描述了订单执行后市场价格如何在平均水平上放松。在这样的模型中，每笔交易都会影响未来的价格动态，其强度随时间衰减。在最近的一系列研究中，考虑了存在瞬态冲击时的最优执行问题。在线性瞬时市场影响[23,5,19]的情况下，通过证明成本最小化问题等价于求解积分方程，问题已经完全解决。尤其是Gatheral等人[23]证明了最优策略可以被描述为第一类Fredholm积分方程的测度值解。

它们表明，当价格影响作为时间的凸函数衰减时，最优策略总是存在的，并且在买入和卖出交易之间不会发生变化。这扩展了阿方西等人[6]关于不存在交易触发的价格操纵的结果，即通过中间买入（卖出）交易降低卖出（买入）计划预期执行成本的策略。然而，一系列实证研究[34,15,10]清楚地表明，瞬时市场影响是交易量的一个强凹函数，很好地近似于幂函数。在存在非线性和瞬态冲击的情况下，由此产生的最优执行问题在数学上比线性情况复杂得多。在本文中，我们考虑了这个优化问题，并提出了几种寻找最优解的方法。Gathereal[26]建立了非线性瞬态情况下的一些重要结果，表明在某些条件下，该模型允许价格操纵，即存在具有正预期收益的往返策略。当然，在建立市场影响模型时，应该避免使用这种货币机器。特别是Gatheral为不存在价格操纵设定了一些必要条件（详情见下文）。Dang[21]最近向解决非线性瞬态冲击下的最优执行问题迈出了一步。在他的论文中，Dang提出了一种将成本最小化问题转化为非线性整体方程的方法，并提出了一种基于离散化传统时间间隔的数值定点方法来求解该方程。

正如我们在下面详细讨论的那样，我们发现当影响的非线性程度显著和/或离散化网格足够精细时，Dang的定点法存在收敛问题。本文提出了两种求解非线性瞬态冲击下最优执行的方法。第一种方法基于同伦分析法（HAM）[33,30,31]，适用于Dang[21]提出的积分方程的离散版本。该方法从初始猜测开始，并不断对其进行变形，以便找到积分方程解的越来越好的近似值。在这样做时，我们隐含地将解的空间限制为交易率的连续非方差函数。我们发现最优解是一个非时间对称的U形；在凹（凸）瞬时冲击的情况下，最好在元订单的开始（结束）进行更多交易。比较成本分析表明，我们的解决方案优于传统策略。再一次，HAM方法只探索可能解的一个受限子空间。因此，在本文的第二部分中，我们考虑了离散网格上的全数值成本优化方法。通过使用序列二次规划（SQP），我们直接最小化成本函数（即，我们不尝试求解积分方程）。我们发现，海岸景观崎岖不平，即由大量由山峰分隔的局部极小值组成。这些最小值中有大量对应于成本相似的策略；对于购买计划，相应的策略是交替进行密集和短暂的购买周期和长时间的疲软销售。

换句话说，该模型承认交易触发的价格操纵。更重要的是，当非线性很强和/或划分很明确时，一些这样的策略会产生负的预期成本，这表明该模型允许价格操纵。然后，我们通过最小化成本函数进一步扩展了我们的分析，并附加了一个额外的约束，即所有交易都应该具有相同的符号，例如，在执行abuy元订单期间，不允许销售。这种情况需要一种无导数的优化方法。通过使用一种直接搜索方法，即生成集搜索（GSS）方法，我们发现正的预期执行成本和稀疏最优策略，即在高交易率下进行少量交易是最优的，其间穿插着长时间的不交易。为了消除负成本解决方案，我们提出了两种规范化模型的方法，一种是基于增加差价成本，另一种是基于对瞬时影响函数的修正。在后一种情况下，对于足够高的交易率，函数变得凸。这两种方法都成功地避免了负成本的解决方案，并且明显反映了真实市场的特征。论文的结构如下。在第2节中，我们陈述了这个问题，并解释了为什么它很难解决。我们还简要总结了我们关于危险定点法收敛性的结果。在第3节中，我们介绍了成本最小化问题的HAM方法，在第4节中，我们介绍了成本函数的SQP和直接搜索蛮力最小化的结果。第5节介绍了两种建议的正则化方法。

在第6节中，我们进行总结。2最优执行问题及其求解当价格为s（0）=SisS（t）=s+Ztf（˙x（s））G（t）时，从t=0开始执行的订单价格s（t）的非线性瞬态市场影响模型- s） ds+ZtσdW（s），（2.1），其中˙x（s）是交易率，即在时间s<t时，单位时间内的股票数量，f（˙x（s））代表时间s时交易的影响，G（t- s） 描述了影响衰减。最后，σ是波动率，W（t）是维纳过程。因此，S（t）遵循一个算术随机游走，其漂移取决于之前交易的累积影响。我们称f（·）为内在市场影响函数，称G（·）为衰减核。在离散时间内，这是Bouchaud等人最初开发的传播子模型[15,14]；上述连续时间公式（2.1）由Gatheral[26]提供。最近，Bacry等人[10]展示了形式（2.1）的市场影响模型如何与使用Hawkes过程的订单流的更基本描述相关。最优执行问题在于找到交易策略∏={x（t）}t∈[0，T]这使得给定总交易量X的股票的执行成本最小化。与给定策略∏相关联的预期成本C[π]由C[π]=E给出ZT˙x（t）（S（t）- S） dt=ZT˙x（t）Ztf（˙x（s））G（t）- s） ds dt，（2.2）和所有股票都应该交易的约束条件是，预期成本的表达式（2.2）对应于预期的执行差额。我们寻找一个静态最优策略。当成本仅通过rts（t）˙x（t）dt这一项取决于股票价格时，静态最优策略也是动态最优的，S（t）是鞅[43]。

因此，对于（2.1）的模型和（2.2）描述的成本函数，静态最优策略也是动态最优的。在时间t交易的˙x（t）dt股票按预期价格（t）=S+Ztf（˙x（S））G（t）交易- s） ds，（2.4）表示截至时间t之前的前期交易的累积影响。方程式（2.1）的影响模型完全由函数f和G的形式确定。大量经验证据指出了关于这两个函数形式的两个经验事实。首先，瞬时冲击函数f（·）是强凹函数。例如，Lillo等人[34]在纽约证券交易所大量股票样本的基础上观察到交易量的凹函数。凹函数符合幂律，小体积指数为0.5，大体积指数为0.2。Bouchaud等人[15]分析了在巴黎证券交易所交易的股票，发现alogarithmic形式对数据的拟合最好。此外（例如在[15]中），发现衰变核（·）作为幂律函数g（τ）渐近衰变~τγ. （2.5）这些非线性的存在提出了可能存在价格操纵的问题。操纵有不同的形式。[25]之后，我们将价格操纵定义为预期成本为负的往返交易。如果对于任何往返交易，即RT˙x（t）dt=0的策略，预期成本为非负，则影响模型不受价格操纵。根据[24]的命题1，方程（2.1）的模型允许在非线性情况下进行价格操纵，除非衰减核G（τ）在τ=0时是奇异的。基于这些原因，我们将重点分析G（t）形式的衰变核- s） =（t）- （s）-γ. 此外，正如Gatheral[26]所示，不操纵价格的要求限制了瞬时冲击和衰减核的可能连接形式。

具体而言，对于幂律影响函数，f（˙x）∝ 符号（˙x）x |δ和幂律核G（t）- s） =（t）- （s）-γ、 下列条件γ+δ≥ 1, γ ≥ γ*= 2.-日志3日志2 0.415（2.6）是不存在价格操纵的必要条件。在本文中，我们总是考虑满足上述条件的参数δ和γ。然而，如果满足这些条件，则无法保证影响模型不允许价格操纵。在本文的后面，我们将证明上述条件确实不足以阻止价格操纵。与本文相关的一种较弱的价格操纵形式是[6]中定义的交易触发的价格操纵。当买入（卖出）计划的预期收入可能通过中间卖出（买入）交易增加时，就会发生这种情况。2.1在线性市场影响的情况下，在等式（2.3）的约束下，最小化等式（2.2）的预期成本的优化问题在线性影响的情况下，f（˙x）∝ ˙x，已得到解决和广泛研究[23]。在下文中，我们使用符号v（t）表示交易率˙x（t）。特别是命题22。参考文献[25]第9条指出，如果G是正定义，那么x（t）最小化预期成本，当且仅当λt、 x（t）solvesZTG（|t- s |）dx（s）=λ（2.7）作为与本文相关的一个重要例子，是G（t）情况- s） =（t）- （s）-γ，其中积分方程（2.7）变成了解为v（t）=c[t（t）的阿贝尔方程- t） ]1-γ、 （2.8）式中，c由约束方程（2.3）asc=X唯一确定/√πTγΓ ((1 + γ) /2)Γ (1 + γ/2), （2.9）式中，Γ（·）是欧拉伽马函数。该解在时间反转下是U形对称的，即v（t）=v（t- t） ，t∈ [0，T/2]。