非线性瞬态市场冲击下的最优执行

左面板显示，7次迭代的最小平方残差在h = -60.3. GSS初始条件的结果如图4所示，其中，在h = -55.7（左面板）。两个图的右侧面板显示了不同近似项vi（i=1，…，7）以及通过对这些项求和得到的第七阶近似解v（7）的交易价格。值得注意的是，高阶项变得越来越小。在这两种情况下，DHAM近似解相对于时间反转是不对称的；最好在交易期开始时交易速度更快，结束时交易速度较慢。这与我们之前在第2.3节中关于线性影响的小偏差的发现一致。最后，值得注意的是，这两个不同的初始条件导致了非常相似的近似解。事实上，如果我们排除最后一个离散点（t=t），两个文件之间相对差异的最大值约为8%，但等式（3.32）给出的预期清算成本的相对差异仅为0.5%。我们现在讨论的是，就预期清算成本而言，DHAM执行相对于VWAPA和GSS执行的优势。三种策略的预期清算成本VWAP执行的成本为CV W AP=X f（X）T（1-γ)/ ((1 - γ) (2 - γ)).-100-50 0-6.-5.-4.-3.-2.-10英寸hlog10E70 0.5 1-2024681012x10-3时间体积v0=V W APV1V2V3V5V6V7V（7）=P7i=0V图3：残差平方E的对数(h) 如左面板所示，为h = -60.3其中E=2.5×10-6.

VWAP初始猜测和DHAMsolution分别由一条带圆圈的绿线和一条带圆圈的蓝色虚线报告在右面板上，还报告了七个变形方程的结果。如表1所示，其中我们考虑γ=0.45和0.5以及δ∈ [1/2, 1]. 正如预期的那样，接近线性情况（δ=1），DHAM和GSS之间的成本差异可以忽略不计。有趣的是，VWAP策略明显不同于GSS，其成本在本质上是相等的。因此，在线性情况下，复杂执行策略相对于简单的VWAP的优势非常小。相反，当我们朝着强非线性系统，即δ移动时≈ 0.5时，DHAM解决方案的成本最低，而最差的策略是VWAP。从表1可以看出，DHAM相对于GSS的改善远大于GSS相对于VWAP的改善。例如，对于δ=γ=0.5，DHAM的成本比GSS低20%，而GSS的成本仅比VWAP低1%。总之，使用DHAM方法的解决方案显示出与线性情况下相同的时间不对称性，即δ=1，可以找到成本低于GSS策略的DHAM策略。这只是一个数字工件，因为这里我们实现了GSS策略的离散化版本（2.8）。我们计算GSS的常数分段近似的成本。然后，将该近似值用作DHAM解的初始猜测。

在线性情况下，当N inc的价值增加时，近似GSS和DHAM策略的成本相等。-100-50 0-5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1\'hlog10E70 0.5 1-2024681012x10-3时间体积v0=GSSV1V2V3V5V6V7V（7）=P7i=0Vi图4：残差平方E的对数(h) 如左面板所示，为h = -55.7其中E=3.2×10-6.GSS初始猜测和DHAMsolution分别在右面板上以带圆圈的绿色实线和带圆圈的蓝色虚线报告，还报告了七个变形方程的结果。使用一种简单的微扰方法发现。更重要的是，DHAM方法允许我们在强非线性状态下计算最优策略，实现预期的执行成本，其显著小于通过VWAP或GSS解决方案获得的成本。然而，一旦发生，DHAM解不一定对应于成本泛函（2.2）的全局最小值，因为它是一个连续且正的初始猜测的连续变形。为了找到潜在的低成本策略，在第4节中，我们将解决成本函数的直接数值最小化问题。4数值优化在本节中，我们研究一般分段不变策略类中的成本优化问题。

在这种情况下，基因ral意味着这些策略不一定是时间的连续函数的变形，例如可以通过同伦方法获得的变形。为此，我们严格按照第3.2节的规定对区间[0，T]进行离散化，并将交易利率的成本函数（3.32）最小化，以总数量VWAP GSS DHAM VWAP GSS DHAMδγ=0.45γ=0.45γ=0.45γ=0.5γ=0.5γ=0.51.0.0117 0.0116 0.0116 0.0133 0.0132 0.01310.95 0.0132 0.0130 0.0130 0.0130 0.0130 0.0150 0.0148 0.0190.014800.018 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0376 0.0372 0.03230.50 0.0422 0.0417 0.0347表1：三个项目的成本在γ=0.45,0.5的无动态套利区域中，VWAP、GSS和DHAM的不同策略。黑体数字表示实现最低预期成本的策略。预期成本之间的差异随着非线性程度的增加而增加。在每种情况下，我们使用GSS初始猜测来获得DHAM解。交易应为X。回想一下，当瞬时冲击函数为线性时，即f（v）∝v、 成本降低为N维二次型。在非线性情况下，数值最小化涉及找到N个变量的复杂非线性函数的极值。Webegin在第4.1节中介绍了一个激励性玩具示例，该示例演示了非线性、间接的市场影响函数f如何导致交易触发的价格操纵，即最优策略，即在购买计划中，在某些子区间销售是最优的。

在下面的小节中，我们考虑一般情况。4.1一个激励性的例子在这里我们表明，对于非线性市场影响函数，decaykernel G（τ）上的凸性条件不足以确保所有值γ+δ都不存在交易触发的价格操纵≥ 1，即无动态套利参数区。我们在N=2的最简单情况下说明了这个概念，其中执行由两个间隔VWAP组成。设置t=1，预期清算成本（3.32）变为c[v，v]=（1- γ) (2 - γ)2.-γvf（v）+vf（v）+2.-γ- 2.vf（v）. （4.1）当f（v）∝ v、 （4.1）简化为二维抛物面的公式。施加约束v+v=2X，问题就简化为与v有关的最小值。在图5中，γ=0.5，X=0.1，我们绘制了C[v，v]与vf的δ的各种值。我们观察到，对于δ<1，代价函数有两个局部极小值，一个是vand的正值-0.2-0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.15 0.20.010.020.030.040.050.060.070.080.09v1C[v1，2X- v1]δ=0.5，γ=0.5δ=0.6，γ=0.5δ=0.7，γ=0.5δ=0.8，γ=0.5δ=1，γ=0.5图5：成本函数C[v，2X-v] 对于X=0.1，γ=0.5。蓝色图形表示δ=0.5，绿色表示δ=0.6，红色表示δ=0.7，青色表示δ=0.8，紫色表示δ=1，其中最小值由v=X给出。在非线性情况下，有两个局部最小值。一个表示负v值。当δ&0.56时，全局最小值为v>0，而δ为。0.56当v为负值时，会达到全局最小值。因此，如果影响函数是强非线性的，我们可以通过中间出售交易降低购买计划的预期成本，即存在交易触发的价格操纵。注意，如果我们施加v≥ 0，我们有一个边界解，即。

最好不要在第一个区间交易，而是在第二个区间交易整个订单。我们观察到在无动力碳氮化区γ+δ边界附近的所有参数值都存在这种行为≥ 1，即在强非线性区域。这个简单的例子还表明，在强非线性机制下，如果是买入计划，最好在交易期的前半段卖出，然后在下半段买入。在下一节中，我们将从数值上说明当N较大时，这种影响会加剧。4.2数值成本最小化在一般情况下，我们对N个变量vi定义的成本函数进行非凸约束优化。线性市场影响情况，即δ=1，是一个凸优化问题，而在非线性情况下，成本函数不是凸的，因此我们需要诉诸数值方法。我们使用了两种不完全方法，即我们不能确定地达到全局最小值。第一种方法基于序列二次规划（SQP）算法。这是数值求解约束非线性优化问题（NLP）最成功的方法之一。它是一个迭代过程，通过二次规划（QP）子问题对agiven迭代的NLP建模，然后使用该解构造新的迭代。然后保证收敛到局部极小值。我们使用Matlab中简化的routinesimplemented[37,38,39]。当我们在所有交易都应具有相同符号的约束条件下搜索策略时，基于导数的分析算法（如SQP）可能会在由vi=0定义的状态空间的超平面上失败，其中成本函数的导数会发生分歧。对于这种情况，我们采用了基于直接搜索方法的第二种方法，即生成集搜索（GSS）算法[29,28]，在Matlab中实现。

这种方法不需要计算代价函数的导数，因为它直接搜索代价降低的空间方向。当搜索接近可行区域的边界时，搜索方向集必须包括符合边界几何结构的方向。正如预期的那样，GSS算法比SQP算法的计算成本更高。我们采用多重随机启动方法，包括在方程（3.26）定义的超平面上选择随机启动点（交易总量的约束），并从这些点开始执行局部SQP和直接搜索优化。然后我们研究不同极值点之间的差异，研究它们是否是局部极小值，然后在这些极值中选择代价最小的解。同样，也不能保证这与全球最小值相符。4.3结果我们尝试了初始点的不同分布（例如，超平面上具有各种参数的狄里克莱分布），但我们发现所有情况下的结果在质量上都相似。我们用1000个均匀分布在超平面上的起始点来说明N=100和γ=δ=0.5，γ=0.45，δ=0.55的这种程序的遗传详细结果。该数值分析强调了受交易量约束（3.26）影响的预期成本函数（3.32）的三个主要特征：（i）它有许多局部极小值，（ii）有许多极小值，其中一些vi<0，以及（iii）购买计划的最佳成本可以假定为负值。我们首先考虑用我们的数值方法得到的解中成本最小的解的性质，然后研究景观的性质和次优解的特征。

最后，在第4.3.3节中，我们描述了带有附加约束的优化结果≥ 0（对于购买元订单）。我们证明了在这种情况下，当模型是强非线性时，最优交易策略是稀疏的，也就是说，在很少的强度下交易是最优的。4.6）n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n.5γ=0.5γ=0.5γ=0.5 5γ=0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0.0.0 0 0.0.0 0.0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0.0116 0.0 0 0.0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0227 0.0169 0.02020.70 0.0218 0.0117 0.0184 0.02490.0163 0.02200.65 0.0235 0.0092 0.0191 0.0274 0.0146 0.02380.60 0.0251 0.0047 0.0201 0.0297 0.0120 0.02450.55 0.0275 -0.0029 0.0212 0.0323 0.0075 0.02620.50 0.0347 0.0003 0.0278表2：三种不同策略的成本，DHAM、SQP和在无动力过滤区域直接搜索γ=0.45,0.5。黑体字数字表示实现最低预期成本的策略。预期成本之间的差异随着非线性程度的增加而增加。在每种情况下，我们都使用GSS初始猜测来获得DHAM解。我们使用n=100子区间的离散化，使用1000个起始点执行SQP和直接搜索优化。4.3.1最小成本解决方案在图6中，我们使用数值最小化程序绘制了与成本函数的全局最小值对应的购买计划的最佳交易价格。我们观察到，每个子区间的最佳交易量随时间变化非常不规则。成本最小化的解决方案包括一系列激烈但短暂的购买，由长周期分隔，此时最好是缓慢销售。

显然，最优解决方案允许事务触发操作，如上面分析的toy N=2案例中所示。接近最优的策略在质量上是相似的，但它们的峰值位置可能非常不同。作为一个例子，在图7中，我们绘制了当γ=0.5和δ=0.5时四个成本最低的解决方案。所有这些都以几次强烈的正峰值为特征，由滞销期隔开。但这些解决方案在大量购买的情况下有所不同。为了量化这些解决方案之间的差异，我们计算了它们之间的欧几里德距离，包括一个简单的VWAP策略供参考。得到的距离矩阵是isD=0 0.0780 0.0753 0.0890 0.06170.0780 0 0.0757 0.0757 0.05820.0753 0.0757 0 0.0799 0.05810.0890 0.0757 0.0799 0 0.05760.0617 0.0582 0.0581 0.0576 0,其中第五行和第五列指的是VWAP。我们注意到所有的距离都非常相似。然而，引人注目的是，图7中任何两个SQP策略之间的距离都大于0.5 100.0050.010.0150.020.0250.03时间量0.5 100.010.020.030.04时间量γ=0.5，δ=0.5γ=0.45，δ=0.55图6：购买程序的SQP算法给出的最优解，其中X=0.1，即单一市场量的10%。我们报告每个时间间隔内的交易量，即viT/N。其中任何一个到一个简单VWAP的距离；通常有多种策略，在不同的时间发生突发事件，但预期成本相似。在表2中，我们报告了各种成本最小化解决方案的成本。

我们观察到，在γ=0.45，δ=0.55的情况下，SQP解决方案的预期成本接近于零，甚至为负。为了进一步探索这种不良行为，在图8中，我们绘制了不同γ值的预期最小成本，作为δ和N=100（顶部面板）以及N=150（底部面板）的函数。首先，我们观察到成本不是δ的单调函数。其次，当γ<0.5的N=100时，我们发现δ的状态，其预期成本为负。随着离散化程度的增加，这种影响变得更加强烈。事实上，当N=150时，即使γ=0.5，也有可能找到δ的值，其最小成本为负。负预期成本是价格操纵可能性的标志。事实上，如果市场影响完全是暂时的，没有永久性的成分，就像在考虑中的模型中那样，那么就有可能设计出一种具有正（预期）收入的往返策略，即一台奇妙的货币机器。因此，我们无法回避这样一个结论，即f（v）=vδ，δ<1的非线性瞬态冲击模型（2.1）是错误的，因为它允许套利机会。0.5 100.010.020.03timevolume 0.5 100.010.020.03timevolume 0.5 100.010.020.03timevolume 0.5 100.010.020.03timevolume C1=0.0003C2=0.0005C3=0.0006C4=0.0007图7:SQP算法为购买计划给出的四个最低成本解决方案，其中X=0.1，即γ=0.5，δ=0.5的单一市场容量的10%。我们报告了在每个时间间隔内进行分级的数量，即viT/N。成本在插图中报告。4.3.2成本景观的特征我们现在调查要最小化的成本景观的结构和极端景观的属性。我们发现了大量不同的极值点。