非线性瞬态市场冲击下的最优执行

当凸项的大小增加时，即随着d的增加，交易率降低。预期执行成本见表3。第一种。为了求解具有该约束的最优执行策略，我们提出了一种离散同伦分析技术。通过构造初始猜测的连续变形（如VWAP）来获得解。我们已经证明，用这种方法找到的最优解不是时间反转对称的，而是在凹形市场冲击的情况下的前置。我们的预期成本分析表明，此类解决方案的表现远远优于VWAP等传统执行策略。积分方程法只能找到成本函数的局部极小值。为了寻找全局最小值，我们对代价函数进行了直接数值最小化。从我们使用SQP全局优化技术进行的分析中，我们发现离散成本函数呈现出崎岖不平的地形，许多局部极小值被峰值隔开。全局最小值（以及其他许多次优最小值）对应于交替买卖的策略，因此允许交易触发的价格操纵。特别是，对于买入计划而言，最佳解决方案包括短期高利率交易，以及长期低利率抛售。更糟糕的是，当非线性很强且离散化非常精确时，我们会发现负执行成本。结合我们模型中市场冲击的瞬态特性，这意味着具有纯幂律凹形冲击的非线性瞬态冲击模型允许价格操纵，即。

绕着三圈。5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-50510x10-3δCγ=0.42γ=0.44γ=0.46γ=0.48γ=0.50.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10.020.0250.030.035δCγ=0.42γ=0.44γ=0.46γ=0.48γ=0.5图13：购买程序的SQP算法给出的最优解的成本，其中x=0.1，即市场容量的10%，N=100个子区间，以及上下凹凸函数（d=0.1）。我们使用1000个起点进行每次优化，只考虑（2.6）定义的无动态套利区域中的参数。我们观察到，持有γ固定的预期成本不是δ的单调函数。对于d=0.1，观察到任何γ值的负成本，而对于d=1，我们没有观察到负成本。由于预期收入为正，因此不考虑实际使用这种模型。特别是，这表明[26]中没有价格操纵的条件（2.6）是必要的，但不是有效的。我们还研究了在买（卖）计划中不允许销售（买）的最优单调策略。这种优化是通过一种无导数的直接搜索方法，特别是生成集搜索算法来执行的。在这种情况下，我们消除了交易触发的价格操纵，我们不再看到负的预期成本，并相应地优化了策略。换言之，最好是在几次密集的交易中进行交易，其间有长时间的不交易。最后，我们提出了两种规范化瞬态影响模型的方法，这两种方法都反映了在模型的简单版本中被忽略的市场的重要特征。在第一种方法中，我们添加了价差成本，有效地执行了Lor套索正则化，这将为购买计划带来负面交易。

在交易成本足够高的情况下，最优执行策略不再表现出负的预期成本，最优购买策略变得稀疏而突然，几分钟的强正交易被零或轻微负交易分隔开来。在第二种方法中，我们在市场影响函数中添加了一个凸组件，这使得以高交易率进行交易的成本非常高。我们观察到，如果凸分量足够大，负的预期执行成本将再次消除。我们的结果表明，仍然缺乏一个完全令人满意的市场影响模型，该模型不存在价格操纵，并且与实证观察结果一致，为未来的研究留下了一个富有成果的领域[22]。感谢Dario Trevisan关于变分法的有益讨论。这项研究得到了汇丰控股有限公司的部分支持。附录。1 Dang的定点算法在本节中，我们分析Dang[21]提出的迭代方案，通过求积方法找到方程（3.21）的数值解。Dang考虑幂律冲击函数f（v）=符号（v）|v |δ，其中δ>1。如果我们想研究δ<1的情况，我们应该找到一种方法来处理f′（v）的有限一阶导数v=0的问题。我们定义了市场影响函数^f（v）^f（v）=符号（v）（+|v |）Δ^f′（v）=δ（+|v |）δ的微扰形式-1（A.1），其中扰动由参数0<给出<< 1.通过这种方式，交易率可以假设R上的任何值。我们搜索方程（3.21）的解vi（），其扰动接近于零，即≈ 0.Dang从方程（3.21）中定义一个非线性映射，并从初始猜测vi开始搜索映射的固定点。

这意味着我们有一系列近似解vi，vi，vi，··，收敛到地图的固定点是收敛迭代方案的必要条件[11,17]。迭代方案由TaylorexpansionFij（vm）定义≈ 菲吉虚拟机-1.+vmj- 虚拟机-1jF’ij虚拟机-1., （A.2）我们使用了不同的离散化方法来近似积分方程，包括Dang使用的productNystrom方法[44]。我们发现，我们的结论并不取决于所使用的离散化类型。其中f′ij（v）=（^f′（vj），如果j≤ i^f′（vi），如果j>i（A.3）是方程（3.22）中Fij（v）相对于vj的导数。在Dang之后，我们为每一次迭代求解以下线性系统：Kvm=~c.（A.4）。这定义了一个非线性映射Mvm=K-1.虚拟机-1.~c虚拟机-1.= M虚拟机-1., （A.5）其中kij=GijF′ij虚拟机-1.,~ci=λ-iXj=1Gij菲吉虚拟机-1.-虚拟机-1jF′ij虚拟机-1.. （A.6）我们搜索的解决方案是地图M的固定点，即v*= M（v）*), 如党[21]所言。从最初的猜测开始，我们寻找一个值“m”，其中N维向量vm是m>m的常数向量。一个简单的标量控制是否已达到固定点是平均值，定义为“vm=1/NPNi=1vmi”。为了实施一个程序，确定满足交易总量约束（3.26）的λ值，平均场v也很有用。很明显，对于一般的动态系统，恒定平均场v的条件不能保证固定点的存在，因为也可能存在更复杂的吸引子e。G一个混沌吸引子，其中平均场是常数。在这里，我们只想研究一个必要条件，以便找到非线性映射M的固定点。此外，需要注意的是，映射M的演化不满足方程（3.26）的约束，即。

如果初始点vis在超平面上，当我们迭代映射M时，它可能会超出它。这就是我们应该调整常数λ的原因，以便在一定精度内满足我们的约束。Dang提出的初始猜测vi=v，i、 是一个常数向量，其分量由vf′（v）NXj=1G1j=λ给出。（A.7）原则上，固定点可能取决于我们选择作为解决方案初始猜测的起点V。我们在这个初始猜测的基础上增加了一组均匀分布的初始猜测，在这里我们可以观察到我们的DHAM方法和Dang的定点方法之间的根本区别。DHAM方法基于这样一个观察，即这个动力系统必须被视为一个二维系统；相比之下，Dang开发了一种方法，该方法在tradingrate v.simplex的过去和现在的值之间缺乏相互作用，无法调查不同吸引子的存在。该方法的收敛性由两个参数决定：N和δ。我们对Dang的定点法的收敛性进行了广泛的分析。收敛标准是平均场的相对标准偏差低于某个阈值，通常为10-9.γ=0.5和=0的分析结果如图1所示，但对于的较小值，也得到了类似的结果。我们观察到，当N增加时，收敛的δ值集减小，也就是说，我们有一个δ分钟，在这个δ分钟内，程序不收敛，也就是说，我们没有找到地图M的固定点，见图1。当程序收敛时，解不依赖于初始猜测，即地图M只有一个吸引盆地。此外，收敛速度非常快，在地图的几次迭代中达到固定点。

然而，随着N的增加，Dang的算法只在弱非线性情况下收敛。鉴于我们对Dang算法确实收敛的情况的关注，使用Dang算法获得的解与使用我们提出的DHAM和SQP方法获得的解相比如何？在图14中，我们报告了非常弱的非线性情况的结果，其中n=100，T=1，X=0.1，γ=0.5，δ=0.95，=10-6.我们发现，在这种情况下，Dang方法收敛得非常快（右图），并且该解基本上与使用DHAM方法得到的解一致（左图）。使用SQPalgorithm的数值优化解是振荡的，在正交易率和负交易率之间交替。总之，Dang的算法仅在弱非线性和/或时间间隔的离散化非常粗糙的情况下收敛。当Dang方法收敛时，解与本文提出的DHAM方法得到的解非常接近。然而，Dhamap方法不仅适用于Dang算法收敛的弱非线性区域，而且适用于强非线性区域。A.2同伦导数如第3节所述，所谓同伦导数用于推导方程（3.8）中大于一阶的变形方程，即计算m>1时的vm。这样的计算很困难，因为它们依赖于非线性算子N。对于我们的问题，我们需要计算幂律函数的同伦导数。具有整数指数的非线性幂律函数，即f（φ）=φk，k∈ N，由Molabahrami和Khani[40]研究，以找到Burgers-Huxley方程的近似解。Wang等人[50]研究了真实幂律指数的情况，分析了幂律流体膜在不稳定拉伸表面上的流动。

我们的例子（2.12）比简单的幂律函数更复杂。Turkyilmazoglu[48]和Liao[33]给出的最新结果显示了如何计算任何光滑函数的同伦导数。同伦导数edm[f（φ）]=（1/m！）mf（φ）/pmi由递推关系dm[f（φ）]=m给出-1Xk=01.-公里Dm-k[φ]φDk[f（φ）], （A.8）0.5 1-0.500.511.522.533.5x 10-3第0 10 20 30 40 500.09980.09980.09990.09990.10.10.1001m次迭代“VSQPDHAM固定点图14：左面板。弱非线性区域中使用危险定点法、DHAM和theSQP法的最优解：γ=0.5，δ=0.95，N=100，T=1，X=0.1。右面板报告了定点法的平均场vm与aVWAP初始猜测和λ=2.87的快速收敛* 10-3.请注意，初始猜测超出了迭代过程开始时的限制。在p=0时进行评估。该和由两个同伦导数项组成。第一个是虚拟机-k、 第二项给出了向量的多项式项，它乘以fi（v），i=1，····，m，在初始猜测时计算的导数。如果市场影响函数f的形式为f（v）∝ 当δ<1时，所有这些导数在v=0时发散。如第3节所述，我们通过选择初始猜测是时间的严格正（或负）函数来避免这个问题。使用它们- 方程（A.8）的一阶在方程（3.9）中，我们可以将第m个同伦导数表示为前m个同伦导数的复杂函数- 1.衍生产品。为了在HAM框架中处理方程（2.12）的非线性，我们需要进一步的步骤。交易利率的过去值和未来值之间的耦合意味着我们必须将我们的问题视为一个二维系统。

这意味着我们使用由两个变量[33]描述的系统的同伦导数，例如u和w，其中我们在它们之间有一个非线性耦合，由f（u，w）Dm[f（φ，ψ）]=m给出-1Xk=01.-公里嗯-kDkf（φ，ψ）φ+1.-公里西医-kDkf（φ，ψ）ψ, （A.9）其中φ，ψ分别是u，w的麦克劳林级数。因此，假设方程（2.12）的表达式为F（v（s），v（t）），我们可以使用方程（A.9）并选择一个具有给定符号的函数作为初始猜测，将HAM应用于我们的最优执行问题。参考文献[1]Abbasbandy，S.，Shivanian，E.，Vajravelu，K.，数学性质h-同伦分析法框架中的曲线。诺林耳损伤。数字。模拟。16(2011) 4268–4275.[2] 《非线性分析法》（Abbasah，2010年）第11期，Kawrea-307页。[3] Abergel F.，Bouchaud J.-P.，Foucault T.，Lehalle C.-A.，Rosenbaum M.，市场话筒结构：面对许多观点（威利金融系列，帕德斯托，康沃尔，英国，2012）。[4] 《粘弹性流体的磁流体动力学流动》，阿基耶尔迪兹，F.T.，K.金刚拉维鲁，PhysicsLetters a 372（2008）3380–3384。[5] Alfonsi，A.，和Schied，A.，通过singularcontrol实现完全单调核的电容测量，暹罗J.控制优化M.51（2013）1758–1780。[6] A.阿方西、A.希伊德和A.斯林科著，《订单弹性、价格操纵和正向投资组合问题》，预印本可在SSRN（2009）上获得。[7] R.阿尔姆格伦和N.克里斯，《清算中的价值》，风险12（1999）61-63。[8] R.阿尔姆格伦和N.克里斯，《投资组合交易的最佳执行》，J.风险3（2000）5-39。[9] 阿尔姆格伦，R.，具有非线性影响函数和交易增强的最优执行，应用。数学

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