非线性瞬态市场冲击下的最优执行

Jarque Bera和卡方拟合优度检验不能在5%显著水平上拒绝两个数据集中局部极小值成本分布的高斯假设。因此，我们找到了大量在预期成本方面非常相似的极端点。正如预期的那样，随着市场影响函数变得更加线性，局部极小值成本的标准偏差降低。同样，当模型变为线性时，局部极小值之间的欧氏距离减小。一般来说，许多极小值的存在可能会反映数值误差，或是一个具有多个极小值的景观。第一种情况经常发生在景观杂乱无章[18,51]的情况下，即存在变量空间的方向，其成本基本不变。Rosenbrock函数给出了这种行为的一个众所周知的例子，其中Jarque Bera测试给出了γ=δ=0.5情况下的p值=0.22，而cas eγ=0.45，δ=0.5情况下的p值=0.49。卡方拟合优度检验给出了γ=δ=0.5情况下的p值=0.36，γ=0.45情况下的p值=0.93，δ=0.55.0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-505101520x10-3δCγ=0.42γ=0.44γ=0.46γ=0.48γ=0.50.50.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02δCγ=0.42γ=0.44γ=0.46γ=0.48γ=0.5图8：通过SQP最小化获得的非线性瞬态冲击模型的最佳成本。我们考虑一个购买计划，其中X=0.1，即单一市场交易量的10%，以及N=100（顶部）和N=150（底部）子区间的细分。我们在每次优化中使用1000个起点。我们只考虑无动态套利区中的参数。

保持不变，相对于全局极小值的成本不是δ的单调函数。全球极小值位于一个狭长的抛物线形山谷中。草率可能会导致难以找到全局最小值，因为在很多方面，成本函数是最明显的。或者，地形可能崎岖不平，许多局部极小值被局部山峰隔开。崎岖的地形吸引了物理学[54]、进化生物学[53]和计算机科学的关注。一个崎岖景观的例子是考夫曼的自然景观[54]。自旋玻璃哈密顿量的局部最小能量分布用反常分布描述。为了区分这两种选择，并描述成本状况，我们进行了两种类型的分析。首先，我们应用二阶条件来测试找到的极值中哪些是实际最小值，而不是鞍点。我们对SQP算法找到的局部极小值进行二阶导数测试。在约束优化的情况下，最小值的二阶有效条件可以用边界Hessian[20,36]的行列式形式表示。我们报告了凹形碰撞情况下的详细分析，当我们选择N=100时。我们对凹凸碰撞（见下文）案例重复了这一分析，定性地得出了相同的结果。我们的优化程序从1000个初始点开始，所以我们在SQP算法收敛的最终点上计算上述测试。对于无套利区域中参数δ和γ的任何值，超过95%的极值点是实际的极小值。

剩下的点是鞍点。其次，我们通过使用拉格朗日景观函数的边界海森的特征值和特征向量来识别其stiff和sloppy方向，直接检验景观是松散的假设。人们可以通过在局部极小值下计算的黑森山脉的奇异值谱来研究景观功能对变化的敏感性。草率模型由六个或六个以上数量级的特征值的常数对数密度来描述[18,51]。景观对变化的敏感性由特征值的平方根给出。对于sloppymodels，这意味着一个人应该沿着最倾斜的本征方向移动1000倍以上，以改变相同数量的函数。我们计算了拉格朗日函数在凹形市场冲击函数情况下的边界海森特征值谱，我们发现这些谱与asloppy景观不兼容。大部分特征值都有类似的10阶小值-2.这意味着接近局部最小值的区域不受影响。综上所述，上述分析表明，绝大多数极值点都是实际极小值，局部极小值周围的区域在某些方向上没有弯曲。这表明，在市场冲击下，成本前景是崎岖不平的，而不是草率的。这种情况让人想起寻找描述蛋白质的自由能场的全球最小值[49]。与我们的问题相似的是自由能的结构，由许多Lennard-Jones势的和来描述，即一个非凸非周期函数。大量的局部极小值是非凸函数求和的结果，而不是周期函数存在的结果。

类似地，在凹面碰撞的情况下，成本是图5中描述的2-D玩具模型的函数之和；这样的函数是非凸和非周期的。4.3.3单调策略在本节中，我们考虑单调策略，即位置X（t）是买入（卖出）元订单时间的非减（非增）函数的策略。因此，我们强制执行交易触发操纵的缺席。从数值成本最小化的角度出发，我们施加了额外的约束vi≥ 0, 我（为了一个购买计划）。这个额外的约束与投资组合优化中的无卖空约束是一致的[16]。我们使用直接搜索方法，特别是生成集搜索算法[28]。显然，在这种情况下，成本是正的；我们在表2中报告了最优策略的成本。我们发现，随着瞬时市场影响函数变得更加非线性（即δ减小），预期成本增加。此外，预期成本高于SQP算法，但仍显著低于使用DHAM方法获得的策略的预期成本。0.5 100.020.04时间卷0.5 100.010.020.03时间卷0.5 100.0050.01时间卷0.5 102468x 10-3倍体积0.5 1024x 10-3倍体积0.5 1012x 10-3次交易量γ=0.5，δ=0.5γ=0.5，δ=0.6γ=0.5，δ=0.7γ=0.5，δ=0.8γ=0.5，δ=0.9γ=0.5，δ=1图9：由单调购买计划的直接搜索算法给出的最优解，其中X=0.1，即γ=0.5的单一市场交易量的10%。我们报告了在每个时间间隔内要进行分级的体积，即viT/N。图9给出了γ=0.5情况下最优解的结构；γ=0.45的结果相似。

我们观察到的主要特征是，随着δ的减小，市场影响函数变得更加非线性，最优交易函数变得越来越稀疏。然后，最佳策略包括几次突然的买入，中间穿插着长时间的停牌。这个结果的几何解释是，解位于a（N）的边界上- 1） 单纯形。这与我们的无约束SQP结果一致，其中最优策略正好位于单纯形的边缘之外。直接搜索只是在单纯形所描述的可行区域的边缘停止。最后请注意，在单调性约束下，在第一个区间开始交易是最优的，而在没有这种约束的情况下，在第一次交易之前通过卖出来缓慢压低价格是最优的。5规范化解决方案在本节中，我们展示了非线性影响模型（2.2）可以使用两种不同的方法进行规范化，这两种方法都反映了我们迄今忽略的市场的重要特征。在第5.1节中，我们向模型中添加了差价成本，以惩罚可能导致负执行成本的错误交易方式。这相当于一种再监管化。在第5.2节中，我们修改了高交易率下瞬时市场影响函数的形状；由此产生的市场影响函数是凹凸的。5.1增加价差成本在本节中，我们在等式（2.1）的模型中增加价差成本，以惩罚错误交易。方程（2.1）可被视为描述中间价的演变。

当执行市场指令时，有一半的买卖价差2δS的额外成本，交易价格由S（t）=S（0）+Ztf（˙x（t））G（t）给出- s） ds+ZtσdW（s）+δSZtδ（s）- t） 符号（˙x（s））ds，（5.1）扩散项是一个临时影响项，可以用δ-影响函数来描述；它只影响订单执行时的价格，不影响市场价格。该术语也可以表示与绝对执行量成比例的任何成本或费用。然后，预期的执行成本由c[π]=CG[π]+CS[π]=ZT˙x（t）Ztf（˙x（s））G（t）给出- s） ds dt+δSZT |˙x（t）| dt。（5.2）因此，第二项将惩罚任何包含买卖交易的策略。对于所有交易具有相同符号的策略，该术语被最小化，即CS[π]=δSX。这种惩罚是计算机科学中广泛使用的套索正则化的一种形式，Brodie等人[16]使用它来惩罚Markowitz投资组合优化中的空头头寸。Busseti和Lillo[19]通过使用这种形式的分散成本对实际数据进行规范化，从而校准了最佳执行策略。为了将传播和影响的相对成本参数化，我们定义了无量纲质量r=CS[V W AP]/CG[V W AP]，这是根据方程（5.1）的模型，VWAP执行的传播成本和影响成本之间的比率。这个量由δS=rf（X）T1给出-γ(1 - γ) (2 - γ） （5.3）通过选择r的值，我们设置了δS的值。我们考虑了小传播成本的情况，即r=10%，以及高传播成本的情况，即。

r=50%，对离散化成本函数C[v]=NXi=1NXj=1vif（vj）Aij+δSTNNXi=1 | vi |，（5.4）进行数值优化，参数与第4节中相同，N=100，X=0.1，γ=0.45，δ=0.55。图10分别绘制了高分摊成本和低分摊成本情况下数值优化中对应于全局最小值的策略。即使执行限价指令，实践中也会发现，由于逆向选择，部分买卖价差会额外增加。0.5 100.0050.010.0150.02时间卷0.5 1-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.035timevolume r=50%r=10%图10：在存在差价成本的情况下，由SQP算法给出的购买计划的最优解，其中X=0.1，即市场容量的10%。我们报告了每个时段的交易量，即γ=0.45，δ=0.55时的viT/N。左边是高分摊成本的情况，即r=50%，右边是低分摊成本的情况，即r=10%。对于r=50%和CSQP=5.9×10，预期执行成本为CSQP=0.026-3对于r=10%。尽管交易引发的价格操纵仍然存在，但在这两种情况下，流动成本现在都是正的。事实上，对于r=50%，我们发现CSQP=0.026，CSQP=5.9×10-3对于r=10%。SQP策略仍优于VWAP、GSS和DHAM策略。最后，高价差成本的影响是负交易量的大幅减少，类似于布罗迪等人[16]观察到的马科维茨投资组合权重。在这种情况下，与权重绝对值之和成比例的最终化项会导致最优解，由此产生的投资组合是稀疏的，几乎没有资产，也没有空头头寸。

类似地，在具有高价差成本的非线性市场影响模型中，购买计划的最优解决方案的特点似乎是几次由时间间隔分隔的交易活动，在这些时间间隔中，我们有一个非常弱的负交易活动。此外，较高的差价成本会导致与单调策略类似的液化成本。5.2凹凸冲击到目前为止，我们假设可以任意快速交易，同时保持冲击f（v）的相同函数形式。虽然这简化了问题的数学处理，但这是不现实的，因为我们不能在实践中以任意高的速度进行交易。在大约0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.500.511.522.533.544.5vfG（v）d=0.1d=0.5d=1图11：参数值的凹凸冲击函数：c=1，δ=0.55，XM=1，T=1。此时，交易率如此之高，以至于一个人深入到订单簿中进行交易，在订单簿中可用的流动性更少，在这一点上，可以预期f（·）变得凸。这促使我们通过假设一个凹凸影响函数来规范瞬态影响模型，该函数既可能惩罚过高的交易率，也可能消除负预期清算成本的问题。具体而言，我们考虑冲击函数的以下形式：fG（v）=c符号（v）(|v | | v |+vδ+d | v |（|v |+v）v），（5.5），其中v=XM/T是单位时间的市场容量XM，c和d是正常数。图11显示了这种影响函数的形式。常数d是凸项相对于凹项大小的度量，凹项的阶数为一。如果d<< 1我们得到了一个凹形冲击函数。参数d也直接设置值v*其中函数的凸度变化，其中f′G（v*) = 0，见表3的第二列。

人们可以想到ratev*近似于合理交易的最高利率。我们举例说明了在γ=0.45、δ=0.55、N=100的情况下，对于四个不同的d值：0.1、0.5、1、2，使用1000个起始点进行每次优化，期望成本的数值最小化结果。在图12中，我们绘制了这四种情况下的最优策略。我们观察到，凸项大小的增加会导致最大交易率的降低，以及购买是最优的周期数的增加。被撞击的v形物体的凸出部分*hvSQP>0iσ（vSQP>0）成本SQP成本VWAP0。1 1.0755 1.1485 0.3193-0.00245 0.032660.5 0.4256 0.4835 0.0911 0.01674 0.037821 0.2678 0.3229 0.0443 0.02887 0.044282 0.1639 0.2170 0 0.0292 0.04752 0.05718表3：在第一列中，我们报告了v的值*其中f′G（v）*) = 其他列报告了γ=0.45、δ=0.55、N=100情况下SQP优化的相关数据。当凸项的大小增加时，交易速度降低；相反，成本增加了。最后一列报告了存在凹凸影响时VWAP策略的成本。这就像是高交易率的障碍。在表3中，我们比较了SQP策略的成本与相应VWAP策略的成本。随着对流规模的增加，我们不再发现负的预期清算成本；至少在模拟中，冲击函数的凸部的存在能够使非线性瞬态冲击模型正则化。值得注意的是，v的值*接近每个案例的平均交易率。因此，通过了解影响函数，可以粗略估计最佳交易速度。最后，我们将研究扩展到整个无动态套利区域，以观察成本如何变化。

图13显示了作为δ函数的不同γ值的预期成本，分别考虑了d=0.1和d=1的情况。在前一种情况下，我们观察到一个参数空间区域的代价为负，而如果凸项足够大，则有可能在强非线性区域消除负代价。进一步的研究表明，随着N的增加，这个结果并没有改变（数据未显示）。最后，我们注意到，在凹凸碰撞的情况下，就像在凹面碰撞的情况下一样，成本是δ的非单调函数。总之，我们的发现强调了内在市场影响函数f的特定形状对于最优策略规律性的重要性。6结论在本文中，我们研究了在[26]的非线性瞬态影响模型中寻找最优执行策略的问题。我们考虑了几种不同的方法，讨论了它们的有效性范围和它们产生的解决方案的特点，并比较了它们的相关预期成本。我们还将注意力集中在可能存在的不同形式的价格操纵上。如果允许策略的类别受到约束，以消除零交易率的可能性，则成本最小化问题可转化为凹凸影响函数的Urysohn积分方程。VWAP的成本为CV W AP=c XT（1-γ)(1-γ)(2-γ)XXM+Xδ+dX（X+XM）（XM）.0.5 10123x10-3卷0.5 1024x 10-3卷0.5 10246x 10-3倍体积0.5 1051015x 10-3timevolume d=2d=1d=0.5 d=0.1图12：在存在凹凸冲击的情况下，由SQP算法给出的购买计划的最优解，其中X=0.1，即市场容量的10%。我们报告了每个时间间隔内待交易的体积，即γ=0.45，δ=0.55，N=100的情况下的viT/N。