用高斯项结构模型微笑

正如人们所预料的，当ρ=0时，我们在第一阶会有一个特别的微笑。3.2互换期权的价格和波动性扩展从（5）开始，为了理解互换期权波动性立方体，唯一感兴趣的数量是我们所说的年度远期互换期权价格互换期权（t，t，m，δ）=EAh（St（t，m，δ）-K） +| Fti。标准做法是将互换期权视为具有随机权重的远期伦敦银行同业拆借利率篮子期权，我们有st（T，m，δ）=mXi=1ωitLt（T+（i- 1） δ，T+iδ）（33）ωit=Pt，T+iδPmi=1Pt，T+iδ。（34）这里的困难在于远期伦敦银行同业拆借利率和随机权重是状态变量（X，Y）的复杂函数。第一个含义是，P和Qaisal之间的度量变化也很复杂，在这种新度量下，状态变量的动态很难处理。第二个含义是，我们不能像对caplet那样直接操作一个方便的变量变化。为了推导交换选项的展开式，我们这样逐步进行。首先，我们使用标准近似值，将权重冻结在初始值（例如，见Brigo and Mercurio[8]第239页，d\'Aspremont[16]和Piterberg[29]）。这是因为权重的变化不如正向伦敦银行同业拆借利率的变化重要。其次，我们对掉期利率使用类似的近似值。因此，近似掉期利率是基础状态变量的一个确定函数，这使我们能够利用模型的确定结构。我们要提到的是，这种技术类似于皮特堡[29]提出的互换率的二次近似。

最后，我们对互换率的精确近似值进行了扩展，并得到了二阶扩展（41），这是第3.2.3.2.1小节年金计量下因素动态的主要结果。年金计量知道最新信息t，QA | fti由Dqadp定义Ft=e-RTtrsdsAT（T，m，δ）At（T，m，δ）。它来源于风险中性测度thatd下贴现资产价格的鞅性质E-RtrsdsAt（T，m，δ）E-RtrsdsAt（T，m，δ）=mXi=1ωitB（T+iδ）- （t）cpXt（dWtρ+’ρdZt）+2TrD（T+iδ）- t） pXtdWtInd.（35）据我们所知，很少有人试图从理论上或数字上量化这一说法。在[16]d\'Aspremont研究对数正态BGM模型中互换期权定价近似值的准确性时，他表明，该近似值对长期到期和长期有效性较差。根据Girsanov定理，度量的变化由dwat=dWt给出-pXt2mXi=1ωitD（T+iδ- t） Ind+cB（T+iδ）- t） ρ!dt，dZAt=dZt- ρpXtcmXi=1ωitB（T+iδ- t） dt。从θ到θ，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ- Yt）+cXtcmXk=1ωktB（T+kδ- t） +2cXtmXk=1ωktD（t+kδ- t） Indρ！dt（36）+cpXt（？ρdZAt+dWAtρ），dXt=(Ohm + （d）- 1） Ind+bA（t）Xt+Xt（bA（t））)dt+pXtdWAtInd+Ind（dWAt）pXt, （37）式中bA（t）=b+IndρPmk=1ωktB（t+kδ）- （t）c+2IndPmk=1ωktD（T+kδ- t） .3.2.2远期掉期利率的精确近似值远期掉期利率是年金计量QA下的鞅。

因此，在应用它的公式toPt，T时，我们只能把重点放在matingale项上-Pt，T+mδPmi=1Pt，T+iδ，我们从（20）中得到：- （t）- ωmtB（T+mδ）- （t）- St（T，m，δ）mXk=1ωktB（T+kδ）- （t）#cpXt（dWAtρ+’ρdZAt）+2Tr“ωtD（T- （t）- ωmtD（T+mδ）- （t）- St（T，m，δ）mXk=1ωktD（T+kδ）- t） #pxtwatind！通过稍微滥用符号，我们现在将放弃互换率的（T，m，δ）依赖性，并简单地用tits time T值表示。我们现在使用标准近似法，将右侧的权重ωkt和交换率Stin的值冻结为零。然后我们得到了dst=BS（t）cpXt（dWAtρ+’ρdZAt）+2TrDS（t）pXtdWAtInd, （39）式中（B，D）S（t）=ω（B，D）（t）- （t）- ωm（B，D）（T+mδ）- （t）- S（T，m，δ）mXk=1ωk（B，D）（T+kδ）- t） 。这些系数具有时间依赖性和确定性。我们对X做同样的近似，getdXt=(Ohm + （d）- 1） Ind+bA（t）Xt+Xt（bA（t））)dt+pXtdWAtInd+Ind（dWAt）pXt, 其中ba（t）=b+IndρmXk=1ωkB（t+kδ- （t）c+2IndmXk=1ωkD（T+kδ- t） 。由于这种近似，我们注意到，为了简单起见，我们仍然用（St，Xt）表示的过程现在是确定的。这使我们能够再次使用与Caplet prices相同的论点来获得价格的扩张。唯一的区别在于，展开是围绕高斯模型展开的，而不是围绕对数正态模型展开的。3.2.3互换期权价格扩展集PS（t，x，s）=EAh（St- K） +|St=s，Xt=xidenote时间t时互换期权的价格∈ [0，T]。它解决了以下定价问题tPS+L（t）PS=0，t∈ （0，T），PS（T，x，s）=（s- K） +，其中L是SDE（39）和（40）的最小生成元。同样，我们假设PS具有二阶展开式PS=PS+PS+PS+o（）（41），并且函数PS、PS和Psa足够光滑。

设BH（s，v）=Eh（s）+√vG- K） +I与G~N（0，1）表示在已实现波动率v>0和现货价格s的Bachelier模型中，具有罢工K的欧洲买入价∈ R.我们得到ps（t，x，s）=BH（s，vS（t，t，x）），（42），其中vS（t，t，x）=ZTtBS（R）cXr-t（x）cBS（r）dr（43）和Xs（x）由（29）定义。高阶项arePS（t，x，s）=cS（t，t，x）s+cS（t，t，x）sBH（s，vS（t，t，x）），（44）PS（t，x，s）=“dS（t，t，x）s+dS（t，t，x）s+dS（t，t，x）s（45）+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s#BH（s，vS（t，t，x）），其中系数cSi、DSI和ESI在附录A.2中给出。同样，可以显式计算Ps相对于扫描的导数，这使得从计算角度来看，这个公式非常有效。3.3数值结果我们现在通过一些例子来评估我们开发的展开式的准确性。在实践中，我们有兴趣知道，在什么样的参数水平下，对于什么样的到期日和期限，扩展的精度是令人满意的。让我们回顾一下，我们对caplet的展开是由两种展开组合而成的，第一种是由（52）和（53）给出的支持矩阵函数D到的阶数1，第二种是由（26）定义的马尔可夫过程（X，H）的微元生成器。通过构造，对于较小的τ，D（τ）的近似值将更精确。因此，对于给定的一组参数，对于短期、短期和小型股，完全扩张可能更准确。交换选项的展开源自补充近似步骤，该步骤包括冻结（37）和（38）定义的马尔科夫过程（X，S）扩散中的权重ωii。对于长期债券和长期债券期权，这种近似值可能不准确。

因此，我们预计，对于短期、短期互换期权，全面扩张将更加准确。我们评估了Caplet和Swaption价格扩张的质量。我们将扩展价格与使用蒙特卡罗模拟和第4节中描述的离散化方案1在规则时间网格上计算的价格进行比较。扩展价格和蒙特卡罗价格根据CAPlet的远期Libor利率和掉期期权的远期掉期利率的正常隐含效用进行比较。隐含波动率以基点（10）表示-4). 横坐标表示的是罢工和罢工之间的差额，单位为1%。6M×2Y型可转换债券指到期日T=2年、期限δ=0.5年的可转换债券，5Y×2Y型可转换债券指到期日T=2年、期限δ=5年的可转换债券。0 1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.81.21.41.6K-SMC_Examc_Examc_Examc_Examc_扩展caplets0 1的价格扩展-0.8-0.6-0.4-0.20.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.852.553.554.555.556.557.5K-图2：ρ= (-0.4, -0.2). 对于参数的不同值，分别从左到右=0.002和=0.0015，用100000条路径和4个点的离散化网格，绘制了1Y×1Y caplet的扩展微笑与蒙特卡罗微笑的关系图。远期伦敦银行同业拆借利率值为L（0，1Y，1Y）=1.02%。0.2-1 1 3-0.50.51.52.5K-SMC_Examc_Examc_Examc_Examc_扩展caplets0 2 4的价格扩展-1 1 3-1.5-0.50.51.52.53.54.5K-图3：ρ= (-0.4, -0.2）和=0.0015。左图：一头6米×2岁的披风展开的微笑与蒙特·卡洛微笑的对比图。右图：一只6米×5岁的披肩展开的微笑与蒙特卡洛微笑的对比图。

Monte Carlo微笑由100000条路径和8个点的离散网格获得。远期伦敦银行同业拆借利率的取值分别为L（0,6M，2Y）=1.14%和L（0,6M，5Y）=1.35%。我们测试了不同的模型参数集。选择参数值的方式是，模型生成的收益率曲线和波动率水平与今天的美国和欧元利率市场水平一致。这里，我们只考虑p=2和d=2的以下参数集：κ=diag（0.1,1），c=Id，b=-diag（0.41,0.011），Ohm = -（bx）∞+ 十、∞B) + 0.4Id，γ=0.001Id（46）x=10-4.2.25-1.2-1.2 1., 十、∞= 10-4.1.-0.125-0.125 0.25.我们注意到-（b+b）) = -2b为正定义。我们从备注8中了解到，当足够小时，这些参数集的非爆炸条件通常会得到验证，并且我们已经检查了该参数集给出的产量曲线在50年内得到了很好的定义。在所有图形中，虚线表示通过100000条模拟路径获得的蒙特卡罗微笑，带小箭头的实线表示展开的微笑，两条连续实线表示蒙特卡罗价格95%置信区间的上限和下限。图2和图3显示了Caplet估值扩展的准确性。对于最长2年的到期日，近似值是准确的，而对于较长的到期日，相同参数的近似值精度较低。对于最长为2年的到期日，扩展微笑的货币波动率为0.2-1 1 3-1.5-0.50.51.52.5K-SMC_EXAMC_exaDMC_EXAMPLANTIONS交换选项的价格扩展0 2-1 1 3-0.50.51.52.53.5K-SMC_Examc_Examc_Examc_扩展交换选项的价格扩展图4：=0.0015。

5年×2年掉期期权（息票支付频率为6个月）的扩展微笑图，与通过100000条路径获得的蒙特卡罗微笑图对比，以及参数ρ的不同值（从左到右ρ）的8点离散网格= (-0.4, -0.2）和ρ= (0.4, 0.2). 远期掉期利率值为S（0，5Y，2Y）=1.3%。几乎与蒙特卡洛微笑相同，整个扩展微笑保持在95%的置信区间内。图4显示了互换期权估值扩展的准确性。我们观察到，对于相关参数ρ的负值，展开式更为精确（对于Caplet也观察到类似的行为）。这可以从Riccati方程（15）中直观地理解：负ρ将D推到零，而正ρ将D推离零，我们对D使用的展开式（见（52）和（53））则不太准确。总的来说，扩张在资金方面是准确的，而在资金方面则不那么准确。例如，图3右侧的图形显示，6个月到期5年到期的扩展微笑非常不准确，扩展的微笑无法满足蒙特卡罗微笑的倾斜。然而，扩大价格和蒙特卡罗之间的货币波动率差异约为1个基点。总之，对于小扰动和小到期日，二阶展开式基本上是准确的。否则，应谨慎使用其他方法，如蒙特卡罗法或傅里叶反演法。尽管如此，正如第5节所讨论的，膨胀的计算要比其他方法快得多。

因此，启动校准程序并选择一组合理的参数可能是相关的。4蒙特卡罗模拟的二阶离散化方案本节的目标是为（6）和（7）定义的过程（X，Y）构造离散化方案。为了在实践中使用该模型，必须有一种有效的方法来模拟该模型。理想情况下，该模型应根据市场数据进行校准，以获得普通期权，如caplet和swoptions，然后用于计算exoticoption价格。这些价格的计算通常采用蒙特卡罗算法，该算法需要模拟过程（X，Y）。值得一提的是，标准的Euler Maruyama方案对于平方根扩散没有很好的定义，即使是在一维中，参见Alfonsi[2]。然后我们必须考虑另一个方案。这里我们使用的拆分技术已经被Ahdida和Alfonsi[1]用于Wishart过程。我们在这里简要解释了该方法的主线，并参考[2]以了解嵌入细微扩散的框架中的精确陈述。让我们考虑一下，对于i=0，…，我们想要在规则时间gridti=iT/N上近似一个SDEξ，其中有一个极小的生成器L，N一个方案完全由概率定律^px（t，dz）描述，该定律近似于ξt激励ξ=x的定律。我们用^ξxta表示遵循该定律的随机变量。然后，给出了相应的离散格式（^ξti，0≤ 我≤ N） 如下所示：^ξ=ξ和^p^ξti（T/N，dz）是^ξti+1激励（^ξtj，0）的条件定律≤ J≤ i） 。然后，我们想知道当使用近似方案而不是原始过程ξ时所产生的误差。根据[2]中给出的技术细节，我们基本上得到了以下结果。

如果对于任何光滑函数f，^ξxta满足以下展开式[f（^ξxt）]=f（x）+tLf（x）+tLf（x）+O（t）（47），那么C>0，| E[f（^ξtN）]- E[f（ξtN）]|≤ 因此，为了得到一个2阶的弱误差，我们主要需要构造一个满足（47）的方案。我们可以通过拆分极小生成元来构造迭代的二阶格式。事实上，让我们假设L=L+Land，^ξi，XT是Li的二阶格式。设B为参数为1/2的独立贝努利变量。然后，给出了以下方案：^ξ1，^ξ2，^ξ1，xt/2tt/2和B^ξ2，^ξ1，xtt+（1-B） ^ξ1、^ξ2、xtt（48）满足（47），因此是L的二阶格式。因此，构造二阶格式的策略是将有限小生成器拆分为已知二阶格式甚至精确格式的基本块。为了使用这种分裂技术，我们首先必须计算（X，Y）的最小生成元。定义为C函数f:Md（R）×Rp→ R乘Lf（x，y）=limt→0+E[f（Xt，Yt）]-f（x，y）t.从（9）、（10）和（11）开始，weeasily getL=pXm=1（κ（θ- y） ）mym+X1≤i、 j≤d(Ohm + （d）- 1） Ind+bx+xb)i、 jxi，j+pXm，m′=1（cxc)m、 m′嗯ym′+pXm=1X1≤i、 j≤d[（cx）m，i（Indρ）j+（cx）m，j（Indρ）i]xi，jym+X1≤i、 j，k，l≤d[xi，k（Ind）j，l+xi，l（Ind）j，k+xj，k（Ind）i，l+xj，l（Ind）i，k]xi，j这里，Ym表示Rpand中关于m坐标的偏导数xi，j第i行和第j列元素的偏导数。当ρ=0时，该算子只是X的最小生成元与X冻结时Y的生成元之和。我们从[1]中知道X的二阶模式。当X冻结时，Y遵循Ornstein-Uhlenbeck过程和Ytis定律，即可以精确采样的高斯变换器。

利用合成规则（48），我们得到了（X，Y）的二阶格式。因此，这里的差异来自X和Y之间的相关性，必须谨慎处理。我们首先做一些简化。第一项ppm=1（κ（θ- y） ）mYm是线性常微分方程y′（t）=κ（θ）的生成元-由y（t）=e精确求解-κty（0）+（Ip-E-κt）θ。因此，对于L，有一个二阶方案就足够了-Ppm=1（κ（θ）- y） ）mym，当κ=0时，它是（6）和（7）的生成元。当k=0时，我们有Yt=y+c（~Yt）-)Y）与)Yt=)Y+ZtpXs[\"ρdZs+dWsρ]。然后，我们可以集中精力得到（X，~Y）的二阶方案，这相当于与p=d和c=Id一起工作。因此，为SDEYt=Y+ZtpXs[？ρdZs+dWsρ]，Xt=X+Zt找到二阶方案是足够的Ohm + （d）- 1） Ind+bXs+Xsb)ds+ztpxsdwind+InddWSPX，最小发电机L=X1≤i、 j≤d(Ohm + （d）- 1） Ind+bx+xb)i、 jxi，j+dXm=1X1≤i、 j≤d[xm，i（Indρ）j+xm，j（Indρ）i]xi，jym（49）+dXm，m′=1xm，m′嗯ym′+X1≤i、 j，k，l≤d[xi，k（Ind）j，l+xi，l（Ind）j，k+xj，k（Ind）i，l+xj，l（Ind）i，k]xi，jxk，l.4.1 1的二阶模式≤ Q≤ d、 我们定义eqd∈ S+d（R）由（eqd）k，l=k=l=qd和gqd∈ Rdby（gqd）k=q=kso thatInd=Pnq=1eqd和Indρ=Pnq=1ρqgqd。我们定义Lcq=（d- 1)xq，q+dXm=1X1≤i、 j≤dρq[xm，i（gqd）j+xm，j（gqd）i]xi，jym+ρqdXm，m′=1xm，m′嗯ym′（50）+X1≤i、 j，k，l≤d[xi，k（eqd）j，l+xi，l（eqd）j，k+xj，k（eqd）i，l+xj，l（eqd）i，k]xi，j我们考虑算子（49）的分裂l=l′+l′+Pnq=1Lcq，其中l′=X1≤i、 j≤d(Ohm + bx+xb)i、 jxi，j，L′’=1-nXq=1ρq！dXm，m′=1xm，m′嗯ym′。算子L′是线性常微分方程x′（t）=Ohm + （d）-1） Ind+bx+xb这个问题可以精确求解，并保持在半有限正矩阵集合中，参见[1]中的引理27。算子L′是Y′t=Y′′+q1中的一个-Pnq=1ρq√xZt，可以精确采样，因为它是一个具有平均y′和协方差矩阵（1）的高斯向量- |ρ|）tx。