用高斯项结构模型微笑

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英文标题：
《Smile with the Gaussian term structure model》
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作者：
Abdelkoddousse Ahdida, Aur\\\'elien Alfonsi, Ernesto Palidda
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose an affine extension of the Linear Gaussian term structure Model (LGM) such that the instantaneous covariation of the factors is given by an affine process on semidefinite positive matrices. First, we set up the model and present some important properties concerning the Laplace transform of the factors and the ergodicity of the model. Then, we present two main numerical tools to implement the model in practice. First, we obtain an expansion of caplets and swaptions prices around the LGM. Such a fast and accurate approximation is useful for assessing the model behavior on the implied volatility smile. Second, we provide a second order scheme for the weak error, which enables to calculate exotic options by a Monte-Carlo algorithm.
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中文摘要：
我们提出了线性高斯项结构模型（LGM）的一个仿射扩展，使得因子的瞬时协变量由半正定矩阵上的仿射过程给出。首先，我们建立了模型，并给出了与因子的拉普拉斯变换和模型的遍历性有关的一些重要性质。然后，我们介绍了两种主要的数值工具来实现该模型。首先，我们获得了围绕LGM的Caplet和掉期期权价格的扩张。这种快速而准确的近似值有助于评估隐含波动率模型的行为。其次，我们为弱误差提供了一个二阶格式，它可以通过蒙特卡罗算法计算奇异期权。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Smile_with_the_Gaussian_term_structure_model.pdf (381.14 KB)

2022-5-7 06:48:48 上传

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关键词：结构模型 Mathematical Quantitative Applications mathematica

用高斯项结构模型微笑Abdelkoddousse Ahdida，Aurélien Alfonsi*, 欧内斯托·帕利达*2015年11月5日摘要我们提出了线性高斯项结构模型（LGM）的一个精确扩展，使得因子的瞬时协变量由半无限正矩阵的精确过程给出。首先，我们建立了模型，并给出了与因子的拉普拉斯变换和模型的遍历性有关的一些重要性质。然后，我们介绍了两种主要的数值工具来实现该模型。首先，我们获得了围绕LGM的Caplet和掉期期权价格的扩张。这种快速而准确的近似对于评估隐含波动率的模型行为是有用的。其次，我们为弱误差提供了一个二阶方案，它可以通过蒙特卡罗算法计算奇异期权。将这两种定价方法与基于傅里叶反演的标准定价方法进行了比较。关键词：期限结构模型、线性高斯模型、Wishart过程、价格扩展、离散化方案、CAPlet、互换期权动机和论文概述期限结构模型（ATSM）是一类重要的利率模型，包括Vasicek[34]和Cox Ingersoll-Ross[11]的经典和开创性模型。Duf fie和Kan[19]、Dai和Singleton[15]以及Duf fie、Filipovi\'c和Schachermayer[18]的论文已经解决并推广了这些模型。关于这些术语结构模型的教科书，我们参考菲利波维奇[22]。线性高斯模型（LGM）是ATSM的一个简单但重要的子类，它假设潜在因素遵循高斯过程。El Karoui和Lacoste[21]以及El Karoui等人[20]已经考虑过它，由于它的简单性，它现在已经成为固定收益衍生品定价的市场标准。

然而，该模型有一个主要缺点需要根据市场数据进行校准：它会产生隐含的波动率微笑。本文的目标是呈现LGM的一个非常自然的扩展，它保持了af FIN结构，并产生了隐含的波动微笑。为此，我们考虑在半无限正矩阵集合上的Wishart类型的精细扩散，并用（该过程的线性函数）粗略地替换恒定波动率矩阵。这些因素及其波动性之间的依赖性是通过一个特定的协变量来实现的，该协变量保持了清晰的结构，这是由Da Fonseca等人[14]在一个公平框架中提出的。正因为如此，提出的模型是一个随机方差-协方差的期限结构模型（见定义6），能够产生隐含的波动率微笑。它有许多参数，乍一看似乎很难处理。因此，我们将其表示为LGM的扰动。因此，模型对市场数据的校准可以分两步进行：首先，可以校准LGM，然后将新参数校准到隐含的挥发性文件。Palidda[27]在一些案例中讨论了该模型的校准。在本文中，我们没有解决实际校准问题：我们的目标只是建立模型，并给出实际使用该模型的主要数值方法。也就是说，我们在第2节中定义了该模型，并给出了一些重要性质，如初始和前向测度下的拉普拉斯变换值或遍历性性质。然后，我们给出了在实践中实现该模型的两个重要工具。

首先，我们在第3节中介绍了当因子Y的波动性很小时，LGM周围的小市值和互换期权的价格扩展。这些显式公式有助于快速计算参数对波动率立方体的影响，从而校准模型。第二，我们在第4节中提出了一个针对弱误差的二阶模型的离散化方案。有一个精确的方案在实践中是很重要的，因为它允许计算*巴黎东部大学，CERMICS，Projet MATHRISK ENPC-INRIA-UMLV，布莱斯帕斯卡大道6-8号，法国马恩拉瓦莱77455号。电子邮件：阿迪达。abdel@gmail.com, alfonsi@cermics.enpc.fr埃内斯托。palidda@gmail.com.Most这项工作的一部分是在埃内斯托为农业信贷公司的理性研究小组工作时完成的。我们感谢Christophe Michel、Victor Reutenauer、Anas Benabid和Nicole El Karoui围绕本文进行了有趣而富有成效的讨论。这项研究还得益于“主席风险金融家”Risque基金会的支持。选项由蒙特卡罗算法确定。此外，该方案可以很容易地适用于依赖于相同结构的其他模型，如Da Fonseca等人[14]的模型。最后，第5节将展开法和Monte Carlo方法与Carr和Madan[9]推广的经典傅里叶技术进行了比较，并指出了每种方法的相关性。1线性高斯模型（LGM）简而言之，我们提出的模型是为了扩展经典的LGM，因此我们需要回顾一下LGM。我们在一个风险中性测度P下工作，并考虑一个P维标准布朗运动Z。设Y为以下方程的解：Ornstein-Uhlenbeck-SDEYt=Y+Ztκ（θ）- Ys）ds+Zt√V dZs，（1）其中κ∈ Mp（R）是p阶矩阵，V是p阶和θ阶半有限正矩阵∈ Rp。

即期汇率是向量Y的一个函数的LGmassume:rt=~n+pXi=1Yit，（2）和坐标yit通常被称为模型的因子。假设（2）中每个因素的权重对于所有因素都是相同的，并且等于一，这是没有限制的：如果我们有rt=~n+Ppi=1miYit，我们可以很容易地检查（mY，…，mpYp）也是一个奥恩斯坦-乌伦贝克过程。长期结构模型通常认为，参数（此处为κ、θ和V）是固定的，并且在很长一段时间内有效，而因素（此处为向量Y）会演变并反映市场的当前状态。因此，人们通常认为这个过程是静止的，以反映某种市场均衡。此外，这些因素通常与不同的时间尺度相关：一个小（或大）均值回归的因素将影响利率的长期（或短期）行为。这导致我们假设κ=diag（κ，…，κp）与0<κ<···<κp，我们在续集中就是在这个假设下工作的。可以很容易地检查（例如，参见Andersen和Piterbarg[3]），任何线性高斯模型，例如κ具有明显的正特征值，都可以在当前的参数化中重写，直到因子的线性变换。让（Ft）t≥0表示Z的自然过滤。对于0≤ T≤ T，价格Pt，T=Ehexp-RTtrsds|到期日为t的零息债券的时间t是Y:Pt，t=exp（E（t）的指数函数- t） +B（t）- （t）Yt），（3）式中B（τ）=-(κ)-1（Ip）-E-κτ） 1和E（τ）=-ντ+RτB（s）κθ+B（s）τ的vb（s）ds≥ 0.这里，1p代表RPT中的向量，它的所有条目都等于一。函数B（τ）映射因子变化在收益率曲线上变化，通常被称为支持函数。

与较大参数κi相关的因素会影响收益率曲线的短期行为，而与较小参数κi相关的因素会更多地驱动长期行为。我们现在简要介绍一下利率期权市场的一些基本概念。流动性最强的利率期权是互换期权和Caplet。它们分别表示为远期伦敦银行同业拆借利率和远期掉期利率，其定义如下：≤ T≤ T，δ>0和m∈ N*:Lt（T，δ）=δPt，TPt，T+δ- 1.St（T，m）=Pt，T- Pt，T+mδPmi=1Pt，T+iδ。caplet和swoption的价格分别由ct（T，δ，K）=E给出E-RT+δtrsds（LT（T，δ）- （K）+英尺Swaptiont（T，m，δ，K）=E“E-RTtrsdsmXi=1δPT，T+iδ（ST（T，m）-（K）+英尺#。caplet通常适用于短期限δ（最长1年），而swoptions则适用于2至30年的期限mδ。市场实践是采用标准的数字变化技术（见Geman等人[24]），并写出上述表达式asCt（T，δ，K）=Pt，T+δet+δh（LT（T，δ）- K） +| Fti（4）swaptiton（T，m，δ，K）=mXi=1δPt，T+iδ！EAh（ST（T，m）-K） +|Fti，（5）其中ET+δ（resp.EA）表示与基准Pt，T+δ（resp.Pmi=1δPt，T+iδ）相关的测量T+δ-正向中性（resp.annuity）测量的预期。然后根据对数正态或正态隐含波动率对市场价格进行报价和分析，通过分别反转定价公式（4）和（5）w.r.t.Black-Scholes和Bachelier公式获得。在LGM模型中，caplet的对数正态隐含波动率由ztt[B（T）给出- u）-B（T+δ）- u） ]V[B（T- u）- B（T+δ）- u） ]du，这是下面公式（28）的特例。这种隐含的波动性并不取决于罢工。

它表明，根据不同的时间尺度，均值回归参数κ在形成caplets波动率立方体的形式中起着作用。矩阵V的对角系数的作用由支持函数SMII（τ，δ）=（1）确定-E-κiΔκi）1-E-2κiτ2κiτ。方差-协方差矩阵V的非对角元素的影响由支持函数mij（τ，δ）=1确定-E-κiΔκi1-E-κjΔκj1-E-（κi+κj）τ（κi+κj）τ。这些函数如图1所示。此外，通过使用标准近似值，我们可以获得互换期权的正常隐含波动率：ZTt[BS（u）]V BS（u）du，其中BS（u）=ωB（T- u）- ωmB（T+mδ）- u）- S（T，m，δ）Pmk=1ωkB（T+kδ- u） ωk=P0，T+kδPmi=1P0，T+iδ。这是下面公式（43）的特殊情况。这种隐含波动率的结构与caplet相当相似，但它不是时间均匀的。caplet和swoption的隐含波动率都不依赖于图1：在两因素模型中，在3个月（左）和2年（右）的期限内，κ=diag（0.01,1）的波动率期限结构的支持函数。这是一个众所周知的事实。如果试图重现市场数据中观察到的波动率立方体（即关于到期日T、期限δormδ和履约K的隐含波动率），这是不幸的。我们在第2节中介绍的LGM扩展旨在纠正这一缺陷。2具有随机协方差的LGM的一个详细扩展本节致力于定义我们在本文中研究的模型。该模型是LGM的随机方差-协方差扰动。我们选择了一个非常通用的规范，该规范使模型保持一致，并给出了因子的随机瞬时协方差，这将为caplet和swapptions生成微笑。

我们首先介绍了因子的动力学，然后介绍了依赖于其精细结构的模型的一些特性。2.1状态变量动态我们考虑W是由独立的标准布朗运动构成的d×d平方矩阵，Z是维数为p的独立布朗运动。我们将用（Ft）t表示≥0由（W，Z）生成的过滤。对于状态变量（或因子）Yt=y+Ztκ（θ），我们考虑以下SDE- Ys）ds+ZtcpXs[°ρdZs+dWsρ]（6）Xt=x+ZtOhm + （d）- 1） Ind+bXs+Xsb)ds+ztpxsdwind+InddW间谍。（7） 未定义0的矩阵≤ N≤ d乘以（Ind）i，j=i=j≤n、 参数取值如下：，Ohm ∈ S+d（R），b∈ 医学博士（右），∈ R+，y，θ∈ Rp，κ=diag（κ，…，κp）与κ。。。，κp>0，c∈ Mp×d（R），ρ∈ Rd使得|ρ|：：=dXi=1ρi≤ 1和ρ=p1-|ρ|，（8）其中S+d（R）、Md（R）和Mp×d（R）分别表示d阶半有限正矩阵集、d阶方阵集以及具有p行和d列的矩阵集。过程X是S+d（R）上的一个内扩散，因子Y在时间t的瞬时协方差由cXtc给出. 当=0和Ohm = -bx-xb, 我们得到了Xt=x，得到了V=cxc的高斯模型. 通过驱动布朗运动，Y和X之间的依赖结构与Da Fonseca、Grasselli和Tebaldi[14]提出的相同。如[14]所述，这是获得Y和X之间非平凡瞬时相关性的最常用方法，同时保持af FIN结构。特别是，瞬时二次协变量与（Y，X）是线性的，我们有1≤ i、 j，k，l≤ d和1≤ m、 m′≤ p:hd（Yt）m，d（Yt）m′i=（cXtc）)m、 m′dt，（9）hd（Xt）i，j，d（Xt）k，li=[（Xt）i，kj=l≤n+（Xt）i，lj=k≤n+（Xt）j，ki=l≤n+（Xt）j，li=k≤n] dt，（10）hd（Yt）m，d（Xt）i，ji=[（cXt）m，i（Indρ）j+（cXt）m，j（Indρ）i]dt。

（11） 我们注意到，只有ρ的第一个分量是物质，我们可以假设ρn+1=·ρd=0，而不丧失普遍性。从（7）中，我们可以很容易地得到eκtYt=y+Zteκsκθds+ZteκscpXs[°ρdjs+dWsρ]。因此，一旦给出过程Z、W和X，过程Y就被唯一地确定。Cuchieroet等人[12]知道，当X∈ S+d（R）和Ohm ∈ S+d（R），如果我们假设x是可逆的且Ohm - 2Ind∈ S+d（R）。这将导致以下结果。命题1——如果x∈ S+d（R），Ohm ∈ S+d（R）SDE（7）存在唯一的弱解。如果我们假设Ohm - 2Ind∈ S+d（R）和x∈ S+d（R）是正定义，有一个独特的强解。过程（X，Y）的精细结构允许我们通过矩阵Riccati微分方程（MRDE）给出边缘定律的拉普拉斯变换公式。Da Fonseca等人[14]或Benabid等人[5]在EquityModeling中进行了类似的计算。下面的命题陈述了精确的结果，这对零息债券的定价很有用。命题2-设∧，\'∧∈ Rp，Γ，Γ∈ Sd（R）。对于t≥ 0，我们定义λ（t）∈ Rpbyλi（t）=∧ie-κit+？∧iκi（1-E-κ它）。（12） 让我们假设存在Υ∈ Sd（R）使得Υ-Γ ∈ S+d（R）、（13）T≥ 0, -2ΥIndΥ+Υ（b+Indρλc） +（b+Indρλ）c）Υ+cλλc+Γ∈ S+d（R）（14）那么，下面的微分方程组˙g=2gIndg+g（b+Indρλc） +（b+Indρλ）c）g+cλλc+Γ，g（0）=Γ，˙η=λκθ+Trg(Ohm + （d）- 1） （印度）, η（0）=0，（15）有一个唯一的解，该解定义在R+上。它满足了Υ- g（t）∈ 对于任何t，S+d（R）≥ 此外，我们还有很多≤ T≤ T:E“expTr（ΓXT）+∧YT+ZTTRΓXs+ΛYsds！Ft#=exp（η（T-t） +Tr（g（t）-t） Xt）+λ（t）-（t）Yt）。（16） 证明：该证明对于精确扩散来说是相当标准的。

首先，我们注意到，如果（16）成立，我们必然有Mt=expRtTrΓXs+ΛYsdsexp（η（T）- t） +Tr（g（t）- t） Xt）+λ（t）- （t）Yt）是一个鞅。Weapply它的配方和用法（9）、（10）和（11）。鞅性质产生于‘Xt+’λYt- ˙η（T）- （t）- Tr（˙g（T- t） Xt）-˙λ（T）- （t）Yt+Tr（g（T）- （t）[Ohm + （d）- 1） Ind+bXs+Xsb])+ λ（T）- （t）κ(θ - Yt）+2Tr（Xg（T- t） Indg（t- t） ）+Tr（Xcλ（T）- t） λ（T）- t） c）+Tr（X[c]λ（T）- t） ρIndg（T- t） +g（t）- t） Indρλ（T）- t） c]）=0。通过确定常数项和关于Yt和Xt的线性项，我们得到（15）和˙λ=-κλ+？∧，λ（0）=∧，这导致（12），因为κ与正项成对角线。通过将Dieciand Eirola[17]的命题1.1应用于Υ-g、 存在（15）的解决方案，并对t进行了充分定义≥ 0 . 此外，Υ-通过使用（13）和（14），g保持在S+d（R）中。然后，还需要检查我们是否确实有（16），检查t=0是否足够。为此，我们将Yit^o的公式应用于M和getdMs=MshTr（g（T- s） [pXsdWsInd+InddWspXs]）+λ（T- （s）因此，M是一个正的局部鞅，因此是一个超鞅，它给出了M≥ E[MT]。为了证明M=E[MT]，我们使用了里德伯格[30]提出的论点。我们定义Nt=Mt/Min，以便使用概率度量。我们定义了K>0，τK=inf{t≥ 0，Tr（Xt）≥ K} ，πK（x）=Tr（x）≤Kx+Tr（x）≥KKTr（x）x代表x∈ 考虑N（K）t N（K）S=N（K）S的解Tr（g（T）- s） [pπK（Xs）dWsInd+InddWspπK（Xs）]）+λ（T- （s）cpπK（Xs）[ρdZs+dWsρ],N（K）=1。显然，E[N（K）T]=1，且在dP（K）下dP=N（K）T，dW（K）T=dWt- 2pπK（Xt）g（T）- t） 印第安纳州-pπK（Xt）cλ（T）- t） ρ我们感谢Martino Grasselli为我们提供这一参考。是P（K）下的矩阵布朗运动。我们现在写E[NT]=E[NTτK>T]+E[NTτK≤T] 。根据支配收敛定理，我们得到了[NTτK]≤[T]→K→+∞此外，E[NTτK>T]=E[N（K）TτK>T]=P（K）（τK>T），我们必须证明这个概率为1。