用高斯项结构模型微笑

为此，我们关注以下SDEdXt=(Ohm + （d）- 1） Ind+（b+2Indg（T- t） +Indρλ（T）- t） c）~Xt+~Xt（b）+ 2g（T- t） Ind+cλ（T）- t） ρInd）dt+qXtdWtInd+InddWtqXt从X=X开始，我们检查X在P（K）下的τKand之前解出的SDE与P（K）下的∧X相同。这就产生了P（K）（τK>T）=P（inf{T）≥ 0，Tr（~Xt）≥ K} (T)。由于X满足的SDE是S+d（R）上的精确扩散，因此对于任何t≥ 0.尤其是maxt∈[0，T]Tr（~Xt）<∞ a、 美国，它给出了SP（inf{t≥ 0，Tr（~Xt）≥ K} >T）→K→+∞1.备注3——当且仅当Υ=0时，满足条件（13）和（14）-Γ ∈ S+d（R）和T≥ 0, -Γ -Cλ（t）λ（t） c∈ S+d（R）。（17） 自|λi（t）|≤ ma x（|∧i |，|∧i/κi |），我们得到λ（t）λ（t）≤Ppi=1max（λi，（\'∧i/κi））。因此我们有ppi=1max（λi，（\'∧i/κi））Id- λ（t）λ（t）∈ S+d（R），然后ppi=1max（λi，（？∧i/κi））cC- Cλ（t）λ（t） c∈S+d（R）。因此，（17）的充分条件是-Γ -pXi=1max（λi，（\'∧i/κi））cC∈ S+d（R）。利用拉普拉斯变换（16），我们有一个数学工具来检查过程（X，Y）是否是静止的。这对于我们的建模视角很重要：除非是在某个短暂的时期，否则人们可能会认为这些因素在某种平衡点附近是稳定的。下一个命题给出了一个确保平稳性的简单充分条件。附录B中证明了这一点。命题4——如果-（b+b）) ∈ S+d（R）是正定义，过程（X，Y）是静止的。备注5——我们选择将过程X的动力学尽可能保持在正半限定矩阵空间中。选择X的Wishart规格（对应于Ohm = αInd，α>0）不会导致模型的显著简化。虽然Wishart过程允许显式拉普拉斯变换，但（7）定义的过程（X，Y）并非如此。

漂移项Ohm 考虑到过程X的均值回归行为，我们通常会考虑负均值回归矩阵b，在这种情况下，我们可以设置Ohm = -bx∞- 十、∞B, 矩阵的平均值X变为过程∞.2.2模型定义6——我们假设（Xt，Yt）t≥0在风险中性措施下遵循（6）和（7）。然后，我们将短期利率定义为byrt=~n+pXi=1Yit+Tr（γXt），（18）加上∈ R和γ∈ Sd（R）。从命题2，我们很容易得到以下关于零息票债券的结果。推论7键重建公式。让0≤ T≤ T和Pt，T=E[exp(-RTtrsds）| Ft]表示到期日为t的零息债券在t时的价格。让我们假设γ-pXi=1κi！CC∈ S+d（R）。（19） 然后，使用备注3，Pt，由Pt给出，T=e xp（A（T- t） +Tr（D（t）- t） Xt）+B（t- （t）Yt），（20）带A（t）=η（t）- ηt，D（t）=g（t）和B（t）=λ（t），其中（η，g，λ）是（15）与（12）的解，其中∧=0，Γ=0，Γ=0-γ和∧=-1p（即？∧i=-一对一≤ 我≤ p） 。特别是，我们有-D（T）- （t）∈ S+d（R）。让我们对该模型进行一般性评论。它与Bensusan[6]的HD论文中提出的模型非常接近，但略有不同。尽管如此，我们作为LGM模型扰动的介绍使我们能够更好地理解模型参数。因此，向量过程Y可以解释为TLGM模型，这意味着它被认为是收益率曲线的主要驱动因素。个别因素被视为收益率曲线的主成分变动。我们选择指定模型，以便matrixprocess X允许类似的解释。通常我们会考虑Ohm = -bx∞- 十、∞B与b对称负有一个均值回归到一个给定的协方差矩阵x∞. 参数测量LGM周围的扰动水平。

矩阵过程X扮演着收益率曲线主要运动的随机方差协方差矩阵X的角色。可以定义扩散参数c，使得矩阵X的对角因子发挥收益率曲线运动的瞬时随机方差的作用，而非对角项发挥两条收益率曲线运动之间的瞬时协方差的作用。向量ρ是过程Y和X之间的一个相关参数。在第一个近似值中，利率期权是因子Y的线性组合上的期权，这些线性组合的瞬时方差是因子X的线性组合。因此，相关参数ρ将驱动利率期权的倾斜。我们现在对该模型做出更精确的评论为了保持与LGM中相同的因子，我们希望取γ=0。然而，只有当LGM周围的扰动足够小时，这种选择才可能，前提是-（b+b）) 是肯定的定义，见备注8。此外，即使是Pt，T也可能被定义为T- t足够小，它将由相同的公式给出，因此收益率曲线动态取决于因子X。为了对因子Y上的波动因子X有一个清晰的解释，一个可能的选择是考虑d=q×p和q∈ N*和ci，j=（i-1） ×p<j≤因此，从（9）中，主矩阵（Xk，l）（i）-1） ×p<k，l≤i×prules因子yi的瞬时二次变化，而子矩阵（Xk，l）（i）-1） ×p<k≤i×p，（j）-1） ×p<l≤j×prules因子yi和Yj之间的瞬时协变量该模型不阻止出现负短期利率或E[|Pt，T|k]=∞ 对于任何k>0，除非我们考虑退化情况（p=0），其中收益率曲线由波动率因子X驱动，因子Y为零。

Gnoatto在[25]中研究了这个特殊的模型期限结构模型通常考虑在较长时间内固定不变的参数，并反映市场行为，而因子的当前值则与市场数据相符。这就是为什么我们在这里考虑常数参数。然而，为了精确地确定零息票债券价格，在保持模型可跟踪性的同时，可以采用时间相关函数。备注8——条件（19）足以确定Pt。然而，这个条件并不依赖于，而我们知道，对于=0，Pt，这是很好的定义，因为X是确定性的，Y是高斯过程。当-（b+b）) 是正定义，这是一个合理的假设，因为它导致命题4中的平稳过程。在这种情况下，存在u>0，因此-（b+b）) - uId∈ S+d（R）。通过使用命题2和Υ=u4Id，我们得到（14）是满意的，如果我们有T≥ 0，u8Id-u8（Indρλ）c+Indρλc）-Cλλc+γ∈ S+d（R）。请注意，即使在简单的LGM模型中，这也不是完全正确的。短期利率/阶乘利率模型的一个重要特征是，收益率曲线不仅取决于模型的（随机）状态变量，还取决于状态变量的波动性。因此，波动系数X出现在利率期权的收益中。因为t≥ 0，λ（t）取Rp的紧子集中的值，存在>0，使得该条件满足任何∈ (0, ).备注9——让我们来谈谈∈ Md（R），并考虑模型rt=~n+Ppi=1Yit+Tr~γ~Xty=y+Ztκ（θ）- Ys）ds+ZtcqXshp1-|~ρ| dZs+dWs~ρi~Xt=~x+Zt~Ohm + （d）- 1） aa+~b~Xs+~Xs~b)ds+ZtqXsdWsa+adWsqXs和γ∈ 标准差（R），~x，~Ohm ∈ S+d（R），~c，~b∈ Md（R），ρ∈ Rd使得| |ρ|≤ 1.这个模型似乎先验地更一般，但事实并非如此。

事实上，n是a和u的秩∈ Md（R）是一个可逆矩阵a=（u）-1)Ind（美国）-1). 那么，Xt=u~Xtu solvesdXt=[Ohm + （d）-1） Ind+bXt+Xtb]dt+uqXtdWtau+uA.dWtqxt，b=u~b（u）-1), Ohm = U~OhmU∈ S+d（R），从x=u开始■徐∈ S+d（R）。经过一些计算，我们得到了hd（Yt）m，d（Yt）m′i=（~c~Xt~c）)m、 m′dt=（cXtc）)m、 带c=~c（u）的m′dt-1); hd（Xt）i，j，d（Xt）k，li=[（Xt）i，kj=l≤n+（Xt）i，lj=k≤n+（Xt）j，ki=l≤n+（Xt）j，li=k≤n] dt和hd（Yt）m，d（Xt）i，ji=h（u~Xt~c)m、 i（u）A.§ρ）j+（u）~Xt~c)m、 j（u）A.）iidt=1ρ（Xtc）)m、 i（u）A.§ρ）j+（Xtc)m、 j（u）A.ρ）idt。由于（X，Y）定律的特点是它的极小生成元，因此我们可以在不失去普遍性的情况下假设∈ 克尔（u）A.)⊥= Im（au）。因此，存在ρ′∈ Rd使得ρρ=auρ′，我们设置ρi=ρ′ifor i≤ n<i时，与非ρi=0≤ d、 我们有|ρ|=（ρ′）Indρ′=||ρ|≤ 因此（X，Y）遵循与（6）和（7）的解相同的规律，我们有rt=~n+Ppi=1Yit+Tr（γXt）和γ=u-1~γ（u）-1).2.3度量和拉普拉斯变换在固定收益市场中，香草产品的定价通常（如果不总是）根据与风险中性度量不同的适当选择等价鞅度量进行。因此，在这些措施下，表征潜在状态变量的分布是很重要的。远期中性措施可能是此类定价措施中最重要的例子。在这一段中，我们将看到，在前瞻性措施下，各因素的动态仍然是明确的，并保持相同的结构。2.3.1前进空档测量下的动力学我们假设条件（19）成立。让qu表示U向前中性概率，该概率由FUbydQUdP=e定义-RUrsdsP0，U。这是与基准Pt，U相关的度量。

它来源于贴现资产价格的鞅性质，对于t∈ （0，U），dE-美国RtrsdsPtE-RtrsdsPt，U=2Tr（D（U- t） pXtdWtInd）+B（U- （t）cpXtdWtρ+’ρB（U- （t）cpXtdZt=Tr（[2IndD（U- t） pXt+ρB（U）- （t）cpXt]dWt）+ρB（U- （t）cpXtdZt。根据Girsanov定理，processesdWUt=dWt-pXt（2D（U- t） Ind+cB（U）- t） ρ)dtdZUt=dZt- ρpXtcB（U）- t） 量子下的矩阵值布朗运动和向量值布朗运动分别是独立的。在QU:dXt=(Ohm + （d）- 1） bU（Xt+t）)dt+PXTDWUTIN+Ind（dWUt）pXt（21）dYt=κ（θ）- Yt）dt+cXtcB（U）- t） dt+2cXtD（U- t） Indρdt+cpXt（dWUtρ+’ρdZUt），（22）带bU（t）=b+2IndD（U）- t） +IndρB（U）- （t）c、 2.3.2拉普拉斯变换我们现在感兴趣的是在T的U向前测量下计算（XT，YT）定律≤ 更准确地说，我们计算了eqhexp（Tr（ΓXT）+∧YT）| FTIT∈ [0，T]再次使用命题2。我们假设条件（19）成立并有eqhexp（Tr（ΓXT）+∧YT）| Fti=Pt，UEhexp（Tr（ΓXT）+∧YT- （U）- t） ~n-祖特pYsds-ZUtTr（γXs）ds|Fti=Ehexp（Tr（Γ+D）U- T）XT）+（λ+B（U）- （T）YT+A（U- （T）- （T）- t） ~n-RTtpYsds-RTtTr（γXs）ds）| Ftiexp（A（U）- t） +Tr（D（U）- t） Xt）+B（U- （t）Yt）。我们考虑Γ∈ Sd（R）和∧∈ 这样-Γ ∈ S+d（R）和∧i |≤ E-κi（U）-T）/κi，为1≤ 我≤ p、 为了得到∧i+Bi（U- T）|≤ 1/κI- （Γ+D（U）- （T）∈ S+d（R）。通过命题2，条件（19）和备注3，我们得到期望是有限的，并且等于p（Tr（ΓXT）+∧YT）| Fti=exp（AU（t，t）+Tr（DU（t，t）Xt）+BU（t，t）Yt），（23）与FU（t，t）=F（t）-t） +F（U）-（T）-F（U）-t） 为了F∈ {A，D，B}，其中（~B，~D，~A）是（15）的解，~B（0）=∧+B（U）- T），ΓD（0）=Γ+D（U）- T），~A（0）=0，“∧”=1和“Γ=-γ.推论10让（19）保持不变。为了Γ∈ Sd（R）和∧∈ 这样-Γ ∈ S+d（R）和∧i |≤ E-κi（U）-T）/κifor1≤ 我≤ p、 eqhexp（Tr（ΓXT）+∧YT）| Fti<∞ a、 美国。

无论如何∈ [0，T]由（23）给出。让我们提到，在实践中，上面关于AU（t，t）、DU（t，t）和BU（t，t）的公式需要解两个不同的常微分方程。可以更方便地使用以下公式，该公式可以很容易地从U向前测量下的（X，Y）动力学推导得出：日分t（t，t）=κBU（t，t），BU（t，t）=∧，-杜t（t，t）=2DUIndDU+DU（bU（t）+Indρ（bU）c） +（bU（t）+Indρ（bU）c）DU+cBU（BU）c+cBUB（U）- （t）c+D（U）- t） Indρ（BU）c+cBUρIndD（美国）- t） ，DU（t，t）=Γ，-AUt（t，t）=BU（t，t）κθ+Tr杜（t，t）(Ohm + （d）- 1） （印度）, AU（T，T）=0。（24）3围绕LGM的波动率微笑的扩展本节的目标是提供波动率参数接近零时Caplet和掉期期权价格的渐近行为。这些公式的实际意义在于快速给出这些价格的代理。因此，他们提供了一个工具来校准微笑的模型参数。在此，我们要提到的是，由于模型的精细结构，Gram-Charlier类型的扩展也可以应用于定价帽和交换期权，例如，见Collin Dufresne和Goldstein[10]和Tanaka等人[33]。[27]中给出了我们模型中CAPlet定价的一些数值例子。在这里，我们只给出关于的展开式，因为它与我们将模型表示为LGM的扰动一致。我们在本节中用来获得展开式的论点已经在Fouqueet al.[23]一书中得到了发展。它们依赖于小型发电机相对于的扩展。最近，Bergomi和Guyon[7]应用这种技术，在多因素模型下为正向方差提供近似值。在这里，我们必须考虑固定收入的一些特定特征，并在适当的概率度量下工作，以应用这些论点。

毫不奇怪，展开式中的零阶项正是LGM的波动率，具有随时间变化的方差-协方差矩阵。更有趣的是，高阶项证实了对决定波动性形状和动力学的参数和因素作用的直觉。最后，我们必须指出，本节中给出的计算是相当正式的。特别是，Weimplicity假设caplet和swaption价格足够平稳，并允许相对于的扩张。对这些展开式的严格证明超出了本文的范围。3.1 Caplets的价格和波动率扩展从（4）开始，为了理解Caplets波动率立方体，我们唯一感兴趣的数量是我们称之为正向Caplets价格fcaplet（t，t，δ）=ET+δh（LT（t，δ）- K） +| Fti，可重写为远期零息债券PT、TPt、T+δFCaplet（T，T，δ）=δET+δ上的看涨期权PT，TPT，T+δ- （1+δK）+英尺#。由于（X，Y）是一个马尔可夫过程，FCaplet（t，t，δ）是（Xt，Yt）的函数，因此我们可以定义正向价格函数p（t，X，Y）=ET+δ“PT，TPT，T+δ- （1+δK）+Xt=x，Yt=y#。（25）第3.1小节的目标是获得关于的P的二阶展开式（27）。3.1.1变量的方便变化我们希望得到关于的caplet价格的展开式。为此，我们需要先验地得到过程（X，Y）的极小生成元在概率QT+δ下的展开式。然而，我们可以在改变变量之前简化这种方法。因此，我们定义=A（t，t，δ）+Tr(D（t，t，δ）Xt+B（t，t，δ）是的A（t，t，δ）=A（t，t）- A（t，t+δ）(BD） （t，t，δ）=（B，D）（t）- （t）- （B，D）（T+δ- t） 因此，我们有pt，TPt，t+δ=eHt。众所周知，pt，TPt，T+δ是QT+δ下的鞅，参见Brigo and Mercurio[8]中的命题2.5.1。

因此，我们从（21）和（22）中得到（X，H）解以下SDEdXt=(Ohm + （d）- 1） Ind+bT+δ（t）Xt+Xt（bT+δ（t））)dt+pXtdWT+δtInd+Ind（dWT+δt）pXt，dHt=-BcXtcB+4Tr(丁DXt）+2(BcXtDIndρ）dt+BC√Xt（dWT+δtρ+’ρdZT+δt）+2Tr(D√XtdWT+δtInd）。（26）因此，P（t，x，y）=ET+δheHT- （1+δK）+|Xt=x，Yt=yi仅取决于（x，y）到（x，h），其中h=B（t，t，δ）y+Tr(D（t，t，δ）x+A（t，t，δ），我们仍然用符号sp（t，x，h）=ET+δh来表示eHT- （1+δK）+|Xt=x，Ht=hi。让我们强调变量的这种变化对于应用类似于Bergomi和Guyon[7]的展开程序至关重要。它允许减少潜在状态变量的维数。这个变量是一维的，它是caplet收益中唯一的变量。虽然从模型的定义可以明显看出这一点，但我们坚持认为，CAPlet的隐含波动率是各因素的函数。这在SDE（26）中表现得很明显，可以将其视为远期伦敦银行同业拆借利率的连续版本，其波动性仅取决于因子X。3.1.2价格的扩展从SDE（26）、（9）、（10）和（11）中，我们得到P的以下PDE表示：tP+L（t）P=0P（t，x，h）=（eh- （1+δK））+式中，L（t）是（26）的最小生成元。我们假设P允许二阶展开式P=P+P+P+o（）。（27）我们的目标是以非常明确的方式计算P，Pand P的值。我们在推导中假设这些函数P，Pand P足够光滑。为了确定P，Pand P的值，我们按照Bergomian和Guyon[7]进行，并对生成元L（t）=L（t）+L（t）+L（t）+。为了获得P满意的偏微分方程，P。

也就是说，我们获得tP+L（t）P=0，P（t，x，h）=（eh- （1+δK））+，tP+L（t）P+L（t）P=0，P（t，x，h）=0，tP+L（t）P+L（t）P+L（t）P=0，P（t，x，h）=0。因此，我们可以先解P的偏微分方程，然后解Pand的偏微分方程，依此类推。让BS（h，v）=Eh经验H-五+√vG- （1+δK）+我和G~ N（0，1）表示已实现波动率v的Black-Scholes价格。我们很容易得到p（t，x，h）=BS（h，v（t，t，δ，x）），其中v（t，t，δ，x）=ZTtB（u，T，δ）cXu-t（x）cB（u，T，δ）du，（28）Xs（x）=ebsx+Zse-日分OhmE-B乌杜电子束s、 （29）高阶项由p（t，x，h）给出=c（t，t，δ，x）(H- h） +c（t，t，δ，x）(H- h）P（t，x，h）（30）和P（t，x，h）=”d（t，t，δ，x）(H- h） +d（t，t，δ，x）(H- h）h+d（t，t，δ，x）(H- h）+e（t，t，δ，x）(H- h）h+e（t，t，δ，x）(H- h）h+e（t，t，δ，x）(H- h） （31）+e（t，t，δ，x）(H- h）h+e（t，t，δ，x）(H- h）h+e（t，t，δ，x）(H- h）#P（t，x，h）。这些简单但繁琐的计算细节可以在网上找到http://arxiv.org/abs/1412.7412在本文的第一稿中，我们介绍了Caplet和Swaption。附录A.1给出了系数ci、Dian和Ei。我们记得衍生品可以明确计算关于toh的ihPof P，因此从计算时间的角度来看，扩展非常有效，见第5节。备注11——很容易获得由δFCaplet（t，t，δ）=BS（h，vImp）定义的隐含挥发性的展开式vImp=v+v+v+o（）。我们得到了预期的v=v（t，t，δ，x）和v=c（t，t，δ，x）+c（t，t，δ，x）-H- 对数（1+δK）v. （32）由于CNO和CDE都不在走向上倾斜，因此倾斜处于与c成正比的一阶，也就是说，倾斜的角度是ρ的线性函数。