用高斯项结构模型微笑

操作员LCQI是以下SDE的微型生成器（Yt=y+ρqRt√XsdWsgqd，Xt=x+Rt（d- 1） eqds+Rt√XsdWseqd+eqddWs√Xs。（51）因此，X遵循基本的Wishart过程，并保持在S+d（R）中。使用[1]的符号，XT遵循法律W ISd（x，d- 1,0,eqd，t）。[1]中的定理9和16分别给出了该过程的精确离散化方案和第二（或更高）离散化方案。现在，我们解释如何计算已采样的Ytonce。从（51）开始，我们有一个≤ 我≤ d、 d（Yt）i=ρqdXj=1（pXt）i，j（dWt）j，q，d（Xt）q，i=dXj=1（pXt）i，j（dWt）j，q+i=q（d）- 1） dt+dXj=1（pXt）q，j（dWt）j，q.这就产生了（Yt）i=yi+ρq（（Xt）q，i）- 如果i6=q，（Yt）q=yi+ρq2[（Xt）q，q- xq，q- （d）- 1） [t]。将这些公式与Xt的精确（二阶）格式结合起来，我们得到了（51）的精确（二阶）格式。通过使用组合规则（48），我们得到了（49）的二阶格式。4.2当Ohm - Ind∈ 如[1]所述，LQR中每个基本Wishart过程的采样需要一个时间复杂度为O（d）的Cholesky分解。由于上述提出的二阶方案称为n≤ d乘以这个程序，整个方案最多需要O（d）操作。

然而，通过调整[1]中已经用于Wishart过程的想法，如果我们另外假设：Ohm -Ind∈ S+d（R）。现在我们提出了一种只需要O（d）运算的替代方案。我们考虑算子（49）的分裂L=~L′+~L′+^L，~L′=X1≤i、 j≤d(Ohm - Ind+bx+xb)i、 jxi，j^L=X1≤我≤ndxi，i+dXm=1X1≤i、 j≤d[xm，i（Indρ）j+xm，j（Indρ）i]xi，jym+Pnq=1ρqdXm，m′=1xm，m′嗯ym′+X1≤i、 j，k，l≤d[xi，k（Ind）j，l+xi，l（Ind）j，k+xj，k（Ind）i，l+xj，l（Ind）i，k]xi，jxk，l。同样地，~l\'是线性常微分方程x′（t）=Ohm - Ind+（d）- 1） Ind+bx+xb这可以通过[1]中的引理27精确求解，并保持在半有限正矩阵集合中Ohm - Ind∈ S+d（R）。我们已经在上面看到，发生器L′可以被精确采样，现在我们将重点放在^L.Itrelies的采样上，结果如下。引理12-对于x∈ S+d（R）我们考虑c∈ Md（R）使得cc=x。我们定义Ut=c+W，Xt=UTUT和Yt=y+RtUsdWsIndρ。然后，过程（X，Y）具有最小生成器^L证明：对于1≤ i、 j，m≤ d、 我们有d（Xt）i，j=Pdk=1（（Ut）k，i（dWt）k，jj≤n+（Ut）k，j（dWt）k，ii≤n） +i=j≤nddt和d（Yt）m=Pdk，l=1（Ut）k，m（dWt）k，l（Indρ）l。这导致hd（Yt）m，d（Yt）m′i=dXk，l=1（Ut）k，m（Ut）k，m′（Indρ）ldt=nXl=1ρl！（Xt）m，m′dt，hd（Yt）m，d（Xt）i，ji=[（Indρ）j（Xt）m，i+（Indρ）i（Xt）m，j]dt，hd（Xt）i，j，d（Xt）k，li=[（Xt）i，k（Ind）j，k+（Xt）j，k（Ind）i，l+（Xt）j，l（Xt）j，l（Ind）i，k]dt，它精确地给出了生成器^l。多亏了引理12，它足以构造（U，Y）的二阶格式。

由于hd（Yt）m，d（Ut）i，ji=（Ut）i，m（Indρ）jdt，（U，Y）的最小生成元L由L=dXi=1nXj=1给出xi，j+dXi，m=1nXj=1ρjxi，mxi，jym+Pnq=1ρqdXm，m′=1（xx） m，m\'嗯y′m.我们现在使用“L=Pnq=1”和“Lq=dXi=1”的拆分xi，q+dXi，m=1ρqxi，mxi，qym+ρqdXm，m′=1（xx） m，m\'嗯y’m.通过简单的演算，我们发现‘Lqis’是以下SDEdYt=ρqU的生成器tdWtgqd，dUt=dWteqd。我们注意到，只有U的qthrow被修改为1≤ 我≤ 我们有d（Ut）i，q=（dWt）i，qand d（Yt）m=ρqPdj=1（Ut）j，m（dWt）j，q。这就产生了（Yt）m=（Y）m+ρqdXj=1（U）j，m（Wt）j，qform6=q，（Yt）q=（Y）q+ρqdXj=1（U）j，q（Wt）j，q+ρqdXj=1{（Wt）j，q- t} 。通过使用这些公式，我们可以精确地采样（Ut，Yt），然后得到^L的二阶方案。我们注意到，\'lqr的模拟成本需要O（d）运算，然后，\'L的模拟成本需要O（d）运算。因为矩阵乘法需要O（d）运算，所以对于‘L，然后对于L，这个二阶方案需要O（d）运算，而不是第4.1小节中描述的方案的O（d）。注13——如前所述，过程X和Y之间的依赖性与Da Fonseca、Grasselli和Tebaldi[14]提出的资产回报模型相同。因此，我们可以使用第4.1和4.2小节中提出的相同格式，为其模型构造二阶格式。4.3数值结果0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4.5 5-0.47-0.46-0.45-0.44-0.43-0.42-0.41方案2精确值方案1方案30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.270.280.290.30.310.320.330.340.350.36方案1精确值图5：弱误差收敛。参数：p=d=3，10个蒙特卡罗样本，T=5。E的真正价值经验-我Tr（ΓXT）+∧YT, 作为时间步长T/N的函数。左：Γ=0.0 5Id，∧=0.02 1d，扩散参数x=0.4Id，y=0.21d，Ohm = 2.5Id，n=d，ρ=0，b=0，κ=0，c=Id。

通过求解ODE得到的值：-0.445787. 右图：Γ=0.2Id+0.04q，∧=0.21d扩散参数x=0.4Id+0.2q，y=0.21d，Ohm = 0.5Id，n=d，ρ=-0.3 1d，b=-0.5Id，κ=0.1Ip，c=Id，其中qi，j=i6=j。通过求解ODE得到的值：0.357901。对于每个方案，两条曲线代表95%置信区间的上下限。现在，我们转向我们提出的离散化方案收敛性的实证分析。我们将使用以下符号：方案1是第4.1小节给出的二阶方案，其中我们使用Wishartpart的精确样本和高斯变量的精确模拟方案2是第4.1小节中给出的二阶方案，其中我们对Wishart部分使用二阶方案，并将高斯变量的模拟替换为与五阶矩匹配的随机变量，参见[1]中的定理16和方程（36）。o方案3是第4.2小节给出的二阶方案。为了评估我们为L提出的潜在二阶方案确实给出了2阶的弱误差，我们从分析我们可以解析计算的量的弱误差开始。也就是说，我们考虑经验-我Tr（ΓXT）+∧YT, 可以通过解一个类似于（15）的微分方程组来计算。然后，我们将蒙特卡罗模拟得到的数值与求解微分方程组得到的数值进行比较。如图5所示，我们观察到一个弱误差，它与O（1/N）的速率兼容。当它被明确定义时，方案3必须优先考虑，因为它比其他方案快得多。5不同数值方法的比较本节的目的是比较使用不同数值方法在模型中为普通仪器定价所需的计算时间。

我们考虑了一个6M×1Y的caplet，其罢工率为1%，这意味着st=1，δ=1/2，其价格由δE[E]给出-RTrsds（1-（1+Kδ）PT，T+δ）+]=P0，TδET[（1-（1+Kδ）PT，T+δ）+]。我们将对比Carr、Madan[9]和Lee[26]提出的傅里叶反演方法的展开式和蒙特卡罗方法。他们的方法可以通过与远期Caplet价格合作直接应用于Caplet。让我们注意到，这种方法可以通过与我们用于展开的方法相同的近似来适应交换选项，参见Schrager和Pelsser[31]以及Singleton和Umantsev[32]。这里我们考虑以下四种数值方法Monte Carlo方法，包括使用时间步长为1/8的（X，Y）的二阶格式和10000条路径来近似δE[E]-RTrsds（1-（1+Kδ）PT，T+δ）+]扩展到订单2。定义系数ci、Dian和Ei的积分使用梯形规则和1/20的时间步长进行近似PT下的傅里叶变换。从T-向前测度下的期望出发，我们使用Carr和Madan[9]的构造。在[9]的方程（5）中，我们使用α=1.25，在753处截断积分，并使用辛普森规则，离散化步骤为1/8。因为我们这里只计算一个价格，所以我们不使用FFT，因为FFT会在离散化网格和罢工网格之间产生进一步的约束PT+δ下的傅里叶变换。这是从公式（25）开始的相同方法，我们使用相同的参数来近似积分和α。定价方法价格（bp）Cpu时间（s）MC价格51.75±1.46（95%置信区间）43.3扩展52.33 0.686傅立叶在PT53下。84 31.6 PT+δ下的傅里叶变换52.87 33.6表1：使用参数集（46）和ρ的不同方法，计算出罢工率为1%的6M×1Y caplet的价格=(-0.4, - 0.2).

计算是在一台配有4Go内存和2.13GHz CPU的个人笔记本电脑上进行的。引人注目的事实是，基于傅里叶变换的方法在这种情况下并不那么有效，即使傅里叶反演是一维的。原因是傅里叶变换的计算需要数值求解矩阵Riccati微分方程，我们的时间步长为1/8。图6表明，在我们的案例中，至少需要2000次评估，才能获得与蒙特卡洛方法类似的精度。因此，Carr和Madan方法的基本应用并不十分有效：瓶颈在于找到一种更智能的方法来计算特征函数。相比之下，蒙特卡罗方法不太耗时，可以同时计算所有罢工和到期的价格。最后，我们观察到，扩张法比其他方法快得多，但如第3.3节所示，仅限于短期到期。因此，它可以作为一种工具，用于快速校准模型，使其符合一些关键特性，例如按货币价格和倾斜。结论本论文的贡献是双重的。首先，本文的目的是为利率模型定义一个Wishart驱动的af-neterm结构模型，其中模型的参数和状态变量根据收益率曲线动力学进行了清晰的解释，并提供一个有效的数值框架来实现该模型。Bensusan[6]或Gnoatto[25]提出了其他涉及Wishart过程的期限结构模型。一般的有限期结构模型的一个缺陷是提供了大量的参数化，而从业者几乎没有直觉。

在这里，我们认为，将该模型作为标准LGM模型的一个补充，是掌握它、更好地理解参数并为校准程序设定起点的好方法。让我们在这里提到，获得可靠和稳定的模型校准程序超出了本文的范围。特别是，选择1 000800 1 200 1 400 1 600 1 800图6:6M×1Y caplet的傅里叶变换价格的收敛性，其罢工率为1%，时间步长为1/8，与离散化步数nst成函数关系。因此，在[0，nst/8]上进行了集成。平行线表示MC获得的95%置信区间。应在实际数据上讨论尺寸p和d。此外，我们在本文中选择了用常数（与时间相关的参数相反）来表示模型：只有这些因素是用来描述利率市场状态的。因此，与具有时间相关参数的完全非齐次期限结构模型（如皮特堡[28]的随机波动率远期伦敦银行同业拆借利率模型，以及Andreasen[4]中考虑的随机波动率切耶特模型）相比，该模型对互换期权波动率立方体进行校准的灵活性先天有限。关于我们模型的校准以及其他模型的比较，还有待进一步研究。本文的另一个贡献是研究了该模型的不同数值方法。我们知道，拥有有效的数值方法是使用模型的先决条件。此外，我们的结果对基于Wishart动力学的其他模型也很有趣。由于状态变量的动力学是确定的，它们的傅里叶变换和拉普拉斯变换是可处理的，可以通过求解常微分方程获得。

因此，傅里叶变换定价方法可以应用于模型中的利率期权定价。然而，我们的数值研究结果表明，基于傅里叶变换的标准定价方法存在数值效率问题。这是由于特征函数的计算相当长，同时傅里叶变换离散化的收敛速度较慢。为了使该方法更具吸引力，必须研究一种更智能的方法来评估特征函数并求解相应的微分方程。作为替代方案，我们开发了一种基于状态变量内生元扰动的普通利率期权定价方法。该方法为通常用于模型校准的产品提供了快速定价工具。该方法对短期到期特别有效，但对长期期权则存在局限性。此外，该扩展还提供了caplet和swoptions的隐含波动率的分析表达式。这对于确定参数作用的直观性很重要，并可用于初始化校准程序。最后，我们提出了模型的二阶离散化方案，这对蒙特卡罗方法的运行是有用的。该方案易于实施，在实践中非常有效。此外，它还可以方便地适用于更广泛的金融模型，这些模型在向量Y及其瞬时Wishart协方差矩阵X之间使用相同的依赖结构，例如Da Fonseca等人开发的Wishart af fine随机相关模型[13,14]。

此外，据我们所知，一阶-二阶离散化方案能够处理这种瞬时协方差结构。价格展开式的显式公式。1 Caplets price expansion我们首先将D的扩展写入订单1，我们从（15）中得到D（t）=D（t）+D（t）+O（），其中˙D=Db+bD+cBBC- γ、 D（0）=0和˙D=Db+bD+DIndρBc+cBρIndD，D（0）=0。然后我们得到d（t）=ebT中兴通讯-BsCB（s）B（s）C-γE-bsdsebt（52）D（t）=ebT中兴通讯-BsCB（s）ρIndD（s）+D（s）IndρB（s）CE-bsdsebt。（53）我们记得Xs（x）由（29）定义。公式（30）和（31）的系数由c（t，t，δ，x）=ZTt给出B（s，T，δ）cXs-t（x）xv（s，T，δ）Indρds，c（T，T，δ，x）=ZTtB（s，T，δ）cXs-t（x）D（s，T，δ）Indρ+B（T+δ- s） cXs-t（x）xv（s，T，δ）Indρds，e（T，T，δ，x）=ZTtc（s，T，δ，x）B（s，T，δ）cXs-t（x）xv（s，T，δ）Indρds，e（T，T，δ，x）=ZTtc（s，T，δ，x）[(B（s，T，δ）cXs-t（x）D（s，T，δ）Indρ）+B（T+δ- s） cXs-t（x）xv（s，T，δ）Indρ]+c（s，T，δ，x）B（s，T，δ）cXs-t（x）xv（s，T，δ）Indρds，e（T，T，δ，x）=ZTtc（s，T，δ，x）[(B（s，T，δ）cXs-t（x）D（s，T，δ）Indρ）+B（T+δ- s） cXs-t（x）xv（s，T，δ）Indρ]ds，e（T，T，δ，x）=ZTt2B（s，T，δ）cXs-t（x）xc（s，T，δ）Indρds，e（T，T，δ，x）=ZTt2B（T+δ- s） cXs-t（x）xc（s，T，δ）Indρ+2B（s，T，δ）cXs-t（x）xc（s，T，δ）Indρds，e（T，T，δ，x）=ZTt2B（T+δ- s） cXs-t（x）xc（s，T，δ）Indρds。and d（t，t，δ，x）=zttr印第安纳州xv（s，T，δ）Xs-t（x）xv（s，T，δ）dsd（t，t，δ，x）=ZTt2TrD（s，T，δ）Xs-t（x）xv（s，T，δ）Inddsd（t，t，δ，x）=ZTt2Tr(D（s，T，δ）IndD（s，T，δ）Xs-t（x））+(B（s，T，δ）cXs-t（x）D（s，T，δ）Indρ）+Tr（（d）- 1） Ind+4Xs-t（x）D（t+δ）- s） （印度）xv（s，T，δ）ds。A.2互换价格扩展我们有DS=DS+DS+o（），其中dsi（t）=ωDi（t- （t）- ωmDi（T+mδ）- （t）-S（T，m，δ）mXk=1ωkDi（T+kδ）- t） ，i=0，1，其中函数d和d由（52）和（53）给出。

公式（44）和（46）的系数是给定的Nbycs（t，t，x）=ZTtBS（u）cXu-t（x）xvS（u，T）Indρdu，cS（T，T，x）=ZTtBS（u）cXu-t（x）DS（u）Indρ+BA（u）cXu-t（x）xvS（u，T）Indρdu，dS（T，T，x）=zttr（IndxvS（u，T）Xu-t（x）xvS（u，T）du，dS（T，T，x）=ZTt2Tr（dS（u）Xu-t（x）xvS（u，T）Ins）du，dS（T，T，x）=ZTt[2Tr（dS（u）IndDS（u）Xu-t（x））+（BS（u））cXu-t（x）DS（u）Indρ]+Tr[2Xu-t（x）DA（u）Ind+（d）- 1） [Ind]xvS（u，T）du，eS（t，t，x）=ZTtcS（u，t，x）（BS（u））cXu-t（x）xvS（u，T）Indρdu，eS（T，T，x）=ZTtcS（u，T，x）学士（u）cXu-t（x）DS（u）Indρ+BA（u）cXu-t（x）xvS（u，T）Indρ+ cS（u，T，x）BS（u）cXu-t（x）xvS（u，T）Indρdu，eS（T，T，x）=ZTtcS（u，T，x）学士（u）cXu-t（x）DS（u）Indρ+BA（u）cXu-t（x）xvS（u，T）Indρ+ 2BS（美国）cXu-t（x）xcS（u，T）Indρdu，eS（T，T，x）=ZTt2BA（u）cXu-t（x）xcS（u，T）Indρ+2BS（u）cXu-t（x）xcS（u，T）Indρdu，eS（T，T，x）=ZTt2BA（u）cXu-t（x）xcS（u，T）Indρdu。B命题证明4我们首先回顾以下有用的结果x、 y∈ S+d（右），Tr（xy）≥ 0，（54）很容易从Tr（xy）=Tr得到(√xy√x） 及√xy√十、∈ S+d（R）。对于x，y∈ Sd（R），我们使用符号x≤ y如果y- 十、∈ S+d（R）。根据假设，存在u>0这样的2uId≤ -（b+b）). 现在我们用∧=0和Γ=0应用命题2。自kλ（t）k≤ k∧k，有一个常数>0，它足够小，以至于对于任何∧∈ rdk∧k<hT≥ 0，uId≤ -[b+Indρλc+（b+Indρλc）] andcλλC≤u8idb通过选择Υ=u4Id，我们看到条件（14）是满足的，因为u4Id-u8Ind-CλλC∈ 所有t的S+d（R）≥ 因此，命题2的结论适用于任何∧∈ RdandΓ∈ Sd（R）使得k∧k<h和Γ≤u4Id，我们有g（t）≤u4i对于任何t≥ 我们现在想证明λ（t）→T→+∞0，g（t）→T→+∞0和η（t）在t时收敛→ +∞.