权益期权定价中的收益公告会计处理

设A（t，S；u）表示美式期权价格，如（6.1）所示，Te=u。然后，wehaveA（t，S；l）≤ A（t，S；u），l≥ u>t.（6.6）因此，随着EA日期的临近，美式期权价格单调下降。因此，A（t，S；t）和A（t，S；t）分别成为美式期权价格A（t，S；u），t的上界和下界≤ U≤ T作为一个有趣的比较，欧洲期权价格完全独立于确切的EA日期，只要是在到期日或之前。在图9（右上方）中，我们展示了美式看跌期权的时间价值，包括不同的公告时间段内的行权、到期日和现货价格。与P-Proposition 6.1一致，Americanput的时间值在Te中确实是单调递减的。为了解决问题（6.3）-（6.4），我们使用了Jackson等人（2008）提出的基于傅里叶变换的方法。除非Te=T或Te=0+，否则我们在（6.3）中向后求解D，执行数值积分，并将其作为问题（6.4）的最终条件，问题（6.4）也在时间上向后求解。图9（左）显示了在具有DEEA跳跃的Kou模型下，不同TEUN值的练习范围，以及其他常见参数。当然，预定的公告会在执行边界中引入一个中断。我们用三个十字架标记EA日期。正如所料，在最长的日期之后，三条边界重合。有趣的是，行权边界在Te附近的一段时间内迅速减小，这意味着期权持有人更有可能等到收益公告，而不是立即行权。这也可以从期权的时间价值上看出来。

在图9（右图和下图）中，我们说明了美国看跌期权的时间价值随着时间接近EA日期而增加，无论是履约价格还是现货价格都是固定的。6.2分析近似Barone Adesi和Whaley（1987）提出的一种分析近似美式期权价格的主要方法是用欧式期权价格加上修正项来表示美式期权价格。修正项被确定为BlackScholes方程的近似解，加上基本边界条件。Kou和Wang（2004）在Kou模型下给出了美式期权价格的解析近似。在这里，我们采用巴龙-阿德西近似，并将其应用于扩展的寇模型。当Te=T时，近似值实际上与原始值相同。让PE（t，S）表示欧洲的pu t pr ice（如命题3.1所示）。美式看跌期权的近似价格类似于Kou和Wang（2004）的价格，由A（t，S）=（PE（t，S）+γS给出-β+γS-β、 如果S>α（t），（K- S） +，如果是≤ α（t），（6.7）美式看跌期权的时间价值定义为- （K）- S） +其中A是卖出价，S是现货价，K是履约价。在现货价格固定的情况下，不平等性（6.6）也适用于相应的时间值。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.3565707580859095100时间点价格0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.1600.020.040.060.08时间点-值0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.32.9833.023.04 t时间-数值图9：左图：当茶水消耗不同数值时，美国人会将运动边界设定为Te=1、2、3个月。右图：当技术发生变化时，带点击的看跌期权（顶部）的时间值设定为99.79美元，当Te=2个月且时间t发生变化时，带点击的看跌期权（底部）的时间值设定为100美元，带点击的看跌期权（底部）的时间值设定为87.33美元。

参数s:r=0.02，T=4个月，σ=0.1，κ=252，p=0.5，λ=300，λ=300，u=0.5，η=30，η=30，正常数γ≡αββ- ββK- （1+β）（α+PE（t，α））+Ke-r（T）-t） q（α（t））, (6.8)γ≡αββ- ββK- （1+β）（α+PE（t，α））+Ke-r（T）-t） q（α（t））, （6.9）其中q（s）≡ Q{ST≤ K | St=s}，和β1,2,0<β<λ<β<∞, 这是方程式的两个正解- E-r（T）-t） =βmκ-σ- R+σβ+ κpλ+β+（1）- p） λ- β- 1.. （6.10）同样，α（t）∈ [0，K]是方程K的解- c（α（t）+PE（t，α（t））=（c- c） 柯-r（T）-t） q（α（t）），（6.11），其中c=ββ（1+λ）和c=λ（1+β）（1+β）。PE（t，S）和q（S）的解析表达式可直接从命题3.1中获得。与Kou和Wang（2004）中给出的公式（见公式（7））不同，PE（s，t）、q（α（t））、γ1,2和α的计算解释了EA跳跃r.v.Ze（见附录A.6）。当t≤ Te<T，我们可以使用与推导上述近似值相同的方法，将美式期权写成A（T，S）=Ene-r（Te）-t） ~A（Te，STe）|St=So+（t，S）。的函数形式是相同的，（t，S）=γS-β+γS-β、 因为它来自同一个PIDE（见Ap pendixA.6）。在相应地调整时间参数后，常数β和β实际上是方程（6.10）的解。如果EA跳转即将发生（Te=t+），我们需要评估预期enAt+，SeZeo、 wher e S是时间t时的库存p大米。

从（6.7）开始，这相当于计算^+∞-∞PE（t+，Sez）+γe-βzS-β+γe-βzS-β{Sez>α}+（K-经济特区）1{Sez≤α}fZe（z）dz（6.12）K\\TeT-2D 1.5M 3D T 0-T-1.10.10 0 0 0.10 0 0 0.10 0 0 0.10 0 0 0.10 10 0 0 0.10 10 10 0 0 0.10 10 0 0 0.10 0 0 0.10 0 0 0 0.10 0 0 0 0 0.10 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.60 2.63 2.54 2.62 2.537.35 7.39 7.40 7.36 7.38 7.32 5.68 5.815.91 5.70 5.91 5.6611.07 11.11 11.14 11.06 11.11 10.98 10.01 10.10 10.10.28 10.03 10.30 9.8715.36 15.40 15.45 15.35 15.42 15.20 15.00 15.00 15.00 15.08 15.00 15.10 14.5720.07 20.14 20.04 20.13 19.77 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.01 20.00 20.04 19.45表4：扩展Kou模型下的美式看跌期权价格与DE EA跳跃。“FST”列显示了通过傅里叶变换方法计算出的三种不同TEA值的价格，有效期T=3个月。扩展巴龙-阿德西近似值（6.7）和（6.12）在“BAL”和“BAU”列下给出。“EU”列显示了相应的欧式卖出价格（见（3.2））。前6列用模型参数计算：S=100，r=0.02，σ=0.2，κ=2 52，p=0.5，λ=300，λ=300，u=0.5，η=30，η=30。最后6根柱的S=100，r=0.02，σ=0.07，κ=200，p=0.5，λ=350，λ=350，u=0.5，η=25，η=25。式中，α、γ1,2和β1,2由（6.8）-（6.11）确定。请注意，在时间t处，没有自A（t，S）起的行权边界≥ （K）- S） +由于詹森的不平等。在具有双指数E A跳跃的扩展Kou模型中，可以在类似于命题3.1的情况下获得半闭公式。在表4中，我们给出了在扩展Kou模型下，不同行使次数和到期日的美式看跌期权价格的数值结果。

我们将从四个ier变换方法计算的价格与分析近似值（6.7）和（6.12）进行比较。对于模型参数、罢工和到期日的不同选择，当~ t还是Te~ T对于第二个s etof参数（最后6列），EA跳跃对期权价格的影响更大，因为跳跃的尾部更胖，而动态的其他部分的波动性更低。在这种情况下，不同TEI值的“真实”价格之间的差异会增加，两种近似值之间的差异也会增加，当TEI不接近t或t时，这两种近似值可能不适合近似货币期权的期权值。附录在这个附录中，我们提供了一些详细的证明和公式。A.1公式（3.2）的细节在本节中，我们在（3.2）中明确地写出了函数Υ的表达式。为了便于记法，我们将作为Υ输入的参数称为向量Θ≡ (θ, ..., θ). 此外，设Θ是向量Θ的一个置换，其中只有第8和第9个分量（随机定时跳转的参数）被切换。

函数Υ由Υ（Θ）给出=∞Xn=0（θ）ne-θn！Zn（Θ），（A.1），其中Zn（Θ）=θnXl=0（Pn，lT1，n（k，Θ）+Qn，lT2，n（k，Θ））+θnXl=0（Pn，lT3，n（k，Θ）+Qn，lT4，n（k，Θ）），k=logθθ-θ-θ- mκθ- α、 m=pλ- 1+qλ+1- 1，T1，n+1（s，Θ）=θ-θT1，n（s，Θ）- θe（θ）θ√2πθpθ宁s-θ, -θ√θ, -θpθ,T2，n+1（s，Θ）=θ+θT2，n（s，Θ）+θe（θ）θ√2πθpθ宁sθ,θ√θ, -θpθ,T3，n+1（s，Θ）=1- T2，n+1-s、 Θ, T4，n+1（s，Θ）=1- T1，n+1-s、 Θ,T1,0（s，Θ）=T2,0（s，Θ）=θe（θ）θ/2√2πIs-θ, -θ√θ, -θpθ,T1,1（s，Θ）=θ-θe（θ）θ√2πIs-θ,-1θ√θ, -θpθ-e（θ）θ√2πIs-θ,-1θ√θ, -θpθ,T2,1（s，Θ）=θ-θe（θ）θ√2πIs-θ,-1θ√θ, -θpθ-e（θ）θ√2πIs-θ,-1θ√θ, -θpθ,Pn，m=n-1Xi=mN- M- 1i- M镍θθ+ θ我-Mθθ+ θN-iθi（1）- θ） n-i、 Qn，m=n-1Xi=mN- M- 1i- M镍θθ+ θN-我θθ+ θ我-mθn-i（1）- θ） i，Pn，n=θn，Qn，n=（1）- θ） n，P0,0=1，Q0,0=0，Hhn（x）=n（Hhn-2（x）- xHhn公司-1（x）），Hh（x）=^-十、-∞E-t/2dt，In（k；α，β，δ）=-eαkαHhn（βk- δ） +βα-1.我-1（k；α，β，δ）=√2πβeαΔβ+α2βΦ-βk+δ+αβ如果β>0α6=0，-Φβk- δ -αβ如果β<0α<0。正如这些定义所表明的，公式的实施涉及函数的连续计算，然后是（a.1）中必须截断的求和。为了控制错误或错误，我们通知≤ 2和误差界Υ（Θ）-MXn=0（θ）ne-θn！锌（Θ）≤ 2.∞Xn=M+1（θ）ne-θn！=2.- 2MXn=0（θ）ne-θn！≡ （θ，M）。这可以直接从A.2中提出的命题3.1的证明中得到验证。因此，如果我们在第m项截断（3.2）中的总和，则会给出上边界f或误差-αS（（m+1）κT，m）+e-rTK（κT，M）。这可以快速计算，并用于将误差限制在预先需要的小数点位。例如，取S=K=100，T=1，误差容限为0.01。

然后，用κ≈ 100，m，α<0.001，我们得到m=143。A.2命题的证明3.1为了给欧式看涨期权定价，我们需要评估术语Q{ST>K}和EeST{ST>K}.我们首先陈述一些有用的事实（参见Kou（2002）的证据）。引理A.1。定义两个i.i.d.指数r.v.，即J+i~ Exp（λ），J-我~ Exp（λ）。为了埃弗林≥ 1，我们有nxi=1Jid=（Pmi=1J+i，w.p.Pn，m，Pmi=1J）-i、 w.p.Qn，m，其中pn，m=n-1Xi=mN- M- 1i- M镍λλ+ λ我-Mλλ+ λN-ipiqn-i、 Qn，m=n-1Xi=mN- M- 1i- M镍λλ+ λN-我λλ+ λ我-mpn-像质计，Pn，n=Pn，Qn，n=Qn，P0,0=1，Q0,0=0，q=1- p、 接下来，每n≥ 0，我们定义了函数shhn（x）=^∞xHhn公司-1（y）dy=n！^∞x（t）- x） 东北-tdt，Hh-1（x）=e-x/2，Hh（x）=^∞xe-tdt=√2πΦ (-x） 式中，Φ（x）表示标准的正常c.d.f.此外，f或n≥ 0，定义积分（k，α，β，δ）=^∞keαxHn（βx- δ） dx。引理A.2。（i） 如果β>0且α6=0，则对于所有n≥ -1，我们有（k，α，β，δ）=-eαkαnXi=0βαN-iHhi（βk- δ) +βαn+1√2πβeαΔβ+α2βΦ-βk+δ+αβ.Hh函数可以使用以下任一事实进行计算：Hhn=2-N√πe-十、Fn+1,x√2Γ1+n - xFn+1,xΓn+1,nHhn（x）=Hhn-2（x）- xHhn公司-1（x），n≥ 1，其中f表示反超几何函数，Γ表示伽马函数。（ii）如果β<0和α<0，则对于所有n≥ -1，我们有（k，α，β，δ）=-eαkαnXi=0βαN-iHhi（βk- δ) -βαn+1√2πβeαΔβ+α2βΦβk- δ -αβ.特别是，我-1（k；α，β，δ）=√2πβeαΔβ+α2βΦ-βk+δ+αβ如果β>0，α6=0，-Φβk- δ -αβ如果β<0，α<0。此外，在上述参数α和β的假设（i）或（ii）下，函数（In）满足递归关系（k；α，β，δ）=-eαkαHhn（βk- δ） +βα-1（k；α，β，δ）。在扩展的Kou模型中，我们需要了解随机时间和EA跳跃的双指数分布和的分布。因此，我们考虑相关的p.d.fs、 引理A.3。让Z+e，Z-艾比身份证。

指数r.v.，Z+e，~ Exp（η），Z-E~ Exp（η）。此外，letJ+i，J-i、 Z+e，Z-埃比独立。那么，我们有fPnj+i+Z+e（t）=λ-η!N安（t）e-λt+Bn（t）e-ηt, t>0，λ6=η，（A.2）f-PnJ-i+Z+e（t）=λ+η！nCn（t）eλmin（0，t）-ηmax（0，t），t∈ R、 λ6=η（A.3），其中fy表示Y的p.d.f，bn（t）=- η-（n）-1） ，An（t）=1+n-1Xiη-（一）-1)λ-ηN-iλn-i（t）n-i（n）- i） ！，t>0，Cn（t）=Cn-1（t）λ+λn-1（最大（0，t）- t） n-1（n）- 1)!, T∈ R.此外，它们满足以下递归关系：fPn+1J+i+Z+e（t）=λ（λ- η)fPnJ+i+Z+e（t）- λn（t）nn！ηe-λt, （A.4）f-Pn+1J-i+Z+e（t）=λ+ηF-PnJ-i+Z+e（t）+λn（max（0，t）- t） nn！ηeλte-（λ+η）最大值（0，t）. （A.5）证据。我们首先注意到，正r.v.，J+i+Z+e，具有p.d.f.^tλe-λ（t）-x） ηe-ηxdx=λ-ηE-λt- E-ηt≡λ-η!A（t）e-λt+B（t）e-ηt, t>0，λ6=η。现在假设一个固定的n≥ 1，fPnJ+i+Z+e（t）=λ-ηN安（t）e-λt+Bn（t）e-ηt, 我们得到了fpnj+i+Z+e（t）=^tλn（t）- x） n-1（n）- 1)!E-λ（t）-x） ηe-ηxdx=λn（t）nn！ηe-λt+（λ- η） λfPn+1J+i+Z+e（t）==> fPn+1J+i+Z+e（t）=λ（λ）- η)fPnJ+i+Z+e（t）- λn（t）nn！ηe-λt=λ-η!n+1An+1（t）e-λt+Bn+1（t）e-ηt,其中，满足系数Bn+1=ηBn，An+1=η- Cn+1，Cn+1=λ-ηnλn（t）nn！，Bn=- η-（n）-1） ，An=1+n-1Xiη-（一）-1)λ-ηN-iλn-i（t）n-i（n）- i） ！，这就产生了（A.2）。接下来，我们注意到实值r.v。-J-i+Z+ehas p.d.f.^∞max（0，t）λeλ（t-x） ηe-ηxdx=eλmin（0，t）-ηmax（0，t）λ+η，t∈ R、 λ6=η。对于固定的n≥ 1，假设在f-PnJ-i+Z+e（t）=λ+ηnCn（t）eλmin（0，t）-ηmax（0，t），那么我们得到f-PnJ-i+Z+e（t）=^∞最大（0，t）λn(-t+x）n-1（n）- 1)!eλ（t）-x） ηe-ηxdx=-λn（最大值（0，t）- t） nn！ηeλte-（λ+η）max（0，t）+（λ+η）λf-Pn+1J-i+Z+e（t）==> F-Pn+1J-i+Z+e（t）=λ+ηF-PnJ-i+Z+e（t）+λn（max（0，t）- t） nn！ηeλte-（λ+η）最大值（0，t）≡λ+η!n+1Cn+1（t）eλmin（0，t）-ηmax（0，t）。匹配项产生Cn+1（t）=Cn（t）λ+λn（max（0，t）-t） nn！。我们现在计算正态r.v.和双指数之和的分布。提议A.4。Le t W~ N0，σ.

然后，我们得到了p.d.f.：fW+Pn+1i=1J+i+Z+e（t）=λλ- ηnηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση+ （A.6）-nXi=1λλ- ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλiE-λtHhi-tσ+σλ, t>0，λ6=η，fW-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）=λλ+ ηnηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση+ （A.7）+nXi=1λλ+ ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλieλtHhitσ+σλ, T∈ R、 λ6=η。此外，它们承认递归关系：fW+Pn+1i=1J+i+Z+e（t）=λ- ηfW+Pni=1J+i+Z+e（t）- ηe（σλ）√2π（σnλn）e-λtHhn-tσ+σλ, （A.8）fW-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）=λ+ηfW-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）+ηe（σλ）√2π（σnλn）eλtHhntσ+σλ. （A.9）证据。我们从p.d.f.f或W+Z+e开始：fW+Z+e（t）=ηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση.使用（A.4），我们还写了efw+Pn+1i=1J+i+Z+e（t）=^t-∞fPn+1J+i+Z+e（t- x） e-x2σ√2πσdx=λ- ηfW+Pni=1J+i+Z+e（t）- ηe（σλ）√2π（σnλn）e-λtHhn-tσ+σλ,这直接导致了tofW+Pn+1i=1J+i+Z+e（t）=λλ- ηnηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση+-nXi=1λλ- ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλiE-λtHhi-tσ+σλ.为了证明（A.7），我们应用（A.5）得到递归表达式fw-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）=^Rf-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）- x） e-x2σ√2πσdx=λ+ηfW-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）+ηe（σλ）√2π（σnλn）eλtHhntσ+σλ,可以明确地写为fw-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）=λλ+ ηnηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση++nXi=1λλ+ ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλieλtHhitσ+σλ.我们现在可以计算尾部概率，从而为看涨期权定价。提案A.5。Le t FX（z）≡ Q{X≤ z} 。那么，FW+Pn+1i=1J+i+Z+e（Z）=λλ-ηnηe（ση）√2πIZ-η, -σ, -ησ+ （A.10）-nXi=1λλ- ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλi二、Z-λ, -σ, -λσ, z>0，λ6=η，FW-Pn+1i=1J-i+Z+e（Z）=λλ+ ηnηe（ση）√2πIZ-η, -σ, -ση+ （A.11）+nXi=1λλ+ ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλi在里面z、 λ，σ，-σλ, Z∈ R、 λ6=η，此外，这些c.d.f.允许以下递归关系：FW+Pn+1i=1J+i+Z+e（Z）=λ（λ- η)FW+Pni=1J+i+Z+e（Z）- ηe（σλ）√2π（σnλn）InZ-λ, -σ, -λσ,（A.12）FW-Pn+1i=1J-i+Z+e（Z）=λ+ηFW-Pn+1i=1J-i+Z+e（Z）+ηe（σλ）√2π（σnλn）Inz、 λ，σ，-σλ. （A.13）证据。

通过积分（A.6）、（A.7）、（A.8）、（A.9）中给出的相应密度，并考虑Hh和I函数的定义，可以得出上述表达式。我们注意到，尽管我们没有提供尾概率公式FσWT+Pmi=1^J+i-^Z-eandFσWT-Pmi=1^J-我-^Z-ewe指出，它们可以通过对称性来推导。例如，我们有fσWT+Pmi=1^J+i-^Z-e（s）=1- FσWT-Pmi=1^J+i+Z-e(-s） 。事实上，这些c.d.f.在定价公式中显示为第A.1节中定义的函数Ti，j。我们现在给出了看涨期权价格的公式。回想一下，买入价可以写为asC=SEe(-σ-αT-κζ）T+σWT+PNTi=1Ji+Ze{ST>K}|S=S- E-rTKQ{ST>K|S=S}。（A.14）利用上述结果，我们可以写出eq{ST>K|S=S}（A.15）=∞Xn=1Q{NT=n}Q（σWT+nXiJi+Ze>logKS-R-σ-αT- κζ（T）=∞Xn=1κne-κn！unXm=1Pn，mQ（σWT+mXiJ+i+Z+e>k）+Qn，mQ（σWT-mXiJ-i+Z+e>k）++wnXm=1Pn，mQ（σWT+mXiJ+i- Z-e> k）+Qn，mQ（σWT）-mXiJ-我- Z-e> k）！=∞Xn=1κne-κn！“unXm=1（Pn，mT1，n（k，Θ）+Qn，mT2，n（k，Θ））+wnXm=1（Pn，mT3，n（k，Θ）+Qn，mT4，n（k，Θ）），其中k≡ 日志KS-R-σ-κζT- α.仍然需要计算σWT+PNTi=1Ji+Ze{ST>K}|S=So（A.16）=∞Xn=1（κT）ne-κTn！unXm=1Pn，mEneσWT+Pmi=1J+i+Z+e{σWT+Pmi=1J+i+Z+e>k}o+（A.17）+unXk=1Qn，kEneσWT-Pmi=1J-i+Z+e{σWT-Pmi=1J-i+Z+e>k}o+（A.18）+wnXk=1Pn，kEneσWT+Pmi=1J+i-Z-e{σWT+Pmi=1J+i-Z-e> k}o+（A.19）+wnXk=1Qn，kEneσWT-Pmi=1J-我-Z-e{σWT-Pmi=1J-我-Z-e} o. （A.20）为了计算（A.17）中的期望值，我们使用了Prop中的p.d.f。A.4写出σWT+Pmi=1J+i+Z+e{σWT+Pmi=1J+i+Z+e>k}o==^∞k^Ret-xe-（t）-x） 2σT√2πσT^Rex-yfPmi=1J+i（x- y） eyfZ+e（y）dydxdt=^∞k^ReσTe-（t）-十、-σT）2σT√2πσT^Rλλ- 1.mfPmi=1^J+i（x- y） ηη-1f^Z+e（y）dydxdt=eσTλλ- 1.mηη- 1QσWT+mXi=1^J+i+^Z+e>k- σT！=eσTλλ- 1.mηη- 1FσWT+Pmi=1^J+i+^Z+eK- σT, （A.21）其中^J+i~ Exp（λ）- 1） 和^Z+e~ Exp（η）- 1). 对于术语（A.18）、（A.19）和（A.20），可以找到类似于（A.21）的E x压力。