权益期权定价中的收益公告会计处理

（2.2）因此，具有罢工K和到期日T的欧洲看涨期权的价格由c（T，St）=CBST给出- t、 圣路易斯；rσ+σeT- t、 K，r！，0≤ t<Te，（2.3），其中CBS（τ，S；σ，K，r）表示通常的BS公式，其中到期时间τ和现货价格S.2.1隐含波动率价格公式（2.3）允许我们将波动率（IV）表示为确定性函数i（t；K，t）=（qσ+σeT）-t0≤ t<Te，σTe≤ t<t.（2.4）正如我们所看到的，虽然在固定时间t内，IV表面在走向上是弯曲的，但在t中，它的结构是递减的。此外，随着我们接近收益公告，任何特定期权的IV会随着时间的推移而增加。或者，期权价格公式（2.3）可以像股票没有跳跃一样获得，并遵循dynamicStst=rdt+I（t；K，t）dWt。Patell和Wolfson（1981）使用了该模型，假设I（t；K，t）是一个确定性的、分段不变的函数，以反映收益对隐含波动率的影响。在图E3（左）中，我们将（2.4）中固定（K，T）的IV函数与截止日期为2013年7月18日的前一个月ATM IBM期权的IV时间序列进行比较。通过最小二乘回归选择模型参数。我们可以看到，观测到的ATM IV和模型IV以类似的方式增加。在同一张图（右）中，我们还将（2.4）中固定（t，K）的IV函数与2013年7月17日盈利公告前和到期日前一天ATM IBM看涨期权IV的期限结构进行了比较。同样，该模型的参数是通过额外的最小二乘回归获得的，它们不同于通过IV时间序列分析获得的参数。

模型期限结构近似于观察到的期限结构，即使IV表面呈现noskew和只允许函数形式的期限结构（2.4）。2.2 Greek为了理解接近收益公告的期权价格的敏感性，我们基于价格函数（2.3）推导并分析了希腊人。对于EA日期Te之后到期日为T的看涨期权或看跌期权，Delta和Gamma是简单的Black-Scholes Delta和Gamma函数，但波动性参数设置为更高的值I（T），fort<Te。另一方面，我们注意到有两个参数与股票价格的波动性有关。因此，除了标准的Black Scholes Vega，我们还介绍了EA VegaVe≡Cσe=√T- tqσ（T）-t） σe+1VBS（t- t、 S；I（t），K，r），其中VBS（τ，S；σ，K，r）=Sφ（d）√τ代表通常的Black-Scholes-Vega函数，带有斑点曲线和成熟时间τ。ATM呼叫和PUT的IVs非常接近，但不完全相同。时间序列的每个点代表两个IVs的平均值。07/01 07/08 07/150.20.30.40.50.60.7DateIV IVModel09/13 01/14 04/14 07/14 10/140.20.30.40.50.60.7饱和IVModel图3：左：EA之前的IV函数（2.4）（实线），σ=0.2538，σe=0.0424，到期日期7/18/2013，与市场观察到的相同到期日期的前一个月IBM ATM选项的IV（圆圈）相比。右图：与2013年7月17日市场观察到的ATM IBM期权的期限结构（圆圈）相比，2013年7月17日，符合（2.4）的IV（实心）的期限结构，σ=0.1912，σe=0.0429。对于调用的θ，我们得到Θ≡Ct=ΘBS（t- t、 S；I（t），K，r）+2I（t）σeT- TVBS（T- t、 S；I（t），K，r），0≤ t<t.（2.5），其中ΘBS（τ，S；σ，K，r）=-Sσ√τφ（d）- rKe-rτΦ（d）是Black-Scholesθ函数。首先，我们注意到ΘBS（T- t、 S；I（t），K，r）≤ Θ ≤ 0

等式的左边部分是（2.5）的直接结果，右边部分是期权价格随时间下降的结果。另一方面，一般来说，这不是真的≤ ΘBS（S，K，r，T）- t、 σ）。这意味着，与波动性较低的期权相比，期权可能会在一段时间内迅速贬值。为了说明这一点，wesuppose r=0，Black-Scholes偏微分方程意味着Ct=-σSCS=-σSΓBS（T- t、 S；I（t），K，0）。另一方面，我们也有ΘBS（T）- t、 S；σ、 K，0）=-σSΓBS（T- t、 S；σ、 K，0）。因此CT- ΘBS（T）- t、 S；σ、 K，0）=-σS（ΓBS（T- t、 S；I（t），K，0）- ΓBS（T）- t、 S；σ、 K，0）。对于ATM选项，我们有ΓBS（T- t、 S；σ、 S，0）=√2πσSe-σ（T）-t） ，其σ在减小。这意味着Ct> ΘBS（t）- t、 S；σ、 S，0）表示σe>0，这意味着期权价值的时间衰减不太快。事实上，对于其他的看跌期权和看涨期权来说也是如此，它们的Γbsa在σ中减少。在图4（左）中，我们将Θ表示为到期日为5天的看涨期权现货价格的函数。为了进行比较，我们根据BSθ绘制了另外两个基准，分别具有不同的挥发性参数值I（0）和σ。正如（2.5）所预期的，看涨期权价格的时间衰减没有ΘBS（T，S；I（0），K，r）严重。此外，对于走向K附近的点p，我们观察到Θ>ΘBS（T，S；σ，S，r）>ΘBS（T，S；I（0），S，r）。图4（右）显示了ATM（S=K=100）呼叫的Θ在盈利前一天的时间变化。同样，我们注意到θ的主导地位相同，但随着时间接近EA日期，它们的差异会增加。

有趣的是，与其他两个Bθ相比，Θ的值似乎更为恒定。Θ代表了theEA ju mp。80 90 100 110 120-50-40-30-20-100现货价格ΘΘBS（I）ΘBS（σ）0.005 0.01 0.015 0.02-150-100-500到期时间ΘΘBS（I）ΘBS（σ）图4：Θ和Θb的形状改变了现货价格（t=）和到期时间（K=100）。在这两个面板中，我们看到ATM选项的Θ比普通BSθΘBS的负性更小。常见参数：r=0.02，σ=0.1，σe=0.04.3将EA跳转纳入其他模型中。尽管扩展的BS模型（2.1）能够显示一个在盈利公告中的IV应用程序，但IV没有偏差，其期限结构只允许特定的两个参数函数形式Qσ+σeT-t、 另一方面，除了计划的跳跃外，股价还可能经历随机时间的跳跃，这无法通过差异充分捕捉。这促使许多模型将各种分布的跳跃纳入股票价格动态，其中著名的例子有默顿（1976）、寇（2002）、方差伽马（Madan et al.（1998））、CGMY（Carr et al.（2002））模型。在本节中，我们提出了在Kou（2002）跳差模型的扩展下欧洲期权定价的分析公式，并使用转换方法讨论了收益公告前的期权定价。3.1 Kou模型的扩展我们考虑了Kou模型的一个扩展，并推导了具有EA跳跃的欧式期权价格的解析公式。在这个模型下，风险中性的终端股票价格如下所示STS= -σT+σWT-mκT+NTXi=1Ji+1{T≥Te}泽- 日志E埃兹, （3.1）每个ju mp Ji~ DE（p，λ，λ）是双指数分布的，p.d.f.fJi（x）={x≥0}pλe-λx+1{x≤0}(1 - p） λeλx.随机时间跳跃的数量由NT建模~Poi（κT）。

为了确保鞅条件成立，我们设置m=pλ-1+(1-p） λ+1-1.我们将分别考虑EA对数跳跃大小Ze的两种分布：（i）双指数Ze~ DE（u，η，η）和（ii）高斯分布~ N0，σe.设C（S）=EE-rT（圣- K） +|S=S当现货价格为S时，t=0时的欧式看涨期权价格。我们现在给出了当EA为双指数随机变量时的价格公式。提议3.1。假设终端股价如下（3.1），带有Ze~ DE（u，η，η）和η6=λ，η6=λ。然后，欧式看涨期权价格由C（S）=e给出-αSΥS、 K，r+σ，T，σ，^κ，^p，^λ，^λ，^u，^w，^η，^η- 柯-rTΥ（S，K，r，T，σ，κ，p，λ，λ，u，w，η，η），（3.2），其中函数Υ在附录A.1中给出，常数为^η=η- 1, ^η= η+ 1,^λ= λ- 1，^λ=λ+1，^u=uηη- 1，w=1- u、 ^w=wηη+1，^κ=（m+1）κ，^p=λ- 1pm+1，α=对数uηη- 1+wη+1.当EA和随机时间跳跃的跳跃大小参数相同时，即η=λ或η=λ，也可以推导分析定价公式，但此处省略。实际上，参数λ、λ通常比η和η大一个数量级，我们将从第5节的校准中观察到这一点。或者，如果EA跳跃是正态分布的，即Ze~ N0，σe, 然后可以直接调整Kou（2002）的结果来解释EA跳跃。具体而言，EA跳跃参数σeca可以包含在布朗运动WT:log的波动系数中STSd=-σ+σeT- mκ！T+rσ+σeTWT+NTXi=1Ji。由此，我们可以看出，在没有EA跳跃的情况下，重新计算的解析公式实际上与原始公式相同，只是σ被qσ+σeT所取代。解析公式（3.2）允许快速计算价格，同时计算其增量， = E-αΥ（·），其中Υ（·）是（3.2）中RHS的第一项。

在表3.1中，我们应用（3.2）计算期权价格，并报告相应的隐含波动率。正如我们所看到的，IV d会加快到期时间的增加，这是盈利公告前IV的典型情况。此外，随着cr的成熟度降低，IV倾斜变得更严重。在图5中，我们绘制了以下情况下ATM操作的IV：基本操作（3.1）带有高斯跳变或DE EA跳变。为了进行比较，我们选择了跳跃参数，以便高斯跳跃和DE EA跳跃的方差一致。我们注意到，有神论者对时间也有类似的依赖性。比较图3和图5，我们很自然地会想知道，在扩展的Black-Scholes和Kou模型中，以及在其他模型中，他们的免疫指数是否以类似的方式在时间上增加。这促使我们在第4节的不同模型下探索IV的特性。4.7.9 9.9.9 9.9.9.9.9.9.9.9.7.7.7.7.7.0.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.0 0.3.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3.4.6.7.7.7.7.7.7.7 7 7 7 7 7.0.0 0 0 0 0.7.7 7 7 0.7 0.7 0 0.7 7 7 7 0 0.7 0.7 7 0.7 0.7 7 7 0.7 7 0.7 7 7 0.7 7 7 7 0.7 7 0.7 7 7 7 7 0.7 7 7 7 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0.7 7 7 7 7 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4.942 0.292 9.284 0.2392.047 0.704 2.651 0.396 3.979 0.2928.240 0.238107.51.475 0.719 1.968 0.399 3.173 0.292 7.292 0.2381.069 0.738 1.455 0.403 2.509 0.293 6.434 0.238表1：模型（3.1）下的期权价格和IVs。通过公式（3.2）计算价格。参数：r=2%，S=100，κ=10，p=0.6，λ=60，λ=50，u=0.55，η=15，η=12，σ=20%。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.40.50.60.70.80.9时间（天）IV高斯EA JumpDE EA Jumpt图5：当EA和到期日期分别在第10天和第11天时，扩展的Kou模型（3.1）下ATM选项IV的时间序列。

参数：Te=14天，T=15天，r=2%，S=100，κ=10，p=0.5，λ=50，λ=50，u=0.5，η=25，η=25，σ=20%。3.2通过特征函数定价通常，让我们将终端库存价格写为ST=SeXT+Ze。如果Xt和Ze是独立的，并且它们都允许解析特征函数，那么我们得到了对数价格ψ（ω）：=E的特征公式eiωlogSTS= e^ψ（ω）+ψe（ω），其中^ψ（ω）：=logEneiωlog（XT）o, ψe（ω）：=logEneiωlog（Ze）o.这样就可以利用现有的方法为香草和异国情调的选择定价。例如，Carr和Madan（1999）、Duffeeand Singleton（2000）、Lee（2004）、and Raible（2000）等方法可用于为欧盟罗佩期权定价。或者，阿克森等人（2008年）或洛德等人（2008年）开发的方法可以适用于在包含跳跃的模型中为欧洲和美国期权定价。在以下章节中，我们还将考虑对Heston模型的扩展，其中dynamicStst=rdt+σtdWt+d{t≥Te}埃兹- 1.,dσt=νθ - σtdt+ζσtd＠Wt，（3.3），其中W和＠W是标准布朗运动，E{dWtd＠Wt}=ρdt，Zeis与W和W无关。写出期权价格asC（0，S）=^∞-∞埃洛格（S+x）- K+f（x）dx=（e）·- （K）+* f(-·) （对数），其中f表示对数（STS）的p.d.f.和* 表示卷积运算符。用F（g（x））表示≡\'Re-iωxg（x）dx作用于函数g的傅里叶算子，我们可以写出欧式方程asC（0，S）=eγlog（S）F的价格-1.FE-γx（性- （K）+Ψ (ω - i（γ）. （3.4）如果引入阻尼系数e-γxis是必要的，因为payoff是不可积的。Lord等人（2008年）也进行了同样的观察，其中（3.4）是作为新定价算法的一部分实施的。Jacks on等人（2008年）也通过分析傅里叶空间中的关联定价PIDE推导出了相同的公式。

然后可以根据（3.4）对价格应用快速傅里叶变换（FFT）算法。此外，这些方法可以适用于美式期权的定价，正如我们将在第6.4节“盈利公告前隐含波动性”中所做的那样。图1-3中的市场观察促使我们分析盈利公告前隐含波动性的一些特征。在第4.1节中，我们提供了模型类别的上限和下限。在第4.2节中，我们研究了一些IV渐近性，重点是小打击和大打击。4.1隐含波动率界限为了分析欧式期权的IV界限，我们考虑了一个一般框架，其中终端交易价格以St=SteXt，T+Ze，（4.1）的形式书写，St为T<Te时的股价。S上的鞅条件是（Xt，T）0≤T≤Tsatis fiese分机= 呃(T)-t） 。r.v.是高斯r.v.和p.d.f.的连续混合。fZe（y）=R+φY-^σ, ^σG（d^σ），其中φ（·；a，b）表示p.d.f。对于均值为a，方差为b的高斯r.v，而G（·）是空间r+上的一个测度，G[0，∞) = 1.请注意，我们尚未指定Xt，T的分布，因此基本模型可能非常通用。对于IV波动率函数，我们有以下下限。提议4.1。假设最终股价如下（4.1）。然后，隐含波动率I（t；K，t）允许下限（t；K，t）≥^σmin√T- t、 t<Te，（4.2）式中^σmin:=inf{∈ R+：G[0，^σ]>0}。此外，ifxt，Tis也以高斯混合分布，fXt，T（y）=R+φYr（T）- （t）-~σ, ~σH（dσ），则下界改进了toI（t；K，t）≥s~σmin+^σminT- t、 t<Te，式中∧σmin:=inf{∈ R+：H[0，∑]>0}。我们注意到≥ 因此，只有当σmin>0时，界（4.2）才是非平凡的。这意味着被测量在方差小于^σmin>0的高斯r.v.上的权重为零。

例如，高斯r.v.的任何有限混合物都满足该条件。此外，我们还获得了隐含波动率的上界。提议4.2。假设终端股票价格遵循（4.1），并假设Xt和Ze都是连续的高斯混合分布，fZe（y）=^R+φY-^σ, ^σG（d^σ），fXt，T（y）=^R+φYr（T）- （t）-~σ, ~σH（dσ）。（4.3）然后，欧洲ATM远期看涨期权的隐含波动率的上限，K=er（T-t） 圣霍尔德：我T呃(T)-t） 圣彼得堡≤s^R+~σT- tH（dσ）+^R+^σT- tG（d^σ），t<Te。（4.4）满足条件（4.3）的模型的显著例子包括扩展的Merton和Heston（当ρ=0）m模型。然而，我们注意到高斯混合也可以近似于其他分布。此外，我们的边界可以作为不同模型下IV的分析基准。作为一个例子，我们推导了赫斯顿模型下边界（4.4）的显式表达式。根据命题4.1和命题4.2，随着时间接近收益公告，不同模型下的IV界s表现出相似的行为。将边界与（2.4）中的IV函数I进行比较，简单的扩展BS模型能够随着时间的推移拟合观察到的ATM IV，这并不奇怪（见图3）。例4.3。假设S遵循赫斯顿动力学（3.3）。在ρ=0的情况下，已知，以（σu）t的路径为条件≤U≤T、 \'TtσudWu~ N0, ~σ, 其中∑≡\'Ttσudu。由此我们观察到Xt，T≡R-■σ2（T）-（t）（T）-t） +Ttσudwu满足（4.3）的第二部分。反过来，直接计算会产生'R+¨σT-tH（d∑）=θ+σt-θν（T）-（t）1.- E-ν（T）-（t）. 因此，例如，在GaussianEA ju mp的情况下，术语‘R+σT-等于σd-tand绑定（4.4）readsIT呃(T)-t） 圣彼得堡≤sθ+σt- θν（T）- （t）1.- E-ν（T）-（t）+σeT- T

（4.5）如果我们假设跳跃分布为对称双指数，则Ze~ 判定元件, η, η,然后我们使用Zed=qηZ的事实，其中~ Exp（1）和Z~ N（0，1）是独立的。实际上，在这种情况下，G（x）=ηxe-ηx，\'R+σT-tG（d^σ）=η（T-t） ，以及绑定（4.4）readsIT呃(T)-t） 圣彼得堡≤sθ+σt- θν（T）- （t）1.- E-ν（T）-（t）+η（T）- t） 。（4.6）在图6中，我们绘制了示例4.3中的显式边界（4.5）和（4.6）。正如我们所见，上界相对接近模型IV曲线，并且具有非常相似的时间依赖性。特别是，当EA跳跃为高斯（图6，左）时，边界几乎与modelIV无法区分。看到这一点→ T，上下限（（4.2）和（4.5））共享一个共同的前导项σeT-t、 在本例中的实际情况中，术语'R+¨σt-tH（dσ）≈ σ通常至少比σe/（T）小一个数量级- t） 自从t- t非常小，且σe和σ皮重的阶数相同。此外，在图6中，我们观察到ρ为非零的m模型IV仍然具有类似的时间行为，并且在ρ=0的情况下，其边界（4.5）和（4.6）非常接近。奇怪的是，（4.6）中的主导项的系数η为t→ T，就是Zeze的方差~ DE（，η，η），与（4.5）中前导项的系数σe是高斯方差的方式相同。因此，一个有趣的问题是，至少当ap接近EA日期时，IV的变化率是否与EA跳跃的标准偏差近似成比例（见图5）。最后，我们回顾命题4.1和命题4.2也为我们提供了关于IV的期限结构的信息。事实上，对于动力学为时间齐次的模型，我们观察到以下关系：I（t；K，t）t=-I（t；K，t）T