权益期权定价中的收益公告会计处理

这意味着在EA日期之前，期权的期限结构应该会减少。01.2.3.4.5.7.9 100.30.40.50.60.7次（天）IV Mod e l IV，ρ=0 Mod e l IV，ρ=-0.54次/次I V0 1.2 3.4 5 6.8 9 100.30.350.40.450.50.550.6次（天）IV Mod e l IV，ρ=0 Mod e l IV，ρ=-0.54 up p er B ound I VFigure 6：模型IV分别以高斯EA跳跃（左）和去EA跳跃（右）在扩展的Heston模型的（4.5）和（4.6）中的上边界绘制。参数：ν=4.04，θ=0.05，σ=1.01，ρ∈ {0, -0.54}，ζ=0.03，σe=0.0473，u=0.5，η=η=40.4.2小型和大型撞击渐近我们现在分析扩展的Hestonand-Kou模型的IV表面小型和大型撞击的渐近性。我们的渐近线来自Benaim和Friz（2008）的结果（另见Benaim等人（2012））。我们在此陈述结果，并在附录A.4中提供证据。提案4.4。让我们满足扩展的Heston动力学（3.3），其中Ze为：情况1：正态分布，Ze~ N0，σe; orCase 2：双指数分布，Ze~ DE（u，η，η）。然后，对于任何固定的t<Te，隐含波动率I（t；K，t）满足I（t；K，t）（t- t） 日志KSt~ ξ（q）*), 作为K→ 0，（4.7）I（t；K，t）（t- t） 日志KSt~ ξ（r）*- 1） ，作为K→ ∞, （4.8）其中ξ（x）由ξ（x）定义≡ 2.- 4.√x+x- 十、安迪克*=（p-案例1，min{p-, η} 案例2，r*=（p+情况1，min{p+，η}情况2，和p±分别是ν的最小正解 ρζp±+q（ν） ρζp±）+ζ（±p±- （p±）科思（T）- t） q（ν） ρζp±）+ζ（±p- （p±）= 0.提案4.5。

让我们遵循扩展的Kou动力学（3.1），其中Ze为：情况1：正态分布，Ze~ N0，σe; orCase 2：双指数分布，Ze~ DE（u，η，η）。然后，对于任何固定的t<Te，隐含波动率I（t；K，t）满足I（t；K，t）（t- t） 日志KSt~ ξ（q）*), 作为K→ 0，（4.9）I（t；K，t）（t- t） 日志KSt~ ξ（r）*- 1） ，作为K→ ∞, （4.10）式中ξ（x）≡ 2.- 4.√x+x- 十、安迪克*=（λ情况1，最小{λ，η}情况2，r*=（λ情况1，min{λ，η}情况2。首先，我们观察到，如果EA跳跃是高斯的，那么它在罢工的IV渐近中没有作用（见（4.7）和（4.9））。因此，在Heston或Kou模型中，有无EA跳跃的大/小打击渐近实际上是相同的。另一方面，如果EA跳跃的尾部比基础模型的尾部更宽，则IV渐近性由EA跳跃参数确定。在这种情况下，当THEA跳跃方差占主导地位时，观察到具有短期到期的较不极端罢工的渐近性。然而，对于更长的到期日，渐近性适用于更多的极值。一个直观的解释是，随着成熟时间的增加，EA跳跃方差相对较低，尾部行为仅在极端值下表现出来。在图7中，我们展示了扩展的Kou（左）和Heston（右）模型下的IV渐近性，与通过傅里叶变换计算的期权价格的BS公式反演得到的IV相比较（见第3.2节）。我们绘制了固定（t，t）的渐近波动函数I（t；K，t）=c+plog（K/St）ξ（ω），其中c是一个选择的常数，以使渐近曲线和模型IVs在考虑的最接近点重合。在每种特定情况下，ω是一个常数集，根据（4.9）-（4.10）（适用于扩展的K-ou模型）和（4.7）-（4.8）（适用于扩展的Heston模型）。

在图7（左图）中，doub-Leeponential的E A跳跃尾巴主导着日常跳跃，因为这在实践中通常是成立的。在图7（右图）中，EA ju mp为高斯分布，因此不影响基本模型的IV渐近性。60 80 100 120 140 160 1800.40.50.60.70.80.911.11.21.3特列克耶夫IV型渐近60 80 100 120 140 160 1800.10.150.20.250.30.350.40.45特列克耶夫IV型渐近图7：（左）在扩展的Kou模型下，根据a型渐近（4.9）-（4.10）从数值期权价格获得的IV，带有对数DE EA跳跃。参数：S=10 0，r=0.02，T=，κ=300，p=0.5，λ=λ=100，u=0.5，η=30，η=25。（右）在对数正态EA跳跃的扩展Hesto n模型下，从数值期权价格获得的IV符合渐近性（4.7）-（4.8）。参数：S=100，r=0.02，T=1，ν=2.7，θ=0.077，σ=0.7075，ρ=-0.54，ζ=0.073，σe=0.04.5校准和参数估计在本节中，我们对扩展的BS、Kou和Heston模型进行校准，以观察到在公告附近期权的市场价格。这使我们能够评估与基础模型相比，modelextensions是否提高了校准的准确性。校准结果也可用于推断EA跳跃分布的信息，在一个简单的例子中，我们将通过校准IBM期权数据获得的估计值与根据其历史分布给出的估计值进行比较。5.1模型校准在我们的校准程序中，我们考虑一组N个普通的看涨期权和看跌期权，其市场价格为^Ci，i=1。。。，N.这些期权具有不同的合同特征，如罢工、到期和期权类型。对于给定的模型，模型参数集由Θ表示。反过来，期权II的模型价格由Ci（Θ）表示。为了校准给定的模型，我们将误差平方和最小化（参见。

丹尼斯（1977）；安·德森和安德烈森（2000）；贝茨（1996）；Cont and Tankov（2002））：minΘNXi=1Ci（Θ）-^Ci, （5.1）我们使用最佳出价和最佳询问中间价。此外，我们采用了信赖域反射梯度下降算法（Coleman和Li（1994）；Coleman和Li（1996）），从不同的初始点开始，以确保更好地探索sp ace的参数。虽然我们的数值试验表明所采用的方法会产生有效的校准，但我们注意到，有许多替代的、可能更先进的校准程序可用（参见Cont和Tankov（2002）以及其中的参考文献）。在美国，大多数股票期权都是美国式的。在第6节中，我们将讨论美式期权的定价，但这些方法通常计算量太大，无法与梯度下降法结合使用进行校准，尤其是随着期权和参数数量的增加。相关研究通常通过假设美国选项为欧洲风格来规避这个问题（参见Dubinsky和Johannes（2006）；布罗迪等人（2009年）。相反，我们的程序首先通过Black-Scholes模型下相对快速的美式期权定价器反转美式看跌期权和看涨期权的市场价格。这给了我们观察到的静脉。在tur n中，我们应用了Black Sch-oles欧式看跌/看涨定价公式，波动率参数为观察IV，并推导出了相关的欧式看跌或看涨价格。然后，我们使用生成的价格作为输入，根据模型生成的期权价格进行校准。在我们所有的实验中，我们从OptionMetrics常春藤数据库中获得了截至2013年8月t日的期权价格数据。我们现在给出一个例子，使用扩展的BS、Kou和Heston模型，对EA跳跃进行不同的分布。

我们的目标是说明这些模型下校准的IV表面，并将其与经验IV表面进行比较。IBMon，2013年7月15日的经验波动率。这是在IBM于2013年7月17日发布业绩公告的两天前观察到的。最接近的期权到期日是2013年7月19日（星期五）。如前所述，前月IVs显著高于到期日较长的期权。在图8中，我们展示了3个基本模型及其扩展的相关校准IV表面，总共有9个校准模型。表2总结了校准参数。在最初的Black-Scholes模型中，隐含波动率面为FL，取值较高，为28.11%。当我们加入EA跳跃时，在高斯分布和非高斯分布下，股票价格波动率σ的校准值较低。更重要的是，在任何情况下，基础模型都无法在EA之前生成IVB表面的特征形状。在扩展的Heston模型和Kou模型之间，随着成熟度的延长，由Kou模型生成的IV曲面倾向于更加平滑。总的来说，赫斯顿模型似乎能够更准确地再现IV表面，在本例中，与使用DE-EA ju mp相比，使用高斯EA跳跃似乎可以更好地再现IV表面。

我们将在第5.3节中进一步比较这两种分布。Black ScholesσeuηBase 28.11%——高斯跳变27.69%7.11%——去跳变21.42%——38.28%23.03 6.3HestonνθζρσeuηBase 3.70 0.05 0.90-0.51 0.05%——高斯跳变4.04 0.05 1.01-0.55 0.03 4.73%——去跳变3.10 0.05 0.05-0.84-0.54 0.03-42.06%34.77 24.95%——λeu pηBaseλeu bηb基高斯跳变变变变4.82%——高斯跳变变变变变变变变变变4.82%跳变0.03%193.6 51.17%998.9 70.0 3.61%--去跳变0.39%85.1 7 9.46%990.3 30.0-98.73%32.9 2.0表2：基于图2中观察到的IV表面的校准参数汇总。图81002030000100200300400500显示了相应的校准IV表面-1.-0.500.511.5隐含波动率1002003001003003004005000.40.50.60.70.8饱和波动率10020030040060000.511.52成熟度冲击波动率1002003001003004005000.10.30.40.5饱和波动率1002003001003004005000.10.20.20.60.6饱和波动率1002003001003004005000.10.20.30.40.50.6饱和波动率10030040060000.20.20.60.8饱和波动率挥发度1002003001003003004005000.180.20.220.240.260.280.3饱和系统简化挥发度10015020002004006000.10.20.30.40.5饱和系统简化挥发度10020030020040060000.20.40.60.81成熟度删除简化挥发度图8：Black Scholes、Heston和Kou模型（分别为第1、第2和第3行）的校准表面，无E跳跃（左列），和高斯（中间）和DE（右）EA跳跃。表2.5.2扩展BS模型下的分析估计器中列出了经校准的模型参数。在扩展BS模型（2.1）中，可以推导模型参数（σ，σe）的分析估计器，如Du binsky和Johannes（2006）所述。我们应用这些估计器来比较通过校准其他模型得到的估计器（见表3）。

首先，我们考虑扩展的BS模型，其中EA跳跃是正态分布的。为了校准该模型，必须使用任何一对不同到期日的期权。设σIV（T），σIV（T）分别代表到期日为T的两种期权的隐含波动率。然后，应用（2.4），模型参数（σ，σe）可以通过σts=S（T）来估计- t） σIV（t）- （T）- t） σIV（t）t- T、 σT Se=sσIV（T）- σIV（T）T-T-T-t、 （5.2）上标t S表示IV期结构与这些估计值的相关性。我们称之为中性波动率下的风险估计量。我们强调，一组具有相同到期日的两个期权不允许我们单独估计σ和σe，而只能估计总价值σ+σeT-t、 或者，可以利用不同时间的期权价格进行参数估计。事实上，假设隐含波动率σIV，tandσIV，tat乘以tand t，当t<t<Te时，我们应用（2.4）得到以下估计量：σts=s（t- t） σIV，t（t）- （T）- t） σIV，t（t）t- t、 σtse=vUtσIV，t（t）- σIV，t（t）t-T-T-t、 （5.3）它们被称为时间序列估计器（另见Dubinsky和Johannes（2006））。我们从（5.2）中观察到，必须要求σIV（T）>σIV（T）才能获得精确的估计量。与σt和σtsein（5.3）类似，它们的定义表明σIV，t>σIV，t必须是旧的。在我们的实证测试中，我们发现，在发布盈利公告之前，σIV（T）>σIV（T）总是存在的，但σIV，T>σIV的条件有时会被违反。discus sedin Dubinsky和Johannes（2006）也进行了类似的观察，他们还使用ATMoptions进行了全面的emp-irial测试。我们强调，这些分析估算基于BS模型的特定扩展。

由于市场价格不一定由该模型生成，因此分析估计值和校准参数可能不一致。此外，它们还取决于选项的选择，这些选项的IVs是估算公式的输入。另一方面，这些分析估计器的主要优点是，它们可以立即计算出来，并且也可以用于实践（参见Mehra et al.（2014））和相关的stu dies。5.3隐含EA跳跃分布和风险溢价通过选择定价模型，我们的校准程序提取隐含EA跳跃分布。一个有用的应用是比较EAjump的风险中性分布和历史分布。他们的差异将为EA跳跃相关的风险溢价提供一些线索。作为一个例子，让我们考虑一下IBM股票从1994年开始的经验E A跳跃s。我们假设风险中性分布和历史分布都是高斯分布，这便于比较，因为我们只需要估计一个参数，即EA跳跃波动率。在表3中，我们报告了根据1994年到给定日期的数据，用高斯EA ju mpσQe扩展的Heston模型和经验EA跳跃波动率σpex对EA跳跃波动率的估计。为了进行比较，我们还根据（5.2）列出了EA跳跃波动率估值器。我们可以看到，对于每个给定的日期，σPe/σqe的比率非常接近1。这表明，在扩展的Heston模型下，历史和风险中性度量下的EA分布非常相似。另一方面，在本例中，σPe/σT sei的比值较小且小于1，这表明扩展的BS模型将比经验模型具有更高的EA跳跃波动性。

综上所述，由扩展Heston模型校准的波动率σqe小于基于扩展的无随机波动率BS模型的期限结构E A跳跃波动率估计量σT sew。日期σPeσQeσPe/σQeσT SeσPe/σT Se18-Jul-12 4.64%4.68%99.3%5.22%89.0%16-Oct-12 4.62%4.18%110.5%4.70%98.4%22-Jan-13 4.62%4.58%100.9%5.71%81.0%18-Apr-13 4.61%4.68%98.5%5.49%84.1%17-Jul-13 4.63%4.61%100.4.76%80.3表3：IBM EA的隐含波动率和历史波动率。对于表中的每个数据，使用1994年至今的价格数据估算了历史波动率σPe。隐含波动率σqe根据扩展的赫斯顿模型进行校准。6美式期权虽然指数期权通常是欧式的，但大多数美国股票期权是美式的。一般来说，美式期权定价问题不允许封闭式公式，因此我们讨论了计算期权价格和行权边界的数值方法。此外，我们还应用欧洲案例的分析结果，在盈利公告之前，对美式期权价格进行了近似计算。6.1美式期权价格和行使边界我们假设股票价格根据扩展的Kou模型演化，并定义了EA跳跃（3.1）。美式期权的价值由a（t，S）=supt确定≤τ≤特内-r（τ）-t） （K）- Sτ）+St=So，t≤ T、 （6.1）其中τ是一个停止时间w.r.T.由S.根据动态规划原理生成的过滤，期权价格可以写成（例如，参见（Oksendal，2003，第10章））a（T，S）=supt≤τ≤蒂恩-r（τ）-（t）{τ<Te}（K）-Sτ）++1{τ=Te}ATe，STe-埃兹|St=是的。（6.2）因此，我们看到，对于t<t，该问题相当于根据Koumodel对美式期权进行定价，但具有“终端”支付A.塞兹|STe-= s在时间上。假设t<Te<t，则p.d。Fg（z）。

然后，美式卖出价格可以写成asA（t，S）=D（t，S）1{t<Te}+eD（t，S）1{t≥Te}，其中D和D满足线性互补问题（参见Bensoussan和Lions（1984）以及Cont和Voltchkova（2005））：埃德（t，S）≥ （K）- S） +，Te≤ t<t，S≥ 0，红色（t，S）-预计起飞时间t（t，S）-发光二极管（t，S）≥ 0，Te≤ t<t，S≥ 0,埃德（t，S）- （K）- （S）+红色（t，S）-预计起飞时间t（t，S）- 发光二极管（t，S）= 0，Te≤ t<t，S≥ 0，eD（T，S）=（K- S） +，S≥ 0;(6.3)D（t，S）≥ （K）- S） +，0≤ t<Te，S≥ 第0，第3（t，S）条-Dt（t，S）- L D（t，S）≥ 0, 0 ≤ t<Te，S≥ 0,D（t，S）- （K）- （S）+道路（t，S）-Dt（t，S）- L D（t，S）= 0, 0 ≤ t<Te，S≥ 0，D（Te，S）=红色（Te，Sez）g（z）dz，S≥ 0.（6.4）在模型（3.1）：LV（S）下，我们用L表示S的最小发生器≡σS五、S+rS五、S+κ^∞-∞（五）（Sey）- V（S））fJ（y）dy，（6.5）和fJis双指数p.d.f。值得注意的是，时间Tein（6.4）的积分必须用和近似，因为d不是封闭形式。积分的数值计算可能会引入计算误差，但由于和为O，因此也会增加计算负担N, 其中n是离散股票价格值的数量。我们注意到，例如，可以使用FFT算法将积分的复杂性降低到O（nlog（n））。还值得注意的是，当Te=T时，如果欧式期权可用闭式公式（例如，如果EAjump是高斯跳变或双指数跳变），则复杂度降低到O（n）。另一方面，当宣布即将到来时，复杂性也降低到O（n），即Te=0+。这促使我们寻找一个封闭的形式近似于基于这些场景的美国方案，如第节所述。6.2. 比较同一模型下不同收益公布日期的美式期权价格是有用的。提议6.1。