大型投资组合风险的稳健推断

，RTbe是观测到的平稳多变量时间序列，HThbe可用的历史数据为Ht=（Ht1，…，Htd）和T=O（T1-δh），其中δ是一个绝对常数。（2.9）H，HTH应该与R重叠，RT.然而，Ht不一定分配给Hto或Rf或任何t 6=t∈ {1，…，Th}。相反，对于j，我们只假设h1jd=H2jd=·d=hthj和Var（H1j）=Var（R1j）∈ {1，…，d}。然后我们通过分别估计D和∑来估计wT∑w。形式上，为了估算D，我们使用历史数据H，HThand-derivebDh=（bDh，…，bDhdd），其中bdhjj:=bσhM，jbσhbσhM，1，（2.10）和bσhM，j=bσM（{Htj}Tt=1），对于j=1，d、 是{Htj}Tt=1和bσh的中值绝对偏差估计量=dVar（{Ht1}Tt=1）1/2是皮尔逊样本标准偏差{Ht1}Tt=1。为了估计∑，我们根据{R，…，RT}计算肯德尔的τ矩阵xbt。备注2.1。在（2.10）中，为了计算EBDH，我们使用术语bσh/bσhM，1来近似中位数绝对偏差和皮尔逊标准偏差之间的比例因子。这有助于理论推导。在实践中，我们可以使用平均版本Pdj=1bσhj/Pdj=1bσhM，jt来估计比例因子。为了估计wT∑w，我们用bdestbybdh、b∑estby sin（πbT/2）和b∑estbyb∑hin（2.6）代替。对于任何给定的1- γ ∈ （0，1），我们计算了鲁棒H-俱乐部估计量buh（γ）asbUh（γ）=Φ-1(1 - γ/2）qbσh/T，（2.11），其中bσhis通过使用前面介绍的圆形块自举法计算。相应的风险置信区间为wTb∑hw-bUh（γ），wTb∑hw+bUh（γ）. （2.12）2.3未知边际挥发物本节考虑了在没有其他可用数据的情况下D未知的设置。更准确地说，我们使用数据分割策略来分别估计D和∑。更准确地说，我们使用整个数据集来估计D:bD=（bD。

，bDdd），其中bdjj:=bσM，jbσbσM，1，（2.13），其中bσM，j=bσM（{Rtj}Tt=1），对于j=1，d和bσ=dVar（{Rt1}Tt=1）1/2是皮尔逊样本标准偏差{Rt1}Tt=1。为了估计∑，我们提取了一个子序列-Ts+1，从时间序列R，RT，在哪里 T1-δ是一个小的绝对常数。利用这个子序列，我们计算了肯德尔矩阵。将其与bD相结合，我们得到了一个鲁棒协方差矩阵估值器B∑s:=bD sinπbTs然后我们通过replacingbDest、b∑est和b∑estbybD、sin（πbTs）和b∑sin（2.6）来估计wT∑w。然后我们得到了一个鲁棒H-俱乐部估计量asbUs（γ）=Φ-1(1 - γ/2）pbσs/Ts，（2.14），其中bσs通过使用圆形块自举法计算。因此，我们将风险的置信区间设为wTb∑sw-总线（γ），wTb∑sw+总线（γ）. （2.15）备注2.2。在（2.13）中，为了估算比例因子，我们可以采用与备注2.1类似的平均值。我们还注意到，数据分割策略主要用于理论分析。实际上，我们可以设置δ=0，并在计算b∑和执行块引导时使用整个数据集。3渐近理论在本节中，我们证明了与第2节中讨论的三种设置相对应的wT∑w的置信区间具有期望的覆盖概率。换句话说，我们证明了（2.7）、（2.11）和（2.14）中提出的鲁棒H-俱乐部估计是渐近的（1）-γ） 风险的100%置信上限。显然，这个问题归结为计算wT（b∑est）的极限分布- ∑）w表示b∑est=b∑，b∑h和b∑s。在续集中，我们采用了Fan和Peng（2004）以及Greenstein和Ritov（2004）中的三角形阵列设置，并允许维数d随着样本量n的增加而增加。我们介绍了几种测量依赖度的混合条件。我们首先介绍三种混合系数。

对于d维平稳过程{Rt}t∈Z、 让Fbabe由Ra生成的σ-代数，B或a≤ b、 我们将α、β和φ混合系数定义如下：α（n）：=supB∈F-∞,A.∈F∞NP（A）∩ B）- P（A）P（B）,β（n）：=EnsupA∈F∞NP（A | F）-∞) - P（A）o、 φ（n）：=supB∈F-∞,A.∈F∞n、 P（B）>0P（A | B）- P（A）.对于任意正整数n，我们有α（n）≤ β（n）≤ φ（n）（吉原，1976年）。假设{RT}是{RT}的子序列∈Z.设Fbe为R的分布函数。对于a:=Dw=（a，…，ad）T，设g:Rd×Rd→ R be-akernel函数g（Rt，Rt）：=πXj6=kajakcos（πτjk）符号（Rtj）- Rtj）标志（Rtk）- Rtk）。（3.1）我们进一步定义了以下3个量，这将在后面的章节中有用：g（R）：=Zg（R，R）dF（R），（3.2）θ：=Zg（R，R）dF（R）dF（R）=aTncos（πT）oπToa，（3.3）σ：=4Eg（R）- θ+ 2∞Xh=1nEg（R）g（R1+h）o. （3.4）在下文中，我们假设第2节中的椭圆时间序列模型成立。3.1已知波动率的理论我们做出以下四个假设来调节投资组合分配向量和平稳过程{Rt}t∈Z.（A1）存在绝对常数c，例如kwk≤Cand k∑kmax≤C.（A2）σ的下限为正绝对常数。（A3）过程{Rt}t∈Zisφ-与φ（n）混合≤ N-1.-对一些人来说 > 0.（A4）对数d/（T1/2）=o（1）。假设（A1）调节投资组合分配向量w，以防止极端头寸。这是投资组合稳定性的常见假设（Jagannathan和Ma，2003年；Fan等人，2012年和2015年）。假设（A2）保证投资组合风险不会被转移。考虑到回报通常被假定为遵循一个因素模型，这是温和的（张伯伦，1983年；范等人，2015年）。假设（A3）通常用于分析时间序列，以获取序列依赖强度（潘和姚，2008；刘汉南，2013b）。

最后，假设（A4）允许d的增长速度接近于T的指数，因此是温和的。在第2.1节的设置和假设（A1）-（A4）中，我们推导了wT（b∑）的极限分布-∑）w.下列定理表明：√T wT（b∑）-∑）w/σ是渐近正态的。定理3.1（CLT，已知挥发性）。假设（A0）-（A4）保持不变，在第2.1节的设置中，我们有√T wT（b∑）- ∑）w/σd→ N（0，1），因为T和d都是完整的。以下定理证明，使用循环块自举法计算的bσ是σ的一致估计量。这个结果，结合定理3.1和Slutsky的定理，证实了√T wT（b∑）-∑）w/bσ弱收敛于标准高斯分布。因此，（2.8）中的置信区间给出了可靠的覆盖概率。定理3.2（bootstrap，已知挥发性）。在假设（A0）-（A4）下，我们有bσ=σ1+oP（1）,因此，对于任何给定的γ∈ （0,1），作为T，d→ ∞, 我们有wT∑w∈wTb∑w-bU（γ），wTb∑w+bU（γ）→ 1.- γ.上述两个定理仅假设存在边际二阶矩。因此，鲁棒H-CLUB估计器自然地处理重尾数据。3.2理论与其他数据在本节中，我们研究了第2.2节中的设置。当D未知时，我们需要额外的假设。首先，以下三个假设要求d与n和给定时间序列{Xt}t相比增长不太快∈Z（任{Rt}t∈Zor{Ht}t∈Z） 是φ-与指数衰减序列相关的混合（A5）。最大{plog d/Tδ，log d/（T1/2）}=o（1）。o（A6）。过程{Xt}t∈Zisφ-与φ（n）混合≤ Cexp(-Cnr）对于某些绝对常数C，C，r>0.o（A7）。假设a=max（1，1/r），我们需要logd=o（T1/（2a+3））。回想一下，（2.9）中定义了δ，用于描述历史数据的长度。

其次，我们要求返回\'（4+)-对于某个绝对常数，矩是存在的> 密度函数在中位数附近远离零：o（A8）。对于任何j∈ {1，…，d}，E|X1j|4+≤ C<∞ 为了某个常数, C> 0.o（A9）。设fjand | fjbe为Xjand | Xj的密度函数- Q（Xj；1/2）|。给anyj∈ {1，…，d}，我们需要inf | x-Q（f；1/2）|<κf（x）≥ 对于某些正绝对常数κ和η，以及任何f∈ {fj，\'fj}。在（A0）-（A2）和（A5）-（A9）下，下一个定理表明√T wT（b∑h）- ∑）w是交感正常的。定理3.3（CLT，具有附加数据的未知挥发性）。假设假设（A0）-（A2）成立。此外，假设假设（A5）-（A7）对{Rt}t都成立∈Zand补充数据{Ht}t∈Z、 假设（A8）-（A9）适用于{Ht}t∈Z.那么在第2.2节的设置中，我们有√T wT（b∑h）- ∑）w/σd→ N（0，1），因为T和d都是完整的。下一个定理表明，bσhis是σ的一致估计量，因此（2.12）中的置信区间是有效的。定理3.4（bootstrap，未知波动率和附加数据）。在定理3.3的假设下，我们有bσh=σ{1+oP（1）}，相应地，对于任何给定的γ∈ （0,1），作为T，d→ ∞, 我们有wT∑w∈wTb∑hw-bUh（γ），wTb∑hw+bUh（γ）→ 1.- γ、 3.3边际挥发率未知的理论最后，我们研究了第2.3节中的设置。在此设置下，我们使用数据拆分策略，仅对长度为T1的子序列进行推断-δ. 下一个定理证明了这种方法的使用。定理3.5（CLT，未知边际波动率）。假设假设（A0）（A2）成立，假设（A5）-（A9）成立{Rt}t∈Z.然后，在第2.3节的设置下，我们有ptswt（b∑s）- ∑）w/σd→ N（0，1）。此外，基于bootstrap的估计量bσ证明是σ的一致估计量。定理3.6（bootstrap，未知边际波动率）。

在定理3.5的假设下，我们有bσs=σ{1+oP（1）}，相应地，对于任何给定的γ∈ （0,1），作为T，d→ ∞, 我们有wT∑w∈wTb∑sw-总线（γ），wTb∑sw+总线（γ）→ 1.- γ.备注3.7。与Fan et al.（2015）中的方法相比，鲁棒H-CLUB估计器获得了很大的鲁棒性，因为它只假设（4+)-对于边际回报来说，时间是存在的。相比之下，Fan等人（2015年）要求尾部具有强大的指数衰减率（例如，检查假设3.4）。这些假设往往限制性很强，在实际应用中很少得到满足。鲁棒H-CLUB估计器以较小的Tδ效率为代价获得处理重尾数据的能力。这是由于数据分割策略，这是证据的产物。在实践中，我们发现第2.3节介绍的方法表现良好。数据分割策略允许投资组合分配向量是随机的。更具体地说，假设BW是基于数据R，下一个理论表明√TsbwT（b∑s）- ∑）bw在下面概述的假设下是渐近正态的。推论3.1。在定理3.5中的假设下，letbw=（bw，…，bwd）t是w=（w，…，wd）t的估计量，以满足P（|bwj/wj）- 1 |>t）≤ 2经验-CTt（3.5）对于某些绝对常数C，任何j∈ {1，…，d}，以及任何t>0。然后我们有，作为T，d→ ∞,pTsbwT（b∑s）- ∑）bw/σd→ N（0，1）。在这种情况下，我们也可以使用类似的圆形块引导程序来估计√TsbwT（b∑s）- ∑bw。4合成数据的模拟在本节中，我们研究了稳健H-CLUB估计器在合成数据中的有限样本性能，这些数据具有重尾和噪声污染。我们根据Fan et al.（2015）中使用的统计数据，计算了估计量的几个统计数据，以显示估计量的质量。

我们的分析表明，与完全置信界ξT=kwkkb∑est相比，鲁棒H-CLUB估计在所考虑的所有情况下都表现良好-∑kmax。我们观察到，我们提出的方法的95%置信区间比ξT给出的界限要紧得多。我们还证明，在存在重尾数据的情况下，基于可靠估计量计算的H-CLUB优于基于Fan等人（2012）提出的样本协方差矩阵估计量计算的H-CLUB。特别是，我们证明了H-CLUB估计器在重尾环境下不能达到95%的覆盖率，而鲁棒H-CLUB估计器的性能是一致可靠的。最后，我们证明了鲁棒H-CLUB估计在应用于高斯数据时也具有竞争力。4.1校准和参数选择为了校准我们模型中的数据生成参数，我们分别使用标准普尔500指数前100名股票的每日收益率（截至2012年6月29日），以及来自COMPUSTAT数据库（www.COMPUSTAT.com）和CSRP数据库（www.crsp.com）的三个月国库券利率。我们考虑了2008年7月1日至2012年6月29日期间的超额收益{eyt}。我们提取了以下特征：1。{d+i}i=1，d+等于第i个股票的样本标准偏差。2.∑0+={∑0+ij}i，j=1，观测序列的样本相关矩阵。从中，我们提取{d+i}i=1的均值和方差，分别用ud+和σd+表示。我们还计算所有成对相关性的平均值和标准偏差，分别用|∑0+和∑∑0+表示。这些参数随后用于生成相关矩阵和边际方差。我们还可以选择几个调整参数。

我们选择Th=dT1/（1）-δh）e，其中δh=0.1是确定估计器b∑h，l=bT1可用历史数据量的参数-c与= 0.8作为控制块引导中块大小的参数，Nbootstrap=50作为生成的引导数据集的数量，Ts=bT1-δc，δ=0.01作为控制估计器B∑s.4.2模拟中使用的数据分裂的参数。对于每个给定的总暴露约束c:=kwk，我们设置T=300，并允许d以50的倍数从50到500变化。对于每个d值，我们进行200次相同过程的迭代：生成一个模型，从该模型合成数据，然后根据合成数据计算估计值。我们将这200次迭代的结果与allowus进行比较，以比较不同估计器之间的性能。具体步骤如下：1。独立于伽马分布生成{di}di=1，平均值为ud+，方差为σd+。定义为对角线矩阵，使Dii=di。2.独立于高斯分布生成条目{∑ij}i6=jof∑，平均数∑0+和方差∑∑0+。我们将这些有效对角线元素的阈值设置为不大于0.95，并将∑的对角线设置为1。如果矩阵不是正定义的，我们使用Higham算法（参见，例如Higham（2002））使其成为正定义，同时保持对角线固定在1.3。定义协方差矩阵∑=D∑D.4。独立于具有5个自由度和协方差矩阵∑的多元t分布生成{Rt}Tt=1。从具有5个自由度和协方差矩阵D的多元t分布生成独立的历史数据{Ht}Tht=1。通过在{Rt}Tt=1中随机选择1%的元素，并将每个元素乘以独立于aUnif（1,15）分布的随机变量，将噪声污染添加到数据中。对{Ht}Tht=1中的1%元素执行相同的操作。

这一步可以被视为企业上的新闻，导致其回报率激增。6.使用第4.1.7节中给出的调整参数，计算样本协方差矩阵S和鲁棒估计器SB∑、b∑h和b∑S给出的协方差估计。根据Fan等人（2015）中概述的方法生成500个投资组合分配向量w，该向量近似均匀分布在流形{w:kwk=c，wT1=1}上。我们在实践中发现了以下微小的改变以提高绩效：对于基于B∑H的H俱乐部，我们在估计wTb∑hw的方差时，采用了{Ht}Tht=1和{Rt}Tt=1的块自举样本。为此，我们使用块大小参数lh=bT1-hc，完全类似于在{Rt}Tt=1和l=bT1上执行的块引导-c、 我们在第4节和第5.8节中使用了这种修改。对于每个投资组合分配，计算与第6步中列出的估计数相对应的H俱乐部估计数。作为概念证明，我们还计算了b∑sTs=T的估计量，这是估计量b∑swith Ts=T（即，不进行数据分裂）。在500个投资组合中，计算真实风险R（w）的平均值：=√wT∑w，以及 := |wT（b∑est）- ∑）w |，ξT:=kwkkb∑est- 所考虑的估值器b∑的每一个∑kmax和bu（0.05）=2pbσ/T。我们画出了, ξT和bu（0.05）对每一个被考虑的估计器的d，以及c=1、c=1.6和c=2观察总暴露对风险评估的影响。接下来，对于d=200和d=500，我们计算10万个投资组合（200个合成数据集上的500个投资组合）的以下数量：覆盖率，定义为95%置信区间包含真实风险R（w）=（wT∑w）1/2的样本分数，定义为asRE的界限比率：=ξTpbσ/T，以及定义为asRE的相对误差：=pbσ/T2wT∑w，我们计算c=1，1.6和2的这些。

该度量将上界与95%置信区间的半宽度进行了重新比较，而Rei是由投资组合风险本身划分的投资组合风险{wT∑w}1/2的95%置信区间的半宽度。前者描述了置信上限的有效性，后者衡量了构建的置信区间的信息量。最后，我们重复前面的覆盖率计算，Rean和REina设置，其中数据是从高斯分布生成的，没有任何噪声污染。这意味着我们改变了上述过程的第4步（但用高斯分布代替t分布），并删除了第5步。这使我们能够在数据正常时检查鲁棒性的效率损失程度。在该设置中，我们还计算了ratiobU（0.05）/ 作为衡量H-CLUB相对于理论最小界限有多紧的指标。4.3结果在图1和图2中，我们使用估计器SB∑est=b∑、b∑h、b∑s和b∑sTs=T，绘制了平均风险估计误差以及总风险c=1、1.6和2的估计误差范围。注意，c=1.6导致平均130%的多头仓位和30%的空头仓位，其中100 200 300 400 5000 1000 2500样本协方差估计器100 200 300 400 5000 20 40稳健估计器100 200 300 400 5000 20 40稳健估计器（无数据-拆分）d100 200 300 400 5000 20 40稳健估计量（已知历史）d100 200 400 5000.0 1.5 3.0稳健估计量（已知边际方差）D图1: = |wT（b∑est）- ∑）w |（蓝色曲线），bU（0.05）=2qdVar（wTb∑estw）（虚线曲线），ξT=kwkkb∑est-∑kmax（红色曲线）表示c=1.0。横轴显示问题的维度，即投资组合大小。垂直轴显示计算出的平均值。通常在实践中使用。我们还使用了样本协方差矩阵估计量，Fan等人推导了该估计量的H-CLUB估计量。