大型投资组合风险的稳健推断

利用霍夫丁分解法，韦哈弗*T（h）=ω+TTXt=1h（X*t） +U*T（h）。对于两个随机变量X和Y，我们有Var（X+Y）=Var（X）+Var（Y）+2 Cov（X，Y）≤ Var（X）+Var（Y）+2pVar（X）pVar（Y），yieldsVar*{√TU*T（h）}≤变量*N√TTXt=1h（X*t） o+Var*N√TU*T（h）o+2VuTvar*N√TTXt=1h（X*t） 奥瓦尔*N√TU*T（h）o.（7.4）类似地，使用Var（X+Y）=Var（X）+Var（Y）+2 Cov（X，Y）的事实≥ Var（X）+Var（Y）- 2pVar（X）pVar（Y），我们有*{√TU*T（h）}≥变量*N√TTXt=1h（X*t） o+Var*N√TU*T（h）o- 2vuutVar*N√TTXt=1h（X*t） 奥瓦尔*N√TU*T（h）o.（7.5）根据邵和余（1993）的定理2.3，关于h，我们有变量*N√TTXt=1h（X*t） o- 瓦恩√TTXt=1h（Xt）oa、 美国。-→ 另一方面，通过引理7.3，我们得到了Var{√T UT（h）}=o（1）和Var*{√TU*T（h）}=oP（1）。将它们与（7.4）和（7.5）结合起来，我们得到了VaR*{√TU*T（h）}=Var*N√TTXt=1h（X*t） o+oP（1）。（7.7）类似的论据产生了thatVar{√T UT（h）}=Varn√TTXt=1h（Xt）o+o（1）。（7.8）结合（7.7）和（7.8），我们得到*{√TU*T（h）}- 变量{√T UT（h）}=Var*N√TTXt=1h（X*t） o-瓦恩√TTXt=1h（Xt）o+oP（1）。将上述方程式与（7.6）结合起来完成了证明。引理7.5。让{Xt}t∈Zbe是φ-混合随机向量的平稳序列。假设φ-混合系数满足假设（A3）。然后我们有了Kebt- Tkmax=O1/T,其中BT和T是（2.1）中定义的样本和群体肯德尔的τ矩阵。证据对于任意两个常数1≤ s<t≤ T，我们有p（Xtj）- Xsj>0，Xtk- Xtk>0）=P（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）。允许-∞ = a<-M<a<…<啊-1<M<ah=∞和-∞ = b<-M<b<…<伯克希尔哈撒韦-1<M<bh=∞可以是两个预先确定的实数序列。注意，对于i=1，h、 给定{Xsj∈ [哎-1，ai]}，事件{Xtj>Xsj}意味着事件{Xtj>ai-1}. 这个yieldsP（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）≤Xi，jP（Xtj>ai-1，Xtk>bj-1 | Xsj∈ [哎-1，ai]，Xsk∈ [bj]-1，bj]）·P（Xsj∈ [哎-1，ai]，Xsk∈ [bj]-1，bj]）。另一方面，给定{Xsj∈ [哎-1，ai]}，事件{Xtj>ai}意味着事件{Xtj>Xsj}。

因此，我们有p（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）≥Xi，jP（Xtj>ai，Xtk>bj | Xsj∈ [哎-1，ai]，Xsk∈ [bj]-1，bj]）·P（Xsj∈ [哎-1，ai]，Xsk∈ [bj]-1，bj]）。现在，我们将ψUh定义为ψUh:=Xi，jP（Xtj>ai）-1，Xtk>bi-1） P（Xsj）∈ [哎-1，ai]，Xsk∈ [bj]-类似地，ψLh被定义为ψLh=Xi，jP（Xtj>ai，Xtk>bi）P（Xsj∈ [哎-1，ai]，Xsk∈ [bj]-1，bj]）。设ψhbe关于P的符号为ψuh或ψlh（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）- ψLh：ψh=（ψLh，如果P（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）>ψLh；ψ呃，否则。。在不丧失普遍性的情况下，假设我们有P（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）>ψLh，那么P（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）- ψh= P（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）- ψLh≤Xi，jP（Xtj>aj）-1，Xtk>bj-1 | Xsj∈[哎-1，ai]，Xsk∈[bj]-1，bj]）-P（Xtj>aj，Xtk>bj）·P（Xsj∈ [哎-1，ai]，Xsk∈ [bj]-1，bj]）≤φ（t）- s） +maxi，j | P（Xtj>aj）-1，Xtk>bj-1) - P（Xtj>aj，Xtk>bj）|。现在让h→ ∞, 马克斯-1i=2 | ai- 人工智能-1| → 0，麦克斯-1i=2 | bi- 毕-1| → 0和M→ ∞. 通过定义φ-混合系数，我们得到了P（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）-ZP（Xtj>a，Xtk>b）dP（Xsj=a，Xsk=b）≤ φ（s）- t） 。（7.9）此外，假设X=（X，…，Xd）具有与X相同的分布，并且独立于（Xs，Xt），我们就有dP（Xsj=a，Xsk=b）=dP（Xj=a，Xk=b）。这个yieldsZP（Xtj>a，Xtk>b）dP（Xsj=a，Xsk=b）=ZP（Xtj>a，Xtk>b）dP（Xj=a，Xk=b）。将上述方程代入（7.9），我们得到P（Xtj>Xsj，Xtk>Xsk）-ZP（Xtj>a，Xtk>b）dP（Xj=a，Xk=b）≤ φ（t）- s） 。注意，通过条件概率的定义，我们得到了zp（Xtj>a，Xtk>b）dP（Xj=a，Xk=b）=P（Xtj）- Xj>0，Xtk- Xk>0）。因此，结合上述两个方程，我们得到P（Xtj）- Xsj>0，Xtk- Xsk>0）- P（Xtj）- Xj>0，Xtk- Xk>0）≤ φ（t）- s） 。（7.10）使用类似的论点，我们可以证明P（Xtj）- Xsj<0，Xtk- Xsk<0）- P（Xtj）- Xj<0，Xtk- Xk<0）≤ φ（t）- s） ，（7.11）P（Xtj）- Xsj<0，Xtk- Xsk>0）- P（Xtj）- Xj<0，Xtk- Xk>0）≤ φ（t）- s） ，（7.12）P（Xtj）- Xsj>0，Xtk- Xsk<0）- P（Xtj）- Xj>0，Xtk- Xk<0）≤ φ（t）- s） 。

（7.13）通过定义，我们得到τjk=E{sign（Xtj- Xj）（Xtk- Xk）}。应用预期的定义，我们得到τjk=P（Xtj- Xj>0，Xtk- Xk>0）+P（Xtj- Xj<0，Xtk- Xk<0）-P（Xtj）- Xj>0，Xtk- Xk<0）- P（Xtj）- Xj<0，Xtk- Xk>0）。（7.14）基于同样的原因，我们有符号（Xtj）- Xsj）（Xtk- Xsk）}=P（Xtj- Xsj>0，Xtk- Xsk>0）+P（Xtj- Xsj<0，Xtk- Xsk<0）-P（Xtj）- Xsj>0，Xtk- Xsk<0）- P（Xtj）- Xsj<0，Xtk- Xsk>0）。（7.15）现在，通过定义bτjk，我们得到Ebτjk- τjk=耳鼻喉科- 1） Xs<tsign（Xtj- Xsj）（Xtk- Xsk）o- τjk≤T（T- 1） Xs<tEsign（Xtj）- Xsj）（Xtk- （Xsk）- τjk.将（7.14）和（7.15）代入上述方程，并应用（7.10）-（7.13），我们得到Ebτjk- τjk≤T（T- 1） Xs<t{4φ（t- s） }=PTt=1（T- t） φ（t）t（t）- 1） =OT. （7.16）最后一个不等式是因为根据假设（A3），我们有TXT=1（T- t） φ（t）≤TXt=1T- tt1+≤ T∞Xt=1t1+= O（T）。这就完成了证明。引理7.6。让{Xt}t∈Zbe是φ-混合随机向量的平稳序列。假设φ-混合系数满足假设（A3）。然后我们有KBT- Tkmax=OPrlog dT,其中bt和T是基于{Xt}Tt=1的样本和总体Kendall的tau矩阵。证据考虑以下函数fjk（X，…，XT）：=T- 1Xt<tsign（Xtj- Xtj）符号（Xtk）- Xtk）=T·bτjk。我们有fjk（X，…，Xi，…，XT）- fjk（X，…，Xi，…，XT）=T- 1.Xt6=isign（Xij- Xtj）符号（Xik）- （Xtk）-Xt6=isign（Xij- Xtj）符号（Xik）- （Xtk）≤T- 1{2（T）- 1)} = 4.因此，关于汉明度量，fjk是c-Lipschitz。通过引理7.1，我们得到了T | bτjk- Ebτjk|≥ ≤ 2扩展-8T{1+2P∞l=1φ（l）}i，对于任何 > 0.这里∞l=1φ（l）<∞ 由假设（A3）保证。因此，我们有kbT- EbTkmax≥ ≤dXj，k=1P|bτjk- Ebτjk|≥ ≤ 2 exph2 log d-T8{1+2P∞l=1φ（l）}i.设置 =p[24{1+2P∞l=1φ（l）}logd]/T，我们有kbt- EbTkmax=OPrlog dT.将上述方程与引理7.5结合起来完成了证明。引理7.7。

[Doukhan and Neumann（2007）中的定理1]假设X，在公共概率空间上定义的均值为0的X个实值随机变量(Ohm, A、 P）。设ψ：N→ N可以是以下函数之一：（a）。ψ（u，v）=2v（b）。ψ（u，v）=u+v，（c）。ψ（u，v）=uv（d）。ψ（u，v）=α（u+v）+（1）- α） 紫外线，对一些人来说∈ (0, 1).我们假设存在常数K，M，L，L>0，a，b≥ 0和实系数{ρ（n）}n的非递增序列≥0使得对于任何u元组（s，…，su）和v元组（t，…，tv），1≤ s≤ ··· ≤ 苏≤ T≤ ··· ≤ 电视≤ T，以下不等式成立：CovuYi=1Xsi，vYj=1Xtj！≤ KMu+v{（u+v）！}bψ（u，v）ρ（t）- su），（7.17）其中对于序列{ρ（n）}n≥0，我们要求∞Xs=0（s+1）kρ（s）≤ LLk（k！）A.K≥ 0.（7.18）我们还假设以下力矩条件成立：E | Xt | k≤ （k！）bMk，对于所有t=1，T.（7.19）设ST=PTt=1Xt。然后，对于所有x>0，我们有p（ST≥ 十）≤ 经验-xCT+Cx（2a+2b+3）/（a+b+2）, （7.20）式中，根据K、M、L、L、a和b，C=2a+b+3KML（K∨ 2） ，C=2{ML（K∨ 2） }1/（a+b+2）。（7.21）引理7.8。让{Xt}t∈Zbe a d维平稳φ-满足假设（A6）、（A7）和（A9）的混合过程。LetbR=diag（bσM，1，…，bσM，d）是基于{Xt}Tt=1的样本中值绝对偏差的对角矩阵，R=diag{σM（X），…，σM（X1d）是它的总体对应物。然后我们有KBR- Rkmax=OPrlog dT.证据我们首先关注一个边际过程{Xtj}Tt=1。为了简洁起见，我们抑制了索引j，并将过程表示为{Xt}Tt=1。定义X=X。设F为X的分布函数，Ft为{Xt}Tt=1和F的经验分布-1T（q）：=bQ（{Xt}；q）对于任何q∈ [0, 1].

根据（2.3）中BQ（·）的定义，我们有 ∈ [0, 1], ≤ FT{F-1T()} ≤  +这意味着pnbq（{Xt}；q）- Q（X；Q）≥ uo=PnF-1T（q）- F-1（q）≥ uo≤ Phq+T≥ FT{u+F-1（q）}i.根据FT的定义，我们进一步得到了pnbq（{Xt}；q）- Q（X；Q）≥ uo≤ PhTXt=1I{Xt≤ F-1（q）+u}≤ tq+1i=PTXt=1h- I{Xt≤ F-1（q）+u}+F{F-1（q）+u}i≥ ThF{F-1（q）+u}- Q-钛.自从{Xt}t∈Zisφ-混合，过程{-I{Xt≤ F-1（q）+u}+F{F-1（q）+u}t∈Zis也支持混合。由Doukhan和Louichi（1999）中的引理6所述{-I{Xt≤ F-1（q）+u}+F{F-1（q）+u}t∈K=2，M=1，b=0，四个ψ函数中的任意一个，ρ（n）=φ（n）的zsaties（7.17）≤ Cexp(-Cnr）。根据Doukhan和Neumann（2007）中的命题8，（7.18）对a=max（1，1/r）和一些常数L表示满意-I{Xt≤ F-1（q）+u}+F{F-1（q）+u}有界，（7.19）也满足b=0。因此，应用引理7.7，我们得到了pnbq（{Xt}；q）- Q（X；Q）≥ uo≤ 经验-ψF{F-1（q）+u}- Q-T, （7.22）对于F{F-1（q）+u}- Q- 1/T>0，其中ψ（x）：=T xC+CT（a+1）/（a+2）x（2a+3）/（a+2），对于x>0，a=max（1，1/r），以及一些绝对常数C。另一方面，wehavePnbQ（{Xt}；q）- Q（X；Q）≤ -uo=PnF-1T（q）- F-1（q）≤ -uo≤ Phq≤ FT{F-1（q）- u} i=PTXt=1hI{Xt≤ F-1（q）- u}- F{F-1（q）- u} 我≥ Thq- F{F-1（q）- u} 我.通过类似的论证，我们得到了pnbq（{Xt}；q）- Q（X；Q）≤ -uo≤ 经验-ψQ- F{F-1（q）- u}. （7.23）结合（7.22）和（7.23），我们有bQ（{Xt}；q）- Q（X；Q）≥ uo≤经验-ψF{F-1（q）+u}- Q-T+ 经验-ψQ- F{F-1（q）- u}, （7.24）对于F{F-1（q）+u}- Q- 1/T>0。接下来，我们继续推导bσM（{Xt}Tt=1）的指数尾概率。我们将ebm:=bQ（{Xt}Tt=1；1/2）和m:=Q（X；1/2）作为样本和总体中位数。设X和| X的分布函数-Q（X；1/2）|。

通过bσM的定义，我们得到了pnbσM{Xt}Tt=1- σM（X）>uo=PnbQn | Xt- bm | oTt=1；- Q|十、- m |；> uo≤PnbQn | Xt- m | oTt=1；+ |bm- m|- Q|十、- m |；> uo≤PnbQn | Xt- m | oTt=1；- Q|十、- m |；>uo+P|bm- m |>u. （7.25）另一方面，使用相同的技术，我们得到了pnbσM{Xt}Tt=1- σM（X）<-uo=PnbQn | Xt- bm | oTt=1；- Q|十、- m |；< -uo≤PnbQn | Xt- m | oTt=1；- |bm- m|- Q|十、- m |；< -uo≤PnbQn | Xt- m | oTt=1；- Q|十、- m |；< -uo+P|bm- m |>u. （7.26）结合（7.25）和（7.26），我们有pn | bσM{Xt}Tt=1- σM（X）|>uo≤PnbQn | Xt- m | oTt=1；- Q|十、- m |；>uo+2P|bm- m |>u. （7.27）现在应用不平等（7.24），我们有Pn | bQn | Xt- m | oTt=1；- Q|十、- m |；| >uo≤经验-ψhFnF-1.+uo--钛+ 经验-ψh- FnF-1.-uoi≤扩展-ψηu-To+expn-ψηuo、 （7.28）无论何时-1（1/2）+u/2}- 1/2>1/T。这里最后一个不等式是由于假设（A9）和ψ不递减的事实。同样，我们也有|bm- m |>u≤经验-ψhFnF-1.+uoi--T+ 经验-ψh- FnF-1.-uoi≤扩展-ψηu-To+expn-ψηuo、 （7.29）无论何时-1（1/2）+u/2}-1/2>1/T。最后一个不等式也是由于假设（A9）和f是非减量的事实。在这里，我们回顾了X和| X的分布函数- Q（X；1/2）|。结合不等式（7.27），（7.28）和（7.29），wehavePnbσM{Xt}Tt=1- σM（X）> uo≤3扩展-ψηu-To+3扩展-ψηuo≤6 expn-ψηu-To、 当我们有0<u/2<κ和ηu/2>1/T时。现在我们将焦点切换回EntireMatrix XBR。通过概率测度的次可加性，我们得到了kbR- Rkmax>u≤dXj=1PnbσM{Xtj}Tt=1- σM（X1j）> uo≤6 expn2 log d- ψηu-To、 （7.30）我们记得，通过定义函数ψ（·），我们得到了ψηu-T=Tηu-TC+CT（a+1）/（a+2）ηu-T（2a+3）/（a+2）。为了简化上面等式右边的分母，我们需要C≥ CT（a+1）/（a+2）ηu-T（2a+3）/（a+2）。（7.31）那么我们有ψ（ηu/2）-1/T）≥ T/（2C）（ηu/2）-1吨）。

把这个插入（7.30），我们得到kbR- Rkmax>u≤ 6 expn2 log d-T2Cηu-To、 （7.32）接下来我们选择一个合适的u来推导收敛速度。为此，我们设置了2个日志d-T2Cηu-T= -日志d。这导致tou=ηr6Clog dT+T. （7.33）将上述方程代入（7.31），我们得到C≥ 6（2a+3）/（2a+4）Cn（logd）2a+3To1/（2a+4）。因此，只要我们有logd=o[T1/（2a+3）]，那么（7.31）就成立。假设（A7），（7.31）成立。将（7.33）插入（7.32），我们得到了pnkbr- Rkmax>ηr6Clog dT+To≤d、 因此，当T和d都进入实体时，我们有KBR- Rkmax=OPrlog dT.这就完成了证明。引理7.9。设{Xt}Tt=1b是一个满足假设（A6）-（A9）的d维平稳过程。然后我们得了KBD- Dkmax=OPrlog dT,式中，BD在等式（2.13）中定义。证据定义R=diag（bσM，1，…，bσM，d），R=diag{σM（X），…，σM（X1d）}，bcM=bσ/bσM，1和cM=√∑/σM（X）。我们有KBD- Dkmax=kbcMbR- cMRkmax≤ kbcM（bR- R） kmax+k（车身控制模块- cM）Rkmax≤ |bcM | kbR- Rkmax+C |车身控制模块- 厘米|。（7.34）通过引理7.8，我们得到了KBR- Rkmax=OPrlog dT. （7.35）因此，具体来说，我们有bσM，1P→ σM（X）。（7.36）我们可以重写bσasbσ=T- 1TXt=1（Xt1-\'XT 1）=T（T- 1） Xt<th（Xt1，Xt），其中¨Xt 1:=PTt=1Xtj/T，h（Xt1，Xt）=（Xt1- Xt）/2。因此，bσ是核函数h的U-统计量√T（bσ）- ∑）d→ 其中Zi是平均值为0的高斯随机变量。用溴氰菊酯法，我们有√T（bσ）-√∑）d→ Z对于另一个均值为0的高斯随机变量Z。将其与（7.36）相结合，并应用Slutsky定理，我们得到√车身控制模块（T）-cM）d→ Zforsome Gaussian随机变量Z。因此，我们有| bcM- cM |=OP1/√T. （7.37）结合（7.34），（7.35）和（7.37），我们得到了期望的结果。7.2定理3.1的证明。表示a=Dw。

在sin（πT/2）的sin（πbT/2）上使用泰勒展开项，wehavewT（b∑）- ∑）w=atsin（πbT）- sin（πT）oa=aTncos（πT）oπ（bT）- T） oa |{z}A+aTn-[sin（θjk）]o （π） （英国电信- （T）o （英国电信- T） oa |{z}A，其中每个j，k∈ {1，…，d}，θjk位于τjk和bτjk之间。使用引理7.6和假设（A4），我们有一个≤πkakkbT- Tkmax=OP对数dT= oPσ√T. （7.38）这里的第一个不等式是因为对于任何向量v，v∈ Rd和matrixM∈ Rd×d，| vTMv |≤ kvkkMvk∞≤ KMKMaxkVKVK。（7.39）接下来，我们关注A。我们可以扩展AbyA=T（T- 1） Xt<tg（Rt，Rt）{z}UT-aTncos（πT）oπToa，（7.40），其中g（·）在等式（3.1）中定义。注意，UTI是一个2阶U统计量，核函数g（·）满足g（Rt，Rt）≤πmaxjk标志（Rtj）- Rtj）标志（Rtk）- Rtk）卡克≤πkDkmaxkwk≤π.因此g（·）是一个有界核函数。假设（A3）保证{Rt}t∈Zis也与β（n）混合≤ N-1.-. 因此，通过引理7.2，我们得到√Tασ=√T（UT）- θ） σd→ Z、 （7.41）其中Z~ N（0，1）是一个标准的高斯随机变量。根据Slutsky定理，将上述方程与（7.38）相结合，可以得到期望的结果。7.3定理3.2的证明。与定理3.1的证明类似，我们可以将wT（b∑）展开*- ∑）w bywT（b∑*-∑）w=aTncos（πT）oπ（bT）*-T） oa |{z}A*+aTn-[sin（θjk）]o（π） （英国电信*-（T）o（英国电信*-T） oa |{z}A*. （7.42）LetbR*:= wT（b∑）*- ∑）w并重写A*阿萨*=T（T- 1） Xt<tg（R*t、 R*t） |{z}U*T-aTncos（πT）oπToa。提醒一下，g（·）是一个有界核函数，假设（A3）意味着进程{Rt}t∈Zisβ-与β（n）混合≤ N-1.-. 通过引理7.4和假设（A2），我们得到变量*(√TU*（T）- 变量(√T（UT）= oP（σ），式（7.40）中定义了UTI。此外，通过（7.41），我们得到了Var(√T UT）=σ{1+o（1）}。因此，我们有了*(√塔塔*) = 变量*(√TU*T） =σ{1+oP（1）}。（7.43）接下来，我们关注Var的渐近性*(√塔塔*).

注意到（7.39），我们有一个*≤πkakkbT*- Tkmax。通过循环块引导程序，进程{R*t} t∈Zis仍然是一个混合系数为φ（n）的φ-混合过程≤ N-(1+)(1-)= O（n）-1.-) 对一些人来说> 只要 >/(1 - ). 因此，通过引理7.6，我们得到了kbT*- Tkmax=OP（plog d/T）。因此，我们有一个*= OP（对数d/T）和相应的变量*(√塔塔*) ≤ T E*（A）*) = OPn（logd）To=oP（σ），（7.44），其中E*引导期望是以{Rt}Tt=1为条件的。结合方程（7.42）、（7.43）和（7.44），我们得到了VaR*(√TbR*) = 变量*N√T（A）*+ A.*)o=Var*(√塔塔*) + 变量*(√塔塔*) + 2冠状病毒(√塔塔*,√塔塔*)≤ 变量*(√塔塔*) + 变量*(√塔塔*) + 2qVar*(√塔塔*)qVar*(√塔塔*)= {oP}1+1。（7.45）另一方面，我们也有*(√TbR*) ≥ 变量*(√塔塔*) + 变量*(√塔塔*) - 2qVar*(√塔塔*)qVar*(√塔塔*)= σ{1+oP（1）}。（7.46）结合（7.45）和（7.46）完成证明。7.4定理3.5的证明。表示a:=Dw。我们可以写出wt（b∑s）-∑）w=atsin（πbTs）-sin（πT）oa |{z}B+nwTbD sin（πbTs）bDw-wTD sin（πbTs）Dwo |{z}B.（7.47）通过与定理3.1证明中相同的参数，我们得到√TsBσd→ Z、 （7.48）其中Z~ N（0，1）是一个高斯随机变量。还有一点需要说明的是，Bis的无知令人同情。使用（7.39），我们有| B |≤wTbD sin（πbTs）（bD- D） w+wT（bD）- D） sin（πbTs）Dw≤ ksinπbTkmaxk（bD- D） wk（kbDwk+kDwk）≤ kbD- Dkmax（kbDkmax+kDkmax）。利用引理7.9和假设（A5），我们得到了|B |=OP（plog d/T）=OP（σ）/√Ts）。结合（7.47）和（7.48），使用Slutsky定理，我们得到了期望的结果。7.5推论的证明3.1证明。通过（3.5），我们得到了P（|bwj/wj）- 1 |>t）≤ 经验(-CT（t）。因此，我们进一步得到了p（maxj | bwj/wj）- 1 |>t）≤ dP（| bwj/wj）- 1 |>t）≤ exp（日志d）- CT（t）。为了简化收敛速度，设置t=p（3 logd）/（CT），我们有maxj | bwj/wj- 1 |>p3对数d/（CT）≤ 1/d。因此，随着（T，d）的深入，我们得到了maxj | bwj/wj- 1 |=OP（plog d/T）。

这给了我们kbw收敛速度的上限- wk:kbw-wk=dXj=1 | bwj-wj |=dXj=1 | wj |·bwjwj-1.≤kwk·maxjbwjwj-1.= 操作rlog dT. （7.49）与（7.47）类似，我们可以分解ebwtb∑sbw- wT∑w到BWTB∑sbw- wT∑w=B+bwTbD sin（πbTs）bDbw- wTD sin（πbTs）Dw |{z}B（7.50），其中Bis定义在（7.47）中。在定理3.5的证明中，我们仍然有（7.48）。关于B，我们有| B |≤ kbDbw- dwkkbbw+Dwk。利用三角形不等式，我们得到了| B |≤大骨节病- w） k+k（bD）- D） 工作kbDkkbwk+kDkkwk≤kbDkmaxkbw- wk+kbD- DkmaxkbDkmaxkbwk+kDkmax.使用（7.49）和引理7.9，我们可以得出| B |=OP（plog d/T）。将其插入（7.50）并使用Slutsky定理，我们得到了期望的结果。7.6定理的证明3.6证明。LetbKs*= sin（πbTs）*/2） K=sin（πT/2）。我们可以分解EBR*s:=wTbDbKs*BDWin分为两部分：bR*s=wTDbKs*Dw- wTDKDw |{z}B*+ wTbDbKs*bDw- wTDbKs*Dw |{z}B*. （7.51）通过与定理3.2的证明类似的论证，我们得到了*（pTsB）*) = σ{1+oP（1）}。（7.52）接下来，我们展示*(√TsB*) = oP（σ）。我们可以用Var的上界*（B）*) 拜瓦尔*（B）*) = 变量*nwTbDbKs*（bD）- D） w+wT（bD）- D） bKs*Dwo≤变量*nwTbDbKs*（bD）- D） wo+Var*西北（北区）- D） bKs*Dwo+2rVar*nwTbDbKs*（bD）- D） 沃瓦尔*西北（北区）- D） bKs*德沃。（7.53）对于任意随机矩阵X:=（R，…，Rm）T∈ Rm×nand固定向量v∈ Rm，v∈ Rn，设V是一个矩阵，输入vTCov（Rj，Rk）V。很容易验证var（vTXv）=vTVar（Xv）V=vTVv≤ kvkmaxjkvTCov（Rj，Rk）v≤kVkkMaxj，k，j，k | Cov（Rj1，k1，Rj2，k2）|。（7.54）现在写v=bDw，v=（bD- D） w，X=bKs*, 我们有*nwTbDbKs*（bD）- D） 喔≤kbDwkk（bD）- D） wkmaxj，k，j，k|*Cov（bτs）*j、 k，bτs*j、 （k）|≤KWKBDKMAXKBD- Dkmax=kbDkmaxkbD- Dkmax。（7.55）注意BD只依赖于{Rt}Tt=1，因此在Var下固定*(·). 使用引理7.9和（7.55），我们得到了*npTswTbDbKs*（bD）- D） wo=OPTslog dT= 操作对数dTδ= oP（σ）。（7.56）同样，我们也有*npTswT（bD）- D） bKs*Dwo=oP（σ）。