大型投资组合风险的稳健推断

（2015），这是不可靠的。从这些曲线图中，我们看到o虚线始终位于蓝色实线上方，表明BU给出的95%界限的有效性（0.05）。有趣的是，这仍然适用于样本协方差矩阵估值器，但这是在平均意义上。然而，正如我们将在表1中看到的，S未能达到95%的覆盖率粗界ξ远大于实际误差 或95%的浓度（0.05）。这种差异随着d的增加而增加，但也随着c的增加而增加，我们可以通过比较图1和图2看到这一点。表2对此进行了量化对于大d，样本协方差矩阵估计的粗界几乎是任何稳健估计的100倍。这表明在存在重尾和污染的情况下，样本协方差的估计不准确。表1说明了每个估计值的覆盖率，定义为95%置信区间捕获真实方差wT∑w的样本比例。可以看出，所有稳健估计值的覆盖率约为95%。然而，100 200 300 500 000 3000样本协方差估计器100 200 300 400 5000 60 140稳健估计器100 200 300 400 5000 60 140稳健估计器（无数据-分裂）d100 200 300 400 5000 60 120稳健估计量（已知历史）d100 200 300 400 5000 4 8稳健估计量（已知边际方差）d（a）c=1.6100 200 300 400 5000 6000样本协方差估计量d100 200 300 400 5000 100稳健估计量d100 200 300 400 5000 100稳健估计量（无数据）-拆分）d100 200 300 400 5000 100稳健估计量（已知历史）d100 200 300 400 5000 4 8 14稳健估计量（已知边际方差）d（b）c=2图2: = |wT（b∑est）- ∑）w |（蓝色曲线），bU（0.05）=2qdVar（wTb∑estw）（虚线曲线）和ξT=kwkkb∑est- 对于c=1.6和c=2，∑kmax（红色曲线）。

水平轴显示问题的维度，即投资组合规模。垂直轴显示计算的平均值。样本协方差矩阵估计器的覆盖率要低得多。无法在当前设置下给出有效的界限。我们进一步比较了我们提出的稳健估计。表2列出了RE=ξT/bU（0.05）比率的平均值和标准偏差：完全信任界限和H俱乐部之间的比率。这些用于量化我们在图1和图2上的一些观察结果——特别是，比率ξT/bU（0.05）随C的增加而强烈增加，随d的增加而微弱增加。我们观察到：oRei的值大大大于1，反映了一个事实，即强健H俱乐部给出的密度区间比crudebound俱乐部给出的密度区间要紧得多。几乎在所有情况下，Re的值都反映了H-CLUB区间和原油区间之间的一个数量级的标度差异，使用ξT。表1：在1%噪声污染的TDI分布的数据提取设置中，95%置信区间的经验覆盖率。在T=300的条件下采集了200多个样本。d=200 d=500c=1.0C=1.6C=2.0C=1.0C=1.6C=2.0C=1.0C=2.0Coverage81。平均值为88%72.29%69.31%83.30%82.24%80.12%97。59%95.26%97.64%99.00%97.09%95.52%b∑scoverage 96。38%95.70%97.49%98.18%97.03%95.03%b∑sTs=t平均值93。87%93.19%95.23%93.01%92.84%94.67%b∑hCoverage94。21%95.54%96.40%95.16%93.41%93.67%b∑随着我们准确估计边缘标准偏差的能力，该比率再次增加。注意RE（b∑）>RE（b∑h）>RE（b∑sTs=T）>RE（b∑s），这对应于基于用于估计边缘标准偏差的信息量的排序再增加的值随c的增大而增大，随d的增大而减小。

这表明，对于较大的投资组合和总敞口较高的投资组合，使用H-CLUB的准确性优势尤其重要。表3总结了相对误差（RE），显示了我们对真实投资组合风险的定义区间的信息量。与表2类似，我们显示了200多个模拟重新计算的平均值和标准差，其中500个随机生成的投资组合（即100000个投资组合）。在这里，我们看到了与之前类似的模式。当我们在估算边际标准差时获得更多信息时，值通常会更好（此处较小）。这种说法来自于观察到RE（b∑） RE（b∑h）<RE（b∑sTs=T）<RE（b∑s）。我们还观察到，在这里，重做的价值似乎与这两个命令没有太大的差异。它也比Fan等人（2015）中的值大得多，这可能是因为这里的数据中存在较重的尾部和噪声，而这些噪声在这些设置中是看不到的。通过与表4进行比较，可以立即观察到这种差异。

从表3的最后一行可以看出，置信区间的非信息性构造主要是由于在存在大随机噪声的情况下对边际方差的不准确估计。表2：200多个样本的RE:=ξT/（2pbσ/T）的平均值和标准差（括号内）。d=200 d=500c=1.0C=1.6C=2.0C=1.0C=1.6C=2.0RE5。57 14.73 21.62 6.63 17.55 27.50b∑s（1.94）（5.51）（7.68）（2.18）（6.13）（9.95）RE5。6414.5421.906.7017.4727.57b∑sTs=T（1.85）（5.64）（8.50）（2.32）（6.61）（9.39）RE5。8714.6522.446.9318.5427.22b∑h（2.11）（5.24）（8.55）（2.25）（6.56）（9.55）RE9。88 25.43 38.85 12.29 32.19 48.62b∑（2.80）（7.31）（10.89）（3.13）（9.10）（12.91）表3：200个样品中RE=pbσ/T/2wT∑的平均值和标准偏差（括号内）。d=200 d=500c=1.0C=1.6C=2.0C=1.0C=1.6C=2.0RE0。513 0.627 0.478 0.521 0.549 0.480b∑s（0.609）（0.880）（0.534）（0.586）（0.606）（0.540）RE0。500 0.644 0.483 0.517 0.559 0.471b∑sTs=T（0.594）（0.906）（0.554）（0.595）（0.626）（0.531）RE0。4620.571 0.5750.4920.471 0.494b∑h（0.485）（0.837）（0.691）（0.604）（0.555）（0.573）RE0。022 0.021 0.021 0.021 0.021 0.021 0.021b∑（0.002）（0.002）（0.002）（0.002）（0.002）和重尾。对于我们在合成数据上的最后一组结果，我们在表4中显示，当数据从高斯分布中提取且没有噪声污染时，稳健估计仍然与基于样本协方差的估计具有竞争力。在本表中，我们给出了覆盖率、Rean和RE的平均值，以及95%HCLUB与其上限值之间的比率的平均值，该比率由Bu（0.05）给出/.

这些是通过200多个随机生成的模型计算出来的。表4:RE、REandbU的覆盖率和平均值（0.05）/ 对于200个样本，当从无噪声污染的高斯分布中提取结果时，使用d=500。复盖率（0.05）/1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 948.944 4.927 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8.10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 01%5.09%6.977.14547B∑.957.949.92311.6530.6548.752.01%2.00%2.00%7.056.765.825AN实证研究在这一部分中，我们检验了鲁棒H俱乐部估计量在应用于真实数据时的行为。我们使用100个工业投资组合的每日超额收益，这些投资组合的规模和账面市盈率可从肯尼斯·弗伦奇的网站上获得。我们使用了从2008年7月1日到2012年6月29日的数据子集。对于每个21天的周期（名义月），我们使用前21天的数据来估计协方差矩阵xvia——具有数据分裂的鲁棒H-俱乐部估计量（b∑s）、具有节点数据分裂的鲁棒H-俱乐部估计量（b∑sTs=T）和具有已知历史的鲁棒H-俱乐部估计量（b∑H）。对于后一种估计中使用的附加观测矩阵，我们使用了之前1.5个月（31天）的收益数据。请注意，对于本节中的所有稳健估计器，我们使用调整参数l=bT0。5c（即。= 0.5）用于引导过程中的块大小。所有其他参数与上一节相同。最后，我们还通过样本协方差矩阵估计器来估计方差，以进行比较。我们跟踪了H-CLUB估值器在三个投资组合上的表现：一个加权相等的投资组合（bw=（1/100。

，1/100），以及总风险c=1和c=1.6的两个最小方差投资组合，如BW=arg minwT1=1，kwk=cwTb∑estw所示。请注意，有时估计的协方差矩阵不是正定义的，这会导致求解最小方差投资组合的问题。在这些情况下，我们在计算最小方差投资组合之前，使用Higham算法强制估计协方差矩阵为正定义。最小方差的投资组合在每个名义月初计算。如上所述，每个HBW在持有月份的实际风险为R（bw）=（bwT∑bw）1/2和∑=Xt=1ytyTt，其中{yt}Tt=1是持有月份的集中每日收益。这是四年学习期间每个月计算的。对于每个估计器和投资组合策略，我们考虑五个数量。表5通过其平均值（在整个研究期间计算）总结了这些数量。我们比较了表5的前两列，并提供了一些观察结果价值观 在所考虑的四个估计器中具有可比性。这表明，所有估计器对协方差矩阵∑的估计都是相似的，它们之间的差异在于能够准确地对b∑est进行推断（即构造一个有效的H-俱乐部）（非鲁棒）样本协方差矩阵估计器无法给出有效的上界，asbU（0.05）小于 自始至终对于稳健估计，bU（0.05）大于 除一例外，所有病例均适用。这与RobustStimators的BU（0.05）值为投资组合方差估计误差的95%上限的预期基本一致。

我们注意到，对于单一差异（b∑h，在KWK=1.6的最小方差投资组合上），BU（0.05）的值仍然只低于 以微弱优势。最后，估计的风险误差bu（0.05）/q4wTb∑estw是H俱乐部对真实风险误差|（wT∑w）1/2的估计-（wTb∑estw）1/2 |（我们只需将delta方法应用于定理3.6的结果即可看出这一点）。表5的最后两列表明，robustestimators对这一点是正确的，在所有情况下，估计的风险误差一致地限定了真实的风险误差。然而，非稳健样本协方差估计器不会产生表5：根据100 Fama FrenchportfoliosAverage of Average of true risk estimated Strategy计算的年度真实和估计风险误差(×10-4） bU（0.05）（×10-4） 真实风险误差风险误差（样本协方差矩阵估计器）等权2.310 1.939 27.36%8.32%6.62%最小方差（c=1）1.289 0.743 19.52%6.97%4.19%最小方差（c=1.6）0.760 0.312 15.25%6.38%2.66%b∑s（稳健估计器）等权2.165 4.790 27.36%8.35%18.67%最小方差（c=1）1.470 2.696%8.41%17.67%最小方差（c=1.05%46.32%b∑sTs=T（稳健估计-无数据分裂）等权2.154 5.121 27.36%8.32%18.94%最小方差（c=1）1.459 2.826 21.02%8.34%20.41%最小方差（c=1.6）1.562 2 2.218 18.22%12.86%37.81%b∑h（稳健估计-已知历史）等权2.100 3.325 27.36%7.69%12.85%最小方差（c=1）1.390 1.885 20.12.12%最小方差（c=1.52%12.358%1.52%17.40%注： = |wT（b∑est）- ∑w |，bU（0.05）=2×（dVar（wTb∑estw））1/2。真正的风险是√252×R（w）。真正的风险是错误√252×|（wTb∑estw）1/2- （wT∑w）1/2 |，估计风险误差为√252×bU（0.05）/q4wTb∑estw。

因素√252用于将风险转换为年度值。良好的上界，估计的风险误差均匀地低于真实风险误差。这再次证明了在存在重尾或噪声数据的情况下，所提出的稳健估计的强度。6结论与讨论本文考虑了以稳健的方式评估大型投资组合风险的问题。根据D是否已知，我们考虑了三种不同的设置，并基于稳健秩和分位数统计提出了三种相应的稳健H-CLUB方法。在文献中，我们首次提供了这些稳健风险估计器的推理理论。与Fan等人（2015）相比，提出的方法不需要对数据进行强矩假设。理论和实证结果都证明，Robust H-CLUB方法更适合研究重尾资产收益率。在本文中，我们没有对协方差矩阵施加任何结构假设，例如由因子模型引起的低秩加稀疏结构。Fan等人（2015年）提出了基于Fan等人（2008年）和Fan等人（2013年）提出的基于因子的协方差矩阵估计的方法。Fan等人（2013）的一个自然扩展是使用b∑（orb∑h，b∑s），而不是样本协方差s作为导频估计器，并将其插入Poet算法（Fan等人，2013）。这构造了另一个稳健的风险估计器。

我们打算研究这种稳健风险估计的理论性质及其未来的极限分布。本文的结果也为未来的研究提出了一些有趣的问题。其中一个例子是关于推导b∑的泛函的极限分布，而不是wTb∑w。例如，Han和Liu（2014a）研究了kb∑kmaxas T，d的极限分布→ ∞ 在这种情况下，观察结果是相互独立的。研究多元时间序列的这种渐近理论很有趣。7证明在本节中，我们将在第3节中提供结果的证明。在续集中，使用假设（A1），我们假设kwk=1和k∑kmax≤ 1不失概括性。7.1支持引理7.1（Kontorovich et al.（2008）和Mohri and Rostamizadeh（2010））。让f：OhmT→R是一个可测函数，关于某些c>0:supx，…，的汉明度量，它是c-Lipschitz，。。。，xt，xtf（x，…，xt，…，xt）- f（x，…，xt，…，xt）≤ c、 还有X，Xt可以是平稳φ-混合随机变量序列。那么，任何 > 0，以下不等式成立：Pn | f（X，…，XT）- Ef（X，…，XT）|≥ o≤ 2扩展-2.tc{1+2PTk=1φ（k）}i.引理7.2（Yoshihara（1976））。让{Xt}t∈Zbe是一个具有分布函数F的平稳过程。对于T≥ m、 我们定义（g）=商标-1Xi<···<img（Xi，…，Xim）是一个具有m阶和核函数g的U统计量。将函数gi（·）定义为gi（X，…，Xi）=Zg（X，…，Xm）dF（Xi+1）。dF（Xm），用于1≤ 我≤ m、 将参数θ和σ定义为θ=Zg（X，…，Xm）dF（X）。dF（Xm），σ=4Eg（X）- θ+ 2∞Xh=1Eg（X）g（X1+h）- θ. （7.1）假设存在一个常数δ>0，使得对于r=2+δ，以下条件成立：1。Zg（X，…，Xm）rdF（X）。dF（Xm）≤ M<∞ 对于某些常数M；2.Eg（X，…，Xm）R≤ mF为某常数M；3.

{Xt}t∈Zisβ-与β（n）=O{n混合-（2+δ）/δ}对于某些0<δ<δ。假设上述条件成立，我们就有了√T{UT（g）- θ} σd→ Z、 作为T→ ∞,Z在哪里~ N（0，1）是一个标准的高斯随机变量。引理7.3（Yoshihara（1976））。让{Xt}t∈Zbe是一个具有边缘分布函数F和X的d维平稳过程，这可能是一系列观察结果。假设（·）：Rd×Rd→ R是一个核函数，对于某些常数ζ>0和H>0，wehaveZ Z | H（X，X）| 2+ζdF（X）dF（X）≤ H、 （7.2）Z | H（X，X1+k）| 2+ζdP（X，X1+k）≤ H、 尽管如此，k≥ 0，k∈ Z、 （7.3）其中P（Xt，Xt）是（Xt，Xt）的联合分布函数。对于任意随机向量{X，Y}，我们定义h（X）=Zh（X，Y）dF（Y）-Z Zh（X，Y）dF（X）dF（Y），h（X，Y）=h（X，Y）- h（X）- h（Y）-zzh（X，Y）dF（X）dF（Y）。如果进程{Xt}t∈具有混合系数β（n）=O{n的Zisβ-混合-（2+ζ）/ζ}对于常数ζ∈ （0，ζ），那么，对于U-统计量（h）：=T（T- 1） Xt<th（Xt，Xt），我们有{T UT（h）}≤T（T- 1） X1≤t<t≤TX1≤t<t≤TE{h（Xt，Xt）h（Xt，Xt）}≤nTXt，t，t，t=1E{h（Xt，Xt）h（Xt，Xt）}= O（T）-λ） 式中λ：=min2(ζ - ζ)/{ζ(2 + ζ)}, 1.引理7.4。让{Xt}t∈Zbe一个具有边际分布函数F，X，…，的d维平稳过程，xT是一系列观察结果，X*, . . . , 十、*t区块长度为l的区块引导样本 T1-第2.1节定义。对于内核函数h:Rd×Rd→ R、 定义（h）=T（T- 1） Xt<th（Xt，Xt）和U*T（h）=T（T- 1） Xt<th（X）*t、 X*t） 分别是基于观察样本和引导样本的U统计量。现在假设h满足（7.2）和（7.3），并且过程{Xt}t∈Zisβ-混合系数β（n）=O{n-（2+ζ）/ζ}对于常数ζ∈ （0，ζ），我们有变量*√TU*T（h）- 变量√T UT（h）= oP（1），其中Var*是重采样分布P的方差运算符*以X为条件，XT。证据我们定义ω：=Z Zh（X，Y）dF（X）dF（Y）。