基于Epstein-Zin效用的消费投资优化

给定一个相关函数ρ：Rk→ Rn×kandρ⊥: Rk→ Rn×n，满足此容许集与[11]中关于时间可分离实用程序的对应集相似，但大于[38]中的类似集，其中EhRTclsdsi<∞ 总之l ∈ 当且仅当γψ时，可容许消费流c.f在c和v中联合凹≤ 1.6使用EPSTEIN-ZIN效用ρ′+ρ的消费投资选择⊥(ρ⊥)′= 1n×n（n×n单位矩阵），Wρ：=R·ρ（Xs）dWs+R·ρ⊥（Xs）dW⊥sde定义了一个-二维布朗运动。在（2.6）中，X是E-满足（2.7）dXt=b（Xt）dt+a（Xt）dWt的有值状态变量s，X=X∈ 给你 RK是一个开放域，r:E→ R、 u：E→ Rn，σ：E→ Rn×n，b:E→ Rk，anda:E→ Rk×k。这些模型系数满足以下假设。假设2.6。r、 u、σ、b、a和ρ都是E中的局部Lipschitz；A:=aa′和∑=σ′是E的任何紧致子域中的正定义；r+2γu′∑-1u在E上从下方绑定，此外，（2.7）的动力学在有限时间内不会达到E的边界。在前面的假设中，系数的局部Lipschitz连续性和非爆炸假设相结合意味着（2.7）允许一个唯一的E值强解X。当利率r从下方有界时，由于2γu′∑-1u ≥ 0，r+2γu′∑-1u也从下方限定。爱泼斯坦Zin公用事业公司（Epstein Zin utility）描述了一位代理人的偏好，该代理人投资于这个金融市场。给定初始财富w、投资策略π和消费率c，代理人的财富遵循（2.8）dWπ，ct=wπ，ct（rt+π′tut）dt+π′tσtdWρt- ctdt，Wπ，c=W。在本文中，rt，ut，ρt，σt分别代表r（Xt），u（Xt），ρ（Xt）和σ（Xt），并且超级脚本（π，c）有时在W到simp lify符号上被抑制。如果c，则一对投资策略和消费流（π，c）是可容许的∈ CAA及其相关的财富过程是非负的。

代理人的目标是最大限度地利用风险投资。我们将进一步将可接受的策略限制在一个可允许的集合内。但让我们首先通过一个启发式论证来描述最优价值过程。根据Epstein-Zin效用的同感性质，我们推测在最优策略下评估的效用具有以下分解：（2.9）V*t=W1-γt1- γeYt，t∈ [0，T]，其中Y满足以下BSDE（2.10）Yt=zth（s，Ys，Zs，Z⊥s） ds-ZTtZsdWs-ZTtZ⊥sdW⊥s、 让我们用下面的公式来确定发电机H。通过c=~c W参数化c，富裕过程满足DWTWT=（rt- ~ct+π′tut）dt+π′tσtdWρt。根据标准动态规划原理，我们期望-γt1-γeYt+Rtfcs，W1-γs1-γeYsDSA是任意策略的上鞅，也是最优策略的鞅。让我们计算前一个过程的漂移。计算表明DW1-γt=W1-γt(1 -γ） （rt）- ~ct+π′tut）-γ(1 - γ） π′t∑tπtdt+（1）- γ） W1-γtπ′tσdWρt.deYt=eYt-H（t，Yt，Zt，Z⊥t） +ZtZ′t+Z⊥t（Z）⊥t） \'dt+eYtZtdWt+Z⊥tdW⊥T.分解（2.9）广泛用于（时间可分离的）电力设施，参见[35]。消费投资选择EPSTEIN-ZIN实用程序7，因此-γs1-γeYt+Rtfcs，W1-γs1-γeYsds读取（省略时间下标以简化旋转）W1-γ1 - γY(1 -γ） r- Δθ+ZZ′+Z⊥（Z）⊥)′+H-(1 - γ） ~c+Δθe-θY~c1-ψi+-γ(1 - γ)π′Σπ + (1 - γ） π′（u+σρZ+σρ）⊥Z⊥)- H（·，Y，Z，Z）⊥).（2.11）我们预计上述漂移对于任意三元（π，~c）为负，对于最优策略为零。因此，（2.10）的生成元H可以通过在前一个d裂谷中取π和c的上确界并将其设置为零来获得。按照这个方向，我们注意到随机性inH只来自X，X由W驱动，而且（2.10）的终端条件为零。因此，Z⊥一定是零。

因此，我们可以将（2.10）减少到（2.12）Yt=ZTtH（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，其中H由H（t，y，z）=（1）给出- γ） rt- Δθ+zz′+inf~ch-(1 - γ） ~c+Δθe-θy~c1-ψi+infπ-γ(1 - γ） π′∑tπ+（1）- γ） π′（ut+σtρtz′）=zMtz′+1-γu′t∑-1tσtρtz′+θΔψe-ψθy+ht-δθ.（2.13）这里，抑制下标t，∑：=σ′（X），M:=1k×k+1- γγρ′σ′Σ-1σρ（X），h:=（1）-γ） r（X）+1- γ2γu′Σ-1u（X），其中1k×kis是k×k-单位矩阵。回想第2.6节，r+2γu′∑-1u从下方绑定。因此，γ>1意味着存在一个正常数hmaxh≤ hmaxon E.在（2.13）中的最大值是由于γ>1，它们在（2.14）π处达到*t=γ∑-1tut+σtρtZ′tandc*tW*t=~c*t=Δψe-ψθYt，t∈ [0，T），其中W*财富过程是否与战略（π）相关*, C*). 因此π*c*是最佳策略。回到（2.12），尽管生成器H在y中有一个指数项，在z中有一个四次项，但参数规格γ，ψ>1允许我们推导y的先验界。特别是，Y从上方以一个常数为界。同时，由于hw中z的四次方项将被证明是非负的，因此可以通过研究不包含该二次项的BSDE whosegenerator来获得Y的下界。因此，（2.12）的解可以在以下温和的可积条件下构造。7.2假设。i） dPdP=ER1-γγu′Σ-1σρ（Xs）dWsTde定义了一个相当于P的概率测度P；ii）EPhRTh（Xs）dsi>-∞.8使用EPSTEIN-ZIN效用的消费投资选择E（RαsdWs）T:=exp-RT |αs | ds+RTαsdWs表示RTαSDW的随机指数。备注2.8。由于生成元H在z中包含一个线性项，所以应用Girsanov定理是自然的。假设2.7 i）允许我们这样做，并写出（2.12）底稿。这个假设可以用爆炸法来验证；有关示例，请参见第3节。

在ii）中，由于H的特殊结构，避免了[6]中的标准指数动量条件：z中的二次项是非负的，H（·，0，0）由hmax从上方限定- δθ.提议2.9。当γ，ψ>1时，假设2.7成立。然后（2.12）允许一个解（Y，Z），对于任何t∈ [0，T]，（2.15）EPtZTth（Xs）ds-Δθ（T）-t） +θΔψe（Δψ）-ψθhmax）T（T-（t）≤ Yt≤ -Δθ（T）-t） +日志EPt经验ZTth（Xs）ds,和E[RT|Zs|ds]<∞. 特别是自从h≤ hmax，Y从上方以（hmax）为界- Δθ）T。构造了（Y，Z），策略（π）*, C*) 在（2.14）中，定义良好。为了验证它们的最优性，我们需要进一步将可容许策略限制在一个容许集上：（π，c）是容许的，如果c∈ Caand（Wπ，c）1-γEy在[0，T]上为D类。验证（π）的最优性*, C*), 让我们为φ引入一个算子F∈ C（E），（2.16）F[φ]：=kXi，j=1Aijxixjφ+b+1- γγaρ′σ′∑-1u′φ +φ′aMa′φ+h，其中对x的依赖性在两个s IDE上都被抑制。以下假设中的函数φ称为李雅普诺夫函数。它的存在性证明了某些指数局部鞅实际上是鞅，从而验证了候选策略的最优性。该策略已应用于时间可分效用的投资组合优化问题，参见[18]和[37]。假设2.10。存在φ∈ C（E）使我→∞infx∈E\\Enφ（x）=∞, 其中（En）是E中的一系列开放域∪nEn=E、Encompact和En En+1，每n；ii）F[φ]在E上是有界的。主要结果之前的最终假设对风险λ的市场价格施加了可积性假设。这确保了EhRTe-δs（c）*s） 一,-1/ψdsi<∞, 因此，最佳消费流c的可接受性*.假设2.11。存在λ：E→ Rn满足u=σλ，并通过dQ/dP=E（R）定义贴现资产价格的局部鞅度量Qf-λ′sdWρs）T。

此外，（2.17）EQ“e（ψ）-1） RTr+（Xs）dsEZλ′（Xs）dWsψT#<∞,其中W:=Wρ+R·λsds是Q-布朗运动与r+=max{r，0}。例如，当h从下方有界时，r和u′∑-1u有界，（2.15）表示Y也从下方有界。那么（π，c）是允许的，如果c∈ Caand（Wπ，c）1-γ在[0，T]上属于D类。这正是[11]中对γ>1的时间可分实用程序使用的容许性定义。消费投资选择EPSTEIN-ZIN实用程序9备注2.12。之前的假设是在最小鞅测度Q下进行的（参见[17]）。对引理B.4的仔细研究表明，这个假设可以被任何局部鞅测度Q所取代，使得EQ[exp（（ψ- 1） RTr+（Xs）ds）（dP/dQ）ψ]<∞.备注2.13。当r和λ为边界时，假设2.11 h自动变为假设2。10是不需要的，即使对于非马尔可夫模型也是如此。事实上，假设2.10被用来证明下面引理B.2中的随机指数是鞅。当r和λ有界时，h有界，因此h（·，0，0）也有界。因此，（2.15）意味着Y是有界的，andR·ZSDW是BMO鞅，参见[33，引理3.1]。然后，B.2中的随机指数可以直接证明为鞅。然而，许多模型没有风险的有界市场价值。因此，我们保留假设2.10和2.11的一般形式。这些条件施加了一些市场条件。特别是，对于马尔可夫模型，这些条件将在下面第3节的两个示例中指定为明确的参数限制。现在，我们准备好陈述我们的第一个主要结果。定理2.14。当γ，ψ>1时，假设2.6，2.7，2.10和2.11成立。然后π*c*在（2.14）中，在所有允许的策略中最大化爱泼斯坦-辛效用。

此外，最优Epstein-Zin效用由W1给出-γ1 -凯莉。下面的第二个主要结果集中在间接效用的超差上。让我们首先确定最佳价值过程（2.18）V*t:=（W）*t） 一,-γ1 -γeYt，t∈ [0，T]，其中W*是最优财富过程，Y来自命题2.9。Schroder和Skiadas[38]在其中的假设C3中推测，超差为（2.19）D*t=wγe-是的Ztvf（c）*s、 五*s） dscf（c）*电视*t） ，t∈ [0，T]。常数wγe-阴（2.19）使D正常化*成为1。事实上，将（2.1）、（2.14）和（2.18）结合起来，计算结果就证明了这一点*t=wγe-是的Ztδ（θ）- 1)((1 - γ） 五*（s）-θ（c）*s） 一,-ψds-Δθtδ((1 - γ） 五*t） 一,-θ（c）*（t）-ψ=expZt（θ）- 1） Δψe-ψθYsds-Δθt（Wπ）*（t）-γeYtw-凯莉。（2.20）因此，先前的身份意味着在D*= 1和D*是非负的。在[38，定理2和4]中*当市场完全具有有限的风险市场价格时，被证明是超差的。利用[38，引理2]中的可积性假设以及WD*+研发*scsds是任意策略的上鞅，是最优策略的鞅。[38，引理2]中的可积性假设在我们的例子中是满足的。事实上，（2.20）表明vf（c）*, 五、*) = (θ -1） Δψe-ψθY-Δθ，由于θ<0而有界，Y从上方有界。现在，以下结果证实了WD的上述属性*+研发*风险市场价格无限的市场中的SCSD。10消费投资选择爱泼斯坦锌效用MMA 2.15。对于D*由（2.20）给出，满足（2.21）dD*t=-rtD*tdt+D*T-γ(π*t） ′σtdWρt+ZtdWt, D*= 1，其中Z来自命题2.9。

因此，对于任何可容许策略（π，c），WD*+研发*SCSD是一个非负局部鞅，因此是一个超鞅。最后，我们下面的第二个主要结果证实*D*+研发*sc*sds实际上是一个鞅。这一结果已被证明适用于具有Lipschitz连续聚合器的递归实用程序，Lipschitz连续聚合器在其所有变量中也是凹的，参见[16，定理4.2和4.3]。然而，正如我们之前所看到的，当γ，ψ>1时，这些条件都不满足。定理2.16。当γ，ψ>1时，假设2.6，2.7，2.10和2.11成立。然后，对于最优策略（π）*, C*) 在（2.14）中给出，W*D*+研发*sc*这是一个鞅。因此，对于任何可容许策略（π，c），EWπ，cTD*T+ZTD*scsds≤ w=EWπ*,C*TD*T+ZTD*sc*十二烷基硫酸钠.在均衡环境中，代表性代理人具有爱泼斯坦-辛效用，给定消费流，均衡无风险利率和风险溢价可以从D中读出*, 提供一个框架来研究各种资产定价难题，如引言所述。3.例如，本节将前一节中的一般结果指定为两个广泛研究的模型，其中给出了明确的参数限制，以便满足前一节中的所有假设，因此定理2.14和2.16的陈述成立。这些参数限制涵盖了许多经验相关的规范。3.1. 随机波动。下面的模型有一个1-多维状态变量，遵循赫斯顿建议的平方根过程，同时影响利率、风险资产的超额收益及其波动性。[9]研究了具有单位EIS的递归效用，以及[26]、[31]研究了时间可分离效用。

该模型具体如下：（3.1）（dSt=diag（St）（r（Xt）1n+u（Xt））dt+√XtσdWρ,dXt=b(l - Xt）dt+a√XtdWt，其中r（x）=r+rx，u（x）=σλx，带r，r∈ R、 σ∈ Rn×n，λ，ρ∈ Rn和b，l, A.∈ R.这些参数满足消费3.1。Bl, r+2γλ′σ′∑-1σλ ≥ 0、a>0和bl >a、 前面的假设确保X取（0，∞) r+2γu′∑-1u从下方限定，因此假设2.6满足E=（0，∞). 下面的结果提供了参数约束，使得定理2.14和2.16的陈述成立。提议3.2。当γ，ψ>1时，假设3.1和下列参数限制成立：i）r>0或λ′σ′∑-1σλ>0；ii）（ψ）- 1） hr+bλ′ρa+λ′（ψ1n×n）- （ψ）- 1） ρρ′）λi<b2a。使用EPSTEIN-ZIN效用11进行消费投资选择，则定理2.14和2.16的陈述成立。在第i）项中，利率或超额收益率在状态变量中具有线性增长成分。在第ii）项中，不等式要求状态变量的平均回复速度b大，或波动率a小，或EIS接近1。特别是，当r=0（即恒定利率）且ψ>1时，当（3.2）bλ′ρ≤ -ψaλ′λ。该条件涵盖了[32]中的经验相关规范，其中参数值为（3.3）λ=0.47，σ=1，b=5，a=0.25，ρ=-0.5.从[2]中取ψ=1.5，通过计算验证（3.2）。图1显示了最佳消费财富比c*/W*最优投资分数π*关于波动性√X表示风险规避和EIS的不同值。同时，我们的数值结果表明，E IS对最优投资比例几乎没有影响，不同的TRISK厌恶几乎不会改变最优消费财富比。图2比较了ψ=0.2（顶部面板）和ψ=1.5（底部面板）的最佳消费财富比。

当enψ=0.2时，有限期最优消费财富比迅速收敛到其有限期平稳极限。对于（3.3）中的参数规定，当期限超过20年时，时间最优消费策略已经接近其固定极限。然而，当ψ=1.5时，这种收敛速度要慢得多，当时间贴现参数δ=0.08时，r至少等于60年。此外，与ψ=0.2的情况相比，当ψ=1.5时，收敛速度对δ敏感。在这种情况下，δ值越小，收敛速度越慢。直觉上，折扣参数较小的代理更有耐心。但当ψ>1时，她仍然更喜欢早期消费。因此，这两种相互竞争的力量推迟了趋同。所有比较统计数据都是通过使用有限差分方法数值求解（2.12）的偏微分方程对应项得出的。3.2. 线性扩散。在下面的模型中，利率和风险资产的超额收益率都是状态变量的线性函数，状态变量遵循1-多维Ornstein-Uhlenbeck过程。[24]和[43]研究了时间可分离效用设置的模型，以及[7]研究了离散时间设置下的递归效用。模型动力学由（3.4）给出（dSt=diag（St）[（r（Xt）1n+u（Xt））]dt+σdWρt，dXt=-bXtdt+adWt，其中r（x）=r+rx，u（x）=σ（λ+λx），其中r，r∈ R、 λ，λ∈ Rn，σ∈ Rn×n，b，a∈ R、 和ρ∈ 注册护士。这些系数满足消费3.3。a、 b>0，r=0或λ′σ′∑-1σλ> 0.这一假设意味着假设2.6满足E=R。在接下来的g参数限制下，定理2.14和2.16 h的陈述。提议3.4。当γ，ψ>1时，假设3.3和下列参数限制成立：由于ψ>1，（3.2）yieldsbλ′ρA+ψλ′（ψ1n×n）- （ψ）- 1)ρρ′)λ ≤bλ′ρa+ψλ′λ≤ 0

因此，命题3.2 ii）中的内在品质左侧是否定的。12使用爱泼斯坦效用的消费投资选择0.20.40.6 0.8 100.020.040.060.080.10.12波动性最优消费财富比ψ=0.2ψ=1.5ψ=20 0.2 0.4 0.6 0.8 10.040.060.080.10.120.160.180.20.220.24波动性最优投资组合γ=2γ=5γ=8图1。两个图都使用了（3.3）中的参数，r=0.05，δ=0.08，l = 0.0225.对于时间范围T=10年的问题，它们都是时间0值。左侧面板采用γ=5，右侧面板采用ψ=1.5。i） 要么-b+1-γγaλ′σ′∑-1σρ<0或λ′σ′∑-1σλ> 0;ii）（ψ）- 1） hbλ′ρa+λ′（ψ1n×n）-（ψ）- 1） ρρ′）λi<b2a。然后定理2.14和2.16的陈述成立。在上述第i）项中，请注意：(-b+1-γγaλ′σ′∑-1σρ）X是X的漂移。因此，第i）项假设X是均值回复的下限，或者超额收益率具有状态变量的线性增长分量。第ii）项的解释与第3.2 ii）项类似。特别是，当ψ>1时，当（3.5）bλ′ρ满足第ii）项中的不等式≤ -ψaλ′λ。该条件已经涵盖了许多经验相关的规范。例如，在[3]和[43]中，考虑了单个风险资产，参数值（以月为单位）为：（3.6）λ=1，σ=0.0436，b=0.0226，a=0.0189，ρ=-0.935，ψ=1.5。图3显示了最佳消费财富比率*/Wπ*最优投资分数π*关于状态变量X.附录A.第2.1节中的证明，我们首先介绍几个符号，这些符号将在附录中使用请注意所有1的空格-密度连续适应过程（Yt）0≤T≤Tsuchthat the norm Esup0≤s≤T|Ys|< ∞.o 让我们∞是S的子空间，该规范sup0≤s≤T|Ys|∞< ∞.o 用T表示所有F的集合-停止时间τ为0≤ τ ≤ T