基于Epstein-Zin效用的消费投资优化

如果族{Yτ；τ∈ T}是均匀可积的让Mdenote表示（多维）可预测过程类（Zt）0≤T≤Tsuch thatEhRT|Zs|dsi<∞.证明与脚注7相同。使用EPSTEIN-ZIN效用130 5 10 15 20 25 3000.10.20.30.40.50.60.7倍[t]最优消费财富比δ=0.06δ=0.08δ=0.1δ=0.120 10 30 40 50 60 70 80 90 10000.020.040.060.080.10.120.140.16倍[t]最优消费财富比δ=0.06δ=0.08δ=0.1δ=0.12图2。当波动率为20%时，最优消费财富率是时间的函数。两个图都使用了（3.3）中的参数，r=0.05，l = 0.0225，γ=5。上面板需要ψ=0.2和T=30年。较低的p指数ψ=1.5，t=100年用BMO表示鞅M的类，使得supτ∈TkE[|hMiT- hMiτ| Fτ]k∞< ∞.命题2.2的证明。证据分为几个步骤。首先，当终端条件有界时，通过稍微修改[34，定理2.2]的证明来构造解。在一般终端条件下，通过[6]中的局部化技术获得了解。最后，证明了唯一性，并验证了（2.2）。为了简单起见，我们表示ξ=e-ΔθTc1-我要把这个证据通读一遍。第一步：有界终端条件。当ξ≤ C对于某些常数C，考虑以下gtruncated BSDE：（A.1）Ynt=ξ+ZTtFn（s，cs，Yns）ds-ZTtZnsdBs，其中Fn（t，ct，y）=Δθe-δt（c1）-ψt∧ n） （|y |∧ n） 一,-θ. 注意y7→ Fn（t，ct，y）是Lipschitz，特别是在y=0时，由于1，它是可区分的-1/θ > 0. 前文（A.1）提供了一种独特的解决方案（Yn，Zn）∈ S×M。该解的第一个分量也是非负的。事实上，考虑（A.1），以零作为终端条件。

S uch BSDE提供独特的解决方案（~Yn，~Zn）≡ （0,0）在14个消费投资中选择EPSTEIN-ZIN效用-0.50.500.20.40.60.811.21.41.61.82x10-3状态变量（x）最优消费财富比ψ=1.2ψ=1.5ψ=2-0.5 0 0.5-8.-6.-4.-202468状态变量（x）最优投资组合γ=2γ=5γ=8图3。两个图都使用了（3.6）中的参数，r=0.0014，δ=0.0052。它们都是时间范围T=12个月的问题的时间0值。左侧面板的γ=5。ψ=0.2情形下的最优消费财富比远大于左盘情形下的最优消费财富比。右面板取ψ=1.5。S×M.自ξ≥ 0，根据带Lipschitz生成器的BSDE的比较定理≥~Yn=0。另一方面，由于θ<0，fn在n中减小，因此比较理论暗示（Yn）在减小。因此，Y：=↓ 画→∞Ynis定义明确且非负。为了得到（Yn，Zn）n的极限，让我们导出以下统一估计。将It^o’s公式应用于（Yn）产生（Yn）t+EtZTt | Zns | ds= Etξ+ 2 EtZTtYnsFn（s，cs，Yns）ds≤ Et[ξ]≤ C、 对于任何t，n，其中第一个不等式从Yn开始≥ 0和Fn≤ 0.之前的估计收益率（A.2）（Yn）≤ C和EZT | Zns | ds≤ C、 对于任何n，都存在Z∈ 使（Zn）弱地收敛于Z。请注意，limn→∞Fn（t，ct，y）=F（t，ct，y），limn→∞Yn=Y，和0≥ Fn（t、ct、Ynt）≥ F（t、ct、Ynt）≥ C-2θΔθe-δtc1-ψt，对于任何n，由于（A.2）中的第一个估计，等式中的第三个保持不变。然后，支配收敛定理意味着limn→∞ZTt | Fn（南部、南部、南部）- F（s，cs，Ys）| ds=0，对于任何t.消费投资选择EPSTEIN-ZIN效用15，现在我们证明了（Zn）nin M的收敛性。

将It^o公式应用于|Yn- Ym | yieldsE[| Yn- Ym |]+EZT | Zns- Zms | ds=2 EZT（Yns）- Yms）（Fn（Yns）- Fm（Yms）ds=2 EZT（Yns）- Yms）（Fn（Yns）- Fn（Yms））ds+ 2 EZT（Yns）- Yms）（Fn（Yms）- Fm（Yms）ds≤2 EZT（Yns）- Yms）（Fn（Yms）- Fm（Yms）ds≤4δ|θ| C-2θE中兴通讯-δsc1-ψs∧ N- c1-ψs∧ Mds,（A.3）由于y 7→ Fn（t，ct，y）正在下降，第二个不平等性出现在（A.2）中的第一个估计之后。自从c∈ Ca，支配收敛定理（A.3）的右边收敛为零，为n，m→ ∞. 结合（Zn）n的前收敛性和弱收敛性，我们得到了limn→∞EZT | Zns- Zs | ds= 0，Burkholder-Davis-Gund y不等式则意味着P- 画→∞监督≤TZTt（Zns）- Zs）dBs= 0，其中P-lim代表概率收敛。通过一个子序列，我们得到了几乎确定的收敛性。因此，发送n→ ∞ 在（A.1）中，我们得到（Y，Z）∈ s∞x Msolves（2.4）和Y为非负。此外| Ynt- Ymt|≤ZTt | Fn（南部、南部、南部）- Fm（s，cs，Yms）|ds+ZTt（Zns）-Zms）dBs,在对m和t上的上确界求极限后，我们得到了SUPT≤T|Ynt- Yt|≤ZT | Fn（南部、南部、南部）- F（s，cs，Ys）| ds+supt≤TZTt（Zns）- Zs）dBs.因此（Yn）在t中一致收敛于Y，这意味着Y是一个连续的过程。第2步：一般终端条件。当ξ没有界时，设置ξn:=ξ∧ n和considerYnt=ξn+ZTtF（s，cs，Yns）ds-ZTtZnsdBs。上一步的结果表明，该BSDE允许溶液（Yn，Zn）∈ s∞×MwithYn≥ 0.此外，由于F≤ 0，Ynt≤ 所有n和t的Et[ξ]∈ [0，T]。这个先验界允许我们通过[6]中的本地化技术构造（2.4）的解。我们在下面概述结构。16考虑τk:=inf{t≥ 0:Et[ξ]≥ k}∧每k的T∈ N

然后（Yn，kt，Zn，kt）：=（Ynt∧τk，ZntI{t≤τk}）满足以下条件，kt=Ynτk+ZTtI{s≤τk}F（s，cs，Yn，ks）ds-ZTtZn，ksdBs。从0开始≤ 伊恩，ks≤ 锿∧τk[ξ]≤ k、 我们有≥ F（s、cs、Yn、ks）≥ Δθk1-θe-δsc1-ψs.c∈ Caimplies E[RTF（s、cs、Yn、ks）ds]<∞. 另一方面，由于ξn≤ ξn+1和y 7→F（·，·，y）满足单调性条件，则比较结果（参见[34，定理2.4]）意味着Yn，k≤ Yn+1，k。利用与步骤1相同的参数，我们得到-Yk：=↑ 康涅狄格州林宁∈ Msuch limnZn，k=~Zkin M和（~Yk，~Zk）解出了BSDE（A.4）~Ykt=~Ykτk+ZTtI{s≤τk}F（s，cs，~Yks）ds-ZTtZksdBs，其中Ykτk=↑ limnYnτk.根据（~Yk，~Zk），~Yk+1t的定义∧τk=~Yktand~Zk+1tI{t≤τk}=~Zkt。因此，当t∈ [0，τk]。这种结构意味着限制→TYt=ξ。的确，关于{ξ≤ k} ，τk=T和limt→对于anyn，TYnt=ξ≥ k、 因此限制→TYt=limt→τkYkt=limt→τkYn，kt=limt→在{ξ上TYnt=ξ≤ k} 当n≥ k、 这个小鬼躺在床上→TYt=ξ，sin-ce↑ 林克→∞{ξ ≤ k} =Ohm. 现在发送k→ ∞ 在（A.4）的两侧，我们确认（Y，Z）解决了（2.4）。通过这种结构，Y是连续的且令人满意的0≤ Yt≤ t的Et[ξ]∈ [0，T]，因此Y属于D类。与[6，第612页]中的论证相同，显示了| Zt | dt<∞.第3步：剩余语句。为了进一步参考，我们证明了（2.4）的一个比较结果。设（Y，Z）（resp.（~Y，~Z））是（2.4）的超解（resp.子解），即Y+Z·F（s，cs，Ys）ds是局部s超鞅，~Y+Z·F（s，cs，~Ys）ds是局部s超鞅，带YT≥ ξ ≥~YT，同时Z和~Z由Doob-Meyer分解和鞅表示确定。假设Y和Y都属于D类，那么Y≥~Y。此外，如果t>YT，则任何t的YT>YT≤ T为了证明这个比较结果，定义αt:=（F（t，ct，Yt）-F（t，ct，~Yt）Yt-~Yt，Yt6=~Yt0，Yt=~Yt。从Y7开始→ F（·，·，y）在减小，我们有α≤ 0

然后得出eR·αsds（Y-~Y）是局部超鞅，因此是超鞅，因为指数f因子是有界的，并且Y和~Y都属于D类。因此，YT≥~Y简化≥~Y。此外，当YT>YT时，我们得到任何t的严格比较YT>YT≤ T唯一性直接来自比较结果。既然γ>1，那么ξ=e-ΔθTc1-γT>0。因此，严格比较得出Y>0。最后，我们验证了VCSaties（2.2）。为此，因为（Y，Z）解（2.4），（Vct，Zct）=eΔθt（Yt，Zt）/（1-γ） Saties（2.3），这意味着Vc+R·f（cs，Vcs）ds是一个局部鞅。使用EPSTEIN-ZIN效用17定位序列（σn）n进行消费投资选择≥对于Vc+R·f（cs，Vcs）ds，我们得到了Vc+ΔθEZT∧σnVCDS= EVcT∧σn+ZT∧σnδc1-ψs1-ψ((1 - γ） Vcs）1-θds.发送n→ ∞ 在这两方面，请注意Vc≤ 0和ψ>1，在左侧被积函数为负之前，右侧被积函数为正。Vc的单调收敛定理和D类性质则产生（A.5）Vc+ΔθEZTVcsds= EU（cT）+ZTδc1-ψs1-ψ((1 -γ） Vcs）1-θds.从0开始≥ EhRTVcsdsi=1-γEhRTeΔθsYsdsi≥1.-γ-EhRTYsdsi≥1.-γRTE[ξ]ds>-∞, 如果第二个不等式成立，因为γ>1，θ<0，那么第三个不等式来自Ys≤ Es[ξ]和γ>1。减去（A.5）两侧的Δθehrtvcsd，我们得到（2.2）。C7的凹度→ 下面的例子证明了这一点。这个证明同时利用了（2.5）的生成元的连通性和（2.4）的解的D类性质。命题2.4的证明。将（2.5）的生成元表示为F（t，ct，y，z）=δe-δtc1-ψt1-ψ+(θ - 1） zy。对于c，~c和αc+（1- α） ~c∈ Ca，表示X=αX+（1）- α） 分别表示X=c，Y，Z和<<X=c，<<Y，<<Z。

这是由（2.5）得出的Yt=-δe-δtc1-ψt1-ψ-(θ - 1)ZtYt+Atdt+ZtdBt，其中，由于（ct，y，z）7的凹度→ F（t，ct，y，z），At=δe-δt1-ψc1-ψt- αc1-ψt- (1 - α） ~c1-ψt+(θ - 1)\"ZtYt- αZtYt- (1 - α） ~Zt~Yt#≥ 0，以及YT≤ E-δTc1-1/ψT/（1）- 1/ψ). 设置Y=（（1）- 1/ψ)Y） θ和Z=（1）- γ)((1 - 1/ψ)Y） θ-1.Z.It^o的公式yieldsdYt=(-Δθe-δtc1-ψtY1-θt+（1）- γ)Y1-θtAt）dt+ZtdBt，其中（1- γ)Y1-1/θtAt≤ 0.另一方面，YT≥ E-ΔθTc1-γT.因此(YZ） 是华硕-解决方案（2.4）。另一方面Y是D类的。实际上，sin-ceθ<0，（A.6）Y=（（1）- 1/ψ) Y） θ≤ α ((1 - 1/ψ）Y）θ+（1）- α)((1 -1/ψ）~Y）θ=αY+（1）- α） Y，其中Y（resp.~Y）是（2.4）与c（resp.~c）的解的第一个组成部分。因此Ys属于D类，因为Y和Y都属于D类。现在考虑一下Ycas是（2.4）溶液的第一部分，其中c被替换为c、 然后，根据（A.6）和前面证明的步骤3中的比较结果，αY+（1- α） ~Y≥ Y≥ Yc、 18消费投资选择使用EPSTEIN-ZIN效用除以之前的不平等（1-γ） 在双方，我们确认αVc+（1-α） V~c≤ Vαc+（1）-α） ~c。附录B第2.2节中的证明尽管（2.12）中的生成器H在y中有一个指数项，但参数规格γ>1和ψ>1允许我们推导y的先验界。然后通过[6]中的定位技术构造（2.12）的解。命题2.9的证明。由于假设2.7 i），W:=W-R·1-γγρ′σ′Σ-1u（Xs）ds为aP-布朗运动。因此，（2.12）可以重写，并且所有的期望都是通过这篇文章得到的。另一方面，回想一下γ>1和r+2γu′∑-1u从下方限定。因此存在一个常数hmaxh≤ 嗯最大。

然而，u′∑-在许多常用模型中，1u是状态变量的无界函数，因此h和h（t，0，0）=ht-Δθ+θΔψ不是从下面有界的。因此我们引入（B.1）Yt=ξ+ZTtH（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，其中Yt=Yt+Rt（hs- Δθ）ds，ξ=RT（hs- Δθ）ds和h（t，y，z）=zMtz′+θΔψeψθRths-Δθdse-ψθy.考虑（B.1）的截断版本：（B.2）Ynt=ξn+ZTtHn（s，Yns，Zns）ds-ZTtZnsdWs，式中ξn=RThs∨ (-n）- Δθds有界且hn（t，y，z）=zMtz′+θΔψeψθRths∨(-n）-ΔθdsE-ψθy∧ N.这个截断生成元在y中是Lipschitz，在z中是二次的。实际上，因为σ′∑的特征值-1σ为0或1，0≤ zρ′σ′∑-1σρz′≤ zρ′ρz′≤ |z |。Th enγ>1，而Mafter（2.13）的定义意味着（B.3）0<γ| z|≤ zM（X）z′≤ |z |。因此，从[25，定理2.3]可以看出，（B.2）允许一个解（Yn，Zn）∈ s∞此外，由于θ<0，Hn在n中减少。Ynin[25，定理2.3]yieldsYn的构造≥ Yn+1。在下面的wh at中，我们导出了n中一致的yn的先验界。这种一致估计有助于构造（B.1）的解。一方面，θ<0和（B.3）中的第三个不等式产生Hn（t，y，z）≤|z |。ConsiderYnt=ξn+ZTt | Zns | ds-ZTtZnsdWs，它有一个显式的解决方案ynt=log etherth∨(-n）-Δθdsi。然后（B.4）Ynt-Zths∨ (-n）- Δθds=对数以太∨(-n）-Δθdsi≤ （hmax）- Δθ（T）- t） 。另一方面，消费投资选择EPSTEIN-ZIN效用19，而-香港电台∨(-n）-Δθds≤ （hmax）-Δθ（T）-t） （B.3）和θ<0 imp ly Hn（t，y，z）中的第一个不等式≥ θΔψe（Δψ）-ψθhmax）T。因此，考虑BSDEYt=ξ+θΔψe（Δψ-ψθhmax）T（T- （t）-ZTtZsdWs，其解为Yt=Et[ξ]+θΔψe（Δψ-ψθhmax）T（T- t） 。现在由于Hnis以更简单的形式夹在两个发生器之间，比较结果产生（B.5）Et[ξ]+θΔψe（Δψ-ψθhmax）T（T-t） =Yt≤ Ynt≤Ynt=对数以太∨(-n）-Δθdsi≤ （hmax）-Δθ）T，对于任何n>0。

这些统一的界允许我们使用[6，定理2]中的局部化技术构造（B.1）的解（Y，Z）；另请参见命题2.2证明中的步骤2。结果满足（B.6）Et[ξ]+θΔψe（Δψ）-ψθhmax）T（T- （t）≤ Yt≤ log Etheξi.前面的不等式意味着limt→TYt=ξ。因此，Y满足（B.1）的最终条件。减去Rth后，Y的期望估计值如下- Δθds在前面不等式的两边，特别是，（B.7）Yt=Yt-Zths- Δθds≤ 对数以太（hs）-Δθ）dsi≤ （hmax）- Δθ（T）- t） 。对于Z上的语句，取本地化序列（σn）nforR·ZsdWs，（B.1）yieldsEZσnZsMsZ′sds= Y- E[Yσn]- θΔψEZσneψθRshu-Δθ到期-ψθYsds.发送n→ ∞ 在两侧，将（B.3）中的第二个不等式应用于左侧，将（B.6）中的第一个不等式应用于右侧的第二项，并将（B.7）应用于第三项，我们确认E[RT|Zs|ds]<∞. 下面的几个结果准备了定理2.14和2.16的证明。首先我们展示-γ1-γEy是允许策略中最优值的上界。引理B.1。让假设2.7保持不变。对于任何允许的（π，c），（B.8）w1-γ1 -γY≥ Vc，其中Vc在命题2.2中定义，Y在命题2.9中构造，c i由πvia（2.8）融资。证据这个证明将[20]中的技术扩展到递归实用程序。对于允许的（π，c），定义π，ct:=（Wt）1-γ1 - γeYt+Ztf政务司司长（Ws）1-γ1 -γeYsds，t∈ [0，T]，其中W=Wπ，c.Th en（2.11）和（2.13）表示R是局部上鞅。由于DoobMeyer分解和鞅表示，存在一个递增过程A和Zr，使得Rπ，c=-A+R·ZRsdBs。在此之前，（W） 一,-γ1-γeY，ZR是（2.3）的上解，其终止条件为（WT）1-γ/(1 -γ) ∈ L.事实上，自（W）1起-γEy是D类的，由容许率和YT=0，我们有E[（WT）1-γ] < ∞.

另一方面，考虑与EPSTEIN-ZIN效用的20消费投资选择相关的效用Vc，消费流c和最终总重量。比较结果证明了第2.2条建议（B.8）。下面我们将展示（π）*, C*) 是一种允许的策略，它达到了上限-γ1-凯莉。首先，我们建立了一个重要的结果，即某些指数局部鞅与π有关*这是一个鞅。引理B.2。假设2.6、2.7和2.10成立。那么Q:=ER（1）-γ)(π*s） ′σsdWρs+RZsdWs是一个P-[0，T]上的鞅。证据根据（2.14），Wρ和M的定义为（1-γ)(π*)′σdWρ+ZdW=1.-γγu′Σ-1σρ+ZMdW+1- γγu′+Zρ′σ′Σ-1σρ⊥dW⊥=: L（1）dW+L（2）dW⊥.这里我们抑制时间下标以简化符号。首先，我们声称，如果Q（1）：=E（RL（1）sdWs）是鞅，那么Q也是鞅≤ T，E[Qt]=EEZL（1）sdWstEZL（2）sdW⊥sT= EEZL（1）sdWstEEZL（2）sdW⊥sTFW= EEZL（1）sdWsT= 1.（B.9）此处FW=σ（Ws；0≤ s≤ T），第三个恒等式来自[21，引理4.8]，自L（2）和W⊥它们是独立的，f-ourth恒等式是由于Q（1）上的鞅假设。在剩下的证明中，我们将证明Q（1）的鞅性质。对于假设2.10 i）中的子域序列（En），定义τn:=inf{t≥ 0 | Xt/∈ 嗯}∧T我们首先证明·∧τnis有界。因为我们在命题2.9中看到Y从上面有界，所以必须显示EP·∧τnhRT·∧τnhsdsi从下方有界。那么（2.15）意味着Y·∧τ也是有界的。由于马尔可夫结构，德尼（t，x）：=EPZTth（Xs）dsXt=x.Feynman-Kac公式（当方程不是一致抛物线时，参见[19]）意味着，在假设2.6下，y∈ C1,2（[0，T]×E），它是ty+Ly+h=0，y（T，x）=0，其中L是x的最小生成器。

现在，自从埃尼斯契约以来，y的连续性∧ τn，X·∧τn）是有界的。作为（2.12）的解，（Y，Z）satifiesyt=Yτn+Zτn（s，Ys，Zs）ds-ZτntZsdWs，t∈ [0，τn]。因为X和·∧τ与Y·∧τnare-bound ed，它来自四次比率BSDE的BMO估计（参见[33，引理3.1]），即·∧τnzsdws是一个BMO鞅。请注意，两个u′∑-1σρ（X）·∧τn）和消费投资与EPSTEIN-ZIN效用21M（X·∧τn）是有界的。因此·∧τnL（1）sdws也是一个BMO鞅。然后[23，定理2.3]暗示E（RL（1）sdWs）·∧τ是鞅。因此，dQn/dP:=E（RL（1）sdWs）τndeffineqnon Fτn，其等效于P。假设limn→∞Qn（τn<T）=0，根据单调收敛定理，EEZL（1）sdWsT= 画→∞E“E”ZL（1）sdWsτnI{τn=T}#=limn→∞E“E”ZL（1）sdWsτn#- 画→∞E“E”ZL（1）sdWsτnI{τn<T}#=1- 画→∞Qn（τn<T）=1，证明了[0，T]上E（RL（1）sdWs）的鞅性质。还有待于证明林→∞Qn（τn<T）=0。为此，（2.12）yieldsYt=Y-ZtH（s，Ys，Zs）ds+ZtZsdWs。另一方面，回想一下（2.16）中的F，我们从中得到了^o的公式，φ（Xt）=φ（x）+Ztb′φ（Xs）+kXi，j=1Aijxixjφ（Xs）ds+Ztφ′a（Xs）dWs=φ（x）+ZtF[φ]-φ′aMa′φ -H-1.-γγu′Σ-1σρa′φds+Ztφ′a（Xs）d表示前两个恒等式的区别，Yt- φ（Xt）=Y- φ（x）+ZtZs- φ′a（Xs）dWs-ZtZMZ′的-φ′aMa′φ+θΔψe-ψθYt-Δθ+F[φ]+1-γγu′Σ-1σρ（Z）- φ′a）′ds=Y- φ（x）+ZtZs- φ′a（Xs）dWns-ZtZMZ′的-φ′aMa′φ -（Z）- φ′a）MZ′+θΔψe-ψθYt- Δθ+F[φ]ds=Y- φ（x）+ZtZs- φ′a（Xs）dWns+Zt（Z）- φ′a）M（Z′）- A.φ) - θΔψe-ψθYt+Δθ- F[φ]ds，t≤ τn，其中Wn:=W-R·L（1）sds是Qn-[0，τn]上的布朗运动。在右手边，二次项是非负的，-θΔψe-ψθy是非负的，因为θ<0，dΔθ-由于假设2.10 ii），F[φ]也由下而定。