基于Epstein-Zin效用的消费投资优化

因此，存在（B.10）Yτn的负常数csuch- φ（Xτn）≥ Y- φ（x）+Cτn+Zτn（Zs）- φ′a）dWns。22使用EPSTEIN-ZIN效用进行消费投资选择右边的随机积分在Qn下为零期望。的确，sinceR·∧τNZSDWS是BMO（P）-鞅与φ′a（X）·∧τn）是有界的，henceR·∧τn（Zs）-φ′a（Xs））dWsis a BMO（P）-鞅也是。现在sinceR·∧τnL（1）sdWsis是BMO（P）-鞅[23，定理3.6]意味着·∧τn（Zs）- φ′a（Xs））dWnsis a BMO（Qn）-鞅。因此，它的预期在Qnis零下。然后从（B.10）得出（B.11）式[Yτn- φ（Xτn）]≥ Y- φ（x）+CT>-∞, 对于每一个n，由于假设2.10i），Y从上方有界，φ从下方有界，因此存在一个常数C，例如Yτn- φ（Xτn）=（Yτn- φ（Xτn））I{τn<T}+（YT- φ（XT））I{τn=T}≤ C- infx∈Enφ（x）I{τn<T}。现在是森丁n→ ∞ 在（B.11）中，假设2.10 i）和之前的不平等性证实了thatlimn→∞Qn（τn<T）=0。上一个结果中的鞅性质有助于验证（π）的容许性*, C*).推论B.3。假设2.6、2.7和2.10成立。然后（W*)1.-γEy是[0，T]上的D类，其中W*财富过程与（π）有关吗*, C*).证据导致（2.13）yieldsd（W）的计算*t） 一,-γeYt=-（W）*t） 一,-γeYtΔθ（c）*s） 一,-ψ（W）*t） 一,-γeYt-θ- δθdt+（W）*t） 一,-γeYt(1 -γ)(π*t） ′σtdWρt+ZtdWt= -（W）*t） 一,-γeYthθΔψe-ψθYt- Δθidt+（W*t） 一,-γeYt(1 -γ)(π*t） ′σtdWρt+ZtdWt,其中第二个恒等式来自c的形式*在（2.14）中。因此*t） 一,-γeYt=w1-γeYexp-ZtΔψθe-ψθYs- δθdsEZ（1）-γ)(π*s） ′σsdWρs+ZZsdWst、 由于θ<0且Y在上面有界，因此右边的第二个指数项在t中一致有界。同时，由于Lemm a B.2，右边的随机指数属于Don[0，t]类。然后确认该声明。引理B.4。假设2.6、2.7、2.10和2.11成立。

让c*处于（2.14）且cT=W*T、 然后是c*∈ Ca.证明。由于YT=0，所以（W）的D类属性*)1.-γeYin推论B.3产生E[（W*T） 一,-γ] < ∞.另一方面，c的表达式*在（2.14）中暗示-δs（c）*s） 一,-ψ=e-δsΔψ-1e-ψ-1θYs（W）*s） 一,-ψ.由于ψ>1，θ<0，Y从上方有界，因此右侧的前三项是有界的。因此，必须证明（B.12）EZT（西）*s） 一,-ψds< ∞.消费投资选择EPSTEIN-ZIN UTILITY 23为此，根据假设2.11ZT（西）*s） 一,-ψds=ZTEQE1.-ψ鲁杜Zλ′udWuTe-1.-ψ鲁杜（西）*s） 一,-ψds≤ZTEQE1.-ψRT（ru）+到期Zλ′udWuTe-1.-ψ鲁杜（西）*s） 一,-ψds≤ EQ“e（ψ）-1） RT（ru）+到期Zλ′udWuψT#ψZTEQhe-鲁杜夫*si1-ψds≤ w1-ψT EQ“e（ψ）-1） RT（ru）+到期Zλ′udWuψT#ψ<∞.这里的第一个不等式来自ψ>1；第二个不平等是由于霍尔德的不平等而成立的；第三个不等式是利用e-R·rsdsW*是一个非负Q-局部鞅，因此是Q-超级肉馅；第四个不平等的原因是（2.17）。现在我们准备证明第一个主要结果。定理2.14的证明。推论B.3和引理B.4已经证明（π*, C*) 这是允许的。选择（π）*, C*), 我们从（2.11），（2.13）和d YT=0得出（W*t） 一,-γ1 -γeYt=（W）*T） 一,-γ1 -γ+ZTtfC*s、 （W）*s） 一,-γ1 -γds-ZTtZsdBs，对于某些Z.那么（W）的D类性质*)1.-γEy和命题2.9组合暗示（B.13）w1-γ1 -γeY=EZTfC*s、 （W）*s） 一,-γ1 - γeYtds+（W）*T） 一,-γ1 -γ.因此引理B.1的上界由（π）得到*, C*). 最后，我们证明了引理2.15和定理2.16。引理2.15的证明。使用（2.8）和（2.21）进行的计算显示了WD处的th*+研发*scsds是局部鞅。然后还有待证明（2.21）。要简化符号，请抑制所有时间下标。

使用（2.12）和（2.14），计算表明*)-γ=（W）*)-γ-γ（r）- ~c*+ (π*)′u) +γ(γ + 1)(π*)′Σπ*dt-γ（W）*)-γ(π*)′σdWρ=（W）*)-γ-γ（r）- ~c*) +1.-γ2γu′Σ-1u +γu′Σ-1σρZ′+1+γ2γZρ′σ′∑-1σρZ′dt- γ（W）*)-γ(π*)′σdWρdeY=eY-H（t，Y，Z）+ZZ′dt+eYZdW。24消费投资选择结合前两个身份（2.20）的EPSTEIN-ZIN实用性，以及c的表达式*在（2.14）中，我们确认*=D*H-γ（r）- ~c*) + (θ - 1） Δψe-ψθY- δθ+1 -γγu′Σ-1u +1 - γγu′Σ-1σρZ′+ZMZ′- H（t，Y，Z）dt+D*-γ(π*)′σdWρ+ZdW=D*-r+θ - 1.-θψ+ γΔψe-ψθYdt+D*-γ(π*)′σdWρ+ZdW= -研发部*dt+D*-γ(π*)′σdWρ+ZdW,其中第三个恒等式来自θ+γ- 1.-θψ= 0. 定理2.16的证明。由（2.14）和（2.20）可知（B.14）W*tD*t+ZtD*sc*sds=Ct（W*t） 一,-γeYt+ZtCsΔψe-ψθYs（W）*s） 一,-是的。这里Ct=wγe-YexphRt（θ）- 1） Δψe-ψθYudu-Δθti，t∈ [0，T]。fromce<θ是以Sin为界的。我们已经在《艾玛2.15》中看到*D*+研发*sc*sds是一个非负局部鞅。必须证明它属于D类。为此，根据（B.13）得出“ZTδ（c*s） 一,-ψ1 -ψ（W）*s） 一,-γeYs1.-θds#=w1-γ1 -γY-1.- γEh（W）*T） 一,-γi+δ1-ψZTEh（W）*s） 一,-γ-eYsids<∞.这里自（W）*)1.-γEy为D类，Eh（W*s） 一,-γEysi在s中一致有界，因此前一个不等式成立。另一方面，我们使用了c的表达式*在（2.14）中，E“ZTδ（c*s） 一,-ψ1 -ψ（W）*s） 一,-γeYs1.-θds#=Δψ1-ψEZT（西）*s） 一,-γe（1）-ψθ）Ysds.然后ψ>1和前面两个方程结合得出，（B.14）右侧的第二项由一个可积随机变量从上方限定，因此属于D类。同时，使用（W）的D类性质*)1.-γ再次表示，（B.14）权利的第一项也是D类。这证实了W的D类财产*D*+研发*sc*sds。附录C。

为了证明命题3.2，让我们回顾一下关于积分平方根过程的Lap-lace变换的以下结果；参见[36，等式（2.k）]或[8，等式（3.2）]。引理C.1。考虑带有dynamicSxt=（θ）的X- κXt）dt+apXtdWt，其中W是1-二维布朗运动。当q<κ2a时，消费投资选择EPSTEIN-ZIN效用25拉普拉斯变换经验qZTXsdsX=X对于任何T≥ 0.命题3.2的证明。假设2.7、2.10和d 2.11在以下内容中得到验证。我们表示σ（x）=√xσ，∑（x）=x∑，b（x）=b(l -x） ，a（x）=a√x、 和Θ=σ′∑-1σ.假设2.7：注1-γ′（x）∑-1（x）σ（x）ρ（x）=1-γγλ′Θρ√x、 考虑与toL:=hb相关的鞅问题l -B-1.-γγaλ′ρxix+axxon（0，∞). 自从bl >a、 费勒的爆炸试验证明，前一个马丁·盖尔问题是适定的。然后[10，备注2.6]暗示假设2.7 i）中的随机指数是P-鞅，henceP定义得很好。对于假设2.7 ii），h（x）=（1- γ） r+h（1-γ） r+1-γ2γλ′Θλix.由于X具有以下动力学基础：dXt=Bl -B-1.- γγaλ′ρXt+ apXtdWt，其中w是P-布朗运动。然后EP[RTh（Xs）ds]>-∞ 根据EP[Xs]对于s是一致有界的这一事实∈ [0，T]。假设2.10：（2.16）中的运算符F readsF[φ]=axxφ+Bl -bx+1-γγaλ′ρxxφ+Max(xφ）+（1-γ） （r+rx）+1-γ2γλ′Θλx，式中M=1+1-γγρ′Θρ > 0. 考虑erφ（x）=-阻塞x+cx，用于两个正常数c和c，稍后确定。很明显φ（x）↑ ∞ 当x↓ 0或x↑ ∞. 另一方面，计算表明sf[φ]=C+ac+ac~M- BlCx+-B-1.-γγaλ′ρc+ac~M+（1）- γ） r+1-γ2γλ′Θλx、 其中C是常数。自从bl >a、 对于足够小的c，1/x的系数为负。当rorλ′λ>0时，由于γ>1，对于足够小的c，x的系数为负。

在此之前，这些cand c的选择意味着F[φ]（x）↓ -∞ 当x↓ 0或x↑ ∞, 因此，F[φ]从R的上方有界，验证了假设2.10。假设2.11：考虑与L:=[b]相关的鞅问题l - bx- aρ′λx]x++axxon（0，∞). 自从bl >a、 Feller的爆炸检验表明，这个鞅问题是适定的，其解用Qρ表示，满足dqρdP=ER-λ′ρ√XsdWsT.定义QviadQdP:=E-Zλ′ρpXsdWs-Zλ′ρ⊥pXsdW⊥sT=EZ-λ′pXsdWρs这里，由于X和W之间的独立性⊥, 与（B.9）相似的证明意味着右边的两个随机指数都是P-鞅；定义良好的合格中介机构，假设2中的λ。11可以选择为λ√X.26消费投资选择使用爱泼斯坦锌效用验证（2.17），注释（C.1）EZλ′√XsdWsψT=exp(ψ- ψ） λ′λZTXsdsEZψλ′pXsdWsT、 其中W:=Wρ+R·∧√Xsds是一个Q-布朗运动。在Q的构造之后，可以类似地表示ERψλ′√XsdWs这是一个Q-鞅。因此，可以通过dQψdQ:=E来定义QψZψλ′pXsdWsT.结合前面两个测量值的变化，X的动力学可以重写为DXT=Bl -B-（ψ）- 1） aλ′ρXtdt+apXtdWψt，其中Wψ：=W+R·（1）- ψ)λ′ρ√Xsds是1-维Qψ-布朗运动。另一方面，使用（C.1）的计算显示了seq“e（ψ-1） RTrsdsEZη′sdBQsψT#=e（ψ）-1） rTEQψ经验（ψ）- 1） r+（ψ）- ψ)λ′λZTXsds.引理C.1意味着当（ψ）时，右边的期望是有限的- 1） r+（ψ）- ψ） λ′λ<（b）- （ψ）- 1） aλ′ρ）2a。这正是命题3.2 ii）中的假设。命题3.4的证明。对假设2.7、2.10和2.11进行验证，然后对定理2.14和2.16进行陈述。我们表示Θ=σ′∑-1σ贯穿整个证明过程，以简化符号。假设2.7：注1-γ′（x）∑-1（x）σ（x）ρ（x）=1-γγ（λ+λx）′ρ。考虑与toL:=h相关的鞅问题-bx+1-γγa（λ+λx）′ρix+a克逊R。

这个鞅问题很好地解决了，因为L的所有系数最多都是线性增长的。[10，备注2.6]表明假设2.7中的随机指数为P-鞅，henceP定义得很好。对于假设2.7 ii），h（x）=（1- γ） （r+rx）+1-当r=0或λ′Θλ>0时，γ2γ（λ+λx）′Θ（λ+λx）从下开始有界。由于X是另一个Ornstein-Uhlenbeck过程，具有修正的线性漂移，Unmp，th en X具有所有的有限矩，参见[22，第5章，方程（3.17）]，那么假设2.7 ii）是满足的。假设2.10：（2.16）readsF[φ]中的运算符F=axφ+-bx+1- γγa（λ+λx）′ρxφ+aM(xφ）+（1- γ） （r+rx）+1-γ2γ（λ+λx）′Θ（λ+λx），使用EPSTEIN-ZIN实用工具27进行消费投资，其中M=1+1-γγρ′Θρ > 0. 考虑φ（x）=cx，对于稍后确定的正常数c。很明显φ（x）↑ ∞ as | x |↑ ∞. 另一方面，计算表明SF[φ]=ca+2c-bx+1-γγa（λ+λx）′ρx+ 2caMx+（1）- γ） （r+rx）+1-γ2γ（λ+λx）′Θ（λ+λx）=-2cb+2c1-γγaλ′ρ+2caM+1-γ2γλ′Θλx+低阶项。什么时候-b+1-γγaλ′ρ<0，因为γ>1,1-γ2γλ′Θλ≤ 0，我们可以选择足够小的c s，例如φ↓ -∞ as | x |↑ ∞. 当λ′Θλ>0时，则为1-γ2γλ′Θλ<0，我们也可以选择足够小的c，使得F[φ]具有相同的渐近行为。在这两种情况下，F[φ]从上方有界，因此假设2.10得到验证。假设2.11：考虑与L相关的鞅问题：[-bx- a（λ+λx）′ρ]x+axon R.由于所有系数最多都是线性增长的，所以这个鞅问题是好的，它的解用Qρ表示，满足QρdP=ER-（λ+λXs）′ρdWsT.定义QviadQdQ=E-Z（λ+λXs）′（ρdWs+ρ⊥dW⊥（s）T=EZ-（λ+λXs）′dWρsT.类似于（B.9）的论点意味着合格中介机构定义明确。

因此，假设2.11中的λ可以变成λ+λX。为了验证（2.17），注eZ（λ+λXs）′dWsψT=exp(ψ- ψ） ZT |λ+λXs | dsEZψ（λ+λXs）′dWsT、 （C.2）其中W:=Wρ+R·（λ+λXs）ds是Q-布朗运动。在q的构造之后，类似的论证表明ERψ（λ+λXs）′dWs这是一个Q-鞅。因此，Qψ可以通过dQψdQ:=E来定义Zψ（λ+λXs）′dWsT.结合前面两个测量值的变化，X的动力学可以重写为DXT=（ψ）- 1） aλ′ρ-B-（ψ）- 1） aλ′ρXtdt+adWψt，其中Wψ：=W+R·（1）- ψ） （λ+λXs）′ρds是1-维Qψ-布朗运动。另一方面，计算表明，对于任何>0，等式“e（ψ-1） RTr+（Xs）dsEZλ′（Xs）dWsψT#=CEQψ经验（ψ）- 1） ZT（rXs）+ds+（ψ）-ψ） λ′λZTXsds+（ψ）- ψ） λ′λZTXsds≤ CEQψ经验(ψ- ψ)λ′λ+ ZTXsds,（C.3）其中C是一个常数，C是一个常数，取决于。28消费投资与EPSTEIN-ZIN效用的选择为了应用引理C.1来计算（C.3）右侧的期望，让我们引入另一个度量△Qψviad△QψdQψ=E-（ψ）- 1） λ′ρWψT. 在此度量下，X hasdynamicsdXt=-B- （ψ）- 1） aλ′ρXtdt+adWψt，其中Wψ：=Wψ+R·（ψ）-1） λ′ρds是aQψ-布朗运动。L et Y:=X。然后它就有了动力=A.- 2.B-（ψ）- 1） aλ′ρYtdt+2apYtd~Wψ，它与引理C.1中的X是同一类型的。回到（C.3），霍尔德不等式意味着，对于任何δ>0，等式ψ经验(ψ- ψ)λ′λ+ ZTXsds= E~QψdQψdQψexp(ψ- ψ)λ′λ+ ZTXsds≤ E~QψdQψdQψ1+δδδ1+δEQψ经验(1 + δ)(ψ- ψ)λ′λ+ ZTXsds1+δ.观察右侧的第一个期望值是有限的，因为QψdQψ=E（ψ）- 1） λ′ρWψT拥有所有有限的时刻。对于第二个期望，我们可以根据引理C.1，当（C.4）（ψ）为- ψ） λ′λ<4（b）-（ψ）- 1） aλ′ρ）8a，第二个期望值是有限的。现在结合之前的估计和（C.3），我们确认（2.17）。最后，请注意，（C.4）正是命题3.4 ii）中的假设。

参考文献[1]R.Bansal，《长期风险与金融市场》，美联储。圣路易斯储备银行修订版。，89（2007），第1-17页。[2] R.Bansal和A.Yaron，《长期风险：资产定价难题的潜在解决方案》，J.Finance，59（2004），第1481-1509页。[3] N.Barberis，《回报可预测的长期投资》，J.Finance，55（2000），第225-264页。[4] L.Benzoni、P.Collin Dufresne和R.Goldstein，解释与1987年市场崩盘有关的资产定价难题，J.Financ。经济。，101（2011），pp。552–573.[5] H.Bhamra、L.Kuehn和I.Strebulaev，《杠杆化股权风险溢价和信用利差：一个统一框架》，修订版。财务部。螺柱。，23（2010），第645-703页。[6] P.Briand和Y.Hu，具有二次增长和无界终值的BSDE，Probab。理论与关系。Fields，136（2006），第604-618页。[7] J.Campbell和L.Viceira，《预期收益时变的消费和投资组合决策》，Q.J.Econ。，114（1999），第433-495页。[8] P.Carr，H.Geman，D.Madan和M.Yor，《列维过程的随机波动性》，数学。《金融》，第13期（2003年），第345-382页。[9] G.Chacko和L.Viceira，《不完全市场中随机波动的动态消费和投资组合选择》，修订版。财务部。螺柱。，18（2005），第1369-1402页。[10] P.Cheridito，D.Filipovi\'c和M.Yor，j umpdi过程的等效和绝对连续测量变化，Ann。阿普尔。Probab。，15（2005），第1713-1732页。[11] P.Cheridito和Y.Hu，《具有一般约束的不完全市场中的最优消费和投资》，Stoch。戴恩。，11（2011），第283-299页。使用EPSTEIN-ZIN效用的消费投资选择29[12]D.Duffie a and L.EPSTEIN，随机微分效用的资产定价，修订版。财务部。螺柱。，5（1992），第411-436页。[13] ，随机微分效用，计量经济学，60（1992），第353-394页。[14] D.达菲e和P-L。

Lions，随机微分效用的偏微分方程解，J.数学。经济。，21（1992），第577-606页。[15] D.Duffie和C.Skiadas，《连续时间证券定价：效用梯度法》，J.Math。经济。，23（1994），第107-131页。[16] N.El Karoui，S.Peng，a和M.C.Quenez，约束下递归效用优化的动态最大值原理，神经网络。阿普尔。Probab。，11（2001），第664-693页。[17] H.F¨ollmer和M.Schweizer，《不完全信息下的未定权益套期保值》，应用随机分析，M.Davis和R.Elliott，ed s.，随机专著第5卷，戈登和违约，伦敦，1991年，第389-414页。[18] P.Guasoni和S.Robertson，《长期投资组合和风险溢价》，安。阿普尔。Probab。，22（2012），第239-284页。[19] D.Heath和M.Schweizer，《金融中的鞅与偏微分方程：与示例的等价结果》，J.Appl。Probab。，37（2000），第947-957页。[20] 胡耀明，P.伊姆凯勒和M.穆勒，《不完全市场中的效用最大化》，安。阿普尔。Probab。，15（2005），第1691-1712页。[21]I.Karatzas和C.Kardaras，半鞅金融模型中的num’eaire投资组合，金融Stoch。，11（2007），第447-493页。[22]I.Karatzas和S.Shreve，《布朗运动与随机微积分》，纽约斯普林格，1988年。[23]N.Kazamaki，《连续指数鞅与BMO》，第1579卷《数学课堂讲稿》，斯普林格·维拉格，柏林，1994年。[24]T.Kim和E.Omberg，动态非近视投资组合行为，修订版。财务部。螺柱。，9（1996），第141-161页。[25]M.Kobylanski，带二次增长的倒向随机微分方程和偏微分方程，Ann。Probab。，28（2000），第558-602页。[26]H.Kraft，最优投资组合和Heston的随机波动率模型：电力效用的显式解，Quant。财务部。，5（2005），第303-313页。[27]H.Kraft、T.Seiferling和F.-T。

具有递归效用和非计划风险的资产定价和消费组合选择。工作论文，2014年3月。[28]H.Kraft和F.-T.Seifried，随机微分效用作为递归效用的连续时间界限，J.Econ。《理论》，151（2014），第528-550页。[29]H.Kraft，F.-T.Seifred和M.Steffensen，《不完全市场中具有递归效用的消费组合优化》，金融斯托克出版社。，17（2013），pp。161–196.[30]D.Kreps和E.Porteus，《不确定性的时间分辨率和动态选择理论》，计量经济学，46（1978），第185-200页。[31]刘杰，随机环境下的投资组合选择，修订版。财务部。螺柱。，2007年，第20-39页。[32]刘杰和潘杰，动态衍生策略，J.金融学。经济。，69（2003），第401-430页。[33]M.-A.Morlais，连续鞅驱动的二次BSDE及其在效用最大化问题中的应用，金融学Stoch。，13（2009），第121-150页。[34]\"E.Pa rdoux，BSDEs，半线性偏微分方程的弱收敛和均匀化，在非线性分析，微分方程和控制中（蒙特利尔，QC，1998），北约Sci第528卷。爵士。C数学。菲斯。Sci。，克鲁沃·阿卡德。公共图书馆。，多德雷赫特，1999年，第503-549页。[35]H.Pham，具有随机波动率和投资组合约束的最优投资模型的光滑解，应用。数学Optim。，46（2002），第55-78页。[36]J.Pitman和M.Yor，《贝塞尔桥的分解》，Probab。理论关系。菲尔兹，59（1982），第425-457页。[37]S.Robertson和H.Xing，矩阵值因子模型中的长期最优投资。工作文件，2014年。[38]M.S chroder和C.Skiadas，《具有随机差异效用的最优消费和投资组合选择》，J.Econ。《理论》，89（1999），第68-126页。[39]M.Schroder和C.Skiadas，《交易约束和广义递归偏好下的最优终生消费组合策略》，Stoch。过程