基于Epstein-Zin效用的消费投资优化

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英文标题：
《Consumption investment optimization with Epstein-Zin utility in
  incomplete markets》
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作者：
Hao Xing
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In a market with stochastic investment opportunities, we study an optimal consumption investment problem for an agent with recursive utility of Epstein-Zin type. Focusing on the empirically relevant specification where both risk aversion and elasticity of intertemporal substitution are in excess of one, we characterize optimal consumption and investment strategies via backward stochastic differential equations. The supperdifferential of indirect utility is also obtained, meeting demands from applications in which Epstein-Zin utilities were used to resolve several asset pricing puzzles. The empirically relevant utility specification introduces difficulties to the optimization problem due to the fact that the Epstein-Zin aggregator is neither Lipschitz nor jointly concave in all its variables.
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中文摘要：
在一个具有随机投资机会的市场中，我们研究了具有Epstein-Zin型递归效用的agent的最优消费投资问题。针对风险规避和跨期替代弹性均大于1的经验相关规范，我们通过倒向随机微分方程描述了最优消费和投资策略。此外，还得到了间接效用的支持微分，满足了使用Epstein Zin效用解决多个资产定价难题的应用需求。由于Epstein-Zin聚合器在其所有变量中既不是Lipschitz，也不是联合凹的，因此经验相关的效用规范给优化问题带来了困难。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Consumption_investment_optimization_with_Epstein-Zin_utility_in_incomplete_markets.pdf (429.47 KB)

2022-5-7 08:53:54 上传

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关键词：Epstein Stein 消费投资 TEI EPS

不完全市场下基于EPSTEIN-Zin效用的消费投资优化。在一个具有随机投资机会的市场中，我们研究了一个具有Epstein-Zin型递归效用的agent的最优消费投资问题。针对风险规避和跨期替代弹性均超过1的经验相关规范，我们通过后向随机微分方程描述了最优消费和投资策略。还获得了间接效用的支持，满足了使用Epstein Zin效用解决多个资产定价难题的应用需求。由于Epstein-Zin聚合器既不是Lip-schitz也不是其所有变量，因此经验相关的实用规范给优化问题带来了困难。1.引言风险厌恶和跨期替代弹性（EIS）是描述偏好的两个不同方面的两个参数：风险厌恶衡量代理人对风险的态度，而EIS调节代理人随时间替代消费的意愿。然而，通常情况下，美国的分时公用事业迫使EIS成为风险规避的倒数，这导致了大量关于资产定价异常的文献，如股权溢价之谜、无风险利率之谜、过度波动之谜、信贷风险之谜，Kreps-Porteus或Epstein-Zin类型和连续时间类比的递归实用程序解开了风险平均和EIS，为解决上述资产定价难题提供了一个框架，参见[2]和[1]中的股权溢价难题和无风险利率难题、[4]f中的超额波动率难题，以及[5]中的信贷利差难题。所有这些研究都要求EISψ大于1，以便与经验观测相匹配。

Bansal和Yaron[2]也根据经验估计ψ约为1.5。另一方面，经验证据表明风险规避γ超过1。然后从γ>1和ψ>1得出γψ>1。因此，具有此类实用性规范的代理人更喜欢提前解决不确定性（参见[30]和[41]），因此要求支付相当大的风险溢价，以补偿未来经济状态的不确定性。除上述公用设施规范外，在这些资产定价应用中，还有两个因素也很重要。首先，这些模型中的投资机会是由一些状态变量驱动的，这些变量通常会导致风险的无限市场价格；例如[9]、[26]和[31]中的赫斯顿模型，以及[24]和[43]中的金和奥姆伯格模型。其次，在所有这些应用中，第一步是了解代表代理人间接效用的超差，因为其日期为2015年11月13日。关键词和短语。消费投资优化，爱泼斯坦-辛效用，倒向随机微分方程。作者感谢安妮斯·马图西（Anis Matoussi）激发了讨论，保罗·瓜索尼（Paolo Guasoni）对撤回提出了宝贵意见，两位匿名裁判和编辑雅克萨·卡维塔尼（Jak'sa Cvitani’c）给出了准确的评论，帮助我改进了这篇论文。2使用爱泼斯坦锌效用的消费投资选择是读取均衡无风险利率和风险溢价的来源，参见[2，附录]。因此，重要的是要深入研究消费投资问题，同时考虑这三个因素：效用规格、具有无限市场风险价格的模型和间接效用的超差。然而，下面的文献回顾表明，在连续的时间背景下，这种研究仍然是文献中遗漏的。

本文填补了这一空白。在杜菲和爱泼斯坦[13]的开创性论文中，随机微分效用（递归效用的连续时间模拟，参见[28]）被认为具有Lipschitz连续聚合器。因此，不包括Epstein-Zin聚合器，即n on-Lipschitz。Schr oder和Skiadas[38]研究了θ=1的情况-γ1-1/ψ为正。然而，经验相关的参数规格γ，ψ>1导致θ<0。Kraft、Seifried和Steffeensen[29]研究了具有无限市场风险价格的不完全市场模型，但是他们对γ和ψ的假设（参见其中的方程式（H））排除了γ>1和ψ>1的情况。关于市场模型，Schroder和Skiadas[38]研究了具有有界风险市场价格的完整市场。施罗德（Schroder）和斯基亚达斯（Skiadas）[39，第5.6节]、查科（Chacko）和维切拉（Viceira）[9]都考虑了完整的市场和具有单位EIS的爱泼斯坦-辛公用事业。Chacko和Viceira[9]、Kraft、Seifried和Steffeensen[29]研究了一种市场模型，其投资机会由平方根过程驱动，从而产生无限的市场风险价格。关于间接效用的超差，其形式可通过使用效用梯度法的启发式计算获得，参见[15]。然而，严格的验证需要聚集器满足Lipschitz增长条件（参见[13]和[15]），或消费和效用变量的联合凹度（参见[16]）。正如我们稍后将看到的，当γ>1且ψ>1时，Epstein-Zin聚合器既不是Lipschitz连续的，也不是节理凹的。另一方面，对于θ>0的forEpstein-Zin效用，Schroder和Skiadas[38]通过可积条件验证了超微分（参见。

[38，引理2]）以及这样一个性质，即对于任意容许策略，衰减财富过程和衰减消费流的积分之和是一个超鞅，对于最优策略是一个鞅（参见[38，等式（1）]）。这两个条件在[38，定理2和4]中得到了验证，适用于风险市场价格有界的完整市场模型。在本文中，我们分析了一个具有Epstein Zin效用且γ，ψ>1的代理人和一个有限时间范围内的遗赠效用的消费投资问题。该代理人投资于一个不完全市场，其投资机会由一个多变量状态变量驱动。Campbell-Shiller近似被广泛应用于具有非单位EIS的公用事业，而不是研究精确解。如[29，第6节]所示，Campbell-Shiller近似与精确解可能存在相当大的偏差，这突出了精确解的重要性。卡夫、塞弗林和塞弗里德最近也研究了类似的问题[27]。本文去掉了文献[29]中γ和ψ之间的关系，认为γ和ψ的所有配置都包括γ，ψ>1的情况。根据效用梯度法[15]和[38]得出验证结果，并辅以最近关于γ，ψ>1情况的Seiferling和Seifried[40]注释。然而，[27]侧重于风险市场价格有界的模型（参见其中的假设（A1）和（A2））。这不包括Heston模型和Kim Omberg模型等在上述资产定价应用中广泛使用的模型。与[27]和上述所有现有结果相比，本文在三个方面扩展了之前的文献。[38]中的参数1+α在这里是θ。

因此，其中的等式（8c）表示θ>0。使用EPSTEIN-ZIN效用3进行消费投资首先，与效用梯度法相比，通过对比反向随机微分方程（BSDE）的结果，得出了修正结果。与[29]和[27]中采用的动态规划方法不同，最优消费和投资策略由BSDE解决方案表示，参见下面的定理2.14。扩展了Hu、Imkeller和M¨uller[20]以及Cheridito和Hu[11]研究时间可分效用的最优消费投资问题的技术，我们验证了Epstein-Zin效用的候选最优策略。其次，我们的方法是针对具有无限市场风险价值的市场模型设计的。利用[42，第10章]中的Glyapunov函数，我们在下面的引理B.2中证明了某些指数局部鞅是鞅，这是我们验证论点的一个关键组成部分。第三，我们验证了间接效用的超差。与[38]相比，当γ，ψ>1时，引理2中的可积条件满足。对于[38]和[27]中验证的第二步，它要求定义的财富过程和定义的消费流的积分之和对于任何可接受的策略是一个超鞅，对于最优策略是一个鞅。我们将此属性（见下面的定理2.16）作为验证结果的副产品。这一结果适用于具有无限市场风险价格的模型，当ce满足上述资产定价难题应用的需求时。我们在第2节中的一般结果专门用于第3节中的两个例子。这些数字结果揭示了一个有趣的现象。当ψ>1时，随着时间范围的缩小，有限范围解收敛到其稳定长期极限的速度非常慢。

图2显示，在经验丰富的公用事业和市场环境中，这种趋同至少需要60年时间。此外，收敛速度对时间贴现参数敏感：贴现参数稍微减小时，收敛速度会慢得多。这与ψ<1的情况相反，在ψ<1的情况下，收敛速度要快得多（大约20年），d对时间贴现参数不太敏感。这一观察结果表明，在ψ>1的情况下，即使我们考虑终身消费投资问题，最终期限最优策略也可能与其最终期限类似物相去甚远。本文的剩余部分组织如下。在第2.1节介绍了Epstein Zin效用之后，介绍了消费投资问题，主要结果在第2.2节中给出。然后在第3节的两个例子中专门介绍了主要结果，其中主要结果的一般假设在明确的参数限制下得到验证，其中包括许多经验相关的情况。所有证据都推迟到附录中。2.主要结果2。1.爱泼斯坦·辛偏好。我们研究的是一个过滤概率空间(Ohm, （英尺）0≤T≤T、 F，P）。这里（英尺）0≤T≤这是k+n产生的强化过滤-维维纳过程B=（W，W⊥), W和W在哪里⊥分别是前k个和后n个分量，满足正确连续性和完整性的通常假设。设C是[0，T]上的一类非负渐进可测过程。对于c∈ C和T<T，Ct代表T处的消耗率，Ct代表γ，ψ>1处的总消耗量与[38，第113页案例3]有关，后者建立了效用梯度不等式。即使其证明独立于市场模型，它也使用了Epstein Zin效用的存在性和凹性，这是在[38，附录A]中假设θ>0的情况下建立的。

因此，我们需要用命题2.2和命题2.4代替[38，附录A]，在命题2.2和命题2.4下，当θ<0时，可以确定Epstein-Zin效用的存在性和凹性。在本文的修订过程中，对于一般半鞅设置，这些性质也在[40]中得到了证实。4.消费投资选择EPSTEIN-ZIN效用。我们考虑一个比C更喜欢的代理-价值消费流由Kreps-Porteus或Epstein-Zi型的连续时间随机微分效用描述。为了描述这种偏好，让δ>0表示贴现率，0<γ6=1表示相对风险规避，d0<ψ6=1表示EIS。我们关注γ>1的情况。在这种情况下，定义Epstein Zin aggregatorf:[0，∞) × (-∞, 0] → R通过（2.1）f（c，v）：=δ（1）-γ） v1-ψc（（1）-γ） v）1-γ!1.-ψ-1..例如，这是[12]中使用的标准参数化。给定一个遗赠效用函数u（c）=c1-γ/(1 - γ） ，消费流c上的Epstein Zin实用程序∈ C在有限时间范围内，T是一个满足（2.2）Vct=Et的过程ZTtf（cs，Vcs）ds+U（cT）, 尽管如此，t∈ [0，T]，其中Et代表E[·| Ft]。备注2.1。Ep-stein-Zin效用推广了具有恒定相对风险规避的标准时间可分离效用。实际上，当γ=1/ψ时，聚合器减少到f（c，v）=δc1-γ1-γ- δv.那么t=0的（2.2）可以显式地表示为标准时间可分离效用：Vc=e“ZTδe-δsc1-γs1- γds+e-δTU（cT）#。正如导言中讨论的，我们对γ>1和ψ>1的经验相关情况感兴趣。在这种情况下，违反了γ=1/ψ，因此（2.2）不是时间可分的。当c遵循一个微分时，杜菲和狮子[14]通过偏微分方程技术确定了VCC的存在。

我们使用非马尔可夫设置，通过以下BSDE构造VCD：（2.3）Vct=U（cT）+ZTtf（cs，Vcs）ds-ZTtZcsdBs，0≤ T≤ T.表示θ：=1-γ1 -ψ.当γ，ψ>1，θ<0时。（2.3）中的发电机isf（c，v）=δc1-ψ1 -ψ((1 -γ） v）1-θ- Δθv。那么当θ<0时，f在vw中有超线性增长。因此，BSDE（2.3）没有Lipschitzgenerator。然而，考虑一下（Yt，Zt）：=e-Δθt（1）- γ） （Vct，Zct）和以下变压器组：（2.4）Yt=e-ΔθTc1-γT+ZTtF（s，cs，Ys）ds-式中F（t，ct，y）：=Δθe-δtc1-ψty1-θ.当θ<0时，（2.4）中的生成器F满足单调性条件，即y7→ F（t，ct，y）逐渐减小。这使我们能够确定（2.3）的解决方案的存在性和唯一性，进而确定（2.2）。使用EPSTEIN-ZIN实用工具5进行消费投资选择让我们介绍一组可接受的消费流asCa：=C∈ C:E中兴通讯-δsc1-ψsds< ∞ 和Ehc1-γTi<∞.提议2.2。假设γ，ψ>1和c∈ Ca.然后（2.4）允许一个唯一的解（Y，Z），其中Y是连续的，严格正的，并且是D类，RT|Zt|dt<∞ a、 s。。此外，Vct:=eΔθtYt/（1）- γ） ，t∈ [0，T]，满意度（2.2）。备注2.3。当BSDE满足单调性条件时，通常假定其终端条件为平方可积，参见[34，定理2.2]。然而，这对后面描述的效用最大化问题施加了不必要的限制，即遗产效用需要平方可积来定义相关的爱泼斯坦-辛效用。因此，命题2。2只要求终端条件是可积随机变量。定义了Vc之后，我们预计，作为一种实用功能 C7→ 它是凹的。当f（c，v）在c和v中联合凹时，这将遵循标准参数，参见[13，命题5]。

然而，计算表明，当γ>1和ψ>1时，f in（2.1）不是联合凹的。然而，利用[13，E x示例3]中介绍的Vc的有序等价变换，以下命题证实了C7的凹性→ Vc。让我们定义（Y，Z）：=（Y1/θ，θY1/θ-1Z）/（1-ψ). 计算表明，（Y，Z）满足（2.5）Yt=e-δTc1-ψT1-ψ+ZTtδe-δsc1-ψs1-ψ+(θ - 1） ZsYsds-ZTtZsdBs。当θ<1时，观察（2.5）的生成元现在在（c，Y，Z）中联合凹。提议2.4。当γ，ψ>1时，对于任何c，~c∈ Ca和α∈ [0,1]，如果αC+（1- α） ~c∈ Ca，然后是αVc+（1）- α） V~c≤ Vαc+（1）-α） c.备注2.5。Cadoes中的可积条件并不意味着Ca的凸性。事实上，由于ψ>1，E[RTe]-δsβ1-ψsds]<∞ 对于β=c和c，并不意味着αc+（1）具有相同的可积性- α） ~c.然而，命题2.4暗示了C7的凹度→ 关于Ca的任何凸子集，例如Ca={c∈ Ca:E[RTe]-δscsds]<∞}.2.2. 消费投资优化。在前一节中，我们证明了Epstein效用的存在性，然后考虑了一个具有这种效用的代理的最优消费投资问题。考虑一个具有无风险资产和风险资产S=（S，…，Sn）的金融市场模型，其中动态St=Str（Xt）dt，dSt=diag（St）[（r（Xt）1n+u（Xt））dt+σ（Xt）dWρt]，（2.6），其中diag（S）是一个对角线矩阵，其对角线上有S元素，1nis a n-每个条目1的维度向量。