收益率曲线模型的一致性重新校准

[16，引理4.2.2]）我们可以用下面的方法描述这个过程（h，X）。收益率曲线模型的一致性重新校准定理3.5（HJM方程）。让（h，X）由定理3.3给出，并假设∈ DAt≥h、 h×X：（3.8）dh（t）上的XSPDE=啊（t）+我的X（t）dt+σHJMyX（t）dW（t），dX（t）=qAyX（t）dW（t）+θ（t）e+ByX（t）dt。在该领域之外，远期利率过程可以被描述为mildwe，参见[13，第6.1节]。Xtt≥0级。然后，方程（3.8）可以重写为仅用于正向速率过程的演化方程（c.f.方程（5.4））。这在多因素情况下也是可能的，但方程式的形式为（3.8）。证据关于totandτ的远期利率微分公式（3.6），使用ψy（0）=-λ、 每个τ都有一个结果≥ 0dh（t，τ）=-Zt+τtθ（s）hψy（t+τ）- s） ，eids+θ（t+τ）hλ，ei+θ（t）hψy（τ），eidt- hψy（τ），dX（t）i，Ah（t，τ）=-Zt+τtθ（s）hψy（t+τ）- s） ，eids+θ（t+τ）hλ，ei- Φy（τ）- hψy（τ），X（t）i.dh（t，τ）=Ah（t，τ）+Φy（τ）+hψy（τ），X（t）i+θ（t）hψy（τ），eidt- hψy（τ），dX（t）i。当ndx（t）被SDE（3.1）的右侧替换时，θ（t）项被抵消，每个τ得到一个≥ 0dh（t，τ）=Ah（t，τ）+Φy（τ）+hψy（τ），X（t）i- hψy（τ），由（X（t））idt-ψy（τ），qAy（X（t））dW（t）.对称矩阵pay（X（t））可以移动到标量积的另一侧，人们可以立即识别出波动率σHJMy（X（t））。直接计算表明，漂移等于uHJMy（X（t））。的确，是的+ψy，x-ψy，乘以（x）= Fyo ψy·ψy+hRyo ψy·ψy，xi- hψy，By（x）i=hψy，Ay（x）ψyi=uHJMy（x），根据关系式fy（u）·v=hu，ayvi+hv，byi，（Riy）（u）·v=hu，αiyvi+hv，βiyi。10菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维奇、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W·乌思里奇的远期运价和赫尔-怀特续航。（3.6）模型的htθ。

它可以简洁地表示为ash（t）=HyS（t）θ，X（t）, S（t）θ=Cyh（t），X（t）, 尽管如此，t≥ 0，其中（t）是右移运算符，参见假设3.4（iii），计算将船体白延伸校准到初始前进速率曲线的初始Y反向操作。形式上，对于每个（t，x，θ）∈ R+×X×C（R+），这些算子由s（t）θ=θ（t+·）给出∈ C（R+），Hy（θ，x）=`- Iy（θ）- Φy-ψy，x∈ C（R+），Iy（θ）=Z·θ（s）hψy（·- s） ，艾兹∈ C（R+）。校准用的HyIyCyCing）定义为以下定理给出的HYG的部分逆。定理3.6。h、 x∈ CR+×Xh（0）=`+hλ，xi。那么Volterra积分方程h=Hy（θ，x）有唯一的解θ∈ C（R+），我们用Cy（h，x）表示。这个定理是下列引理的直接结果。引理3.7。每一天∈ Y、 Volterra积分算子：C（R+）→H∈ C（R+）：h（0）=0是双射的。证据这源于[8，定理2.1.8]，注意到积分核（3.9）Ky（s，t）=ψy（t）- s） ，e, 尽管如此，t≥ s≥ 0，满足度| Ky（t，t）|=|hλ，ei |>0，且均为Kyand它们是连续的。注意，赫尔白延伸θ的校准需要沃尔特拉积分算子Iy的反演。这里需要假设hλ，ei 6=0。Volterra方程的数值解。Volterra方程必须用数值方法求解。我们的目标是第二步，我们用梯形法则近似Volterra积分算子，它产生一个由biy（θ）（τn）=δhψy（τn），eiθ（0）+n给出的算子-1Xi=1hψy（τn）- τi），eiθ（τi）+hψy（0），eiθ（τn）！，N∈ N+τnnΔδ>解bθ可以通过求解连续分段线性（即。

线性oneach区间[τn，τn+1]）函数bθ满足（3.10）bθ（0）=g（0）hψy（0），ei，bIy（bθ）（τn）=g（τn），对于所有n∈ N+。收益率曲线模型的一致性重新校准11因为B是Iy的二阶近似值，所以Bθ是θ的二阶近似值也就不足为奇了。引理3.8。让（x，y）∈ X×Yandg:R+→ 具有连续二阶导数的Rpiecewise。如果g（0）=0，则存在唯一的分段线性函数bθ∈ C（R+）满足（3.10）。此外，bθ是Volterra方程Iy（θ）=g的精确解θ的二阶近似，即对于每个T∈ R+，支持∈[0，T]| bθ（T）- θ（t）|≤ Cδ，其中C是一个常数，仅取决于T和g。引理将用于显示校准运算符hy（·，x）的数值可逆性。在这种情况下，如果对产量进行充分平滑的插值，则满足Volterra方程右侧的平滑性假设。证据注意到积分核（3.9）是严格有界的，沿着我们的假设hψy（0），ei=hλ，ei 6=0，沿着对角线远离零。bθ（3.10）对于（bθ（τ），下三角形式的bθ（τn））。对效率的估计。关于估计量构造的考虑。设r（t，τ）表示从t到t+τ持有的零息债券的收益率，即（3.11）r（t，τ）=-τlog P（t，t+τ），对于所有t，τ∈ R+。τiτj（3.12）ddt[r（·τi），r（·τj）]（t）=τiτjψy（τi）>ay+dXk=1αkyXk（t）！ψy（τj）。假设（3.12）的左侧是τi和τj的函数，且ψ的分量在功能上是独立的。然后可以确定ψ和矩阵（X（t））的成分。函数ψ通常决定系数α和β（参见方程（3.4b））。

此外，考虑到矩阵ay和αky的容许条件（见[15，定义2.6]），可以确定X（t）和矩阵ay的其他+值成分。请注意，（3.12）仅来自产量动态的扩散系数，因此在Girsanov的度量变化下是不变的。因此，系数αy和βy可以根据真实世界的观察结果进行估计，而无需指定风险的市场价格。当然，风险的市场价格在估计中是作为偏差输入的，但估计者并不依赖于它。此外，在模型假设下，估计值不依赖于τi、τj的选择，这为拒绝不适合的模型提供了一种方法。x（t）的剩余值分量和系数都不出现在二次协变量中（3.12）。我们现在讨论如何估算它们。首先，请注意，对于单因素模型，由于船体白色延伸，它是冗余的，可以标准化为零。在多因素情况下，只有12个菲利普伤害中的第一个部分是多余的，大卫·斯特凡诺维奇、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W·乌瑟里奇·维克托比。其次，请注意，远期利率曲线的短端给出了一个标量条件onX（t），这允许我们完全识别x（t），如果x（t）只有一个单值分量。然而，在一般的多因素情况下，ByandX（t）的某些成分仍不确定。可以通过回归方法将它们校准到当前的市场收益率曲线。或者，也可以通过计量经济学方法进行估算。然而，这些要求风险规格的市场价格。

我们在这里不讨论这个话题，更多细节请参考[22]。在实践中，二次协变量（3.12）必须根据yieldsbr（tn，τi）tnnΔτi化协变量进行估计，其定义为[br（·τi），br（·τj）]（tn）=nXk=1br（tk，τi）- br（tk）-1，τi）br（tk，τj）- br（tk）-1，τj）.玛丽亚·埃尔维拉·曼奇诺（Maria Elvila Mancino）也可以使用，参见[12]了解最近的一些发展。固定长度为M的时间窗口和时间tn，则有（3.13）[br（·τi），br（·τj）]（tn）- [br（·τi），br（·τj）]（tn-M） tn- tn-M≈τiτjψy（τi）>ayψy（τj）+Δτiτj（tn- tn-M） dXk=1ψy（τi）>αkyψy（τj）nXm=n-M+1Xk（tm）。因此，对于任何时间和任何到期时间选择τi，τj，估计器bay，bαy，bβybXtnbXdtn4。仿射短期利率模型的一致性重新校准。yby a随机过程Y=（Y（t））t≥0.当每次参数过程发生变化时都有屈服曲线（即模型给出的带有旧参数的屈服曲线）时，情况尤其简单。之后，对于更一般的CRC模型，这些概念被推广到关于时间网格的任意参数yyy。4.2.设置和符号。我们回顾了假设3.1中可容许参数的概念。所有人（s，x）∈ R+×x和所有容许参数（y，θ）∈ Y×C（R+），weXXs，xy，θs，∞（3.1）θtθt- 对于ally，同时满足假设3.4的Sxhrate曲线∈ Y

我们定义了严格递增的非负确定性时间序列（tn）∈N.具有分段常数参数过程的CRC模型。Yt∈tn，tn+1年收益率曲线模型的一致性重新校准13定义4.1年。h、 C（R+）中的X，YH×X×Yθ值，每n满足以下条件∈ N：（i）通过校准h（tn）：h（tn）（0）=`+hλ，X（tn）i，θ（tn）=CY（tn）（h（tn），X（tn））和t来确定[tn，tn+1]上的船体白延伸θ∈ [tn，tn+1]θ（t）=S（t- tn）θ（tn）。（ii）由参数（Y（tn），θ（tn））确定的Xtn，tn+1:X（t）=Xtn，X（tn）Y（tn），θ（tn）（t），t∈ [tn，tn+1]，其中xs，xy，θ是第4.2节定义的SDE（3.1）的解算子。这里，假设3.1适用于参数（Y（tn），θ（tn））∈ Y×C（R+）。（iii）HON[tn，tn+1]的演变由X根据流行的霍尔-怀特扩展有效模型确定：h（t）=HY（tn）θ（t），X（t）, T∈ [tn，tn+1]。我们使用等式（3.8）中相同的符号来表示CRC模型。h，Xtn，tn+1（3.8）Ytn，θtnXtn，tn+1步骤（i）在离散时间尺度上发生，因为参数过程是常数[tn，tn+1]。通过构造，过程（h，X）在每次tn模拟时都是连续的。过程是特定的，可以在时间网格（tn）n上取样∈N.然后，定义4.1中的CRC模型可以通过反复应用步骤（i）-（iii）进行模拟。算法4.2（模拟）。给定nh（t）和过程，计算（h，X，Y，θ）ontnn∈N（i）（iii）如果步骤（ii）中的假设不满足，对于任何N∈ N.算法如图4.1所示。

请注意，远期利率增量是根据有效因子processX的增量计算的，通常可以通过高精度和适当处理边界条件来模拟。这些优势得益于CRC增量的有效结构，对于一般HJM模型来说是不可用的。有效更新远期利率曲线。（iii），ττ仅涉及长度δ=tn+1的时间间隔上的积分- tn.14菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W·乌思里希o更新hh（tn），X（tn+1），Y（tn），θ（tn）o更新X//h（tn）、X（tn）、Y（tn）、θ（tn）o更新Yooh（tn+1）、X（tn+1）、Y（tn）、θ（tn）o更新θ增加nOOh（tn+1）、X（tn+1）、Y（tn+1）、θ（tn）定义4.1中的θXh（i）、（ii）、（iii）。更新是使用外生给定的Y模型完成的。引理4.3。（iii）as（4.1）h（tn+1）=S（δ）h（tn）+S（δ）ΦY（tn）- ΦY（tn）+DS（δ）ψY（tn），X（tn）E-DψY（tn），X（tn+1）E+ZΔθ（tn）（s）DS（δ）-s） ψY（tn），eEds，其中δ=tn+1- 证明。根据定义4.1的条件（i）和（iii），h（tn+1）- S（δ）h（tn）=HY（tn）S（δ）θ（tn），X（tn+1）- S（δ）HY（tn）θ（tn），X（tn）= ` - IY（田纳西州）S（δ）θ（tn）- ΦY（tn）- hψY（tn），X（tn+1）i- ` + S（δ）IY（tn）θ（tn）+ S（δ）ΦY（tn）hS（δ）ψY（tn），X（tn）i.现在引理的断言来自关系ss（δ）Iy（θ）- Iy（S（δ）θ）=Zδθ（S）hS（δ）-s） ψy，eids，表示所有（δ，θ）∈ R+×C（R+），可通过定义轻松验证。4.6. 债券价格和远期利率。定理4.4。h、 定义4.1中的X，Yas以及相应的过程θ。定义（t，t）=e-RTth（t，s）-t） ds，r（t）=h（t，0）=`+hλ，X（t）i，B（t）=eRtr（s）ds。t 7→ Pt，T/BtPT≥从这个意义上说，债券市场没有套利。

此外，收益率曲线模型和定价公式的一致性重新校准如下：log（P（t，t））=-`（T）- t） +ZT-tθ（t）（s）hψY（t）（t）- T- s） ，eids+ΦY（t）（t）- t） +hψY（t）（t）- t） ，X（t）i，h（t，τ）=`-Zτθ（t）（s）hψY（t）（τ）- s） ，艾兹- ΦY（t）（τ）- hψY（t）（τ），X（t）i.注：以下证明更有力地证明了贴现债券价格是真鞅。证据在每个区间[tn，tn+1]上，远期汇率曲线h（t）的演变源自赫尔-怀特扩展的有效短期汇率模型。因此，每个≥0，折扣价格流程7→ P（t，t）/B（t）是每个区间[tn，tn+1]上的鞅。此外，该过程在间隔的最边界处连续连接。因此，∞h（t）=HY（t）（θ（t），X（t）），通过定义4.1（iii）保持不变。4.7. 希思·贾罗·莫顿方程。定理4.5。h、 X，Yθht∈ DAt≥性质如下：（i）对于所有t，表达式CY（t）（h（t），X（t））定义良好，等于θ（t）≥ 0;（ii）对于所有t，参数（Y（t），θ（t））是容许的≥ 0; （iii）过程（h，X）是以下SPDE在h×X上的强解：（4.2）dh（t）=Ah（t）+uHJMY（t）X（t）dt+σHJMY（t）X（t）dW（t），dX（t）=qAY（t）X（t）dW（t）+CY（t）h（t），X（t）（0）e+BY（t）X（t）dt。证据这源自定义4.1和定理3.5。几何解释。ric口译。Hull-White扩展的有效短速率模型的正向速率曲线保持在有限维流形内，边界如下所示：-Zτθ（t+s）hψy（τ）- s） ，eids+`- Φy（τ）- hψy（τ），xi（t，x）∈ R+×Rd,从定理3.3可以看出。这些子流形叶化了正向速率曲线或其大部分的空间。让我们看看远期利率曲线。然后，对于每一个功能特性的选择（Fy，Ry），最多有一个叶。然而，如果（Fy，Ry）允许变化，通常会有许多叶子穿过。

选择leafFy，RyA CRC模型是通过连接属于不同叶片的叶片上的正向速率进化来构建的。这使得其他常数系数（Fy，Ry）能够适用于短期利率模型。如图4.2.16所示，菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W·乌瑟里奇将曲线转化为不变叶。CRC模型是前向速率演化的串联，属于不同的叶系或此类关联的限制。4.9.CRC模型。我们将第4.3节的CRC模型推广到任意参数的过程。在本节中，I不需要像前几节中那样是分段常数。为了描述此类模型的特征，我们使用定理4.5中导出的SPDE。定义4.6。h、 X，YH×X×y满足定理4.5中θ（t）=CY（t）的条件（i）–（iii）h（t），X（t）每个t≥ 第4.8节中的0。注意，这些模型满足定理4.4的所有结论：它们没有套利，因为贴现债券价格sp（t，t）/B（t）是局部鞅，r（t）=h（t）（0）=`+hλ，X（t）i.4.10。半群解释。假设参数过程是Markov-onY（4.2）h，X，YH×X×Y[13，c.f.定理9.14]。LetP=（P（t））t≥0表示有界连续函数的banach空间Cb（H×X×Y）上相应的半群，即P（t）f（H，X，Y）=eFh（t），X（t），Y（t）h（0），X（0），Y（0）=h、 x，y.QQtt≥0CbH×X×Y参数过程Y（t）≡ y固定，即Q（t）f（h，x，y）=eFh（t），X（t），yh（0），X（0）=h、 x,其中（h，X）如定理3.5所示，y=y。最后，letR=（R（t））t≥0表示Cb（H×X×Y）上描述Y演化的半群，即R（t）f（H，X，Y）=eFh、 x，Y（t）Y（0）=Y.然后，半群的级联（R（δ）Q（δ））nfof描述了CRC模型，其具有定义4.1中的逐点常数参数过程。

实际上，（R（δ）Q（δ））nf（h，x，y）=E[h（tn），x（tn），y（tn）]，对于所有n∈ N、 产量曲线模型17δtn+1的一致性重新校准-通过在该时间网格上对马尔可夫过程Y进行采样，得出第4.4节的tnhtn、Xtnscheme和Y（tn）。通过拆分方案模拟CRC模型。第4.10节的定义允许我们将算法4.2视为定义4.6中一般CRC模型的指数Euler拆分方案。要看到这一点，letf:H×X×Y→ 有界集上导数一致连续的Rbe二次可微 半群P，Q，R的生成元GP，GQ，GRof，如果Y独立于W，则GPf=GQf+GRf。关于这种分裂的指数欧拉分裂方案定义为asP（nδ）f≈exp（δGR）exp（δGQ）nf=R（δ）Q（δ）nf，所有n∈ N.在第2.2节和第4.13.4.12节中。CRC模型的校准。为了校准CRC模型，我们需要估计y的估计时间序列。这就完成了风险中性概率测度下的模型规范。本文不讨论风险规格的市场价格，但更多细节请参考[22]。稳健的校准、一致性和分析可处理性。prHH×X×YH定义4.7。设（h（t），X（t），Y（t））t≥0成为CRC模型和 H×X×Y。那么这个模型被称为与iif（H（t），X（t），Y（t））一致∈ 对于任意大于0且初始条件（h，x，y）的概率为1的情况∈ I.此外，该模型满足任何t>0和初始条件（h，x，y）下的HTPRH（I）∈ I.一致性重新校准属性相当于第3节中所述的任何H（I）beingt>属性的任何开放子集，不适用于任何合理大的Hull White扩展有效因子模型集。事实上，如第4.8节所述，对于任何给定的初始值，processhremains在有限维子流形ofH内。