收益率曲线模型的一致性重新校准

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英文标题：
《Consistent Recalibration of Yield Curve Models》
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作者：
Philipp Harms and David Stefanovits and Josef Teichmann and Mario
  W\\\"uthrich
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The analytical tractability of affine (short rate) models, such as the Vasicek and the Cox-Ingersoll-Ross models, has made them a popular choice for modelling the dynamics of interest rates. However, in order to account properly for the dynamics of real data, these models need to exhibit time-dependent or even stochastic parameters. This in turn breaks their tractability, and modelling and simulating becomes an arduous task. We introduce a new class of Heath-Jarrow-Morton (HJM) models that both fit the dynamics of real market data and remain tractable. We call these models consistent recalibration (CRC) models. These CRC models appear as limits of concatenations of forward rate increments, each belonging to a Hull-White extended affine factor model with possibly different parameters. That is, we construct HJM models from \"tangent\" affine models. We develop a theory for a continuous path version of such models and discuss their numerical implementations within the Vasicek and Cox-Ingersoll-Ross frameworks.
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中文摘要：
仿射（短期利率）模型（如Vasicek和Cox-Ingersoll-Ross模型）的分析可处理性使其成为利率动态建模的热门选择。然而，为了正确地考虑真实数据的动态性，这些模型需要表现出与时间相关甚至随机的参数。这反过来又破坏了它们的可处理性，建模和模拟成为一项艰巨的任务。我们引入了一类新的Heath Jarrow Morton（HJM）模型，该模型既符合真实市场数据的动态，又保持易处理性。我们称这些模型为一致性再校准（CRC）模型。这些CRC模型显示为前向速率增量串联的极限，每一个都属于可能具有不同参数的赫尔-怀特扩展仿射因子模型。也就是说，我们从“切线”仿射模型构造HJM模型。我们为这种模型的连续路径版本开发了一个理论，并在Vasicek和Cox Ingersoll-Ross框架内讨论了它们的数值实现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：收益率曲线 一致性 收益率 Mathematical Quantitative

收益率曲线模型的一致性重新校准菲利普·哈姆斯、戴维·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W¨乌思里希摘要。利率动态。然而，为了正确地解释真实数据的动态，这些模型需要显示与时间相关甚至随机的参数。1.介绍1。1.收益率曲线建模原理。对收益率的随机演化进行建模（金融工具）：我们当然要求交易资产价格的所有模型都不存在套利；因此，我们不将此列为主要要求。o稳健校准：从时间序列中同时选择模型，在等效测量下，应通过统计程序对时间序列数据进行估计。其余参数通过求解ANS进行校准，ANS应在模型寿命期内保持不变；只有状态变量可能会改变一致性：收益率曲线的一致性不会留下预先设定的可能市场观察值（见[16]由于任何新到达的市场配置都是一种可能的模型状态，因此SETI被假定为具有正概率的曲线NI的有限维子流形。因此，模型可以根据新的市场配置进行重新校准，而不会失去与旧参数模型选择的一致性；我们认为，该模型满足一致的再校准特性。日期：2016年9月2010年数学科目分类。91G30，60J25，60J60。部分由SNF资助149879。我们衷心感谢ETH基金会的支持。arXiv:1502.02926v2[q-fin.MF]20162年9月7日PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICHo分析可处理性：可以快速准确地计算模型的相关量。

特别是，人们应该能够模拟状态变量条件。我们对其中一些原则进行了简要的评论我总是考虑一类参数化模型，包括一个完全特定的模型，用于I中的每个初始状态和每个参数值在实践中，利率模型会定期（例如每天）根据市场数据进行重新校准。假设一致性重新校准属性不适用于今天的模型。那么，明天的市场收益率曲线可能不在今天模型的可能实现范围之内。如果发生这种情况，那么明天的重新校准必然意味着拒绝今天的模型。另一方面，如果重新校准是模型状态变量的更新，且不涉及模型参数的变化，则不会出现不一致稳健校准原则将估算挥发率的简单任务与时间序列（即在等效测量变化下不变的参数）分离开来。在[22]中，我们使用我们的结果对风险的市场价格进行建模和过滤。一致的重新校准模型。满足曲线空间所有三个主要要求的屈服曲线演化类）。从数学上讲，我们寻找完全或大量支持的收益率曲线模型，此外，这些模型在分析上是可处理的。通常情况下，全支撑特性不符合超椭圆模型的分析可处理性，超椭圆模型在有限维上限制太多。我们用一个例子来说明这一点。以赫尔-怀特扩展考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）模型为例。

在该模型中，短期利率由SDEdr（t）给出=θ（t）+βr（t）dt+pαr（t）dW（t），其中θ（t）≥0决定均值回归的时间依赖性水平，β<0决定均值回归的速度，α>0决定波动性水平。通过选择合适的壳白延伸θ，该模型可以从大的子空间曲线校准到任何初始屈服曲线。对于任何固定的初始收益率曲线，收益率曲线在某个大于0的未来的分布集中在模型的一维上，且一致的再校准特性不适用于toI。此外，该模型的低维性在实际水平上是明显的，这与市场观察结果形成了鲜明对比（见图7.13）。最后，如图7.4和7.6所示，经过校准的模型参数随时间显著变化，这与稳健校准的要求相矛盾。状态变量。例如，可以使α=α和β=β依赖于收益率曲线模型3y的参数一致性重新校准，并写入formdr（t）的动力学=θ（t）+βY（t）r（t）dt+qαY（t）r（t）dW（t），dY（t）=uY（t）dt+σY（t）dfW（t）。零息票债券价格无法再通过分析计算。一致性再校准（CRC）模型的关键思想是将短期利率模型提升为HJM模型，并在该水平上引入随机参数。Leth（t）表示Musiela参数化时的远期利率曲线（即，作为到期时间的函数）。然后，CRC模型由联合动态CSDH（t）定义=Ah（t）+uHJMY（t）r（t）dt+σHJMY（t）r（t）dW（t），dY（t）=uY（t）dt+σY（t）dfW（t），rthtAuHJMy，σHJMyHJM漂移和常参数短期利率模型的波动性。该模型，以及更普遍的CRC模型类别，具有以下特性：o它是一个全边缘HJM模型，提供了稳健校准的好处。全白延伸θ因子模型。

结构如图4.2所示。连接的模型允许有不同的静态参数。对不同成熟期的产量协变量矩阵进行参数排序。事实上，我们的实证分析表明，它们更接近可以使用的o[1]中观察到的结果。对于非Lipschitz向量场的一般HJM方程，没有类似的方案可用。在我们的数值实现中，我们在Vasiˇcek情况下实现了一阶收敛。这些属性在风险管理和当前监管4 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICHprocess中非常重要。[22]中提供了改进的第一个证据。结构动力学。例如，它可以应用于多曲线利率模型和期权价格的期限结构模型[29]。论文的组织。建模方法。在第3节中，我们介绍了Hull-White扩展的短波率数值实现，并给出了一些实证结果。2.与其他收益率曲线模型的关系这些模型大致可分为因子、HJM、主成分分析（PCA）和过滤历史模拟模型。我们根据我们的要求对这些模型进行简要分析，并将其与新的CRC模型进行比较。因子模型。可以派生（有关概述，请参见[17]）。LetX=（X（t））t≥0be a factor Markov processyBgXg–关于定价度量P–关系P（t，t）=EB（t）B（t）F（t）= G（t，t，X（t）），对于某些函数G也取决于参数向量y。市场数据以日收益率曲线的形式到达。通过校准，选择初始状态X和参数向量来解释今天的市场数据。TXA另一个参数向量。由于状态可能随机变化，XtoxTy的变化将切换到Y指定的模型。

通过结合使用过滤和校准技术来稳定Y，II的选择，可以在一定程度上缓解这个问题。从积极的一面来看，因子模型通常在分析上是可处理的，例如，在一个有效的类别内（参见[17,15]）。HJM模型。收益率曲线本身被视为状态变量（可能与一些隐藏的状态变量一起）。对每日收益率曲线的校准现在是一个根据市场数据的时间序列进行统计估计的问题。瞬时CO方差、跳跃结构和漂移的适当参数化将导致一个统计推断问题，尽管这是一个有限维的问题。因此，稳健校准的范例，包括收益率曲线模型5的一致性重新校准。然而，在这个模型类中，人们通常会遇到严重缺乏分析可处理性的问题。Euler和高阶格式（通常）需要对向量场进行强有力的假设（c.f.[14]）。与CRC模型相比，通常没有精确或高阶的微小增量模拟，CRC模型通常是这样。2.3.PCA-或局部PCA模型。主成分分析（PCA）或局部PCA将收益率曲线作为统计模型的结果，该模型通过标准估计，相当于具有恒定向量场的HJM模型（如[23]）。但从分析的角度来看，它们通常不是很容易处理的。2.4.过滤（历史）模拟。历史模拟是未知分布的标准行业相关样本，参见[19,4]。当然，在没有套利的情况下，这种假设可能会导致困难，但这可以通过[28,32]解决。最重要的问题是分配的国家独立性。同样，经过过滤的历史模拟也可以嵌入HJM模型领域。

然后，这些模型允许进行稳健的校准和一致的重新校准，但从分析的角度来看，通常不太容易处理。3.赫尔-怀特扩展仿射短速率模型。初始远期利率曲线。介绍的一维短期利率模型是YSetup和notation。(Ohm, F、 （F（t））t≥0，P）PAll过程定义于Ohm, 适应于（F（t））t≥0和c\'adl\'ag。W=（W（t））t≥0是三维的（F（t））t≥0-布朗运动。rrtt≥0XXtt≥0XYYtt≥0YYt≡ 下面。空间X和Y都是某些有限维向量空间的子集。Xis，upRd+×Rdddd≥规范基向量表示为bye，ed和H·IDE注意到了欧几里得积。当然，我们可以在这里考虑更一般的有效过程，例如，在正半无限矩阵的锥和实线（如Shart-Heston模型）的乘积中获取值。6菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W¨乌思里克斯，y∈ X×YAyx∈ Rd×D与矢量比（x）∈ 确定x的波动性和漂移。表达式Ay（x）和By（x）在x中是有效的，即Ay（x）=Ay+dXi=1αiyxi，By（x）=By+dXi=1βiyxi，对于所有（x，y）∈ X×Y，Y，αY，αdy∈ Rd×dby，βy，βdy∈ RdWe表示bypAy（x）的对称正半限定平方根。注：可以选择其他平方根，下面的假设3.1不取决于[30，第V.19-20章]对平方根的选择。此外，一个函数θ∈ 给出了使X时间漂移不均匀的C（R+）表达式。3.3.因素过程和短期利率。因子过程是SDEdX（t）=qAy的连续X值解X（t）dW（t）+θ（t）e+ByX（t）初始条件为X（0）=X的dt（3.1）∈ 十、

对于所有t，短速率由（3.2）r（t）=`+hλ，X（t）i给出≥ 0，对于一些固定的∈ R和λ∈ Rdhλ，ei 6=0。假设3.1。（3.1）XXXsxs，x∈ R+×Xy，θX（3.3）Ehe-Rt（`+hλ，X（s）i）dsi<∞, 尽管如此，t≥ 0.3.4.指数矩和Riccati方程。processX，或者更确切地说是通过改变SDE（3.1）中的初始条件获得的过程家族，是时间不均匀的。SDE（3.1）中的所有系数都与时间无关，除了θXθ过程[18]。y、 y∈ C∞R+×C∞R+Rd（带参数y）∈ Y） 如果ΦY=Fyo ψy，Φy（0）=0，（3.4a）ψy=Ryo ψy- λ、 ψy（0）=0（3.4b）成立，其中（Fy，Ry）∈ C（Rd）×C（Rd；Rd）由fy（u）=hu，ayui+hu，byi，Riy（u）=hu，αiyui+hu，βiyi给出∈ 我和我∈ {1，…，d}。引理3.2。对于一些容许参数（y，θ），我们给出了SDE（3.1）的一个解。当且仅当Riccati方程（3.4）的解（Φy，ψy）存在于所有时间t时，则X满足力矩条件（3.3）≥此外，如果存在Riccati方程的解，即使是局部解，它也是唯一的。屈服曲线模型的一致性重新校准7注意，Riccati方程（3.4）仅取决于ony，而不取决于赫尔白延伸θ的选择。证据LetZbe的X值过程Z（t）=（Z（t），Z（t））=（X（t），RtX（s）ds）。

ThenZ是一种It分歧，其在时间t的漂移和波动性≥ 0由θ（t）e+By（Z（t）），Z（t）∈ R2d，Ay（Z（t））00∈ R2d×2d，ZtθtetZZt，u，u∈ R+×Rd×RdZF（t，u，u）=θ（t）hu，ei+Fy（u）∈ R、 R（t，u，u）=（Ry（u）+u，0）∈ Rd×Rd.力矩条件（3.3），用Z表示，如下所示：-hλ，Z（T）ii<∞, 尽管如此，T≥ 0.根据[21]，力矩条件等价于与Z相关的下列Riccati系统的解（φ，ψ，ψ）的存在：-tφ（t，t）=θ（t）hψ（t，t），ei+Fy（ψ（t，t）），φ（t，t）=0，-tψ（t，t）=Ry（ψ（t，t））+ψ（t，t），ψ（t，t）=0，-tψ（t，t）=0，ψ（t，t）=-λ.等价地，关系ψ（t，t）=-λ和φ（t，t）=ZTtθ（s）hψy（t- s） ，eids+Φy（T- t） ，ψ（t，t）=ψy（t）- t） 保持相同，其中（Φy，ψy）是Riccati方程（3.4）的解。这些方程的唯一性是成立的，因为向量场是局部Lipschitz。3.5.债券价格和远期利率。根据无套利论点，第3.3节短期利率模型中的零息票债券价格由p（t，t）=Ehe给出-RTtr（s）dsF（t）i=Ehe-RTt（`+hλ，X（s）i）dsF（t）i，t≥ T≥ 0.远期利率byh（t，τ）=h（t）（τ）=-τlogP（t，t+τ）, t、 τ≥ 0.远期利率的参数化作为和τ的函数称为MusielParameterisation。这在本文中特别有用，因为（h（t））t≥0将被解释为一个随机过程，在R+上合适的函数空间中取值。通过求解ODE（3.4）的Riccati系统，8 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrich定理3.3（零息票债券价格和远期利率）可以得到。Letx满足力矩条件（3.3），并将（Φy，ψy）设为引理3.2给出的带参数的Riccati方程的唯一解。

那么短期利率模型（3.1）-（3.2）中的债券价格满足（3.5）log（P（t，t））=-`（T）- t） +ZTtθ（s）hψy（t- s） ，eids+Φy（T- t） +hψy（t）- t） ，X（t）i≥ T≥ 由（3.6）h（t，τ）=`-Zτθ（t+s）hψy（τ）- s） ，艾兹- Φy（τ）- hψy（τ），X（t）i，对于所有t，τ≥ 0.证明。（3.3）等价于与过程z=（X，RX）相关的Riccati系统解（φ，ψ，ψ）的存在性。此外，（φ，ψ，ψ）与Riccati系统（3.4）的解（Φy，ψy）密切相关。根据[21]中的主要定理及其条件版本，a ffine变换公式-hλ，Z（T）iF（t）i=eφ（t，t）+hψ（t，t），Z（t）i+hψ（t，t），Z（t）i，对于所有t≥ T≥ 0，保持。直接计算表明，该公式相当于债券价格的公式（3.5）。远期利率的公式（3.6）通过取对数并对τ进行微分得到。3.6.希思·贾罗·莫顿方程。远期利率曲线的演变是dex，y∈ X×YuHJMyxσHJMyxuhjmyy（X）=hψY，Ay（X）ψyi∈ C∞（R+，σHJMy（x）=-qAy（x）ψy∈ C∞（R+；Rd）。注意，熟悉的HJM漂移条件为：（3.7）uHJMy（x）（τ）=σHJMy（x）（τ），ZτσHJMy（x）（s）ds, 总之τ≥ 0.使用符号表示远期汇率过程中的一个要素。假设3.4。H是具有以下性质的Hilbert空间：（i）H C（R+）与评价mapevalτ：h7→ 对于每个τ，h（τ）是连续的∈ R+；（ii）对于每个（x，y，z）∈ X×Y×Rd，uHJMy（X）和hσHJMy（X），zi是h的元素；（iii）短期租约≥0hht·on H，在域（A）中具有小型生成器A H∩ C（R+）（C.f。