收益率曲线模型的一致性重新校准

另一方面，CRC模型具有以下特性：18 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICHo稳健校准：选择模型的收益率市场数据。只要有可能，参数都是根据产量的实际协变量来估计的，这使得人们可以绕过校准中常见的反问题。此外，要求参数在整个生命周期模型中保持不变。原因是，基础a ffine模型的参数被转化为CRC模型的状态变量一致性：IH×X×有效因子模型（见假设3.1）。在单因素模型的合理规定下，我∩（H×{x}×{y}）足够大，可以包含所有的实性x，y∈ X×Y嵌入有限公司（R+），则在拓扑意义上具有非空内部。在这种设置中，通过构造保持一致性，因为CRC模型的状态过程（h、X、Y）不会离开setI。一致的重新校准HT、Xt、YT，一般来说，只要参数过程中有噪声，这些向量场及其括号就会跨越H的密集子空间。Vasiˇcek案件的具体条件见第5.7节分析可处理性：CRC模型的模拟方案（算法4.2）将采样状态变量增量的任务转换为有限维设置。也就是说，与其从有限维空间模拟远期利率增量，不如模拟有限维XY方案的增量，以模拟单一过程。请注意，算法4.2中涉及有限维对象的所有操作都是确定性的。当高阶方法用于高斯过程时，模拟的复杂性大大降低。5.

Vasiˇcek模型5的持续重新校准。1.概述。我们描述了基于Hull White扩展Vasiˇcekof的CRC模型，第4.4节在连续时间限制内收敛于定义4.6的CRC模型。5.2.设置和符号。我们使用第3.2节和第4.2节的设置，设置x=R，`=0，λ=1。我们还没有指定参数spaceY，但是我们假设forx，y∈ X×YAyxay∈, ∞andBy（x）=带βy的βyx∈(-∞,0). 为了简单起见，我们选择时间tn=nδ和成熟时间τn=nδ的等距网格，用于所有n∈ N、 其中δ是一个正常数。产量曲线模型的一致性重新校准19 Hull White extended Vasiˇcek模型。y、 θ∈ Y×CR+短速率过程的SDE为（5.1）dr（t）=（θ（t）+βyr（t））dt+√aydW（t），WFtt≥0每个参数（y，θ）。第3.4节中的功能特征（F，R）为Fy（u）=ayu，Ry（u）=βyu，对于所有u∈ R、 相应Riccati方程的解（Φy，ψy）为Φy（t）=ay4βy2βyt- 4eβyt+3+e2βyt, ψy（t）=βy1.- eβyt, 尽管如此，t≥ 0.根据定理3.3，具有固定参数（y，θ）的Hull-White扩展Vasiˇcek模型（5.1）的远期汇率由h（t）=Hy（S（t）θ，r（t））给出∈ C（R+），其中hy（θ，x）（τ）=Zτθ（s）eβy（τ）-s） ds-ay2βy1.- eβyτ+ eβyτx，对于所有（x，θ，τ）∈ R×C（R+）×R+。由于积分核βy（τ）的简单结构-s） ，有一个用于校准运算符的闭合形式表达式，（5.2）Cy（h）（τ）=h（τ）- βyh（τ）-ay2βy1.- e2βyτ, 对于所有（h，τ）∈ C（R+）×R+。这可以使用定义进行验证。请注意，校准操作员不依赖于x。

因此，我们从符号Cy（h，x）中删除了x。第3.6节中的HJM漂移和波动率为（5.3）uHJMy（τ）=-ayβyeβyτ1.- eβyτ, σHJMy（τ）=√是βyτ，对于所有τ∈ R+。xxuHJMyxτ，σHJMyxτ读数为（5.4）dh（t）=啊（t）+我的dt+σHJMydW（t）。Vasiˇcek CRC模型。由于因子过程是远期汇率xtrtht的函数，因此由过程（h，Y）代替（h，X，Y）。因此，根据定理4.5和定义4.6，如果SPDEdh（t）满足，则值为h×Y的过程（h，Y）可以称为CRC模型=Ah（t）+uHJMY（t）dt+σHJMY（t）dW（t），（5.5）uHJMY（t）σHJMY（t）（5.3）t∈ R+字，Vasiˇcek情形中的最大容许集I是整个希尔伯特空间H.20 PHILIPP HARMS，DAVID STEFANOVITS，JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrich Vasiˇcek CRC模型的模拟。Yny，CRC模型的模拟如算法4.2所述。以下观察结果使该算法特别有效。首先，状态过程是远期利率的函数，可以作为状态变量消除。第二，可以准确地模拟短期利率过程。事实上，在常参数模型中，r（t）是正态分布的，r（t）~ Neβytr+Zteβy（t-s） θ（s）ds，ay2βye2βyt- 1..第三，通过使用标定算子的闭式表达式（5.2），可以避免对Volterra积分算子进行逆变换。离散化是在均匀网格tn=τn=δ上进行的，用于选择数量众多的τn，从而导致一阶全局误差（见第5.6节和第7.7节）。

结果方案如下所示。算法5.1。h、 a针对每个n，重复执行以下步骤∈ N：（i）θtnCY（tn）htnδ（5.2），θ（tn）（0）=Ah（tn）（0）- βY（tn）h（tn）（0），θ（tn）（δ）=Ah（tn）（δ）- βY（tn）h（tn）（δ）-aY（tn）2βY（tn）1.- e2βY（tn）δ,IY（tn）（θ（tn））（δ）用梯形法则近似如下：bIY（tn）θ（tn）(δ) = -δeβY（tn）Δθ（tn）（0）+θ（tn）（δ）.（ii）取样器（tn+1）的绘制应确保有条件地onF（tn），r（tn+1）具有正态分布r（tn+1）~ NeβY（tn）δh（tn）（0）-bIY（田纳西州）θ（tn）（δ） ，aY（tn））2βY（tn）e2βY（tn）δ- 1..（三）h（tn+1），Ah（tn+1）是根据h（tn）、Ah（tn）、r（tn+1）使用引理4.3:h（tn+1）（τ）=h（tn）（δ+τ）+aY（tn）2βY（tn）1.- eβY（tn）（δ+τ）-1.- eβY（tn）τ+ eβY（tn）τ-eβY（tn）δr（tn）+r（tn+1）+bIY（tn）θ（tn）(δ),Ah（tn+1）（τ）=Ah（ti）（δ+τ）+aY（tn）βY（tn）eβY（tn）τ+e2βY（tn）（τ+δ）- e2βY（tn）τ- eβY（tn）（δ+τ）+ βY（tn）eβY（tn）τ-eβY（tn）δr（tn）+r（tn+1）+bIY（tn）θ（tn）(δ).这里，h（tn+1）必须始终计算到成熟度τi，而sah（tn+1）仅在τ=0和τ=δ时才需要。收益率曲线模型的一致性重新校准和模拟方案的收敛性。（5.5）δ标准半群理论。假设5.2。

参数过程Y取Y=Rp和Satifiesdy（t）中的值=AY（t）+u（Y（t））dt+σ（Y（t））dfW（t），（5.6）ARp→ RpRpu∈C∞bRpRpσ∈ C∞bRp，Rp×qfWqFtWC∞比西，比西∈ R+×YasConsumption 5.3。地图7→√阿扬迪7号→ c类的βyare∞b（Rp）和Supy∈YβY<0成立。h、 第4.10节中的Yh、X、Y半群SP、Q和R现在假定定义为B（h×Y）CbH×X×YPh，YQ定义为h随Y固定的演化，R定义为Y随h固定的演化。定理5.4。在r+BH×YPQRBT上存在一个可分离的Hilbert空间hof连续函数∈ R+CkP（t）f- （R（t/n）Q（t/n））nfkB≤ Cn-1kfkB，所有f∈ B、 t∈ [0，T]，n∈ N+，其中Bis是密集且连续嵌入B.BCH×B的Banach空间，其中H H在下面的证明中定义。证据γⅡ∈n数字严格大于3。每一次我∈ N、 定义一个可分离的Hilbert空间HibyHi=（h∈ Lloc:h（j）∈ 洛坎兹（0，∞)h（j）（τ）（1+τ）γidτ<∞, j=1，i+1），其中，在（0，∞). 每个函数都是连续的、有界的，并且有一个明确的界限(∞) =limτ→∞h（τ）。hiHi上的scalarproduct由hh定义，hiHi=h(∞)h(∞) +iXj=1Z（0，∞)h（j）（τ）h（j）（τ）（1+τ）γidτ。ζ>k，i∈ NBζkHi×YCkbHi×yun在标准kfkbζk（Hi×Y）=kXj=0sup（h，Y）下∈嗨，Ycosh（ζkhkHi）+kykY-1kDjf（h，y）kL（（Hi×y）j）。连同假设5.2和5.3，这意味着[14，第3.1.1节和第3.1.2节]的条件对于表征（h，Y）演化的SPDE（5.5）、（5.6）是满足的。（注意，对于μhjMy和σhjMy，βy需要远离零进行界定22 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrichi×yh，具有固定的y，对于y，SDE具有固定的h。固定ζ>ζ>0，定义h=h，B=Bζ（h×y）和B=Bζ（h×y）。然后（P（t））t≥0，（Q（t））t≥0和（R（t））t≥0是BBY[14，引理13]上的强连续半群和[14，引理7]上的拟自洽半群。它们的生成器由GP、GQ和GR表示。

通过同样的引理，Bis在（P（t））t下是稳定的≥与[14，定理11]一起，这意味着对于每个f∈ B、 表达式gpp（t）f，GQP（t）f，GRP（t）f，GQGQP（t）f，GQGRP（t）f，GRGQP（t）f用B范数一致有界定义∈[0，T]和GPF=GQf+GRf。因此，分裂是一阶形式的，其结果来自[20，定理2.3和第4.4节]。5.7.一致的重新校准属性。如果HJM波动率中的系数β√具有正概率的aeβτHilbert空间，即一致的重新校准性质成立。这在这里是精确的。假设5.5。Yy∈ YT>的YTis都是Y。而且，{βY:Y∈ Y} 包含一个区间[β，∞) 对一些人来说。假设5.6。Hilbert空间包含InLoc（R+）和∈ Hhas a fite横坐标Saabs（h）=infβ ∈ R:Z∞h（τ）eβτdτ<∞< ∞.假设5.6中的条件比较温和；加权Sobolev spacesin[16]尤其是spaceHof定理5.4满足了这一点。如下面的定理所示，上述假设意味着一致的重新校准特性。定理5.7。Vasiˇcek CRCmodel（5.5），（5.6）在状态空间I=H×Y的证明下，一致性再校准特性得到满足。h、 Y（5.5）（5.6）h，YT≥hT，ytltt（5.5）（5.6）^h，^Y（5.5）（5.6）^Y{^hT}×Y LTh{^hT}span{σHJMyy∈ Y} ×Y LTspan{σHJMyy∈ Y} HH×Y 书信电报5.8.实例我们给出了一个基于[10]的Vasiˇcek CRC模型的例子。在该模型中，波动率是随机的，但均值回归的速度不是随机的。因此，一个有限维的实现。

该模型中债券价格的显式公式适用于连续时间限制下的模型。收益率曲线模型23的一致性重新校准参数过程是一个CIR过程，其值inY=R+由SDE（5.6）给出，具有可能相关的布朗运动fw和系数u（y）=m+uyandσyσym≥, u ≤σ ≥βyβ<ayyuHJMy（τ）=-yβeβτ1.- eβτ, σHJMy（τ）=√yeβτ，对于所有τ∈ R+。如果h（0）∈ C（R+），CRC方程（5.5）有一个封闭形式的解，h（t，τ）=h（0，t+τ）-ZtY（s）βeβ（τ+t）-（s）1.- eβ（τ+t）-（s）ds+ZtpY（s）eβ（τ+t-s） dW（s）。设置ξ（t）=RtY（s）e2β（t-s） ds和r（t）=h（t，0），这可以重写为ash（t，τ）=h（0，t+τ）+eβτ（r（t）- h（0，t））+βe2βτ- eβτξ（t）。（5.7）在方程（5.5）中设置τ=0，并在方程（5.7）中插入yieldsdr（t）=（Ah（0，t）- βh（0，t）+βr（t）+ξ（t））dt+pY（t）dW（t）。总之，过程X=（r，ξ，Y）由SDE给出博士（t）=Hτ（0，t）- βh（0，t）+βr（t）+ξ（t）dt+pY（t）dW（t），dξ（t）=2βξ（t）+Y（t）dt，dY（t）=m+μY（t））dt+σpY（t）dfW（t），其中h（0）∈ C（R+）是给定的初始远期利率曲线。因此，xis一个有效的`λ，，>σ公式特别简单：债券价格由p（t，t）=eRTt（eβ（s）给出-t） h（0，t）-h（0，s））ds+β-1(1-eβt）r（t）-β-2(1-eβt）ξ（t），其中ξ（t）是确定性的，满足（5.8）ξ（t）=Y（0）e2βt- eut2β-u+m（2β）-u - 2βeut+ue2βt）2βu（2β- u），如果u<0，Y（0）e2βt- 12β+me2βt- 2βt- 1.4β，如果u=0，r（t）正态分布，平均值为（5.9）eβtr（0）+Zteβ（t-（s）啊（0，s）- βh（0，s）+ξ（s）ds和方差（5.10）Y（0）2βe2βt- 1.+m4β-2βt+e2βt- 1..24 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrich校准Vasiˇcek CRC模型。Sidery修复并抑制符号中的依赖性。

对于到期时间τi，τj的任何选择，可通过求解（3.13）中达到最佳效果的ba，bβ，即（5.11）[br（·τi），br（·τj）]（tn），如第3.9节所述，获得a，β的估计值- [br（·τi），br（·τj）]（tn-M） tn- tn-M≈ aeβτi- 1βτieβτj- 1βτj≈ aβτi+βτi/2βτiβτj+βτj/2βτj。改变校准时间tn会产生一个系数ba（tn）、bβ（tn）的时间序列，其系数为6。Cox-Ingersoll-Ross模型6的持续重新校准。1.概述。我们简要介绍了基于CIR短速率的CRC模型。概述足以为第7节中的经验主义设置符号。本文的在线附录中提供了详细说明。为了进行比较，我们简化了CIR++模型及其CRC版本。6.2.赫尔-怀特扩展考克斯-英格索尔-罗斯模型。我们使用SecXR+`λY的设置，但是我们假设每个（x，Y）∈ X×Y，对于某些αY，波动率和漂移系数由ay（X）=αyx和by（X）=βyx给出∈(0, ∞) βy∈(-∞,0).为了简单起见，我们再次选择时间tn=nδ和成熟时间τn=nδ的等距网格∈ N、 其中δ是一个正常数。CRC算法类似于Vasiˇcek模型，具有以下重要区别：o假设3.1中的可容许条件满足当且仅当θ（t）≥0，全部∈ R+。这个条件在实践中可能会有问题，正如在THY（θ（t），X（t））中讨论的那样，代替赫尔白扩展θ（t），很明显很难得出类似于Vasiˇcek情况下的收敛结果与Vasiˇcek模型相比，这里似乎没有一个封闭形式exθCyh，xhys更复杂。

因此，Volterra方程是通过二阶数值逼近，在成熟期内使用离散化来求解的。CRC框架中的CIR++模型。短速率过程也称为确定性移位扩展CIR模型，定义为RTxtθtXθ。注意，这是一种不同于第6.2节所述的时间不均匀性。特别是，该因子的处理时间是均匀的，与短速率不一致。CIR++模型的HJM方程为（6.1）dh（t）=啊（t）+我的X（t）dt+σHJMyX（t）dW（t），dX（t）=（by+βyX（t））dt+qαyX（t）dW（t），收益率曲线模型的一致性重新校准，其中uhjMy和σhjMy与CIR情况相同。在该模型的CRC扩展中，Yi被随机过程代替。与持续重新校准的CIR模型相比，该模型既有优点也有缺点：oSDE不依赖于H。所以，XC的存在性和唯一性可以用标准方法来证明。然后可以通过随机卷积[13，第6.1节]：h（t）=S（t）h（0）+ZtSt构造一个温和的解-s.HJMY（s）十(s)ds+ZtSt-s.HJMY（s）十(s)dW（s）。o函数θ可以假定为负值，并且可以校准为阿吉文屈服曲线，而无需反转Volterra积分算子。然而，这种校准需要知道X的当前值。这可以从远期利率曲线H（t）=S（t）θ的方程中看出- 通过ψy- ψyX（t），yXture。因此，X（t）和参数α和βy必须使用与一般多因素模型相同的方法进行联合估计（见第3.7节）。实证结果概述。因此，CRC模型提供的额外灵活性是更好地捕获数据描述的有用工具。（惠誉评级）市场上交易活跃的欧元区中央政府债券。欧洲央行使用斯文森曲线族进行估算，见[31,33]。

数据可从2004年9月6日获得，我们将2014年4月1日定为最后一次观测，并用br（t，τ）表示，τ为到期时间。选择的收益率显示为到期日（3个月），如图7.1所示。CRC模型的校准。按照第5.9节和在线附录中的说明校准速率。时间步长δ-校准。choiceM=100是精确度和过度平滑26菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W¨乌瑟里希零之间的折衷-息票债券收益率（%）时间（t）r^（t，τ）05 06 07 08 09 10 11 12 13 141 2 3 4 5 6τ=0.25τ=0.5τ=1τ=2τ=5τ=10τ=15τ=20τ=30图7.1。欧洲央行在2004年9月6日至2014年4月1日的不同期限内估计的历史零息票收益率。我们使用3个月期收益率（τ=0.25）作为短期利率的代理。零-息票债券收益率（%）-01-03t=2006-01-02t=2007-01-02t=2008-01-02t=2009-01-02t=2010-01-04t=2011-01-03t=2012-01-02t=2013-01-02t=2014-01-02观察日期。7.4). 对于τ1从方程（5.11）及其CIR对应方立即得出估计量^a（t）=[br（·τ），br（·τ）]（t）- [br（·τ），br（·τ）]（t- 在Vasiˇcek情况下，δM）δM，（7.1）和α（t）=[br（·τ），br（·τ）]（t）- [br（·τ），br（·τ）]（t- δM）δPM-1m=0^r（t- δm，τ，（7.2）收益率曲线模型的一致性重新校准27瓦西塞克模型的波动率（%）时间（t）05 06 07 08 09 10 11 12 13 141.2 2 2.4 3.6 4.8 6τ1=0.083τ1=0.166τ1=0.25τ1=0.333图7.3。Vasiˇcek模型的波动性参数由（7.1）使用M=100收益率的时间窗口和到期时间τ估计。在CIR情况下，二次变化由（5.11）估计。